《数学教育哲学讲座》课件.ppt

1、数学教育哲学讲座数学教育哲学讲座 周周 根根 龙龙2007年7月一、引言一、引言 两千多年来，数学一直处在绝对主义范式的统治两千多年来，数学一直处在绝对主义范式的统治下，这种认识范式视数学本体上是不可误的、数学是客下，这种认识范式视数学本体上是不可误的、数学是客观真理、且数学远离人类事务和价值。观真理、且数学远离人类事务和价值。当今越来越多的哲学家和数学家对此提出了异议，当今越来越多的哲学家和数学家对此提出了异议，如如Laktaos(1976)Laktaos(1976)、DavisDavis与与Hersh(1980)Hersh(1980)、TymoczkoTymoczko(1986),(198

2、6),他们认为数学是可误的，像其它知识一样，数他们认为数学是可误的，像其它知识一样，数学是人类创造的产物。学是人类创造的产物。这一变化的意义（放弃数学的可靠性）：这一变化的意义（放弃数学的可靠性）：导致人类根本没有可靠的结论；导致人类根本没有可靠的结论；放弃数学与生俱来的伪安全性；放弃数学与生俱来的伪安全性；若数学是不可误的客观知识，则数学不必承担任若数学是不可误的客观知识，则数学不必承担任何社会责任；何社会责任；若数学是可误的社会建构，则数学就是一个探究若数学是可误的社会建构，则数学就是一个探究和认识的过程，是人类不断创造和发明的广阔天地，和认识的过程，是人类不断创造和发明的广阔天地，是不会

3、终结的产物。是不会终结的产物。如此动态的数学观对教育的影响举足轻重：如此动态的数学观对教育的影响举足轻重：数学教学的目的应包括使学生获得自我创造数学数学教学的目的应包括使学生获得自我创造数学知识的能力；知识的能力；数学至少在学校要更新形式，以便所有社会群体数学至少在学校要更新形式，以便所有社会群体易于接受其概念，并容易得到由它带来的财富和权易于接受其概念，并容易得到由它带来的财富和权利利；再不可理所当然地把数学活动及其应用的涵义置之再不可理所当然地把数学活动及其应用的涵义置之一边，而对数学的潜在价值作出深入的分析。一边，而对数学的潜在价值作出深入的分析。在教学领域与数学观相联系的一些基本问题：

4、在教学领域与数学观相联系的一些基本问题：学习的本质：学习的本质：数学学习理论的基础由哪些哲学假说或数学学习理论的基础由哪些哲学假说或可能隐含的假说所构成？应采纳何种认识论和学习论？可能隐含的假说所构成？应采纳何种认识论和学习论？教育目的：教育目的：数学教育的目的是什么？谁提出的目的？数学教育的目的是什么？谁提出的目的？为谁提出的目的？建立在什么价值标准上的目的？这为谁提出的目的？建立在什么价值标准上的目的？这个目的使谁受益，谁受损？个目的使谁受益，谁受损？数学的本质：数学的本质：数学教学依据什么哲学假说或可能的数学教学依据什么哲学假说或可能的隐含假说？这些假说可靠吗？为达到数学教育目的隐含假说

5、？这些假说可靠吗？为达到数学教育目的应采取何种方法？这些方法和目的一致吗？应采取何种方法？这些方法和目的一致吗？事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也本上都出于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也如此。（如此。（Thom,1971Thom,1971）问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。学到底是什么。如果不正视数学的本质问题，便如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。（解决不了关于教学上的争议。（HershHersh,19

6、79,1979）教师专业数学思想的形成与他们表达数学内容的教师专业数学思想的形成与他们表达数学内容的典型方式存在着一致性，这有力说明了教师的数学观、典型方式存在着一致性，这有力说明了教师的数学观、数学信仰和爱好的确影响着他们的教学活动。数学信仰和爱好的确影响着他们的教学活动。二、绝对主义观和可误主义观二、绝对主义观和可误主义观 数学哲学是哲学的一个分支。它的任务是反思数学哲学是哲学的一个分支。它的任务是反思并解释数学的本质。并解释数学的本质。数学知识是由具有证明的一组命题所构成的，数学知识是由具有证明的一组命题所构成的，由于数学证明仅依据推理而不求助于经验材料，由于数学证明仅依据推理而不求助于

7、经验材料，因此认为数学知识是所有知识中最为可靠的知识。因此认为数学知识是所有知识中最为可靠的知识。数学哲学传统上把自己的任务看作为数学知识的数学哲学传统上把自己的任务看作为数学知识的可靠性提供基础，即构建一个系统。在这系统中能够可靠性提供基础，即构建一个系统。在这系统中能够编排数学知识从而能系统地建立起数学的真理性。编排数学知识从而能系统地建立起数学的真理性。这样做取决于或明或暗地广泛承认的下列假设：这样做取决于或明或暗地广泛承认的下列假设：数学哲学的任务是为数学知识，也可以说是为了数学哲学的任务是为数学知识，也可以说是为了数学真理奠定一个系统的并且绝对可靠的基础。这个数学真理奠定一个系统的并

8、且绝对可靠的基础。这个假设是基础主义的依据，也就是这样一个信条：数学假设是基础主义的依据，也就是这样一个信条：数学哲学的作用是否为数学知识奠定可靠的基础。哲学的作用是否为数学知识奠定可靠的基础。基础主义与数学知识的绝对观密切相关，因为基基础主义与数学知识的绝对观密切相关，因为基础主义把验证数学知识的绝对性这一任务视为数学哲础主义把验证数学知识的绝对性这一任务视为数学哲学的中心任务。学的中心任务。1.1.数学知识的本质数学知识的本质 传统上，数学知识一直作为可靠知识的范式。传统上，数学知识一直作为可靠知识的范式。NewtonNewton的的原理原理和和SpinoznSpinozn的的伦理学伦理学

9、都采用了都采用了EuclidEuclid的的几几何原本何原本的形式（公理化思想）。长期以来，数学一直作的形式（公理化思想）。长期以来，数学一直作为人类所知的最可靠知识的源泉。为人类所知的最可靠知识的源泉。知识的本质是什么？知识的本质是什么？其哲学标准答案是，知识是已判定为合理的信念。其哲学标准答案是，知识是已判定为合理的信念。更准确地说，命题型知识由得到承认（即得到相更准确地说，命题型知识由得到承认（即得到相信）的命题所组成，并有充分根据判定这些命题。信）的命题所组成，并有充分根据判定这些命题。知识可以按照对它进行论证的依据进行分类。知识可以按照对它进行论证的依据进行分类。先验先验知识由仅仅根

10、据推理而判定的那些命题所组成，而不依知识由仅仅根据推理而判定的那些命题所组成，而不依赖于对现实世界的观察。赖于对现实世界的观察。数学知识属于先验知识，因为它只由基于推理而断数学知识属于先验知识，因为它只由基于推理而断定的命题所组成。定的命题所组成。推理包括演绎逻辑和所用的定义，连同我们所假定推理包括演绎逻辑和所用的定义，连同我们所假定的数学公理或公设，构成了推断数学知识的基础。因此的数学公理或公设，构成了推断数学知识的基础。因此数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据，是由数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据，是由演绎证明所组成的。演绎证明所组成的。数学知识的基础，即确定数学命题真理性

11、的依据，数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据，是由演绎证明所组成的。是由演绎证明所组成的。在证明中往往用到两种类型的假设：数学的和逻在证明中往往用到两种类型的假设：数学的和逻辑的。辑的。逻辑假设即推理规则（整个证明理论的一部分）逻辑假设即推理规则（整个证明理论的一部分）和逻辑句法，被认为是逻辑的基本组成部分，也是推和逻辑句法，被认为是逻辑的基本组成部分，也是推理运用过程的组成部分。因此我们认为，逻辑毫无疑理运用过程的组成部分。因此我们认为，逻辑毫无疑问是知识判定的依据。问是知识判定的依据。数学假设即数学公理或公设，是数学证明依赖的数学假设即数学公理或公设，是数学证明依赖的数学基础数学基础

12、 。数学假设的合理性又由谁来保证呢？数学假设的合理性又由谁来保证呢？事实上，非欧几何证明了，事实上，非欧几何证明了，EuclidEuclid公理和平行公设公理和平行公设被人们不再看作是基本的或无可争辩的真理，不再认为被人们不再看作是基本的或无可争辩的真理，不再认为任何这种真理之一遭否定或拒绝时都会引起矛盾。现代任何这种真理之一遭否定或拒绝时都会引起矛盾。现代数学知识包括了很多依赖于公理系假设的分支学科，而数学知识包括了很多依赖于公理系假设的分支学科，而这些公理不可看作为基本的普遍真理，如群论公理或集这些公理不可看作为基本的普遍真理，如群论公理或集合论公理。合论公理。2.数学知识的绝对主义观数学

13、知识的绝对主义观 绝对主义数学观：绝对主义数学观：认为数学真理是绝对可靠的认为数学真理是绝对可靠的,数学数学是一种而且也许是唯一的一种确定的、是一种而且也许是唯一的一种确定的、不容置疑的客观知识领域。不容置疑的客观知识领域。演绎法为数学知识的断定提供了保证。演绎法为数学知识的断定提供了保证。断定数学（和逻辑）提供绝对可靠知识即真断定数学（和逻辑）提供绝对可靠知识即真理的依据如下：理的依据如下：首先，证明中的基本陈述视其为真，数学公首先，证明中的基本陈述视其为真，数学公理假定为真，以便这样考虑使系统得到发展，数理假定为真，以便这样考虑使系统得到发展，数学定义令其为真，逻辑公理认其为真。学定义令其

14、为真，逻辑公理认其为真。其次，逻辑推理规则保持着真理性，即只承其次，逻辑推理规则保持着真理性，即只承认由真理推导出来真理。认由真理推导出来真理。这种数学知识的绝对主义观是建立在以下两种假设这种数学知识的绝对主义观是建立在以下两种假设基础上：涉及公理和定义假设的数学假设，以及涉及公基础上：涉及公理和定义假设的数学假设，以及涉及公理假设、推理规则和形式语言及其句法的逻辑假设。理假设、推理规则和形式语言及其句法的逻辑假设。罗素悖论罗素悖论 RusselRussel通过定义通过定义“不是自身的一个元素不是自身的一个元素”这一特性，这一特性，提出了这个悖论。提出了这个悖论。FregeFrege规则允许这

15、一特性的外延作为规则允许这一特性的外延作为一个集合。但这样一来，这个集合是自身的一个元素一个集合。但这样一来，这个集合是自身的一个元素当且仅当它不是自身的一个元素，这就是一个矛盾。当且仅当它不是自身的一个元素，这就是一个矛盾。这些矛盾的发现自然对数学知识的绝对主义这些矛盾的发现自然对数学知识的绝对主义观是潜在的致命威胁。观是潜在的致命威胁。如果数学是可靠的，则它的所有定理都是可如果数学是可靠的，则它的所有定理都是可靠的，那么它的理论怎么会出现矛盾呢？靠的，那么它的理论怎么会出现矛盾呢？既然这虚张声势矛盾的出现并无错误，那么既然这虚张声势矛盾的出现并无错误，那么必定在数学基础中出现了问题。必定在

16、数学基础中出现了问题。这些危机带来的结果是，数学哲学的一些学这些危机带来的结果是，数学哲学的一些学派发展起来，其目的是解释数学知识的本质并重派发展起来，其目的是解释数学知识的本质并重建它们的可靠性。三大学派分别是逻辑主义、形建它们的可靠性。三大学派分别是逻辑主义、形式主义、构造主义（直觉主义）。式主义、构造主义（直觉主义）。A逻辑主义逻辑主义 逻辑主义是把纯数学作为逻辑基本构成成分的思逻辑主义是把纯数学作为逻辑基本构成成分的思想学派。想学派。主要倡导者有主要倡导者有LeibnizLeibniz、FregeFrege、RusselRussel等人。等人。RusselRussel的观点最为显明。主

17、要有两个论点：的观点最为显明。主要有两个论点：（1 1）所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念；）所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念；（2 2）所有数学真理都可以单作凭公理和逻辑推演）所有数学真理都可以单作凭公理和逻辑推演规则得到证明。规则得到证明。RusselRussel等人（等人（1910-19131910-1913）用一系列的定义确立了上）用一系列的定义确立了上述第一论点，但是在第二点上失败了。数学需要非逻辑述第一论点，但是在第二点上失败了。数学需要非逻辑公理如无穷公理（所有自然数的集合都是无穷的）和选公理如无穷公理（所有自然数的集合都是无穷的）和选择公理。择公理。因此不是所有的数学定理

18、（真理）都能单纯从逻辑因此不是所有的数学定理（真理）都能单纯从逻辑公理导出。许多重要的数学公理确实是独立的，并且无公理导出。许多重要的数学公理确实是独立的，并且无论采用这些公理还是否定这些公理都不会引起矛盾。论采用这些公理还是否定这些公理都不会引起矛盾。后来逻辑主义想了许多方法来改进，但后来都失败后来逻辑主义想了许多方法来改进，但后来都失败了，因此把数学知识的确定性归结为逻辑的确定性这一了，因此把数学知识的确定性归结为逻辑的确定性这一逻辑主义纲领已在原则上失败了。逻辑不能为数学知识逻辑主义纲领已在原则上失败了。逻辑不能为数学知识提供可靠的基础。提供可靠的基础。B B形式主义形式主义 通俗地说，

19、形式主义是如下观点：数学是按规则在通俗地说，形式主义是如下观点：数学是按规则在纸上用符号所做的一种无意义的形式游戏。纸上用符号所做的一种无意义的形式游戏。HilbertHilbert的形式主义纲领旨在把数学转化为不予解的形式主义纲领旨在把数学转化为不予解释的形式系统。释的形式系统。HilbertHilbert借助一种有限制然而有意义的元数学，通过借助一种有限制然而有意义的元数学，通过导出所有数学真理的形式的对应产物来说明他的形式系导出所有数学真理的形式的对应产物来说明他的形式系统适合于数学，并通过相容性证明说明该形式系统对数统适合于数学，并通过相容性证明说明该形式系统对数学是可靠的。学是可靠的

20、。但但Godel的不完全理论（的不完全理论（1931）证明了这是一个）证明了这是一个无法实现的纲领。无法实现的纲领。其第一个定理证明了甚至不是所有算术定理都能其第一个定理证明了甚至不是所有算术定理都能由由PeanoPeano公理（或任意一个更大的递归公理系统）导公理（或任意一个更大的递归公理系统）导出。出。第二个定理证明了对所要研究的系统而言，证明第二个定理证明了对所要研究的系统而言，证明其相容性需要比维持系统的其相容性需要比维持系统的“自我完善自我完善”更强的元数学，更强的元数学，所以也就根本无所谓系统的所以也就根本无所谓系统的“自我完整自我完整”可言。可言。(形式系形式系统无法保证自身的可

21、靠性统无法保证自身的可靠性)C构造主义构造主义 构造主义纲领是数学知识的一种重建（数学活动的构造主义纲领是数学知识的一种重建（数学活动的改革），以防止数学意义的丧失或陷入矛盾。改革），以防止数学意义的丧失或陷入矛盾。最著名的构造主义者是直觉主义者最著名的构造主义者是直觉主义者Brouwer.持构造主义观点的数学家的共同观点是，经典数学持构造主义观点的数学家的共同观点是，经典数学或许靠不住，需要用或许靠不住，需要用“构造构造”的方法和推理重建数学。的方法和推理重建数学。他们主张数学真理和数学对象的存在性这两者都必他们主张数学真理和数学对象的存在性这两者都必须由构造的方法加以确定。这即是说，证实真

22、理性和存须由构造的方法加以确定。这即是说，证实真理性和存在性，就需要数学地加以改造。这和利用矛盾加以证明在性，就需要数学地加以改造。这和利用矛盾加以证明的反证法相对立（他们也不承认逻辑上的排中律）。的反证法相对立（他们也不承认逻辑上的排中律）。对于构造主义者来说，知识必须通过构造主义逻辑对于构造主义者来说，知识必须通过构造主义逻辑的构造性证明加以确立。的构造性证明加以确立。数学术语或对象的意义应通过这一形式过程，使数学术语或对象的意义应通过这一形式过程，使得数学术语或对象得以构造出来。得数学术语或对象得以构造出来。直觉主义是构造主义的代表。其不仅无法解释非构直觉主义是构造主义的代表。其不仅无法

23、解释非构造性经典数学的实质，而且否定它的有效性。既没有证造性经典数学的实质，而且否定它的有效性。既没有证实经典数学所面临的无法回避的问题，也没有说明经典实经典数学所面临的无法回避的问题，也没有说明经典数学的非协调性和非真实性。事实上，其纲领提出后，数学的非协调性和非真实性。事实上，其纲领提出后，经典的纯粹和应用数学的走势越来越强，因此直觉主义经典的纯粹和应用数学的走势越来越强，因此直觉主义遭到人们的拒绝。遭到人们的拒绝。3可误主义观可误主义观 可误主义观：数学真理是可误的且是可以纠正的，可误主义观：数学真理是可误的且是可以纠正的，决不能把数学知识看作是不能纠正或更改的真理。决不能把数学知识看作

24、是不能纠正或更改的真理。反面的表达形式：反面的表达形式：数学知识不是绝对真理，它没有绝对有效性。数学知识不是绝对真理，它没有绝对有效性。正面的表达形式：正面的表达形式：数学知识中可纠正的且永远要接受更正。数学知识中可纠正的且永远要接受更正。其代表人物是其代表人物是LakatosLakatos。三、三、数学哲学的重新认识数学哲学的重新认识 上面我们是在这样的假设下进行思考的：数学知识是上面我们是在这样的假设下进行思考的：数学知识是一组附有证明的命题形式的真理，而数学哲学的功能就是一组附有证明的命题形式的真理，而数学哲学的功能就是建立这种知识的可靠性。当我们发现这一假设站不住脚时，建立这种知识的可

25、靠性。当我们发现这一假设站不住脚时，就不得不重新考虑数学哲学的本质。就不得不重新考虑数学哲学的本质。什么是数学哲学的功能和范围呢？什么是数学哲学的功能和范围呢？数学哲学不应仅考虑其数学哲学不应仅考虑其“内在问题内在问题”，而应把数学放在，而应把数学放在人类思想和人类历史的大背景中来考虑。数学哲学应该全人类思想和人类历史的大背景中来考虑。数学哲学应该全面考虑人类创造知识的环境和数学的历史根源。面考虑人类创造知识的环境和数学的历史根源。如果认识论仅注重单一静态的知识形式，而忽略知识如果认识论仅注重单一静态的知识形式，而忽略知识发展的动态，那么它就不能恰当地解释知识。发展的动态，那么它就不能恰当地解

26、释知识。绝对主义观和可误主义观比较绝对主义观和可误主义观比较绝对主义观：绝对主义观：注重终结的或展现了的知识，以及知识的基础和判定；注重终结的或展现了的知识，以及知识的基础和判定；把知识看作一种客观成果的知识，常根本否定涉及知识把知识看作一种客观成果的知识，常根本否定涉及知识发生的哲学合理性，并把知识发生问题推给心理学和社会科学（构造主发生的哲学合理性，并把知识发生问题推给心理学和社会科学（构造主义除外）。义除外）。可误主义观：可误主义观：注重知识发生和人类对创造知识的贡献；注重知识发生和人类对创造知识的贡献；能认识到出错在数学中的作用能认识到出错在数学中的作用。绝对主义观绝对主义观：数学（连

27、同逻辑）占有作为唯一可靠知识领域的地数学（连同逻辑）占有作为唯一可靠知识领域的地位，数学只依赖严格的证明，同时还否认数学与历史、位，数学只依赖严格的证明，同时还否认数学与历史、知识发生以及人类环境条件相关的内在联系，这一切助知识发生以及人类环境条件相关的内在联系，这一切助长了把数学当作单独的分离学科的观点。长了把数学当作单独的分离学科的观点。可误主义观可误主义观：可误主义把更多的内容纳入了数学哲学的范围。由可误主义把更多的内容纳入了数学哲学的范围。由于数学是可误的，因此认为数学绝不能与物理学及其他于数学是可误的，因此认为数学绝不能与物理学及其他科学的经验（因而是可误的）知识相分离。科学的经验（

28、因而是可误的）知识相分离。可误主义注重数学知识的发生及结果，从而把数学可误主义注重数学知识的发生及结果，从而把数学看作是历史及人类实践的组成部分。数学不能脱离人类看作是历史及人类实践的组成部分。数学不能脱离人类学和社会科学，或者一般地看作人类文化的一部分。数学和社会科学，或者一般地看作人类文化的一部分。数学与人类的整体知识结构相关，是其不可分割的一部分。学与人类的整体知识结构相关，是其不可分割的一部分。绝对主义观绝对主义观：数学是客观存在，无所谓价值，仅涉及数学本身的数学是客观存在，无所谓价值，仅涉及数学本身的内在逻辑。内在逻辑。仅从数学内部考虑问题，因此把数学当作是仅从数学内部考虑问题，因此

29、把数学当作是客观的、绝对超道德的人性价值的知识。客观的、绝对超道德的人性价值的知识。可误主义观可误主义观：数学充满着像其他知识领域或人类奋斗一样的人性数学充满着像其他知识领域或人类奋斗一样的人性价值。价值。通过数学历史和社会渊源，把数学与其他人类联系通过数学历史和社会渊源，把数学与其他人类联系在一起，认为数学赋有价值，充满道德价值和社会价值，在一起，认为数学赋有价值，充满道德价值和社会价值，这些价值在数学应用和发展中发挥着重要作用。这些价值在数学应用和发展中发挥着重要作用。数学哲学应解释数学哲学应解释 （1 1）数学知识（它的本质、判定和生成）；）数学知识（它的本质、判定和生成）；一种合适的数

30、学哲学标准：一种合适的数学哲学标准：过去对数学哲学是研究数学知识的逻辑基础的错误过去对数学哲学是研究数学知识的逻辑基础的错误认识掩盖了数学哲学的上述任务。认识掩盖了数学哲学的上述任务。（2 2）数学对象（它们的本质和根源）；）数学对象（它们的本质和根源）；（3 3）数学应用（在科学、技术和其他领域中数学的有效性）；）数学应用（在科学、技术和其他领域中数学的有效性）；（4 4）数学实践（数学家的活动：现在的和过去的）。）数学实践（数学家的活动：现在的和过去的）。运用新标准对各哲学学派作进一步分析：运用新标准对各哲学学派作进一步分析：A 绝对主义学派绝对主义学派 他们的任务本应解释数学的本质，包括

31、解释诸如数学他们的任务本应解释数学的本质，包括解释诸如数学运用和数学生成等外在的社会及历史因素。由于三大学运用和数学生成等外在的社会及历史因素。由于三大学派狭隘、排他的固有偏见，因而他们不可能以宽广的思派狭隘、排他的固有偏见，因而他们不可能以宽广的思路去构想并表达数学（直觉主义可能除外）。他们不仅路去构想并表达数学（直觉主义可能除外）。他们不仅不能达到自己选择的基础主义的目标，而且即使达到了，不能达到自己选择的基础主义的目标，而且即使达到了，其数学哲学对于新标准来说仍是不够恰当的。其数学哲学对于新标准来说仍是不够恰当的。B进步绝对主义（相对形式绝对主义而言）进步绝对主义（相对形式绝对主义而言）

32、不同的绝对主义概念的关键在于它们对数学知识和理论不同的绝对主义概念的关键在于它们对数学知识和理论采取静态还是动态观。形式主义和逻辑主义是形式绝对主义，采取静态还是动态观。形式主义和逻辑主义是形式绝对主义，他们承认在数学公理基础上能够发现和证明数学理论的新定他们承认在数学公理基础上能够发现和证明数学理论的新定理。而他们既不触及数学理论的创造或变化，也不触及非形理。而他们既不触及数学理论的创造或变化，也不触及非形式数学，更不用说触及人类的作用。根据他们的观点，数学式数学，更不用说触及人类的作用。根据他们的观点，数学不过由固定、形式的理论所组成。不过由固定、形式的理论所组成。进步绝对主义哲学：进步绝

33、对主义哲学：（1 1）接受公理理论的创造和变化；）接受公理理论的创造和变化；（2 2）由于需要数学直觉作为理论创造的基础，因而）由于需要数学直觉作为理论创造的基础，因而承认纯形式数学之外还有其他类型的数学存在；承认纯形式数学之外还有其他类型的数学存在；（3 3）承认新知识和理论创造中人类活动和活动的结果。）承认新知识和理论创造中人类活动和活动的结果。C 柏拉图主义柏拉图主义 柏拉图主义观把数学对象当作某个理念领域里的真柏拉图主义观把数学对象当作某个理念领域里的真实、客观存在。数学结构和对象不依赖于人类而真实存实、客观存在。数学结构和对象不依赖于人类而真实存在，做数学即是发现这些结构和对象的先验

34、存在关系的在，做数学即是发现这些结构和对象的先验存在关系的过程。数学知识是由这些对象以及对其关系和结构的描过程。数学知识是由这些对象以及对其关系和结构的描述所组成。述所组成。缺陷：缺陷：（1 1）没有恰当地解释数学家们如何获得柏拉图王国中）没有恰当地解释数学家们如何获得柏拉图王国中的知识；的知识；（2 2）既不内在也不可外在地恰当地解释数学。）既不内在也不可外在地恰当地解释数学。真实性、客观存在性、似自主性真实性、客观存在性、似自主性即数学服从于即数学服从于自身的内在规律和逻辑）自身的内在规律和逻辑）D 约定主义约定主义 数学约定主义观认为，数学知识和真理基于语言数学约定主义观认为，数学知识和

35、真理基于语言约定。特别认为逻辑和数学的真理性，可根据所涉及约定。特别认为逻辑和数学的真理性，可根据所涉及的术语的意义加以分析。把语言约定作为基本数学定的术语的意义加以分析。把语言约定作为基本数学定理的根基，数学大厦建构在这一根基上。它指明了数理的根基，数学大厦建构在这一根基上。它指明了数学的基本社会性质。学的基本社会性质。E 经验主义经验主义 数学真理是经验的概括。数学真理是经验的概括。数学概念起源于经验。数学概念起源于经验。数学真理可用经验来判断，即数学真理来自于数学真理可用经验来判断，即数学真理来自于对物理世界的观察。对物理世界的观察。F F 拟经验主义拟经验主义 数学是数学家做的或曾经做

36、过的事情，它具有任数学是数学家做的或曾经做过的事情，它具有任何人类活动或创造所固有的不完善性。拟经验主义把何人类活动或创造所固有的不完善性。拟经验主义把数学实践放在首位。数学实践放在首位。拟经验主义数学观要点：拟经验主义数学观要点：数学是处理数学问题时人与人之间的对话。数学数学是处理数学问题时人与人之间的对话。数学是可误的，决不可认为数学结果（包括概念和证明）是可误的，决不可认为数学结果（包括概念和证明）是最终的或完善的，它们可以严密性的标准的变化，是最终的或完善的，它们可以严密性的标准的变化，或随着新的挑战、新意义的产生，而需要重新商榷。或随着新的挑战、新意义的产生，而需要重新商榷。由于数学

37、是人类的活动，因此我们就不能把它与它的由于数学是人类的活动，因此我们就不能把它与它的历史以及在其他领域中的应用割裂开来。历史以及在其他领域中的应用割裂开来。拟经验主义代表着拟经验主义代表着“近代数学哲学中经验主义的复兴近代数学哲学中经验主义的复兴”。拟经验主义的五个观点：拟经验主义的五个观点：（1 1）数学是可误的；）数学是可误的；（2 2）数学是假设）数学是假设-演绎的；演绎的；（3 3）历史是核心；）历史是核心；（4 4）断定非形式数学的首要性；）断定非形式数学的首要性；（5 5）知识创造理论。）知识创造理论。数学发现或非形式化数学理论的发展有一个简单数学发现或非形式化数学理论的发展有一个

38、简单模式，它包括下列步骤：模式，它包括下列步骤：（1 1）最初设想；）最初设想；（2 2）证明；）证明；（3 3）产生）产生“总体总体”反例（最初设想的反例）；反例（最初设想的反例）；（4 4）重新检验证明；）重新检验证明；（5 5）检查其他定理的证明，以便观察在这些证明中是否出）检查其他定理的证明，以便观察在这些证明中是否出现那个新发现的引理或那个新的产生于证明的概念；或许现那个新发现的引理或那个新的产生于证明的概念；或许发现这个概念处于不同证明的交合处，出现这种情况带有发现这个概念处于不同证明的交合处，出现这种情况带有基本重要的意义；基本重要的意义；（6 6）检验那些受批驳的最初设想的而迄

39、今仍被承认的结果；）检验那些受批驳的最初设想的而迄今仍被承认的结果；（7 7）反例变成新例子）反例变成新例子开辟新的研究领域。开辟新的研究领域。LakatosLakatos的数学哲学的实质在于数学知识的发生论，的数学哲学的实质在于数学知识的发生论，这是数学实践的理论，所以也是数学历史的理论。这是数学实践的理论，所以也是数学历史的理论。LakatosLakatos未指出数学创造或发现的心理学理论，因未指出数学创造或发现的心理学理论，因为他没有研究个体头脑中的公理、定义和猜想的起因，为他没有研究个体头脑中的公理、定义和猜想的起因，而注重于将个人的创造转换成大家承认的公开的数学而注重于将个人的创造转

40、换成大家承认的公开的数学知识这个过程知识这个过程一个主要包括批判和再形成的过程。一个主要包括批判和再形成的过程。拟经验主义部分地论述了数学知识的本质、它的发拟经验主义部分地论述了数学知识的本质、它的发生和判定。生和判定。LakatosLakatos把数学知识的本质解释成假设把数学知识的本质解释成假设演绎式演绎式的、拟经验的，形成了与波普尔的科学哲学极其想像的的、拟经验的，形成了与波普尔的科学哲学极其想像的结果。结果。LakatosLakatos哲学一个关键长处在于它不是规定性的哲学一个关键长处在于它不是规定性的而是表述性的，他努力表述数学的本来面目，而不是而是表述性的，他努力表述数学的本来面目

41、，而不是表述它应该如何加以实践数学。表述它应该如何加以实践数学。缺陷：没有解释数学的可靠性，没有论述数学对缺陷：没有解释数学的可靠性，没有论述数学对象或其发生的本质，没有解释应用数学的本质，没有象或其发生的本质，没有解释应用数学的本质，没有证实把数学史作为其数学哲学的实质点的这种做法的证实把数学史作为其数学哲学的实质点的这种做法的合理性。合理性。四、作为数学哲学的社会建构主义四、作为数学哲学的社会建构主义 社会建构主义将数学视为社会的建构，它吸取了约定主社会建构主义将数学视为社会的建构，它吸取了约定主义的思想，承认人类知识、规则和约定对数学真理的确定和义的思想，承认人类知识、规则和约定对数学真

42、理的确定和判定起着关键作用。判定起着关键作用。它汲取拟经验主义的可误主义认识论，其中包括数学知它汲取拟经验主义的可误主义认识论，其中包括数学知识和概念是发展和变化的思想。识和概念是发展和变化的思想。它还采纳它还采纳LakatosLakatos的哲学论点，即按照一种数学发现的的哲学论点，即按照一种数学发现的逻辑，数学知识在猜想和反驳中得到发展。逻辑，数学知识在猜想和反驳中得到发展。社会建构主义相对规定性哲学来说是一种描述性数学社会建构主义相对规定性哲学来说是一种描述性数学哲学，旨在合适的标准下解释普遍所理解的数学的本质。哲学，旨在合适的标准下解释普遍所理解的数学的本质。之所以采用社会建构的说法，

43、其依据是：之所以采用社会建构的说法，其依据是：（1 1）数学知识的基础是语言知识、约定和规则，而）数学知识的基础是语言知识、约定和规则，而语言是一种社会建构。语言是一种社会建构。（2 2）个人的主观数学知识公布后转化为使人接受的）个人的主观数学知识公布后转化为使人接受的客观数学知识，这需要人际交往的社会过程。客观数学知识，这需要人际交往的社会过程。（3 3）客观性本身应理解为社会的。）客观性本身应理解为社会的。像拟经验主义一样，社会建构主义的核心是数学知识像拟经验主义一样，社会建构主义的核心是数学知识的生成，而不是数学知识的判定。的生成，而不是数学知识的判定。新知识可以是主观知识或客观知识，其

44、独到之处在于新知识可以是主观知识或客观知识，其独到之处在于同时考虑这两种知识形式，并将主观知识和客观知识循环同时考虑这两种知识形式，并将主观知识和客观知识循环联系起来，其中每一个促进另一个的更新。联系起来，其中每一个促进另一个的更新。在这个循环中，新的主观知识从主观知识（个体的个在这个循环中，新的主观知识从主观知识（个体的个人创造）开始，经发表而形成客观知识（通过主体间的审人创造）开始，经发表而形成客观知识（通过主体间的审视、再形成和接受）。视、再形成和接受）。在数学学习过程中客观知识被个体内化和再建构，成为在数学学习过程中客观知识被个体内化和再建构，成为个体的主观知识。根据这个知识，个体创造

45、并发表新的数学个体的主观知识。根据这个知识，个体创造并发表新的数学知识，从而形成循环。知识，从而形成循环。因此数学主观知识和客观知识彼此促成对方的产生和因此数学主观知识和客观知识彼此促成对方的产生和再产生。再产生。知识产生的社会建构主义学说的基本假说：知识产生的社会建构主义学说的基本假说：（1 1）个体具有主观数学知识（再建构的客观知识和）个体具有主观数学知识（再建构的客观知识和新创造的主观数学知识）。新创造的主观数学知识）。（2 2）发表是主观数学知识变成客观知识所必要的。）发表是主观数学知识变成客观知识所必要的。（3 3）发表的数学知识历经）发表的数学知识历经LakatosLakatos所

46、说的启发式所说的启发式过程变为客观的知识（社会性的接受）。过程变为客观的知识（社会性的接受）。（4 4）启发式过程取决于客观标准（即审视、评判）启发式过程取决于客观标准（即审视、评判数学知识的标准）。数学知识的标准）。（5 5）评判发表了的数学知识，其客观标准是建）评判发表了的数学知识，其客观标准是建立在客观语言知识及数学知识的基础上。立在客观语言知识及数学知识的基础上。（6 6）数学主观知识根本上是内化了的，再建构了）数学主观知识根本上是内化了的，再建构了的客观知识。的客观知识。（7 7）在数学知识的增添、再建或再现方面，个人）在数学知识的增添、再建或再现方面，个人能够发挥作用。能够发挥作用

47、。1.1.客观知识和主观知识客观知识和主观知识 我们称物质世界为我们称物质世界为“第一世界第一世界”，我们的意识经验世界，我们的意识经验世界为为“第二世界第二世界”，书本、图书馆、电脑以及类似东西中的逻，书本、图书馆、电脑以及类似东西中的逻辑内容为辑内容为“第三世界第三世界”。主观知识是第二世界的知识，客观知识是第三世界的主观知识是第二世界的知识，客观知识是第三世界的知识，它包括人类思想的产物，如发表的定理、对这些定知识，它包括人类思想的产物，如发表的定理、对这些定理中有关问题的讨论以及定理证明；客观知识是由人创造理中有关问题的讨论以及定理证明；客观知识是由人创造的、是变化的。对于客观知识是指

48、共有的、主体间的知识，的、是变化的。对于客观知识是指共有的、主体间的知识，即使是隐含、未充分表达清楚的也算在其中。即使是隐含、未充分表达清楚的也算在其中。客观数学知识的作用：客观数学知识的作用：根据社会建构主义的看法，公开了的数学，即在公开根据社会建构主义的看法，公开了的数学，即在公开领域中用符号表现的数学有可能成为客观知识。领域中用符号表现的数学有可能成为客观知识。把把LakatosLakatos的数学发现逻辑用于公开了的数学，这是一的数学发现逻辑用于公开了的数学，这是一个获得社会承认进而获得客观性的过程。数学公理、定理、个获得社会承认进而获得客观性的过程。数学公理、定理、猜想以及证明一旦形

49、成并公开（即使是口头上），自动的猜想以及证明一旦形成并公开（即使是口头上），自动的（即社会承认的）启发即开始进行。（即社会承认的）启发即开始进行。无论这个过程还是它的结果都是为社会所接受的，因无论这个过程还是它的结果都是为社会所接受的，因而是客观的。同样获得社会性承认的语言、逻辑约定和规而是客观的。同样获得社会性承认的语言、逻辑约定和规则（隐含的或明确的）也是客观的，这些约定和规则是启则（隐含的或明确的）也是客观的，这些约定和规则是启发式过程的依据。发式过程的依据。根据约定主义观，我们断言，正是这些约定和规则构成根据约定主义观，我们断言，正是这些约定和规则构成数学知识（包括逻辑）的基础，因为它

50、们提供了逻辑和数学数学知识（包括逻辑）的基础，因为它们提供了逻辑和数学定义的根据，同样也提供了逻辑和数学公理及规则的依据。定义的根据，同样也提供了逻辑和数学公理及规则的依据。数学主观知识的作用：数学主观知识的作用：主观知识维持并更新着客观知识，不管是主观知识维持并更新着客观知识，不管是数学、逻辑或语言的知识。主观知识在社会建数学、逻辑或语言的知识。主观知识在社会建构主义的数学哲学中居于核心地位。构主义的数学哲学中居于核心地位。2.2.社会建构学说对数学的哲学解释：社会建构学说对数学的哲学解释：A 数学的客观性数学的客观性 通过对绝对主义的有力批判，我们接受了数学知识的可通过对绝对主义的有力批判