-多元函数微分习题-答案课件.ppt

1、多 元函数微分294),(22yxyxf9422 yx求在区域上的最大值和最小值。例例1818此题是不等式约束此题是不等式约束问题，求解分两步进行:【解解】在9422 yx内，解方程组0802yfxfyx得唯一驻点（0，0）。提示提示先求区域内部的可疑极值点，再求边界上的可疑极值点，然后比较它们的函数值。3 在边界9422 yx上，构造拉格郎日函数）（9494),(2222yxyxyxF09402808222yxyyFxxFyx 解方程组9)0,0(f45)3,0(f11)0,23(f求出函数值比较大小可知，最大值为45最小值为9.)3,0()0,23(得可疑极值点 和)3,0()0,23(4

2、uvvufvufvu),(),(),()(2xxfexyxxvxuxxexyxxfexxfexxfey222222),(),(),(2xexyy222xdxxdxeCxCdxeexey232222)31()(设f(u,v)具有连续偏导数，且满足求所满足的一阶微分方程，并求其通解.因此，所求的一阶微分方程为解得(C为任意常数).例例2121yuvvufvufvu),(),(，利用已知关系可得到关于y的一阶微分方程.【分析分析】先求】先求【解解】5例例2222【解解】其中 具有一阶连续偏导,且 ,求 ),(zyxfu,f设xyzexysin,),(020zdxdudxdzfdxdyffdxduxy

3、xxdxdycos02321dxdzxexycos6),(txfy),(yxtt 0),(tyxGGf,dxdy),(txfy xxtffdxdytx0),(tyxGx0 xtGdxdyGGtyxtxffdxdyxt0txtyxffdxdyGdxdyGGttytxxtGfGfGfGdxdy 设，其中是由确定，其中具有连续的一阶偏导数，求两端对求导有两端对求导有代入化简例例2323【解解】在7上各点的法线总垂直于常向量，并指出此曲面的特征.),(vuF0),(bzcyazcxF证明:设可微,试证证法一证法一 设),(zyxP为曲面上任意一点,其法向量为:,zyxFFF ,2121FbFaFcFc

4、 ,zyxFFF 0,cba所以,zyxFFF ,cba 例例2424的任意性知曲面上各点的法线总垂直于),(zyxP即常向量.8证法二证法二 任取曲面上一点 0000bzcybzcyazcxazcx则直线 L：),(0000zyxP在曲面上，而L的对称式方程为 L：czzbyyaxx000 可见过曲面上任意一点的直线均平行于a，b，c，即曲面是母线平行于a，b，c的柱面。9F u v(,)Fxazcybzc(,)0P xyz0000(,)F1xxzc0F2yyzc0F1xazc()2F2ybzc()2zz0Q a b c(,)xa yb zc,(,)a b c设可微,试证上任一点处的切平面都

5、通过定点.则该处的切平面为:+-+=0三个数三个数a,b,ca,b,c出现在方程中出现在方程中,我们首先我们首先猜想猜想就是所求的点就是所求的点.代入满足方程,故点在此切平面上.例例2525证法一证法一任取曲面上一点任取曲面上一点10Q a b c(,)P xyz0000(,)P Q0)()()(000cztczbytbyaxtaxFxazcybzc(,),)()(ccztcaaxtaF00bt ybbct zcc()()0000000),(czbyczaxFQ a b c(,)证法二证法二分析曲面的几何性质要比机械地代公式好分析曲面的几何性质要比机械地代公式好,任取曲面上一点则连接的直线方程

6、L为:将直线方程代入曲面方程有 这说明L上的点都在曲面上,即曲面是以为顶点的锥面,而曲面上任意一点的切平面都经过其顶点.设点11求由方程 所确定的函数22),(22 zyzyxyxzyxF0),(zyxF 设),(yxzz 的极值。解 对方程 两边求全微分，得0),(zyxF02222 dzydzzdyydyxdyydxxdxdyyzyxdxyyxdz 122122令 ，得0,0 yxzz例例262612代入原方程 得：24401682 zzz4,4022022zyzxzyxyx ),21,21(1 P)21,21(2 P2222222)1()12(2,)1(22,12yzyxyzyxyxzy

7、xz 得驻点又13 所以函数没有极值点。0,2,2,22 BACCBA0,2,2,22 BACCBA1P所以对于 点，1P点不是极值点。2P对于 点，2P点不是极值点。这这是隐函数极值问题，计算方法与显函数相同，所不同的是计算可疑极值点要利用隐函数求导法。注意14)0,0(14922yxyxSACABS2103101321yxkji)103,0,0(21yx10321yx)491()103(222yxyxF0491042)103(6092)103(222yxyyxxyx已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使ABC 面积 解：设C点坐标为(x,y),则 设拉格朗

8、日函数解方程组例例2727最大.15,54,53yx得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.646.1S,5.3,2CDSS16)0,0(),(0)0,0(),(),(223yxyxyxyxyxf)0,0(求在点的两个二阶混合偏导数。解解 当)0,0(),(yx时，2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx2224222)(23yxyxyxyx类似:22223223)(2),(yxyxyxxyxfy例例282817当)0,0(),(yx时，xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(000lim0 xxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0

9、(000lim0yy0)0,0(),0(lim)0,0(0yfyffxxyxy1)0,0()0,(lim)0,0(0 xfxffyyxyx显然)0,0()0,0(yxxyffHeut-第六部分考研试题欣赏Heut-22(,)xyzf xyef2,zzzxyx y 设,其中具有连续二阶偏导数,求2004年年利用复合函数求偏导的方法直接计算.122xyzxfyefx122xyzyfxefy 21112222(2)xyxyxyzx fyfxeefxyefx y 2122(2)xyxyyefyfxe 222111222242()(1)xyxyxyxyfxyefxyefexy f 提示提示Heut-01

10、82106222zyzyxyx),(yxzz 设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.2004年年因为 0182106222zyzyxyx所以02262xzzxzyyx提示提示0222206yzzyzyzyxHeut-0,0yzxz,0103,03zyxyx得令故 .,3yzyx将上式代入0182106222zyzyxyx可得3,3,9zyx.3,3,9zyxHeut-02)(22222222xzzxzxzy,02222622yxzzxzyzyxzyxz02)(22222022222yzzyzyzyyzyz由于 61)3,3,9(22xzA21)3,3,9(2yxzB所以 02262xzzxzyyx0222206yzzyzyzyxHeut-03612 BAC061A故又从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.61)3,3,9(22xzA21)3,3,9(2yxzB35)3,3,9(22yzC类似地，由 03612 BAC061A可知从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9,-3)=-3.35)3,3,9(22yzC