[工学]交通流理论课件.ppt

1、第四章 交通流理论本章讲述概率统计模型、排队论模型、跟驶模型、流体模拟理论 为了描述交通流而采用的一些数学或物理的方法，是一门边缘科学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使我们更好地理解交通现象及其本质。最早采用的数学方法是概率论方法，分析交通量不大的交通流是可行的，但随着车辆的增多，交通事故、交通阻塞现象越来越严重，交通流中车辆的独立性越来越小，概率论方法逐渐难以适应，于是相继出现了跟驰理论、排队理论、流体动力学模拟理论等，这些理论在实际应用中解决了一些具体方面的问题，但还不是很完善，交通流理论还没有形成完整的体系，还有待于进一步发展。第一节第一节 离散型概率统计模型离散型概率统计模型 我

2、们在观测交通量或车辆的车头时距时，会发现在固定的计数时间间隔内，每个间隔内查到的车辆数是变化的，所观测到的连续车头时距也是不同的，这说明车辆的到达是有一定随即性的，为了描述这种随机性而采用的概率统计方法可分为两种：离散型和连续型。离散型模型描述一定时间间隔内到达车辆数的波动情况，或分析一定长度路段内存在车辆数的分布情况。常用的离散型分布模型有三以下种：一、泊松分布一、泊松分布1、基本公式：k=0、1、2、3 式中：P(k)-在计数间隔t内到达k辆车的概率 -车辆的平均到达率（辆/s）t-计数间隔的时间长度（s）令：m=t，为计数间隔t内平均到达的车辆数 则：2、递推公式：P(0)=e-m，3、

3、适用条件：车辆密度不大，车辆间相互影响小，没有外界干扰因素的车流，即车流是随机的。k-t(k)(t)P=ek!k-m(k)P=ek!m(k+1)()P=k+1KmP4、判断条件：泊松分布的均值M和方差D均等于t。当观测数据的均值m与方差S2的比值明显不等于1时，就是泊松分布不适合的表示，当近似等于1时，可用泊松分布。观测数据的均值m和方差S2为：m=【应用举例】设60辆车随机分布在4km长的路段上，服从泊松分布，求任意400m长的路段上有4辆及4辆以上汽车的概率。解：依题意：t=400m =辆/m 则：m=t=6辆 P(k4)=1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)P(0)=e-m=0.0

4、025 P(1)=P(0)=P(0)=0.0149 P(2)=P(1)=0.0446 P(3)=P(2)=0.0892 P(k4)=1-P(k4)=0.8488观测到的总车辆数总计数间隔数（N）N22i11S=(K-m)N-1i604000(0 1)m616263二、二项分布二、二项分布 1、基本公式：P(k)=Cnk()k(1-)n-k k=1、2 n Cnk=常令：P=，有0PD。即当观测数据的S2/m明显大1时，就说明不属于二项分布，即S2/m应小于1。因m/S21，说明车流的离散性比较小，车辆较拥挤，由此得出适用条件。对公式中的n、P可通过实际观测值来确定，用实际观测数据的S2、m代替

5、D、M，则有：，（取整数)2m-SP=m22mmn=Pm-S三、负二项分布三、负二项分布 1、基本公式：P(k)=C n-1k+n-1Pn(1-P)k，k=0、1、2、3 式中：P、n为负二项分布参数，0P1，n为正整数。此处的P m/n，n就是一个分布参数，不是能到达的最大车辆数。2、递推公式：P(0)=Pn，3、适用条件：适用于车辆达到的波动性很大的车流。如观测的时间段很长，包括了高峰期和非高峰期，或观测断面的地点在信号交叉口的下游，到达的车流具有很大波动性。4、判断条件：，有M1时（明显大于1），可采用负二项分布。，（取正整数）(k)(k-1)k+n-1P =(1-P)Pk(1)nPMP

6、2(1)nPDP2mPs22mnsm四、离散型分布的拟合优度检验四、离散型分布的拟合优度检验-2 2检验检验 1、建立原假设2、计算统计量2：式中：N为样本计数间隔总数（不是总车辆数）；g为分组（段）数；fi 为实际观测值出现在第i组的频数；Fi 为理论上观测数值出现在第i组的频数。且有：fi=N，Fi=N 3、确定统计量的临界值2a 2a值与置信水平和自由度DF有关，通常取0.05。DF=g-q-1，式中，q为约束数，指原假设中需确定的未知数的个数，对泊松分布q=1（只有m需确定），对二项分布和负二项分布q=2（需确定P、n两个参数）。22ggii2ii=1i=1iif-Ff=()-NFF

7、4、判断统计检验结果 若：22a，原假设被接受（成立）22a，原假设不成立。进行2检验的注意事项：总频数N应较大，即样本容量N应较大；分组应连续，分组数g不小于5；各组内的理论频数Fi不小于5，若某组内的Fi 5，则应将相邻若干组合并，直至合并后的Fi5为止，但此时应以合并后的实有组数作为计算2自由度的g值。【检验举例】对某一路段的一个方向车流，以30s的计数间隔对其车辆到达数进行连续观测，得到232个观测值。试求其统计分布，并检验之。解：S2/m=1.285 说明可用泊松分布或负二项分布拟合是合适的。若用泊松分布拟合，其参数m=5.254 若用负二项分布拟合，其参数 =0.78，=18.4

8、gi ii=1K fm=5.254N2g2iii=11S=(K-m)f=6.753N-12mPs22mnsm 用2检验法判别这两种分布的优劣：泊松分布：把理论频数Fi 小于5的到达数合并后，并成10组，则：由DF=g-q-1=10-1-1=8，取0.05，查表得：20.05=15.512 说明泊松分布拟合是不可接受的。负二项分布：把理论频数Fi 小于5的到达数合并后，并成11组，则：由DF=g-q-1=11-2-1=8，取0.05，查表得：20.05=15.512 说明负二项分布拟合是可以接受的。2222g2ii=1if172014=-N=+23220.04F7.616.79.82222217

9、2086=+2327.2212.120.76.47.5 第二节第二节 连续型概率统计模型连续型概率统计模型 连续型概率统计模型描述车辆达到时间间隔的分布规律。一、负指数分布一、负指数分布1、基本公式对泊松分布有：P(k)=e-mT时间内没有车辆到达的概率为：P(0)=e-m=e-t 说明车头时距h大于t的概率即为：P(ht)=e-t。此式即为负指数分布的基本公式。对P(ht)进行求导，可得到负指数分布的概率密度函数：P(t)=e-t 以上公式中的可由样本的均值m（平均车头时距）求得：=，此时车头时距的方差D=。!kmk1m212、适用条件适用于车辆到达是随机的。交通密度较小，有充分超车机会的单

10、列车流。一般认为交通量小于500辆/h车道的车流服从负指数分布。3、负指数分布的局限性 由P(t)=e-t 可知，P(t)是随t单调递减的，即越小的车头时距发生的概率越大。这与实际情况不符，因为车辆间总会有一个最小的车头时距，因此，当t时的P(t)是不正确的，为了消除这一影响，提出了移位负指数分布。4、次要道路车辆穿越主要道路车辆数的计算 设：a为次要道路车辆穿越主要道路车流需要的最小车头时距（s）；a0为次要道路车辆连续穿越主要道路车流时的最小（饱和）车头时距（s）；为主要道路车辆的平均到达率（辆/s）；主要道路车辆到达的车头时距服从负指数分布。当次要道路上有足够多车辆等待时：穿过一辆需要的

11、最小车头时距为a（a1），二辆：a+a0（a2），三辆：a+2a0（a3），则，主要道路车流中车头时距大于a1的数目：N1=P(ha1)=e-a1 主要道路车流中车头时距大于a2的数目：N2=e-a2 则，主要道路车流中允许一辆车穿过的车头间隔数目为：N1-N2 主要道路车流中允许二辆车穿过的车头间隔数目为：N2-N3 主要道路车流中允许三辆车穿过的车头间隔数目为：N3-N4 到达率为的车流允许穿越的车辆数总和为：Q次=1（N1-N2）+2（N2-N3）+3（N3-N4）+=N1+N2+N3+N4+=e-a1+e-a2+e-a3+=e-a+e-(a+a0)+e-(a+2a0)+(辆/s)当主要

12、道路上每次出现可穿越空挡时，只有一辆车等待时：Q次=e-a（辆/s）当每次出现可穿越空挡时，有n辆车等待时：（辆/s）01aaeeQ次001)1(anaaeeeQ次二、移位负指数分布二、移位负指数分布 1、基本公式 为克服负指数分布车头时距接近零时概率过大的缺点，可将负指数分布的原点向左移动一个最小车头时距，一般情况下=1.01.5s，从而得到移位负指数分布：P(ht)=e-（t-）t 其概率密度函数为：e-（t-）t P(t)=0 t 移位负指数分布的均值M=+，方差D=用样本的均值（平均车头时距）m和方差S2代替M、D，即可求得和。1212、适用条件用于描述不能超车的单列车流和车流量低的车

13、流的车头时距分布。3、移位负指数分布的局限性 由移位负指数分布的概率密度函数知，越接近 的车头时距出现的概率越大，是为保证行车安全的最小车头时距，而实际行车时，大部分司机所保持的车头时距并不是一个最小值，即要比 大一些，只有个别司机才会用 甚至是比 短的车头时距，因此车头时距的概率密度函数曲线一般是先升后降的。为克服这一局限性，可采用爱尔朗分布、韦布尔分布、对数分布、复合指数分布、皮尔逊型分布等。4、可穿越车辆数的计算 有足够车辆排队：Q次=(辆/s)仅有一辆车排队时：Q次=e-（a-）（辆/s）有n辆车排队：Q次=（辆/s）0()1ataee00()(1)1naa taeee三、韦布尔分布三

14、、韦布尔分布 1、基本公式：P(ht)=exp-，t 式中：、是分布参数，取正值，且有 。显然负指数分布和移位负指数分布是韦布尔分布的特例，当=0，=1，0时，为负指数分布；当=1，0，0时，为移位负指数分布。其概率密度函数为：t()1(t)1P=()tte 2、适用条件 适用范围广泛，当负指数分布、移位负指数分布不能拟合实测的车头时距时，可选用该分布。另外，速度的分布也可用韦布尔分布来描述。3、参数确定 计算所观测车头时距t的样本均值m和方差S2，并计算样本分布的偏倚系数Cs：由Cs查韦布尔分布拟合用表，得1/、B()、A()，可计算出；由=m+SA()，=-SB()得出、的估计值，即可建立

15、韦布尔分布。313313)3()()3()(SnfmtSnmtCgiiiniis四、爱尔朗分布四、爱尔朗分布 基本公式：式中：l是分布参数（正整数）。其概率密度函数为：P(t)=e-t ，l=1、2、3 -1i=0P(ht!)=)(ltlielti1()(1)!ltllll爱尔朗概率密度分布曲线（为固定值时）若l=1，则表示为负指数分布，若l，表示车流均匀到达，车头时距相同，此时说明车辆间相互制约程度增大，已处于饱和的边缘。因此，l的取值大小可以反映从畅行车流到拥挤车流的各种车流运行状态。参数l由观测数据的均值m和方差S2估计：l=（四舍五入取正整数）五、连续型分布的拟合优度检验五、连续型分布

16、的拟合优度检验 可用2检验法和描点检验法。22ms第三节第三节 排队论模型排队论模型 一、基本概念一、基本概念1、排队与排队系统“排队”：指正在等待服务的车辆或人，不包括正在被服务的。“排队系统”：既包括等待服务的车或人，也包括正在被服务的。2、排队系统的三个组成部分输入过程：指车辆或人是按怎样的规律到达。如：定长输入(D)、泊松分布(M)、爱尔朗分布(Ek)等（是常用的）。排队规则：指到达的车辆按什么样的次序接受服务。（采用何种排队方式）有：损失制、等待制、混合制。服务方式（输出过程）：指有多少个服务台服务，为每个顾客服务的时间多长及具有怎样的分布规律。服务时间分布常用：定长分布(D)、负指

17、数分布(M)、爱尔朗分布(Ek)等。对排队系统的约定：M/D/N，其中，M表示输入、D表示服务（输出）、N表示服务台个数 3、排队系统的表达参数 等待（排队）时间：从到达起至接受服务时止的这段时间。有系统消耗时间的概念。忙期：服务台连续繁忙的时间长度，关系到服务台的工作强度。常用系统中无车辆或人的概率表达。队长：排队车辆数或系统中车辆数。二、二、M/M/1M/M/1系统系统 （单通道服务系统）设车辆的平均到达率为，平均服务率为，则1/为平均车头时距，1/为平均服务时间。令：=/称为服务强度、交通强度或利用系数 排队车辆能够消散的条件是：1，1、系统中没有顾客的概率：2、系统中有n个顾客的概率：

18、3、系统中的平均顾客数：4、系统中顾客数的方差：5、平均排队长度（平均排队车辆数）：6、非零平均排队长度：7、排队系统中的平均消耗时间：8、排队中的平均等待时间：(0)P1()(1)nP n1n2(1)21qnn11wq1nd1()wd 三、三、M/M/NM/M/N系统系统 根据排队方式可分为两种情况：单路排队多通道服务 多路排队多通道服务 第二种情况相当于N个M/M/1系统 对第一种情况，定义：车辆的平均到达率为，每个服务台的平均服务率为，并仍计算=，则系统稳定的条件应为：/N1，或N。1、系统中没有顾客的概率：2、系统中有k个顾客的概率：3、系统中的平均顾客数：4、平均排队长度：5、系统中

19、的平均消耗时间：6、排队中的平均等待时间：(0)101!(1/)kNNkPkNN(0)()(0)()!()!kkkKNPKNkPPKNNN1(0)2!(1/)NPnN NNqn1qndqw【例】【例】有一个收费站有4个收费口，车辆以2400辆/h的流量到达，服从泊松分布，平均每辆车收费需要5s，服从负指数分布。试分别按多路多通道系统和单路多通道系统计算相应指标，并进行比较。解：4个M/M/1系统对每个收费口：=1/6(辆/s)=1/5(辆/s)=5/6 1 (稳定)=5辆 =4.17辆 =30s/辆 =25s/辆对整个收费站：=54=20辆 =4.174=16.68辆 =30s/辆 =25s/

20、辆 单路排队M/M/4系统 =2/3(辆/s)=1/5(辆/s)=10/3 /N=5/61 (稳定)P(0)=0.0213 =6.6辆 =3.3辆 =10s/辆 =5s/辆 比较可知，单路的M/M/4系统明显优于多路多通道系统，这是因为前者较后者要灵活的多，后者受一一对应的限制，各服务台之间不能调剂使用，没有充分发挥各服务台的服务能力。nqdwnqdwnqdw四、简化的排队延误分析四、简化的排队延误分析【例】【例】一铁道路口，火车通过时关闭时间tr=0.1h，车辆以均一的到达率=900辆/h到达，开启后排队车辆以均一的流率=1200辆/h离去，试求：单个车辆的最长延误时间tm；最大排队车辆数Q

21、；排队疏散时间t0；排队持续时间tj；受阻车辆总数n；平均排队车数 ；单个车辆的平均延误 ；车辆总延误D。解：tm=0.1h Q=tr=90辆 t0=0.3h tj=t0+tr=0.4h n=t0=tj=360辆 =45辆 =0.05h D=n =18hQdQQ2Qd2mtd图解法：tt第四节第四节 跟驶模型跟驶模型 一、车辆跟驶特性一、车辆跟驶特性 1、制约性 在后车有“紧随要求”的前提下，前车车速制约着后车车速和两车间距，后车运动状态随前车运动状态的改变而改变。“紧随要求”、“车速条件”、“间距要求”构成了跟驶行驶的制约性。2、传递性 车流中某一车辆运行状态的改变，会一辆接一辆的向后连续影

22、响，即这种影响具有传递性。3、延迟性（滞后性）前、后车运行状态的改变不是同步的，后车总是在前车运行状态改变后，过一段时间（反应时间）才能作出相应的动作。二、线性跟驰模型二、线性跟驰模型 n+1nt时刻：Xn+1(t)Xn(t)S(t)d3d1d2Ln+1n+1n在t时刻第n辆车开始减速假设d2=d3，使两车不发生追尾事故的两车间距应有：LTtXTLtXTLdtSnn)()()(111而：S(t)=Xn(t)-Xn+1(t)，代入上式，并对等号两边进行求导，得：)()()(11TtXTtXtXnnn)()(1)(11tXtXTTtXnnn 后车的加 敏感度 t时刻的速度差（刺激）（减）速度即：反

23、应=敏感度刺激考虑到d2 d3 等其他情况，将上式改为：)()()(11tXtXTtXnnn 称为反应灵敏度系数。即跟驶车的加速度与前后车的相对速度呈线性关系，故称为线性跟驰模型。三、线性跟驰模型的稳定性三、线性跟驰模型的稳定性 非自由行驶的车队，在受到刺激后会向后传递运动状态。但当刺激很小时，这种传递很快就会消失；当刺激很大时，这种传递会有扩大化的趋势，甚至会造成追尾，以至打破了车辆的正常运行。只有当刺激是某一数值时，这种状态变化才能稳定地传递下去。定义：C=T，称为反映车头间距变化的特征参数。（认为车头间距的变化与反应时间和反应强度大小有关）研究表明，当C=1/2时，车头间距是摆动的，但其

24、变化也是衰减的，车队是稳定的。当C1/2时，车头间距是摆动的，而且向后的传递是增大变动幅度的，最终将导致发生追尾事故。因此，C=1/2是车队稳定与不稳定的判断界限。四、非线性跟驰模型四、非线性跟驰模型 线性跟驰模型中反应仅与前后车的速度差有关。实际上，在相同速度差的情况下，车头间距的大小也直接影响反应的大小，而且车头间距越小，反应越强烈。因此，有人提出了非线性跟驰模型：n+1(t+T)=n(t)-n+1(t)式中：是一比例常数，而且认为：=Vm=Vf X1()()nnXtXtXX12五、跟驰模型的一般公式五、跟驰模型的一般公式 还有人认为：后车的反应除跟前后车的速度差、车头间距有关外，还与后车

25、速度有关。因此提出了跟驰模型的一般公式：11111()()()()()()mnnnnnnXtTXtTXtXtXtXt 跟驰模型是用于分析车辆跟驰驶的运动状态的，而实际上，对于通常状态的车流，也可看成是跟驰状态的一个特例。由上式也可以推出其车速-密度关系曲线。如：取m=1，l=2，则：11121()()()()()()nnnnnnXtTXtTXtXtXtXt忽略反应时间T，对其进行积分，并两边取ln，得：C)t(X)t(X)t(Xln1nn1n假定车辆以相同速度行驶，且车头时距相同，则有：lnV=-K+CV)t(X1nK1)t(X)t(X1nn当K=0时，V=Vf；K=Km时，V=Vm可推出：（

26、指数模型）同样：当取m=0，l=2时，可推出：（线性模型）当m=0，l=1时，可推出：（对数模型）1mKKfeVVln21)KK1(VVjfjmKV=V ln()K第五节第五节 流体模拟理论流体模拟理论 将交通流比拟为液体流，把车流密度的疏密变化比拟成水波的起伏而抽象为车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播。又称为车流波动理论。流体力学模拟理论是一种宏观的模型，它假定在车流中各单个车辆行驶状态与前面的车辆完全一样，这与实际是不相符的。但在分析瓶颈路段的车辆拥挤问题时还是很有用。一、车流连续性方程一、车流连续性方程对某一拥挤车流：qq+?qkk-?k?I

27、断面：流量q，密度kII断面：流量q+q，密度：k-k k取负值表示在拥挤状态，流量增大时密度减小。由：流入量-流出量=路段内数量上的变化即：q-(q+q)t=k-(k-k)x -qt=kx0tkxq0dtdkdxdq即 车流的这一连续性方程与流体的连续性方程在形式上相同，因此，车流可比拟为流体。流体的连续性方程：或()0dMd MVdtdx0dMdqdtdx二、车流中的波二、车流中的波（车流波动理论）在瓶颈路段，由于到达的车数大于可离去的车数，因此在瓶颈前的路段将出现堵塞，而这种堵塞随时间的推移向后延续，即产生一个与行驶方向相反的波。1 1、基本方程、基本方程（交通波传播速度模型）在瓶颈处车

28、辆的运行轨迹如图所示：图中虚线与运行轨迹的交点是运行状态发生变化的位置，虚线则表示运行状态的变化向后传递，其斜率即为波速。设A点所在时刻为t，位置为x，则波速Vw为：1111wVtlttVltxV因 l2-l1=t(V2-V1)2121l-lt=V-V12211212w2112VV-l V-l VllV=11l-l-ll111K=l221K=l12w12Q-QV=K-K 若车速与密度采用线性关系，并定义：=K/Kj 称为标准化密度，则有：V=Vf(1-)=Vf(1-)对V1有：对V2有：V2=Vf(1-)=Vf(1-2)则：jKK)1(V)KK1(VV1fj1f12jKK11221f12f2w

29、f121212K V-K VK V(1-)-K V(1-)V=V 1-(+)K-KK-K2 2、小紊流的波速、小紊流的波速（交通密度大致相等的情况）1=2=0 0 为密度的很小变化 则：1+2=20 2 Vw=Vf1-2 3 3、停车产生的波、停车产生的波 在停车线后，车辆因红灯或其他原因出现停车，则车流呈现出饱和的标准化密度，2=1，则：Vw=-Vf1=-(VfV1)（因V1=Vf(1-1)）说明由于停车产生的波，以Vf1 的速度向后传播。若红灯时间为t，则有Vf1t队长的汽车停在停车线后。4 4、发车产生的波、发车产生的波 此时1=1，则发车产生的波的波速为：Vw=-Vf2=-(VfV2)【应用举例应用举例】见教材P107例题