《数学函数逼近》课件.ppt

1、EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院 2.1 数据拟合数据拟合(最小二乘法最小二乘法)实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 通过观察或测量到一组离散数据序列，当所得数据比较准确的时候，可构造插值函数，构造的原则是要求插值的函数通过这些插值节点。但通常所测得的数据有误差，如果数据系列无法同时满足某特定函数，即插值无法满足要求，在这种情况下只能通过逼近函数最优的靠近样点，即数据数据拟合。拟合。EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院编 号 拉伸倍数 强 度编 号 拉伸

2、倍数 强 度11.91.41355.5221.3145.2532.11.81565.542.52.5166.36.452.72.8176.5662.72.5187.15.373.531986.583.52.72087944218.98.51043.52298114.54.2239.58.1124.63.524108.1iiyxiiyxEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院1234567891012345678912345678910123456789纤维强度随拉伸倍数增加而增加系要关系应是线性关的主与拉伸倍数因此可以认为强度xy并且24个点大致分布在一条直线

3、附近xxy10)(为待定参数其中10,-(1)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院01 ()()(,)iiy xxx y我们希望与所有的数据点 样本点越接近越好。必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。一、最小二乘法的基本概念iiiyxy)(令一般使用mii0222在回归分析中称为残差miiiyxy02)(准偏离程度大小的度量标与数据点作为衡量),()(iiyxxy称为平方误差EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院在回归分析中称为残差平方和。mii0222miiiyxy02)(注意(1)式是一条直线。,x y

4、但的关系并不一定是线性关系。因此将问题一般化：EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院)(,xSyyx的关系为设来自函数类其中)(xS来自线性函数类中如)()1(xy为给定的一组数据设),1,0)(,(miyxii),1,0)(nixi的基函数为设函数类nm一一般般要要求求即生成的函数集是由也称,),1,0)(nixi)(,),(),(10 xxxspannmii0222miiiyxS02)(仍然定义平方误差njjjxaxS0)()(EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院我们选取的度量标准是：)(*xS中选取一个函数在函数类

5、njjjxaxS0*)()(*)(*)(*)(*1100 xaxaxann22*使得miiiyxS02)(*(miiixSyxS02)()(min22)(minxS0()()njjjS xax其中为中的任意函数。-(2)-(3)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院),1,0(,)(njaxSj如何求拟合系数后在确定了拟合函数呢？满足拟合条件使得)3()()(*0*njjjxaxS*0(3)*()()njjjSxax称满足条件的求函数的方法为数据拟合的最小二乘法.*0*()()njjjSxax为最小二乘解.0()(),(0,1,)njjjjS xaxajn为

6、拟合函数为拟合系数.22*称为最小二乘解的平方误差.EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院 miinjijjyxa020)(miiiyxS02)(二、法方程组22njjjxaxS0)()(由(0,1,)jajn为拟合系数的函数.可知因此可假设),(10naaa miinjijjyxa020)(因此求最小二乘解转化为EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院的问题点极小值的最小值求*,*,*,)(),(1010nnaaaaaa由多元函数取极值的必要条件0),(10knaaaank,1,0)()(200ikmiinjijjxyxa

7、ka0得即miikimiiknjijjxyxxa000)()()(0)()()(00 ikmiinjikijjxyxxa200()mnjjiiijaxy EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院miikimiiknjijjxyxxa000)()()(miikinjjikmiijxyaxx000)()()(nk,1,0-(4)miikiikmiinnikmiiikmiixyxxaxxaxxa00011000)()()()()()()(nk,1,0即EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院元线性方程组的是一个关于显然1,)4(10

8、naaan引入记号)(,),(),(10mrrrxxxr),(10myyyf)()(),(0ijmiikjkxx则由内积的概念可知imiikkyxf0)(),(-(5)-(6),(jk),(kj显然内积满足交换律EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院方程组(4)便可化为),(),(),(),(1100faaaknknkknk,1,0-(7)的线性方程组常数项为这是一个系数为),(),(fkjk将其表示成矩阵形式naaa10),(),(),(10fffn),(),(),(01000n),(),(),(11101n),(),(),(10nnnn-(8)EAST

9、CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院上的法方程组在点式为函数序列称mnxxxxxx,)(,),(),()8(1010的基为函数类由于)(,),(),(10 xxxn必然线性无关因此)(,),(),(10 xxxn并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即0),det(nnji根据Cramer法则,法方程组有唯一解*,*,*,1100nnaaaaaaEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院*),*,*,(10naaa miinjijjyxa020)(),(10naaa即是的最小值22*miiiyxS02)(*(miiixS

10、yxS02)()(min22)(minxS所以 miinjijjyxa020)(*(miinjijjxSyxa020)()(min miinjijjyxa020)(*(为最小二乘解njjjxaxS0*)()(*因此EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院的拟合函数作为常使用多项式),1,0)(,()()(miyxxPxSiin作为一种简单的情况,的基函数为拟合函数)()(xPxSn,1)(0 x,)(1xx,)(,kkxx nnxx)(基函数之间的内积为)()(),(0ijmiikjkxxmijikixx0mijkix0imiikkyxf0)(),(miiki

11、yx0见小书79页EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系xaaxy10)(故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为1)(0 xxx)(1建立法方程组根据内积公式，可得EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院24),(005.127),(1061.829),(111.113),(0f6.731),(1f法方程组为61.8295.1275.1272410aa6.7311.1131505.00a即为所求的最小二乘解xxy8587.01505.0)(*858

12、7.01a解得6615.5*22平方误差为EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院1234567891012345678912345678910123456789拟合曲线与散点的关系如右图:EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院例2.求拟合下列数据的最小二乘解解:从数据的散点图可以看出xxycos之间具有三角函数关系与xexy系之间还具有指数函数关与xxyln系之间还具有对数函数关与因此假设拟合函数与基函数分别为xcexbxaxScosln)(xex)(2xxln)(0 xxcos)(1x=.24 .65.95 1.24 1

13、.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99y=.23-.26-1.10-.45.27 .10 -.29.24 .56 1EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院00.511.522.53-1.5-1-0.500.51xy00.511.522.53-1.5-1-0.500.51xy图示EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院6.7941 -5.3475 63.2589-5.3475 5.1084 -49.008663.2589-49.0086 1002.5 1.6163-2.382726.7728通过计算,得法方程

14、组的系数矩阵及常数项矩阵为EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院用Gauss列主元消去法,得cba -1.0410 -1.2613 0.030735xexxxS030735.0cos2613.1ln0410.1)(*的最小二乘解是关于xy22*20)(*(miiiyxS20)030735.0cos2613.1ln0410.1(miixiiyexxi92557.0拟合的平方误差为图象如图EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的数据如下，试建立y关于t的经验公式t=1,2,3,4

15、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:的散点图与浓度画出时间yt具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式tbaey 指数函数形式batty双曲线形式都是待定系数其中ba,tbay1lnlntbay11EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院tbaey 指数函数形式).1(tbay1lnln两边取对数,得aattyyln,1,ln设t bay得即为拟合函数

16、基函数为,1)(0 ttt)(10567.1,427.2ba解法方程组得325.11atey0567.1325.11最小二乘解为11631.0*221平方误差为EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院batty双曲线形式).2(tbay1116272.0080174.0ba用最小二乘法得即16272.0080174.0tty5621.1*222无论从图形还是从平方误差考虑在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好02468101214164567891011ty02468101214164567891011ty02468101214164567891011ty024

17、68101214164567891011ty平方误差为EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院三、加权最小二乘法),1,0)(,(miyxii对于一组给定的数据点中在拟合的数据点),1,0)(,(miyxii各点的重要性可能是不一样的的重度表示数据点假设),(iiiyx重度:即权重或者密度，统称为权系数mk,1,0 定义加权平方误差为miii0222miiiiyxy02)(-(9)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院来自函数类设拟合函数)(xS),1,0)(nixi的基函数为函数类)(,),(),(10 xxxspannm

18、iiiiyxS02)(*()(xS)()()(1100 xaxaxann为拟合系数),1,0(njaj),1,0(*njaj组拟合的目标仍然为找一22*miiiixSyxS02)()(min22)(minxS使得EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院),(10naaa求miinjijjiyxa020)(的问题点极小值的最小值*,*,*,)(10naaa由多元函数取极值的必要条件0),(10knaaaank,1,0)()(200ikmiinjijjixyxaka0得即 miikiimiiknjijjixyxxa000)()()(0)()()(00ikmiiin

19、jikijjixyxxaEAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院 miikiimiiknjijiixyxxa000)()()(miikiinjjikmiijixyaxx000)()()(nk,1,0元线性方程组的是一个关于显然1,)10(10naaan引入记号)(,),(),(10mrrrxxxr),(10myyyf定义加权内积-(10)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院)()(),(0ijmiikijkxximiikikyxf0)(),(),(),(),(),(1100faaaknknkknk,1,0矩阵形式(法方程组)为naaa10),(),(),(10fffn),(),(),(01000n),(),(),(11101n),(),(),(10nnnn方程组(10)式化为-(11)-(12)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY理学院平方误差为miiiiyxS02)(*(22*作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为miiniimiiiimiiinimiinimiinimiinimiiimiiimiinimiiimiimiiyxyxyaaaxxxxxxxx000102010010200000-(13)