82-消元-二元一次方程组的解法[2]课件.ppt

1、8.2-消元消元二元一次方二元一次方程组的解法程组的解法22021/2/42主要步骤：主要步骤：基本思路基本思路:4 4、写解、写解 3 3、求解、求解2 2、代入、代入把变形后的方程代入到另一个方程中，把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个消去一个元元分别求出分别求出两个两个未知数的值未知数的值写出写出方程组方程组的解的解1 1、变形、变形用含有用含有一个未知数一个未知数的代数式的代数式表 示表 示 另 一 个 未 知 数另 一 个 未 知 数,写 成写 成y=ax+by=ax+b或或x=ay+bx=ay+b消元消元:二元二元1 1、解二元一次方程组的基本思路是什么？、解二元一次方程组的

2、基本思路是什么？2 2、用代入法解方程的步骤是什么？、用代入法解方程的步骤是什么？一元一元复习：复习：2021/2/43 篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜一篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜一场得场得2分，负一场得分，负一场得1分，某队为了争取较好的名分，某队为了争取较好的名次，想在全部的次，想在全部的10场比赛中得到场比赛中得到16分，那么这个分，那么这个队胜负应该分别是多少？队胜负应该分别是多少？2021/2/44x+y=102x+y=16这两个方程中未知数这两个方程中未知数y的系数相同的系数相同,-可消去未知数可消去未知数y得得把把x=6代入代入,得得 y=4.-也能消去也能消去未

3、知数未知数y,求得求得x吗吗?像这样像这样,通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就可以消去一个未知数可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程得到一个一元一次方程,这种方法叫做这种方法叫做加减消元法加减消元法,简称简称加减法加减法.x=6（-等式性质）2021/2/45联系上面的方法联系上面的方法,想一想应怎样解方程组想一想应怎样解方程组4x+10y=3.615x-10y=8解解:+,得得 19x=11.6 x=5 58 89 95 5二元一次方程组二元一次方程组4x+10y=3.615x-10y=8一元一次方程一元一次方程 19x=11.6x=5

4、58 89 95 5y=-9 99 95 5把把x=5 58 89 95 5代入代入,得得y=-9 99 95 5 这个方程组的解为这个方程组的解为x=5 58 89 95 5y=-9 99 95 5+同减异加同减异加2021/2/46归纳归纳:我们发现我们发现,如果二元一次方程组的两个方程中如果二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数相同或互为相反数某个未知数的系数相同或互为相反数,就可以直接用就可以直接用加减法显得非常简便加减法显得非常简便.例例1.用加减法解下列方程组用加减法解下列方程组:(1)4x+y=24x-3y=-6解解:(1)-,得得 4y=8 y=2把把y=2代入方程代入方程

5、,得得 x=03x +7y =27 4x -7y =13(2)解：解：+，得，得 7x =14把把 x =2 代入，得代入，得 3 2+7y =27y=3所以原方程组的解是所以原方程组的解是x =2y =3所以原方程组的解是所以原方程组的解是x =0y =22021/2/47(1)2-,得得 4x=5 x=1.25把把x=1.25代入代入,得得 y=-2.3753x+2y=-12x+4y=-7(1)所以,原方程组的解为x =1.25y =-2.375 例2:(3)7x+3y=362x+9y=51 系数的绝对值成倍数关系：归纳：当两个方程中某个未知数的归纳：当两个方程中某个未知数的系数成倍数关系

6、时系数成倍数关系时,我们也可以用加我们也可以用加减法减法,只不过在加或减之前只不过在加或减之前,可先将一可先将一个方程变形成与另一个方程中相同个方程变形成与另一个方程中相同未知数的系数相同未知数的系数相同,这样就可以达到这样就可以达到消元的目的消元的目的.2021/2/48看一看下面这个例子看一看下面这个例子,我们又该如何解决呢我们又该如何解决呢?3x+4y=165x-6y=33能用加减法做吗能用加减法做吗?怎么做呢怎么做呢?试试看试试看!解：解：3 3，得：，得：9x+12y=48 9x+12y=48 2 2，得：，得：10 x-12y=66 10 x-12y=66 十，得：十，得：19x=

7、1119x=11 x=6把x=6代入得得 3x6+4y=16 y=-1/2所以原方程组的解为 x=6 y=-1/2例例3:2021/2/49例例4:用加减法解方程组用加减法解方程组4x5y=23 5x2y=4 解：解：2，得，得 8x10y=46 5，得，得 25x10y=20 ，得，得 33x=66 x=2把把x=2代入，得代入，得 522y=4，y=3所以这个方程组的解是所以这个方程组的解是x=2y=3153242yxyx（1）(2)2021/2/410加减法归纳：加减法归纳：用加减法解同一个未知数的系数绝用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一对值不相等，且不成整数

8、倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解化为第一类型方程组求解2021/2/411解：原方程组变形为解：原方程组变形为，得：，得：2y=2 y=1把把y=1代入，得代入，得x=2例例5 用加减法解方程组用加减法解方程组2（2x+1）=155y3（y+1）=14-4x4x+5y=134x+3y=11x=2y=1所以原方程组的解是所以原方程组的解是2021/2/412解：由解：由6，得，得3x+2y=9 由由15，得

9、，得 5x-3y=15 例例6 用加减法解方程组用加减法解方程组1532321yxyx组成一个新的方程组：组成一个新的方程组：3x+2y=9 5x-3y=15 3，得，得 9x6y=27 2，得，得 10 x6y=30，得，得 19x=57 x=3把把x=3代入，得代入，得332y=9 y=0 所以原方程组的解是所以原方程组的解是x=3y=02021/2/413对于对于较复杂的二元一次方程组较复杂的二元一次方程组，应先化简应先化简(去分母去分母,去括号去括号,合并同类项等合并同类项等)，通常要，通常要把每个方程整理成把每个方程整理成含未知数的项在方程的含未知数的项在方程的左边左边，常数项在方程

10、的右边常数项在方程的右边的形式，再作的形式，再作加减消元的考虑。加减消元的考虑。复杂方程先化简复杂方程先化简2021/2/414基本思路基本思路:主要步骤：主要步骤：加减消元加减消元:二元二元一元一元加减消元法解方程组基本思路是什么？加减消元法解方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？主要步骤有哪些？处理系数处理系数同一个未知数的系同一个未知数的系数变成相同或相反的数数变成相同或相反的数代入代入求值求值2写解写解写出方程组的解写出方程组的解加加/减减求值求值12021/2/415127xy27x 解：原方程组可化为：2x+3y=4 2x-y=8 由-得:y=-1所以原方程组的解是把y=-1代入，

11、解得:24121231yxyx方法方法1：由 得:y=2x-8把代入，得:2x+3(2x-8)=4x=7/2 把x=7/2代入得得y=-1方法方法2：2021/2/416主要步骤：主要步骤：基本思路：基本思路：写解写解求解求解加减加减消去一个元消去一个元求出两个未知数的值求出两个未知数的值写出方程组的解写出方程组的解变形变形同一个未知数的系数同一个未知数的系数相同或互为相反数相同或互为相反数 每个二元一次方程组均可采用代入法和加减法求解，但在解题中每个二元一次方程组均可采用代入法和加减法求解，但在解题中要根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法，使计算过程更简便。要根据方程组的特点灵活选用最恰当的

12、方法，使计算过程更简便。当化简后的方程组存在一个方程的某个未知数系数的绝对值是当化简后的方程组存在一个方程的某个未知数系数的绝对值是1或或有一个方程的常数项是有一个方程的常数项是0时，用代入法；当两个方程中某个未知数时，用代入法；当两个方程中某个未知数的绝对值相等或整数倍时，用加减法。的绝对值相等或整数倍时，用加减法。2021/2/417例例 7：2台大收割机和台大收割机和5台小收割机工作台小收割机工作2小时收小时收割小麦割小麦3.6公顷，公顷，3台大收割机和台大收割机和2台小收割机工台小收割机工作作5小时收割小麦小时收割小麦8公顷，公顷，1台大收割机和台大收割机和1台小台小收割机收割机1小时

13、各收割小麦多少公顷？小时各收割小麦多少公顷？解：设解：设1台大收割机和台大收割机和1台小收割机台小收割机1小时各收割小麦小时各收割小麦x公顷和公顷和y公顷公顷8)23(56.3)52(2yxyx化简，得：化简，得：810156.3104yxyx，得：，得：11x=4.4，解得解得 x=0.4把把x=0.4代入中，得：代入中，得：y=0.2所以原方程组的解是所以原方程组的解是2.04.0yx答：答：1台大收割机和台大收割机和1台小收割机台小收割机1小时各收割小麦小时各收割小麦0.4公顷和公顷和0.2公顷。公顷。2021/2/418 例例8：两个完全相同的纸杯中盛有相同重量两个完全相同的纸杯中盛有

14、相同重量的水，现将第一个纸杯中的若干重量的水倒入的水，现将第一个纸杯中的若干重量的水倒入第二个纸杯中，称得第一个纸杯重第二个纸杯中，称得第一个纸杯重50克，第二克，第二个纸杯重个纸杯重90克（纸杯本身的重量忽略不计），克（纸杯本身的重量忽略不计），问原来纸杯中各盛有多少克水？从第一个纸杯问原来纸杯中各盛有多少克水？从第一个纸杯中倒了多少克水到第二个纸杯中？中倒了多少克水到第二个纸杯中？解：设原来纸杯中盛有解：设原来纸杯中盛有x克水，从第一个克水，从第一个纸杯中倒入第二个纸杯中的水为纸杯中倒入第二个纸杯中的水为y克，根据题克，根据题意，得意，得xy=50 xy=90 2021/2/419 得：（

15、得：（xy）（）（xy）5090，则有则有 2x5090 所以所以 x=70或者：或者：得得：（：（x+y）（xy）9050，则有则有 2y40 所以所以 y=20 xy=50 xy=90 上述方程的另一种解法是：上述方程的另一种解法是：2021/2/420例例9 已知方程组已知方程组与方程组与方程组的解相同，求的解相同，求a，b的值的值ax-by=4ax+by=24x+3y=114x-5y=3解方程组解方程组得得解：解：4x+3y=114x-5y=3把把x=2，y=1代入代入 得，得，ax-by=4ax+by=2x=2y=12ab=42ab=2解得解得a=1.5b=12021/2/421例例

16、10 解关于解关于x，y的方程组的方程组4x+3ky+1=0 6y-4x=1 解解：+得（得（3k+6）y=0即（即（2+k）y=0（1）当）当k2时，时，y=0（2）当）当k=-2时，则时，则k+2=0，（，（2+k）y=0恒成立恒成立 原方程组有无数组解原方程组有无数组解把把y=0代入，得代入，得 -4x=114x y=014x 2021/2/422 例例11 已知已知4|5x3y23|5（x4y8）2 =0，求，求xy的值的值解：由题知，解：由题知，5x+3y-23=0 x+4y8=0 解这个方程组，得解这个方程组，得x=4y=1所以所以 xy=41=32021/2/423 例例12 已

17、知已知4x3a+b3+3y2a-b=2，是关于，是关于x、y的二元一次方程，试求的二元一次方程，试求a、b的值的值解：根据题意：得解：根据题意：得3a+b3=12a-b=1解，得解，得a=1b=12021/2/424解：由已知得解：由已知得3x-2y-8z=0 2x+y-10z=0 例例13 已知：已知：3x-2y-8z=0，2x+y-10z=0，且，且x，y，z均不为零，求均不为零，求 的值的值2222x+3y-4zxy+xz+yz解得解得x=4zy=2z2021/2/425把把x=4z，y=2z代入所求代数式，解得代入所求代数式，解得2222x+3y-4zxy+xz+yz207222222

18、222222 4z+3(2z)-4z=(4z)(2z)+(4z)z+(2z)z32z+12z-4z=8z+4z+2z40z=14z（）2021/2/426 例例13 当当x=2与与x=3时，代数式时，代数式2x2+axb的值都是的值都是9，求，求a，b 的值的值解：把解：把x=2，x=3代入代入2x2+ax-b，得，得82ab=9183ab=9即即2ab=13ab=9解，得解，得a=2b=32021/2/427 例例14 a 为何值时，方程组为何值时，方程组 的解互为相反数，并求它的值的解互为相反数，并求它的值2x-7y=9a3x+4y=a-6 解：若方程组的解互为相反数，则有解：若方程组的解

19、互为相反数，则有y=-x，将将y=-x代入原方程组，得代入原方程组，得2x+7x=9a3x-4x=a-6解，得解，得x=3a=3 当当a=3时，原方程组中的解互为相反数，时，原方程组中的解互为相反数，即即x=3y=-32021/2/428 例例15 m，n 为何值时，为何值时，5x4m-ny3m+2n与与3x5y6m是同类项是同类项解：根据同类项的定义，有解：根据同类项的定义，有4m-n=53m+2n=6m解，得解，得m=2n=32021/2/429 对于用代入法解未知数系数的绝对值不是对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时应选择未知数的系的二元一次方程组，解题时应选择

20、未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样运数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样运算简便算简便 用加减法解二元一次方程组的思想：用加减法解二元一次方程组的思想：“二二元元”消元转化为消元转化为“一元一元”条件：某一未知数条件：某一未知数系数绝对值相等系数绝对值相等2021/2/4302若（若（x-2y3）2+（2xy-3）2=0，则则x、y的的 值是值是x=_，y=_111二元一次方程组二元一次方程组 的解是的解是_4x-y=55x+2y=10 x=0y=53已知已知xy5（2x3y10）2=0，则，则 x=_，y=_ 142021/2/4314己知：己知：，则方程组，则方程组 的解是

21、的解是_ 21a-2+(b-2)=02ax-by=2x+y=5x=2，y=35已知（已知（3m+2n-16）2与与|3m-n-1|互为相反数，互为相反数，则则m+2n=_126若方程若方程（a2-9）x2+（2-4a）x+（a+4）y+3a5=0 是二元一次方程，则是二元一次方程，则a的值为的值为32021/2/4327已知已知5a3xb2x-y和和-9a8-yb7是同类项，则是同类项，则2xy=_6238若方程组若方程组 与与 方程组方程组 同解，则同解，则 m=_，n=_x+y=3 2x-y=-1mx-ny=-4nx+my=79下列方程组中，下列方程组中，x=_，y=_ 3x-y2x+y+

22、54x+5y-1=235422021/2/43310已知方程组已知方程组 ，且，且x+y=2，则则m2-2m+5的值是的值是_3x+y=m+14x-3y=2m-511当当m时，方程组时，方程组 有一组解有一组解 4x-3y=21x+my=283-412已知方程组已知方程组 ，且，且y=3x，则，则m=_4x-y-5m=05x-y-10=012021/2/434 13己知己知 ，则，则 的值是的值是_4x-3y+2z=0 x+4y-9z=02222222x+7y+20zx+5y+4z214 己知己知 ，则，则 的值是的值是 _ xyz=345x+y+z2x215.如果二元一次方程组如果二元一次方程组ax-by=1,3ax+2by=23的解是的解是x=5y=4.求求a-b的值的值.2021/2/4351 1、若方程组、若方程组 的解满足的解满足 2x-5y=-12x-5y=-1，则，则m m 为多少？为多少？2 2、若、若(3x+2y-5)(3x+2y-5)2 2+|5x+3y-8|=0+|5x+3y-8|=0 求求x x2 2+y-1+y-1的值。的值。x+y=8mx+y=8m x-y=2m x-y=2m 2021/2/436谢谢！