2020届高考数学（文）“大题精练”（12）含答案.docx

1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”12（答案解析） 17.已知数列 n a的前n项和 n S满足212 nnn Saa，且 * 0 n anN。 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 * 321 n n n n bnN na ，求数列 n b的前n项和 n T。 18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，/ /,ADBC ABAD， 222ADABBC，PCD是正三角形， ,PCAC E是PA的中点。 （1）证明：ACPD； （2）求三棱锥PBDE的体积。 19.已知某保险公司某险种的基本保费为a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保 人，续保人本年度的保

2、费与其上年度出险次数的关联如下表： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 保费（元） 0.9a a 1.5a 2.5a 4a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到下表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 140 40 12 6 2 该保险公司这种保险的赔付规定如下表： 出险序次 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次及以 上 赔付金额 （元） 2.5a 1.5a a 0.5a 0 将所抽样本的频率视为概率。 （1）求本年度续保人保费的平均值的估计值； （2）求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值； （3） 据统计今年有 100 万投保人进行续保，

3、 若该公司此险种的纯收益不少于 900 万元， 求a的 最小值（纯收益=总入保额-总赔付额） 。 20.已知直线l与抛物线 2 :20C xpy p相交于,A B两个不同点，点M是抛物线C在点 ,A B处的切线的交点。 （1）若直线l经过抛物线C的焦点F，求证：FMAB； （2）若1p ，且直线l经过点1,1，求 MAB S的最小值。 21.已知2a，函数 1 eln e x f xxax. （1）证明： f x有两个极值点； （2）若 1212 ,x xxx是函数 f x的两个极值点，证明： 21 2lnf xf xa. 22.已知在直角坐标系xoy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 1

4、 sin x y （其中为参数） ，点M 在曲线 1 C上运动，动点P满足 2OPOM ，其轨迹为曲线 2 C，以原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线 1 C, 2 C的普通方程； （2）若点,A B分别是射线: 4 l 与曲线 1 C， 2 C的公共点，求AB的最大值。 23.已知函数 |2|2 |0f xxaxaa. （1）当 1 2 a 时，求不等式 1f x 的解集； （2）若kR ， 0 xR，使得 0 32f xkk成立，求实数a的取值范围. 2020 届高三数学（文） “大题精练”12（答案解析） 17.已知数列 n a的前n项和 n S满足212 nn

5、n Saa，且 * 0 n anN。 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 * 321 n n n n bnN na ，求数列 n b的前n项和 n T。 【详解】解： （1）当1n 时， 1111 2122Saaa， 1 0a ， 1 2a ， 当2n时， 111 221212 nnnnnnn aSSaaaa ， 11 10 nnnn aaaa ，0 n a ， 1 10 nn aa ， 1 1 nn aa ， n a是以 1 2a 为首项，1d 为公差的等差数列， * 1 n annN； （2）由（1）得1 n an， 1 32133 11 n nn n n b n nnn ， 23

6、211 121 3333333 3 23211 nnnn nnn Tbbbb nnnn 1 3 3 1 n n 。 18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，/ /,ADBC ABAD， 222ADABBC，PCD是正三角形， ,PCAC E是PA的中点。 （1）证明：ACPD； （2）求三棱锥PBDE的体积。 【详解】 （1）证明：/ /,ADBC ABAD， 0 90ABCBAD ， 1ABBC， 0 45 ,2CADAC， 由余弦定理得： 222 2cos2CDACADAC ADCAD ， 222 4ACCDAD ，ACCD， PCAC，AC 平面PCD， ACPD； （

7、2） 连接CE，由（1）得AC 平面PCD， 2CD ， E是PA的中点，/ /ADBC， 11 22 P BDEP CDEC PDEC ADPA CDP VVVVV 2 1136 66412 CDP SACCDAC 。 19.已知某保险公司某险种的基本保费为a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保 人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 保费（元） 0.9a a 1.5a 2.5a 4a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到下表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 140 40 12 6 2 该保险公司这种

8、保险的赔付规定如下表： 出险序次 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次及以 上 赔付金额 （元） 2.5a 1.5a a 0.5a 0 将所抽样本的频率视为概率。 （1）求本年度续保人保费的平均值的估计值； （2）求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值； （3） 据统计今年有 100 万投保人进行续保， 若该公司此险种的纯收益不少于 900 万元， 求a的 最小值（纯收益=总入保额-总赔付额） 。 【详解】解： （1）由题意可得 保费（元） 0.9a a 1.5a 2.5a 4a 概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01 本年度一续保人保费的平均值的估计值为

9、 0.90.70.2 1.50.06 2.50.03 40.01 1.035aaaaaa ； （2）由题意可得 赔偿金额 （元） 0 2.5a 4a 5a 5.5a 概率 0.7 0.2 0.06 0 03 0.01 本年度一续保人所获赔付金额的平均值的估计值 0 0.72.50.2 40.06 50.03 5.50.010.945aaaaa； （3）由（1） ， （2）得该公司此险种的总收益为1001.0350.9459aaa， 9900a，100a，基本保费a的最小值为 100 元。 20.已知直线l与抛物线 2 :20C xpy p相交于,A B两个不同点，点M是抛物线C在点 ,A B处

10、的切线的交点。 （1）若直线l经过抛物线C的焦点F，求证：FMAB； （2）若1p ，且直线l经过点1,1，求 MAB S的最小值。 【详解】解： （1）由题意可得0, 2 p F ， 当0k 时，设直线: 2 p l ykx，点,A B的坐标分别为 1122 ,x yx y， 由 2 2 2 p ykx xpy 得 22 20xpkxp， 12 2 12 2xxpk x xp ， 过点A的切线方程为 1 11 x yyxx p ，即 2 11 2 xx yx pp ， 过点B的切线方程为 2 22 2 xx yx pp ， 由 2 11 2 2 2 2 x xx yx pp xx yx pp

11、 得 12 12 2 22 xx xpk x xp y p ，, 2 p Mpk ， 22 1 FMAB pp kkk pk ，FMAB； 当0k 时，则直线:,0, 22 pp l yM ，FMAB； （2）由题意可得 2 2xy， 当0k 时，设直线:1l ykxk，点,A B的坐标分别为 1122 ,x yx y， 由 2 1 2 ykxk xy ，得 2 2210xkxk， 12 12 2 21 xxk x xk ， 222 12 12 122ABkxxkkk， 由（1）可得过点,A B的切线方程分别为 22 12 12 , 22 xx yx xyx x， 由 2 1 1 2 2 2

12、2 2 x yx x x yx x 得 12 12 2 1 2 xx xk x x yk ，,1M k k ， M到直线l的距离 2 2 22 1 kk d k ， 3 3 2 22 2 1 22111 2 MAB SAB dkkk ， 当1k 时， MAB S取最小值 1； 当0k 时，则直线:1,0, 1 ,2 2l yMAB， 1 2 2 2 MAB SAB d ， 综上， MAB S的最小值为 1。 21.已知2a，函数 1 eln e x f xxax. （1）证明： f x有两个极值点； （2）若 1212 ,x xxx是函数 f x的两个极值点，证明： 21 2lnf xf xa

13、. 【详解】 （1）证明：由题意得 11 e,0 e x fxa x x ， 令 11 e,0 e x g xfxa x x ， 则 2 11 e e x gx x 在0,上递增，且 10 g ， 当0,1x时， 0,gxg x 递减；当1,x时， 0,gxg x 递增， min 120g xga， 1 1 1 e0,120 a gga a ， 11 1 ,1 ,0xg x a . 当 1 0,xx时， 0,g xfxf x递增； 当 1,1 xx时， 0,g xfxf x递减， 1 xx是 f x的极大值点. 1 1 ln0,120 1 ln gaga a ， 22 1,1 ln,0xag

14、x. 当 2 1,xx时， 0,g xfxf x递减； 当 2, xx时， 0,g xfxf x递增， 2 xx是 f x的极小值点. f x在0,上有两个极值点. （2）证明：由（1）得 12 1 11 lnxxa a ，且 12 0g xg x， 21 0xx， 21 221 11212 11 11 ln,ee,0 e xx xxx aaa xx xx x . 21 2 2121 1 1 eeln e xx x f xf xa xx x = 2 21 121 1 lnln (1 ln ) x xxaaa x xx . 设( )1ln(2)aaa a ，则 1 ( )10a a ， ( )a

15、在2a时单调递减，则( )(2)ln2 10a . 1 lnaa，则 2 (1 ln )aaa. 2 21 ()()ln2lnf xf xaa. 22.已知在直角坐标系xoy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 1 sin x y （其中为参数） ，点M 在曲线 1 C上运动，动点P满足 2OPOM ，其轨迹为曲线 2 C，以原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线 1 C, 2 C的普通方程； （2）若点,A B分别是射线: 4 l 与曲线 1 C， 2 C的公共点，求AB的最大值。 【详解】解： （1）设,P x yM x y ， 2OPOM ， 1 2 1 2 x

16、x yy ， 点M在曲线 1 C上， 2cos 1 sin x y ， 曲线 1 C的普通方程为 22 211xy， 曲线 2 C普通方程为 22 424xy； （2）由 cos sin x y 得曲线 1 C的极坐标方程为 2 4 cos2 sin40， 曲线 2 C的极坐标方程为 2 8 cos4 sin160， 由 4cos2 sin40 4 得 2 4 或 2 2 4 ， , 2 4 A 或,2 2 4 ， 由 2 8 cos4 sin160 4 得 2 2 4 或 4 2 4 ， ,2 2 4 B 或,4 2 4 ， AB最大值为3 2。 23.已知函数 |2|2 |0f xxaxa

17、a. （1）当 1 2 a 时，求不等式 1f x 的解集； （2）若kR ， 0 xR，使得 0 32f xkk成立，求实数a的取值范围. 【详解】解： （1）当 1 2 a 时，原不等式为 1 211 2 xx， 1 1 21 1 2 x xx 或 1 1 4 1 21 1 2 x xx 或 1 4 1 21 1 2 x xx ， 1x或 1 1 2 x 或 5 2 x ， 原不等式的解集为 15 , 22 ， （2）由题意得 min min 32f xkk， 3 ,2 3, 2 2 3 , 2 xa xa a f xxaax a xa x ， min 5 22 a f xfa ， 53232kkkk ， min325kk ， 5 5 2 a ，2a， a的取值范围2,。