湖南省株洲市2023届高三教学质量统一检测（一）数学试题及答案.docx

1、株洲市 2023 届高三年级教学质量统一检测(一)数学试题答案及评分标准本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)   两部分满分 150 分 ，考试时间 120 分钟第 卷一、 选择题 (本题共 8 小题， 每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求 的.)题号12345678答案ADCDCBCC二、 选择题 (本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分， 有选错的得0 分，部分选对的得2 分.)题号9101112答案ACADACDABC第卷三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5

2、分，共 20 分)13 、2              14、5    (大于等于 5 的正整数均可)        15 、1              16 、 四、解答题(本题共 6 小题， 共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17  (本小题满分10 分)【解】  () 在ABD 中， 由勾股定理得BD = AB2  + AD2  

3、;= 2   ，  1分AD     2                             AB      sin三ABD =          =           , cos三ABD =          =   &n

4、bsp;       ，BD        7                            BD        7cos三DBC = cos (60   三ABD) = cos60 cos三ABD+ sin60 sin三ABD=             +  

5、               =           ；1     21     3    2  7     3 212      7        2        7          143分5 分()  (法一)

6、 因为三DCB = 90，所以BC = BD . cos三DBC = 3  ，在 ABC 中， 由余弦定理得：AC = AB2  + BC2 2AB . BCcos三ABC = . 10 分(法二)依题意 三DAB = 三DCB = 90知， A、B、C、D 四点共圆， 且直径2R=BD = 2 7 ，sin 三ADC    sin120                               &nbs

7、p;                       2在 ADC ，由正弦定理      AC      =    AC    = 2R = 2  ，所以AC = 2     = . 10 分18  (本小题满分12 分)【解】设“甲没有获得门票”为事件M0  ，“甲获得开幕式门票”为事件M1 ，“甲获得赛事门票”为事件M2  ，

8、“乙获得i 张赛事门票”为事件Ni (i = 0,1,2)1            1     1      3() P(M0 ) = (1   ) . (1   ) .     =       ，                                

9、;     2 分5           4    2     101   1     1P(N0 ) =     .     =                                         &nbs

10、p;                                                                             4 分2   2     4“甲

11、乙都没有获得门票”为事件M0  N0  ，则P(M0N0 ) = P(M0 )P(N0 ) =    6 分1    4   1     2                       1() 依题意P(M1 ) =    +    .    =     ，  P(M2 ) =     ，

12、                           7 分5    5   4     5                       21   1    1   1     1          

13、             1   1     1P(N1 ) =     .    +    .     =     ，  P(N2 ) =     .     =                            

14、                                          8 分2   2    2   2     2                      2   2    

15、; 4“乙获得门票数比甲多”为事件M0N1 + M0N2  + M1N2  + M2N2 ，所以P(M0N1 + M0N2  + M1N2  + M2N2)=P(M0N1)+ P(M0N2)+ P(M1N2)+ P(M2N2)3    1     3    1    2   1    1   1     9= 10 . 2 + 10 . 4 + 5 . 4 + 2 . 4 = 20     &nb

16、sp;                                                                12 分19.  (本小题满分12 分)【解】  () 连接DO ，因为DA = DC ， O 为AC 的中点，所以DO AC

17、 ；    1 分设菱形ABCD的边长为 2，又因为 三ABC = 900  ，所以AC = 2  ，连接BO，则 BO =  ，又因为 AD = DC = 2，AC = 2  ，所以AD2  + DC2  = AC2 ，所以AD DC ，所以DO =  ，又因为BD = 2，所以DO2  + BO2  = DB2  ，所以 DO BO ；               4 分又 AC n BO = O ，所

18、以DO 平面ABC ，所以点O 是点D在平面ABC 上的射影； 6 分() 方法一(等体积法)设点 A到平面BCD 的距离为h ，设菱形 ABCD 的边长为 2，则 BCD 的面积为   ，所以 VA-BCD  =    h = h ；ABC 的面积为 2，由()知 DO 平面ABC ，DO = 所以 VD-ABC  =    2 = h ，所以 h =  ，8 分10 分8 分AD              ，    BD

19、                        BC|(m . CD = 0Dl|  2y +   = 0      ly = z即                        一         ，|(  2y = 0     &nbs

20、p;   (x = yy x CABO设直线AD与平面BCD所成角为 ，2  6h         3          6 ，所以则                             cos =  .                   12

21、 分sin =        =          =AD        2         3方法二(向量法)由()知 DO T 平面ABC ，以 O 为原点， OC,OB,OD所在的直线为x,y,z 轴建立空 间直角坐标系(如图)，设菱形ABCD的边长为 2，则所A(  2,0,0), B(0,   2,0),C(  2,0,0), D(0,0，2)；= (  2,0  

22、2),       = (0,  2,   2),      = (  2,  2,0)z               ，l|m . BD = 0设平面BCD的法向量为 m = (x, y, z)，则令x = y = z = 1 ，则 m = (1,1,1) ，    10 分设直线AD与平面BCD 所成角为 ，         2 +     &

23、nbsp;                      12 分 人 2        3                            3所以sin = cos AD, m =            =      

24、;，所以 cos =      .(说明：学生在其它位置建系的请酌情给分)20.  (本小题满分12 分)1 分【解】  ()   2bn   = an  +1 ，：bn  = log2 (an  +1) ，b1  = log2 (3 +1) = 2 ，由已知可得an+1  = a  + 2an  ，：an+1 +1 = a + 2an  +1 = (an  +1)2  ，：log2 (an+1 +1) = 2 log2 (a

25、n  +1) ，： =  = 2 ，所以数列恳bn 是以2 为首项，2 为公比的等比数列；2 分4 分5 分() 由 () 得bn  = 2n  ，所以 cn  = +1 = +1，设dn  =  ，数列恳dn 的前n 项和为Sn  ，则Sn  =  +  +  +    + +  ，S  =     +    +    +    +   &nbs

26、p;   +      ，1          1     2     3            n1     n  2   n        22        23        24         &n

27、bsp;             2n           2n+16 分7 分|ly  = 4x 得Sn  =  +  +  +    +  +    =    = 1  ，9 分所以Sn  = 2  ，所以 Tn  = Sn  + n = n + 2  < 100(n= N* )，当n = 1 时，

28、 2n  < n + 2 ，当n = 2 时， 2n  = n + 2 ，当n > 3 时， 2n  = (1 +1)n  > C  + C  + C  = n + 2 ，即 0 <  < 1 ，所以n+1 < n+ 2        < n+ 2 ，所以n+ 2 三 100 ，n 三 98 ，n+ 22n所以满足Tn  < 100 的最大整数n 为98 .21.  (本小题满分12 分)【解】由已知得曲线N

29、 的方程为y2  = 4x() 不妨设A1 为原点，则A1A2  的方程为x = y ，12 分2 分联立  2                  ，解得 A2 (12, 4  ) ，于是A3 (12, 4  )(|x = y所以编A1A2 A3 的面积为S编A1A2 A3   =  根12 根 8 = 48  .                

30、     4 分() 设Ai (xi , yi )(i = 1,2,3) ，则有xi  =  ，不妨设直线A1A2  ，A1A3 与曲线M 相切， 直线A1A2  的方程为y y1  = (x x1 ) ，化简为4x (y1 + y2 )y + y1y2  = 0 ，联立(            x2  = 4y                得y1 + y

31、2  x2   4x y1y2  = 0 ，                  6 分l4x (y1 + y2 )y + y1y2  = 0           4编 = 16 + (y1 + y2 )y1y2  = 0          同理16 + (y1 + y3 )y1y3  = 0 ，        

32、; 8 分由得： (y1 + y2  + y3 )(y2   y3 ) = 0 ，因为y2  才 y3 ，所以 y1 + y2  + y3  = 0 ，    9 分直线A2 A3  的方程为4x (y2  + y3 )y + y2y3  = 0 ，联立(            x2  = 4y                得  y2

33、 + y3  x2   4x y2y3  = 0 ，                  10 分l4x (y2  + y3 )y + y2y3  = 0           4编 = 16 + (y2  + y3 )y2y3  = 16 y1y2y3  = 16 + (y1 + y2 )y1y2  = 0所以直线A2 A3 也与曲线M 相切.  

34、                                                                       12 分22.   (本小题满分12 分)【解】() f(x) = aex  

35、 x ，由f (x) = 0得：x a = ex   ，令g(x) =  ，则直线y = a与曲线y = g(x)有两个不同交点， g(x) = x ，所以 g(x) 在(,1)上递增，在 (1, +)上递减；且当x > 1时， 0 < g(x) <  ，所以 0 < a <  ，同时0 < x1<1< 1="" 2="" 3="0" 4="" 6="" 8="" x2="&qu

36、ot; f="" x1="7" aex1="x1" x12="" a="=" aex2="x2" ex2="" t="(t">2)，则 x2  = tx1 ，ex2 x1    = e(t1)x1    = t ，则 x1  =                     &n

37、bsp;      8 分令h(t) = (t > 2)，则 h(t) =  ，令 Q(t) = 1   ln t(t > 2)，则 Q(t) =   0所以 Q(t )在2, + )上单调递减， 所以 Q(t )  Q(2) = ln 2< 0 ，        10 分所以h(t )在2, + )上单调递减， 所以h(t )  h(2) = ln 2 ，故 0 x1   ln 2a =  ，g(x) = 在(0,ln 2上单调递增，所以0< a   .                      12 分