22解析函数与调和函数的关系详解课件.ppt

1、1第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 2.2 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系一、调和函数一、调和函数二、二、共轭共轭调和函数调和函数三、三、构造解析函数构造解析函数2第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 一、调和函数一、调和函数考察三维空间中某考察三维空间中某无旋无源无旋无源力场力场(或流速场或流速场)的势函数。的势函数。引例引例沿闭路做功为沿闭路做功为零零(即做功与路径无关即做功与路径无关)。又称为又称为保守场保守场或者或者梯度场梯度场或者或者有势场有势场。存在势函数存在势函数,),(zyx 使得使得.zR ,yQ ,xP .,zyxRQPF

2、即即(1)无旋场无旋场设该力场为设该力场为.),(,),(,),(zyxRzyxQzyxPF 3第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 考察三维空间中某考察三维空间中某无旋无源无旋无源力场力场(或流速场或流速场)的势函数。的势函数。一、调和函数一、调和函数引例引例设该力场为设该力场为.),(,),(,),(zyxRzyxQzyxPF (1)无旋场无旋场.,zyxRQPF (2)无源场无源场散度为零，散度为零，.0222222 zyx 无旋无源力场无旋无源力场的势函数的势函数 满足满足.02222 yx 特别地，对于平面力场特别地，对于平面力场.0 zRyQxP即即4第二章 解析函数

3、 2.2 解析函数与调和函数的关系 一、调和函数一、调和函数,02222 yx 则称则称 为区域为区域 D 内的内的调和函数调和函数。),(yx 若二元实函数若二元实函数 在区域在区域 D 内有内有连续二阶偏导数连续二阶偏导数，),(yx 定义定义且满足且满足拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程方程：注注 泊松泊松(Poission)方程方程.),(2222yxfyx P36定义定义 2.3 (算子算子与与 算子算子)5第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 .02222 yuxu,222xyvxu ,yvxu ,xvyu ,222yxvyu .02222 yvxv同理同理证明证

4、明 由由 解析，解析，),(),()(yxviyxuzf 有有 (?)(?)(?)证明证明 由由 解析，解析，,yvxu .02222 yuxu,222xyvxu ,xvyu ,222yxvyu 同理同理),(),()(yxviyxuzf 有有 (?)(?)(?).02222 yvxv P36定理定理 2.3 一、调和函数一、调和函数6第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 二、二、共轭共轭调和函数调和函数设函数设函数 及及 均为区域均为区域 D 内的调和函数，内的调和函数，),(yxu),(yxv定义定义函数函数 在区域在区域 D 内解析的充要内解析的充要),(),()(yxvi

5、yxuzf 定理定理条件是：条件是：在区域在区域 D 内，内，v 是是 u 的共轭调和函数的共轭调和函数。则称则称 v 是是 u 的的共轭调和函数共轭调和函数。注意注意 v 是是 u 的共轭调和函数的共轭调和函数 u 是是 v 的共轭调和函数的共轭调和函数。且满足且满足 C R 方程：方程：,yvxu ,xvyu P37定义定义 2.4 P37定理定理 2.4 7第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 三、三、构造解析函数构造解析函数问题问题 已知实部已知实部 u，求虚部，求虚部 v(或者或者已知虚部已知虚部 v，求实部，求实部 u)，使使 解析，且满足指定的条件。解析，且满足指定

6、的条件。),(),()(yxviyxuzf 注意注意 必须首先检验必须首先检验 u 或或 v 是否为调和函数是否为调和函数。方法方法 偏积分法偏积分法 全微分法全微分法构造解析函数构造解析函数 的依据：的依据：),(),()(yxviyxuzf 依据依据(1)u 和和 v 本身必须都是调和函数本身必须都是调和函数；(2)u 和和 v 之间必须满足之间必须满足 C R 方程方程。8第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 方法方法 偏积分法偏积分法三、三、构造解析函数构造解析函数(不妨仅考虑已知实部不妨仅考虑已知实部 u 的情形的情形)(1)由由 u 及及 C R 方程方程(2)将将(

7、A)式的两边对变量式的两边对变量 y 进行进行(偏偏)积分得：积分得：yxuyyvyxvdd),(其中，其中，已知，而已知，而 待定待定。),(yxv)(x(3)将将(C)式代入式代入(B)式，求解即可得到函数式，求解即可得到函数.)(x 得到得到待定函数待定函数 v的两个偏导数：的两个偏导数：,xuyv .yuxv (A)(B)cyxv ),(C),)(x 9第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 C方法方法三、三、构造解析函数构造解析函数 全微分法全微分法(不妨仅考虑已知实部不妨仅考虑已知实部 u 的情形的情形)(1)由由 u 及及 C R 方程方程得到待定函数得到待定函数 v

8、 的的全微分：全微分：(2)利用第二类曲线积分利用第二类曲线积分(与路径无关与路径无关)得到原函数得到原函数：.dddddyxuxyuyyvxxvv cyyuxyuyxvyxyx ),(),(00dd),(),(yx),(00yxC0C1C2.ddcyyuxyuC 其中，其中，或或0CC .21CC P39 10第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 故故 是调和函数。是调和函数。),(yxu,02222 yuxu,622xxu ,622xyu 由由解解(1)验证验证 为调和函数为调和函数),(yxuP38 例例2.6 修改修改 11第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关

9、系 解解由由,6)(6xyyuxxyxv ,0)(x,)(cx .3),(32cyyxyxv ,3d)33(3222cyyxyyxv ,)(x ,3322yvyxxu 由由(2)求虚部求虚部 。),(yxv方法一方法一：偏积分法偏积分法12第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 解解(2)求虚部求虚部 。.332cyyx ,6xyyuxv ,3322yxxuyv 由由方法二方法二：全微分法全微分法,d)33(d6ddd22yyxxxyyvxvvyx ),()0,0(22d)33(d6),(yxcyyxxxyyxv yxcyyxx0220d)33(d0),(yxC1C2),(yxv1

10、3第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 解解(3)求确定常数求确定常数 c,)3()3()(3223cyyxixyxzf 根据条件根据条件,)(iif 将将 代入得代入得1,0 yx,)1(ici ,0 c.)3()3()(3223yyxixyxzf 即得即得.3z 14第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 故故 是调和函数。是调和函数。),(yxu,02222 yuxu,222 xu,222 yu由由解解(1)验证验证 为调和函数为调和函数),(yxu验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部x

11、yyxu 22.1)(iif P40 例例2.8 15第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 由由,2)(2xyyuxyxv ,)(xx ,21)(2cxx .21212),(22cxyxyyxv ,)(212d)2(2xyxyyyxv ,2yvyxxu 由由解解(2)求虚部求虚部 。),(yxv方法一方法一：偏积分法偏积分法验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1)(iif 16第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 ,2xyyuxv ,2yxxuyv 由由方法二方法二：全微分

12、法全微分法(利用第二类曲线积分利用第二类曲线积分),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx ),()0,0(d)2(d)2(),(yxcyyxxxyyxv yxcyyxxx00d)2(d)(),(yxC1C2.2121222cxyxy 验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1)(iif 解解(2)求虚部求虚部 。),(yxv17第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 ,2xyyuxv ,2yxxuyv 由由方法三方法三：全微分法全微分法(利用利用“反微分反微分”法法),d)2(d)

13、2(dddyyxxxyyvxvvyx .21212),(22cxyxyyxv ,)2/d(d2)2/d(d222yyxxxy ,)2/2/2d(22yxxy 验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1)(iif 解解(2)求虚部求虚部 。),(yxv18第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 ,2)(222xyiyxz 由由方法四方法四：直接利用已知的解析函数与直接利用已知的解析函数与“唯一性唯一性”.21212),(22cxyxyyxv ,221222yxiyxzi 故故 是是解析函数解析函

14、数 的实部，的实部，xyyxu 222221)(zizzg 验证验证 为调和函数，并求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1)(iif 解解(2)求虚部求虚部 。),(yxv19第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 解解(3)求确定常数求确定常数 c根据条件根据条件,1)(iif 将将 代入得代入得1,0 yx,21 c.)21212()()(2222cxyxyixyyxzf ,1)21(1ici 即得即得.)2121212()()(2222 xyxyixyyxzf.212122iziz 验证验证 为调和函数，并

15、求以为调和函数，并求以),(yxu例例,)(zf的解析函数的解析函数使得使得为实部为实部xyyxu 22.1)(iif 20第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 休息一下21第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系 附：附：知识广角知识广角 算子与算子与 算子算子 哈密顿哈密顿(Hamilton)算子算子“那布拉那布拉”.,zyx 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)算子算子.222222zyx “德尔塔德尔塔”则则梯度梯度.UUgrad ),(zyxF设设 为为向量场向量场，则则设设 为为数量场数量场，),(zyxU例如例如拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程方程泊松泊松(Poission)方程方程.0 .),(zyxf 例如例如散度散度,FFdiv 旋度旋度.FFrot (返回返回)