71空间解析几何基本知识课件.ppt

1、17.1 空间解析几何基本知识空间解析几何基本知识7.2 多元函数的概念、二元函数的极限与连续多元函数的概念、二元函数的极限与连续7.3 偏导数偏导数7.4 全微分及其应用全微分及其应用7.5 多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法7.6 多元函数的极值多元函数的极值7.7 多元函数最值及应用多元函数最值及应用7.8*最小二乘法最小二乘法第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学2 本章将在一元函数微分法的基础上本章将在一元函数微分法的基础上,来研究多元函数的微来研究多元函数的微分法分法.因为从一元函数到二元函数将会面临一些新问题因为从一元函数到二元函数将会面临一些新问题,而

2、而从二元函数到二元以上的多元函数从二元函数到二元以上的多元函数,可完全类推可完全类推.故本章主要研究二元函数的微分法及其应用故本章主要研究二元函数的微分法及其应用.要研究多元函要研究多元函数数,需首先介绍一些空间解析几何知识需首先介绍一些空间解析几何知识.现就必备知识作简单现就必备知识作简单介绍介绍.37.1 空间解析几何基本知识空间解析几何基本知识一一.空间直角坐标系空间直角坐标系三三.空间曲面与方程空间曲面与方程二二.空间两点间的距离空间两点间的距离四四.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程五五.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影4 要求大家了解空间解析几何的初步知识要求大家

3、了解空间解析几何的初步知识.下面仅简要地介绍下面仅简要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念有关解空间解析几何的一些基本概念.1.1.空间直角坐标系及空间中的点与坐标空间直角坐标系及空间中的点与坐标一一.空间直角坐标系空间直角坐标系、oxoyoz.oxyz 过空间中的一个定点过空间中的一个定点O,作三条相互垂直的直线作三条相互垂直的直线再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定的正方向的正方向,就构成一个空间直角坐标系就构成一个空间直角坐标系,并并oz.oxoy、记为记为5oxyz在空间直角坐标系在空间直角坐标系称为坐标原点称为坐标原点;称为称为x轴轴

4、(横轴横轴)、y轴轴(纵轴纵轴)及及z轴轴(竖轴竖轴),任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面,分别简称为分别简称为xy平面平面.yz平面及平面及 zx平坐标面平坐标面;且它们将空间分割成八个且它们将空间分割成八个部分部分,称每一个称每一个部分为一个卦限部分为一个卦限.其几何直观其几何直观,如下图如下图:中中,点点O并统称为坐标轴并统称为坐标轴.oxoyoz、及及分别分别O123123123xyz竖轴竖轴纵轴纵轴横轴横轴6xyz以后依次称为第以后依次称为第、卦限卦限.把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限.如图如图:在在x

5、y坐标平面的上部坐标平面的上部,依次称为第依次称为第、卦限卦限.在在xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第卦限卦限;7对于空间中的任意点对于空间中的任意点M，过点过点M作三个平面分别垂直于三条作三个平面分别垂直于三条依次为依次为x、y、z;这样空间的点这样空间的点zyOxPQRMxyz在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点与有序数在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点与有序数组组(x,y,z)之间的对应关系之间的对应关系.且与且与x轴、轴、y轴、轴、z轴的交点依次为轴的交点依次为P、Q、R.坐标轴坐标轴.(如图如图)P、Q、R三点在三个坐标

6、轴上的坐标三点在三个坐标轴上的坐标M就唯一确定了一个三元有序数组就唯一确定了一个三元有序数组(x,y,z).8y、z称为点称为点M的横坐标的横坐标、纵坐标及、纵坐标及找出坐标为找出坐标为x、y、z 的三点的三点P、Q、R.zyOxPQRMxz并把有序数组并把有序数组(x,y,z)称为点称为点M的空间直角坐标的空间直角坐标,并依次把并依次把 x、竖坐标竖坐标,记为记为M(x,y,z).反之反之,对于任给的三元有序数组对于任给的三元有序数组(x,y,z),可依次在可依次在 x 轴、轴、y轴、轴、z轴上分别轴上分别任一点任一点M和一个三元有序数组和一个三元有序数组(x,y,z)建立了建立了三个平面的

7、交点三个平面的交点M,就是以数组就是以数组(x,y,z)为坐标的点为坐标的点.这样空间这样空间然后过此三点作是三个平面分别垂直于然后过此三点作是三个平面分别垂直于 x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,这这一一一对应关系一对应关系.yOxPQRMxzyzyOxPQRMxzy9xyzyz面上点的坐标为面上点的坐标为(0,y,z)x轴上点的坐标为轴上点的坐标为(x,0,0)y轴上点的坐标为轴上点的坐标为(0,y,0)z轴上点的坐标为轴上点的坐标为(0,0,z)xy面上点的坐标为面上点的坐标为(x,y,0)xz面上点的坐标为面上点的坐标为(x,0,z)由以上规定知道由以上规定知道:坐标原点坐标原点O的坐标为的

8、坐标为(0,0,0)10二二.空间两点间的距离空间两点间的距离22212212121()()()dM Mxxyyzz 间的距离间的距离 d 为为1111(,)Mxy z 与与2222(,)Mxyz，给定空间两点给定空间两点可证明这两点可证明这两点这与平面解析几何中两点间的距离公式是一样的这与平面解析几何中两点间的距离公式是一样的.过过 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.12,M M12M M这六个平面围成一个以这六个平面围成一个以为对角线的长方体为对角线的长方体;(如下图如下图)11zyOx1x2x1y2y1M2M3Md1m3m221323m mM M222

9、121323M MM MM M则则向向xy面投影面投影,并设并设 点点12,M M13,.m m在在xy面的垂足各为面的垂足各为 12222132121m mxxyy而而222321M Mzz且且 12222212121 ()()()dMMxxyyzz 特别地特别地,空间任一点空间任一点M(x,y,z)222OMxyz例例 已知两点已知两点(1,0,2),(3,2,4)，求此两点间的距离，求此两点间的距离.2223 12042242 6()()()d zyOx1x2x1y2y1M2M3Md1m3m到原点到原点O的距离为的距离为:解解13例例1 在在坐标面坐标面上求一点上求一点，xyM使它的使它

10、的 x坐标为坐标为1 1，且与点且与点(1,2,2)(2,1,4)和点和点 的距离相等的距离相等.解解(1,0)y因为所求点在因为所求点在 xy坐标面坐标面上，所以设该点为上，所以设该点为 由题意，得由题意，得222222(11)(2)(02)(12)(1)(04)yy解得解得 5,y 于是所求点为于是所求点为(1,5,0).14 与平面解析几何相仿与平面解析几何相仿,空间解析几何空间解析几何三三.空间曲面与方程空间曲面与方程利用空间坐标法利用空间坐标法,把由点构成的几何把由点构成的几何图形和代数方程联系起来图形和代数方程联系起来.zyOxM(x,y,z)P(x,y)SD1 1.曲面的一般方程

11、曲面的一般方程由平面解析几何知识知，在平面直角坐标系中图形和代数由平面解析几何知识知，在平面直角坐标系中图形和代数方程之间有如下联系方程之间有如下联系.平面解析几何平面解析几何图形图形曲线曲线()(,)0yf xF x y或(二元二元)方程方程15对于空间中的曲面对于空间中的曲面,当建立空间直角坐标系当建立空间直角坐标系 Oxyz后后,如如果曲面果曲面上的任意点上的任意点(,)x y z的坐标的坐标 M与一个三元方程与一个三元方程有如下关系：有如下关系：(,)0(,)F x y zzf x y 或或则称方程则称方程(7.1.3)是曲面是曲面 的的一般方程一般方程,而曲面而曲面 是方程是方程(7

12、.1.3)的图形的图形.(如图如图7.1.5）(7.1.3)(1)曲面曲面 上的任意点上的任意点 的坐标都满足方程的坐标都满足方程(7.1.3);(2)不在曲面不在曲面 上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程(7.1.3);16 图图7.1.5171)平面平面例例2 一动点一动点M(x,y,z)与两定点与两定点 A(1,2,3)和和 B(2,1,4)MAMB 因因为为 222222(1)(2)(3)(2)(1)(4)xyzxyz 26270 xyz故故M(x,y,z)的轨迹方程的轨迹方程的距离相等的距离相等,求此动点求此动点M的轨迹方程的轨迹方程.(即即A、B两点连线的垂直平分面的两

13、点连线的垂直平分面的方程方程)为为26270 xyz 解解两端平方化简两端平方化简,得得2常见曲面常见曲面18注注 到两定点到两定点 A 和和 B 的距离相等的动点的距离相等的动点 M 的轨迹称为连接的轨迹称为连接这两定点的线段这两定点的线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.例例3的方程就是的方程就是线段线段 AB 的的垂直平分面垂直平分面的方程的方程.Ax+By+Cz+D=0 一般地一般地,x,y,z的三元一次方程的三元一次方程表示表示空间中的平面空间中的平面,其中其中A、B、C、D为为任意常数任意常数,且且A、B、C (7.1.4)不全为不全为0,这是空间平面这是空间平面 的一般方程。的一

14、般方程。下面讨论方程下面讨论方程(7.1.4)的一些特殊情形的一些特殊情形 19当当 0D 0,Ax By Cz 时时,方程方程(7.1.4)(7.1.4)为为 表示过原点的平面表示过原点的平面如图如图7.1.6.Oxzy图图7.1.6 zyx 图图7.1.7(a)zyox 图图7.1.7(b)轴的平面轴的平面,如图如图7.1.7(a)；当当 0AD 时时,方程方程(7.1.4)为为 当当 0A 时时,方程方程(7.1.4)(7.1.4)为为 0,By CzD 表示一个平行于表示一个平行于x 当当 0A 时时,方程方程(7.1.4)(7.1.4)为为 0By Cz ,表示一个通过表示一个通过

15、x 轴的平面轴的平面,如图如图7.1.7(b)；同样地同样地,20平行于平行于 yzxz坐标面坐标面,坐标面坐标面的平面的平面.zyox 图图7.1.8 0,Cz D z轴的平面轴的平面.当当 0A B 时时,方程方程(7.1.4)为为 即即方程方程 0Ax CzD 0Ax By D 和和 分别表示平行于分别表示平行于 y 轴、轴、xy表示表示一个在一个在 z 轴轴平行于平行于(0,0)dzcdc 坐标面坐标面的平面的平面,如图如图7.1.8;方程方程 0Ax D 0By D 和和 同样地同样地,分别表示分别表示210A BD 时时,方程方程(7.1.4)为为 0Z xy,表示表示坐标面坐标面

16、.当当 当当 0A CD 时时,方程方程(7.1.4)为为 0Y ,表示表示xz坐标面坐标面.当当 0B CD 时时,方程方程(7.1.4)为为 0X ,表示表示yz坐标面坐标面.平面平面0AxByCzD三元一次方程三元一次方程空间直角坐标系中空间直角坐标系中 通过上面的讨论表明通过上面的讨论表明,空间平面与三元一次方程之间具有空间平面与三元一次方程之间具有如下的一一对应关系如下的一一对应关系.重要结论重要结论:平面方程均为一次方程平面方程均为一次方程.22例例4 求过点求过点 1(,0,0)M a，2(0,0)Mb和和 2(0,0,)Mc的平面方程，的平面方程，其中其中 0.abc 解解 设

17、所求平面方程为设所求平面方程为0AxByCzD(,A B C不不全全零零）由于点由于点 123MMM、都在平面上，都在平面上，所以它们的坐标都所以它们的坐标都满足方程满足方程,从而有从而有0,0,0.AaDBbDCcD 23解得解得DAa ，DBb ，DCc 从而从而所求平面方程为所求平面方程为0DDDxyzDabc消去消去 D，得得 1xyzabc该方程该方程称为平面的截距式，称为平面的截距式，其中其中 a、c和和b分别称为平面在分别称为平面在 xy轴、轴、z轴和轴和 轴上轴上的截距。的截距。如图如图7.1.9：Ozyxabco 图图7.1.9 240MMR 222000()()()xxyy

18、zzR2222000()()()xxyyzzR2)常见二次曲面及方程常见二次曲面及方程(1)球面球面为球心为球心,半径为半径为R的球面的球面,可以看作是可以看作是0000(,)Mxyz以定点以定点(,)M x y z动点动点与球心与球心 0000(,)Mxyz的距离相等的点的轨迹的距离相等的点的轨迹,即即由距离公式由距离公式(7.1.1),得得即即 (7.1.6)25zyOxR2222xyzR特别地特别地,以原点为球心以原点为球心,R为半径的球面方程为为半径的球面方程为.是是此此球球面面的的下下半半部部222zRxy ;是是此此球球面面的的上上半半部部222zRxy其中 方程方程(7.1.6)

19、就是满足已知条件的球面方程就是满足已知条件的球面方程.该方程可以写成该方程可以写成下述形式下述形式2220 xyzAxByCzD26(2)母线平行于坐标轴的柱面母线平行于坐标轴的柱面定义定义7.1.1 在空间中在空间中,动直线动直线 L 沿着给定曲线沿着给定曲线 C 平行移动所生平行移动所生成的曲面成的曲面,称为柱面称为柱面.动直线动直线 L 称为柱面的母线称为柱面的母线,定曲线定曲线 C 称为柱面的准线称为柱面的准线.如图如图7.1.10.CL 图图7.1.10 xyzCLo M M 图图7.1.1127母线平行于坐标轴的柱面方程的求法：母线平行于坐标轴的柱面方程的求法：求以求以 xy 坐标

20、平面上的曲线坐标平面上的曲线(,)0:0F x yCz 为准线为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面方程轴的柱面方程.(如图如图7.1.11)设设(,)M x y z为所求柱面上任一点为所求柱面上任一点,过过 M 作作平行于平行于 z 轴的轴的xyzCLo M M 图图7.1.11M 直线交直线交 xy 坐标平面于点坐标平面于点(,0)Mx y,由柱面定义知由柱面定义知 必在准必在准线线C上上,从而从而 M 的坐标的坐标(,0)Mx y 满足满足曲线曲线 C 的方程的方程 (,)0:0F x yCz 28(,)x y z由于方程由于方程 (,)0F x y 不含不含 z,所以点所以点 M

21、的坐标的坐标 也满足也满足(,)0F x y 而不在柱面上的点作平行于而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与轴的直线与 xy 坐标平坐标平面的交点面的交点必不在准线必不在准线 C 上上,即是说不在柱面上的点的坐标必不即是说不在柱面上的点的坐标必不满足方程满足方程(,)0.F x y 综上所述综上所述,不含变量不含变量 z 的方程的方程(,)0F x y (7.1.7)在空间表示在空间表示以以 xy 坐标平面上的曲线为准线坐标平面上的曲线为准线,母线平行于母线平行于 z 轴轴的柱面的柱面.类似地类似地,不含变量不含变量 x 的方程的方程 (,)0F y z 29在空间表示以在空间表示以 yz

22、坐标平面上的曲线为准线坐标平面上的曲线为准线,母线平行于母线平行于 x 轴轴的柱面的柱面.上的曲线为准线上的曲线为准线,母线平行于母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面.而不含变量而不含变量 y 的方程的方程(,)0F x z 在空间表示以在空间表示以 xz 坐标平面坐标平面如如,方程方程 222xyR在空间表示在空间表示以以 xy 坐标平面上的圆为准线坐标平面上的圆为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面,称为圆柱面称为圆柱面,如图如图7.1.12.xyz 图图7.1.12 30方程方程 22(0)ypx p在空间表示在空间表示以以 xy 坐标平面上的抛物线为坐标平面上的抛物线为准线准线

23、,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面,称为抛物柱面称为抛物柱面,如图如图7.1.13.xzyo 图图7.1.132xyzo图图7.1.14 xyzo 图图7.1.15 方程方程 2214zx 在空间表示在空间表示以以 xz 坐标平面上的椭圆为准线坐标平面上的椭圆为准线,母母线平行于线平行于y 轴的柱面轴的柱面,称为椭圆柱面称为椭圆柱面,如图如图7.1.14.方程方程 22221xyab在空间表示在空间表示以以 xy 坐标平面上的双曲线为准线坐标平面上的双曲线为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的双曲柱面轴的双曲柱面,如图如图7.1.15.31(3)以坐标轴为旋转轴的旋转曲面以坐标轴为旋

24、转轴的旋转曲面定义定义7.1.2 平面曲线平面曲线 C 绕着该平面上的一条定直线绕着该平面上的一条定直线 L 旋转一旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面周所形成的曲面称为旋转曲面.定直线定直线L称为旋转轴称为旋转轴,平面曲线平面曲线C 称为母线称为母线,如图如图7.1.16.CL图图7.1.16求以求以 yz 坐标平面上的曲线坐标平面上的曲线C(为母线为母线)(,)0:0F y zCx 绕着绕着z 轴轴旋转一周所生成旋转曲面旋转一周所生成旋转曲面 的方程的方程.如图如图7.1.17.图图7.1.17设设(,)M x y z为旋转曲面为旋转曲面 上任一点上任一点,过点过点 M 作作CLxPzy0MM

25、o32平面垂直于平面垂直于z轴轴,交交z轴轴于点于点000(0,)Myz(0,0,)Pz,交曲线交曲线C于点于点 00PMPMzz，而点而点 M可由点可由点 M0绕绕 z 轴轴旋转得到旋转得到,所以有所以有(7.1.8)而由两点间的距离公式而由两点间的距离公式,有有2200PMxyPMy，则则 220yxy (7.1.9)由点由点 M0在曲线在曲线C上上,所以所以00(,)0F yz 33将将(7.1.8)、(7.1.9)代入代入上式上式,即得旋转曲面即得旋转曲面的方程的方程.22(,)0Fxyz一般地一般地,当坐标面上的当坐标面上的曲线曲线C 绕着该坐标面上的一条坐标轴旋绕着该坐标面上的一条

26、坐标轴旋转时转时,为了求出这个旋转曲面的方程为了求出这个旋转曲面的方程,只要将曲线只要将曲线 C 的方程中保的方程中保留和旋转轴同名的坐标留和旋转轴同名的坐标,而用其它两个坐标平方和的平方根来代而用其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标即可替方程中的另一坐标即可.如如,方程方程 2222xya z表示表示 yz 坐标平面上的坐标平面上的直线直线(0)yaz a绕绕z 轴轴旋转或旋转或 xz 坐标平面上的坐标平面上的直线直线(0)xaz a绕绕z 轴轴旋转旋转34xzyO而而 yz 坐标平面上的坐标平面上的抛物线抛物线 22(0)ypz p绕着绕着 z 轴轴旋转或者旋转或者xz 坐标平

27、面坐标平面上的抛物线上的抛物线 22(0)xpz p绕绕z 轴轴旋转而成的旋转曲面旋转而成的旋转曲面方程皆为方程皆为222xypz(7.1.10)称为旋转抛物面称为旋转抛物面,如图如图7.1.19.图图7.1.18 xzyO 图图7.1.19 所得的圆锥面所得的圆锥面,如图如图7.1.18,点点O称为圆锥的顶点称为圆锥的顶点.35三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.关于一般三元二次方程所表示的曲面形状关于一般三元二次方程所表示的曲面形状,很难用描点的方很难用描点的方法得到法得到,但是但是,我们可以观察用坐标面以及平行于坐标面的平我们可以观察用坐标面以及平行

28、于坐标面的平面去截割曲面面去截割曲面而得到的截痕曲线形状而得到的截痕曲线形状,去想象随着平面平行移去想象随着平面平行移动时曲面的大致形状动时曲面的大致形状,从而大概了解曲面的全貌从而大概了解曲面的全貌.这种方法称这种方法称为截割法为截割法(截痕法截痕法).例如例如,旋转抛物面旋转抛物面(7.1.10)的特征是的特征是:以平行于以平行于xy 坐标平面坐标平面的的(0)zh h去截曲面而得到的截痕曲线是圆去截曲面而得到的截痕曲线是圆,而而 xz 坐标面、坐标面、yz坐标面或坐标面或平面平面 36平行于平行于xz 坐标面、坐标面、yz坐标面的平面去坐标面的平面去截曲面而得到的截痕都是抛物线截曲面而得

29、到的截痕都是抛物线.如图如图7.1.19.2222221(,0)xyza b cabc例例4 用用截割法作截割法作椭球面椭球面(7.1.11)的图形的图形.xzyO 图图7.1.19 解解 等时等时,(7.1.11)表示旋转椭球面表示旋转椭球面.abc,a b c当当 时时,(7.1.11)表示球面；表示球面；当当 中有两个半轴相中有两个半轴相372222221,1,1xzyacb由方程由方程(7.1.11)可知可知,xa yb zc得得 ,表明椭球面上的所有点都在以平面表明椭球面上的所有点都在以平面,xa yb zc 为界限的长方体内为界限的长方体内.再来考察椭球面与坐标面以及平行于坐标面的

30、平面的截痕再来考察椭球面与坐标面以及平行于坐标面的平面的截痕.方程方程(7.1.11)中令中令 z=0,得到椭球面与得到椭球面与 xy 坐标平面坐标平面的截痕线的截痕线为椭圆为椭圆222210 xyabz 38同理同理,与与 yz、xz 的的坐标面坐标面的截痕线分别为的截痕线分别为 222210yzbcx ，222210 xzacy 用平行于用平行于xy 坐标面坐标面的平面的平面(0)zhhc与椭球面相截与椭球面相截,截截2222221xyzabczh 即即222222221(1)(1)xyhhabcczh 痕线为痕线为 39221hac 221hbc 这是以这是以 与与 为半轴的椭圆为半轴的

31、椭圆,且在与且在与xy 坐标平坐标平面面平行的平面平行的平面 z=h上上;当当 h=0时时,截痕线在截痕线在xy面上面上,且所截得的且所截得的椭圆最大椭圆最大.当当 h由零逐渐增大时由零逐渐增大时,两个半轴逐渐减小两个半轴逐渐减小,椭圆逐渐椭圆逐渐当当 h=c时时,(0,0,)c 椭圆收缩为两个点椭圆收缩为两个点 ;当当hc 时时,无无同理同理,用分别平行于用分别平行于xz、yz坐标面的坐标面的平面截椭球面平面截椭球面,也有同样的结果也有同样的结果.因此因此,椭球面的图形如图椭球面的图形如图7.1.21.zxoy 图图7.1.21收缩收缩;截痕截痕.40类似地类似地,可以利用截痕法讨论其他可以

32、利用截痕法讨论其他二次曲面二次曲面的图形的图形.双曲面双曲面(1)单叶双曲面单叶双曲面(,)a b c 为为正正数数zxy2222221xyzabc如图如图7.1.22.图图7.1.22 41(2)双叶双曲面双叶双曲面(,)a b c为为正正数数2222221xyzabc 如图如图7.1.23.zxyo图图7.1.23 42椭圆锥面椭圆锥面(,)a b为为正正数数zxyoxyz22222xyzab如图如图7.1.24图图7.1.24 43zyx(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q 同号同号)2222xyzpq如图如图7.1.26 图图7.1.26 抛物面抛物面(1)椭圆抛

33、物面椭圆抛物面2222xyzpq如图如图7.1.25(p,q 同号同号)zyx图图7.1.2544例例 考察下列的图形方程考察下列的图形方程:(1)2x z=0 (2)2x+y+2z=4 222(3)xyR2(5)4.x 22(4)zxyzOxy解解(1)由方程由方程 2x z=0 不含不含 y 知知:D=0.则曲面过原点则曲面过原点.且无论且无论 y 取何值取何值,都有都有 Y=a去截曲面去截曲面,其截痕都是直线其截痕都是直线2x z=0,即用平行于即用平行于 xz 面的任何平面面的任何平面20 xzya 故该方程的图形是经过故该方程的图形是经过 y 轴且与轴且与x z面的交线为面的交线为

34、2x z=0且过原点的平面且过原点的平面.45此即为平面的截距式方程此即为平面的截距式方程.1111242xyz它与它与x、y、z轴的交点分别为轴的交点分别为(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2).解解 由方程由方程 2x+y+2z=4有有(2)2x+y+2z=4 zyOx24246222(3)xyR半径为半径为R的圆的圆.222xyR在空间，因方程在空间，因方程222xyR222,xyRzc zyx且圆的大小与且圆的大小与c无关无关.o解解 在在xy面上，方程面上，方程表示以原点为圆心，表示以原点为圆心，用用平面平面z=c去截曲面，去截曲面，不含不含z，则，则 z 可可取取任意值任意

35、值,其截口线为圆其截口线为圆47zyxo用用平面平面 x=a去截曲面去截曲面,其截痕为直线其截痕为直线22yRaxa 4822xRayb zyxo用用平面平面 y=b去截曲面去截曲面,其截痕为直线其截痕为直线4922(4)zxy解解 用用平面平面z=c(c0)去截曲面去截曲面,其截痕为圆其截痕为圆22xyc当当c=0时时,只有原点只有原点(0,0,0)满足此方程；满足此方程；若用若用平面平面x=a或或y=b去截曲面去截曲面,其截痕为抛物线其截痕为抛物线.当当c0时时,其截痕为以其截痕为以(0,0,c)为圆心为圆心,以以显然显然 c 越大，其截痕圆越大越大，其截痕圆越大.zyOx为半径的圆为半径

36、的圆.c50解解 因方程缺因方程缺 y、z，2(5)4x 分别过点分别过点(2,0,0)或或(2,0,0)的两个平面的两个平面.则等价于方程的图形是平行于则等价于方程的图形是平行于 y z平面且平面且注注3 在空间解析几何中在空间解析几何中,若方程缺一个变量若方程缺一个变量,则其图形必平行于坐标面则其图形必平行于坐标面.则其图形必平行则其图形必平行于坐标轴于坐标轴;若方程缺两个变量若方程缺两个变量,所确定的曲面，称为所确定的曲面，称为2222221xyzabc注注4 方程方程椭球面椭球面(如图如图)zbxyOac51四四.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程若两个曲面的方程为若两个曲面的方程为

37、 1(,)0F x y z 和和 2(,)0,F x y z 12(,)0,(,)0F x y zF x y z 称此方程称此方程为空间曲线的一般方程为空间曲线的一般方程.例例5 下列方程组表示什么曲线？下列方程组表示什么曲线？则其交线则其交线的方程为的方程为 (7.1.12)52(1)22225,3;xyzz (2)22225,0.xyzz 解解 (1)因为因为 22225xyz是球心是球心在原点、半径为在原点、半径为5的球面的球面,3z 是平行于是平行于 xy坐标面的平面坐标面的平面,因而它们的交因而它们的交线是在平面线是在平面3z 上的圆上的圆 2216.xyyzx53z 如右图如右图

38、53(2)因为因为 22225xyz是与是与(1)相同的球面相同的球面,0z 是是 xy坐标面坐标面,因而它们的交线是在因而它们的交线是在 xy坐标面上的圆坐标面上的圆 2225xy 把把(2)写成同解方程组写成同解方程组2225,0,xyz 它表示母线平行于它表示母线平行于 z轴的圆柱面与轴的圆柱面与 xy坐标面的交线坐标面的交线.如右图如右图 yzx5x54五五.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设设 为已知空间曲线为已知空间曲线,则以则以 为准线为准线,平行于平行于 z轴的直线轴的直线为母线的柱面为母线的柱面,称为空间曲线称为空间曲线 xy关于关于 坐标面的投影柱面坐标面的

39、投影柱面.而投影柱面与投影柱面的交线而投影柱面与投影柱面的交线 C称为曲线称为曲线 在在 xy坐标面上的坐标面上的投影曲线投影曲线.类似地类似地,可以定义曲线可以定义曲线 关于关于 yzxz坐标面、坐标面、坐标坐标面的投影柱面及投影曲线面的投影柱面及投影曲线.在二重积分的计算中在二重积分的计算中,经常需要确定一个空间立体或空间曲经常需要确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影区域面在坐标面上的投影区域.55投影曲线方程的求法投影曲线方程的求法:设空间曲线设空间曲线 的方程为的方程为(,)0,1(,)0.2F x y zF x y z 消去消去 z,得得(,)0G x y 从而满足曲线从而满足

40、曲线 的方程一定满足方程的方程一定满足方程(,)0G x y ,而而(,)0G x y 是母线平行于是母线平行于 z轴的柱面方程轴的柱面方程,因此因此,柱面柱面(,)0G x y 就是曲线就是曲线 关于关于 xy坐标面的投影柱面坐标面的投影柱面.而而 56(,)0,0 G x yz 就是曲线就是曲线 在在 xy坐标面上的投影曲线的方程坐标面上的投影曲线的方程.22350 xyxy 例例6 求曲线求曲线:G22,350 zxyxy z 在在 xy坐标面上的投影曲线的方程坐标面上的投影曲线的方程.解解 z从曲线从曲线的方程中消去的方程中消去 G,得得 57即即223517()()222xy 它是曲线它是曲线 关于关于 xy坐标面上的投影柱面坐标面上的投影柱面 在在 xy坐标面上的投影曲线是圆坐标面上的投影曲线是圆.223517()(),2220.xyz 圆柱面的方程圆柱面的方程,