北师大版《正方形的性质与判定》完美课件2.ppt

1、 正方形的性质与判定知识回顾知识回顾:定义定义 边边角角对对 角角 线线对对 称称 性性平行平行四边四边形形 矩矩 形形 菱菱 形形 几种特殊四边形的定义及性质几种特殊四边形的定义及性质 对边平行对边平行 且相等且相等对边平行对边平行 且相等且相等对边平行对边平行，四边都，四边都相等相等对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补 四个角四个角都是直角都是直角对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补对角线对角线互相平分互相平分对角线相等对角线相等且互相平分且互相平分对角线互相对角线互相垂直平分，垂直平分，每条对角线每条对角线平分一组对平分一组对角角中心对中心对称图形称图形轴对称轴对称图形、图形、中心对中心

2、对称图形称图形 轴对称轴对称图形、中图形、中心对称图心对称图形形两组对边两组对边分别平行分别平行的四边形的四边形有一个角有一个角是直角的是直角的平行四边平行四边形形有一组邻有一组邻边相等的边相等的平行四边平行四边形形菱形怎样变化后就成了正方形呢菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形正方形探究小结探究小结矩 形正方形邻边邻边相等相等发现：发现：一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形 是正方形是正方形 菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形发现：发现：一个角为直角的菱形一个角为直角的菱形是正方形是正方形正方形定义正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形有一组邻边相等并且有一个

3、角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的性质边-角-对角线-对边平行，边相等个角都是直角相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角ABCDO既是中心对称图形，又是轴对称图形对称性-根据图形所具有的性质根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打在下表相应的空格中打”平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四边都相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等观察思考：正方形是中心对称图形吗观察思考：正方形是中心对称图形吗?（1）求证：AM=MN；（1）求证：EF=CF；2、正方形有哪些性质?两边对应相等，夹角互补的两个第一步:根据题意画出图形【天利38套】如图，四边形ABCD是边长为1的

4、正方形，点E在AD上运动，且不与A点和D点重合，连接CE，过点C作CFCE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G。（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH=AE，（1）如图，当AEC=120，AE=4时，求FG的长；（1）求证：CDE CBF；1=2=3=4=5=6=7=8A已知，如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任一点，过D作DEAG,过B作BFAG。（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（2）DFCE。如图，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，其边长分别为3cm和5cm，则CDE的面积为_ cm2。ACBD,AC=BD,如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延

5、长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H。正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？正方形性质正方形性质边边角角对角线对角线对称性对称性图图形形语语言言 文文字字语语言言 符符号号语语言言ACDBACDBACDBO对边平行，对边平行，四条四条边都边都相等相等 四四 个个 角角 都是直角都是直角对角线互相垂直对角线互相垂直平分且相等，每平分且相等，每条对角线平分一条对角线平分一组对角组对角四边形四边形ABCDABCD是是正方形正方形ABCD ABCD ADBC,ADBC,AB=BC=CD=ADAB=BC=CD=AD四边形四边形ABCDABCD是是正方形正方

6、形A=B=C=A=B=C=DD=90=90四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形ACBD,AC=BD,ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,OA=OB=OC=OD,1=2=3=4=1=2=3=4=5=6=7=85=6=7=8轴对称图形轴对称图形 中心对称图形中心对称图形12345678平行四边形平行四边形矩矩形形菱菱形形正正方方形形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？求证求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形的等腰直角三角形.这是一道文字证明题这是一

7、道文字证明题,该怎么做该怎么做?你会做吗你会做吗?第一步第一步:根据题意画出图形根据题意画出图形第二步第二步:写出已知、求证写出已知、求证第三步：进行证明第三步：进行证明ADCBO 已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,对对 角线角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O.O.求证求证:ABOABO、BCOBCO、CDOCDO、DAODAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形.证证明明:四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABOABO、BCOBCO、CDOCD

8、O、DAODAO都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形,并且并且 ABOABO BCO BCO CDO CDO DAODAO分析分析:利用正方形的性质利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相对角线互相垂直平分且相等等,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角.平分平分可以产生可以产生线段等量线段等量关系关系,垂直垂直可以产生可以产生直角直角,于是可以得到四个全等的等于是可以得到四个全等的等腰直角三角形腰直角三角形.ADCBO 正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论拓展讨论:结论：结论：分成八个等腰直角三角形，分别是分成八个等腰直角

9、三角形，分别是ABCABC、ADCADC、ABDABD、BCDBCD ；AOBAOB、BOCBOC、CODCOD、DOA.DOA.P101P101练习练习1 1、2 2练习练习1 1 提示：有一组邻边相等的矩形是正方形提示：有一组邻边相等的矩形是正方形ABDCEF正方形正方形裁裁ADCBE练习练习2 2提示：寻找直角三角形，运用直角三角形求边长和对角线提示：寻找直角三角形，运用直角三角形求边长和对角线.补充练习：补充练习：1 1、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为4cm4cm，则图中阴影部分的面积为，则图中阴影部分的面积为 平方厘米平方厘米ABCD2 2、如图，在等腰、

10、如图，在等腰RtRtABCABC中，中，C=90C=90，正方形，正方形DEFGDEFG的顶的顶点点D D在边在边ACAC上，点上，点E E、F F在边在边ABAB上，点上，点G G在边在边BCBC上上.（1 1）求证）求证AE=BFAE=BF；（2 2）若）若BC=cmBC=cm，求正方形，求正方形DEFGDEFG的边长的边长.2小结小结1 1、正方形定义、正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2 2、正方形有哪些性质、正方形有哪些性质?对边平行，四条边都相等对边平行，四条边都相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互

11、相垂直平分且相等，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角边边：角：角：对角线：对角线：习题习题19.219.2第第8 8 、1515题题补充习题：补充习题：1 1、已知正方形、已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，E E为为BCBC边上一点，边上一点，且且BE=1BE=1，P P为为ACAC上一点，求上一点，求PE+PBPE+PB的最小值的最小值.2 2、在正方形、在正方形ABCDABCD中中,AC,AC是对角线是对角线,AE,AE平分平分BAC,BAC,试猜想试猜想ABAB、ACAC、BEBE之间的关系，并证明你的猜想之间的关系，并证明你的猜想GF

12、EDABC相等、垂直且互相平分，（2）判断CEF的形状，并说明理由。（2）如图，当点F为AD的中点，且恰好在BE上时，若AB=AD,求证：CD=。求证：（1）四边形AEBD是平行四边形；（1）求证：AC平分BAD；（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AD=2，求AG。第一步:根据题意画出图形ACBD,AC=BD,四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG,（点D、F在直线CE的同侧），连接BF。（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE=1.

13、正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，BEG是等腰Rt，且BEG=90，点F是DG的中点，连结EF与CF。（1）求证：EF=CF；（2）求CPE的度数；每条对角线平分一组对角如图，折叠正方形纸片如图，折叠正方形纸片ABCDABCD，先折出折，先折出折痕痕BDBD，再折叠使，再折叠使ADAD边与对角线边与对角线BDBD重合，重合，得折痕得折痕DGDG，若，若AD=2AD=2，求，求AGAG。D DA AG GB BC CE E 如图，如图，E E、F F分别为正方形分别为正方形ABCD

14、ABCD的边的边BCBC、CDCD上的上的一点，一点，AMEFAMEF，垂足为垂足为M M，AM=ABAM=AB，则有，则有EF=BE+DFEF=BE+DF，为什么？，为什么？A AB BC CF FE ED DM M如图如图3 3，ABCDABCD是正方形，是正方形，E E为为BFBF上一点，四边上一点，四边形形AFECAFEC恰是一个菱形，则恰是一个菱形，则EAB=_EAB=_若正方形的边长为若正方形的边长为6 6，则菱形的面积为，则菱形的面积为_ 15153636D DA AB BF FE EC C如图，点如图，点A A在线段在线段BGBG上，四边形上，四边形ABCDABCD与与DEFG

15、DEFG都是正方形，都是正方形，其边长分别为其边长分别为3cm3cm和和5cm5cm，则，则CDECDE的面积为的面积为_ cm_ cm2 2。C CB BA AG GF FE ED D6 6H H陈代勇定理陈代勇定理1.1.两边对应相等，夹角互补的两个两边对应相等，夹角互补的两个 三角形的面积相等。三角形的面积相等。(2016(2016深圳深圳)已知，如图，四边形已知，如图，四边形ABCDABCD中，中，BDBD垂直平分垂直平分ACAC，过，过A A作作AEACAEAC，且，且DCB=DCB=ABE.ABE.求证求证：（：（1 1）四边形）四边形AEBDAEBD是平行四边形；是平行四边形；（

16、2 2）若）若AE=BE=5AE=BE=5，AB=BC=6AB=BC=6，求，求ACAC的长。的长。C CB BD DE EO OA A（9.69.6）如图，点如图，点G G是正方形是正方形ABCDABCD对角线对角线CACA的延长线上任的延长线上任意一意一点，点，以线段以线段AGAG为边作一个正方形为边作一个正方形AEFGAEFG，线段，线段EBEB和和GDGD相交于点相交于点H H。（1 1）求证：）求证：EB=GDEB=GD；（2 2）判断）判断EBEB与与GDGD的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；（3 3）若）若AB=2AB=2，AG=,AG=,求求EBEB的长。的长。2

17、 2OE EF FG GB BA AC CD DH H如图所示，设如图所示，设F F为正方形为正方形ABCDABCD上一点，上一点，CECFCECF，交，交ABAB的延长线于点的延长线于点E E，若正方形，若正方形ABCD ABCD 的面积为的面积为64,64,CEFCEF的面积为的面积为5050，则，则CBECBE的面积为（的面积为（）A.20 B.24 C.25 D.26A.20 B.24 C.25 D.26 A A B B F FD DC CE EB B 如图1 1，在正方形ABCDABCD中，点P P是对角线BDBD上的一点，点E E在ADAD的延长线上，且PA=PE,PEPA=PE,

18、PE交CDCD于F.F.（1 1）证明：PC=PEPC=PE；（2 2）求CPECPE的度数；（3 3）如图2 2，把正方形ABCDABCD改为菱形ABCDABCD，其他条件不变，当ABC=120ABC=120 时,连接CECE，试探究线段APAP与线段CECE的数量关系，并说明理由。图图1 1B BC CA AP PD DF FB BC CP PF FE ED DA AE E求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.补充习题：1、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB的最小值.（1）求证：EF=CF；轴对称图形 中心对称图形

19、（1）求证：AC平分BAD；如图，在ABC中，BAC=90，AD是BC边上的中线，点E、F分别在线段AD上，BE=AC，CFAD，EF=2，则BC的长为 。（2）若AE=BE=5，AB=BC=6，求AC的长。1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 平方厘米一个角为直角的菱形是正方形求点F到AD的距离；（3）若AB=2，AG=,求EB的长。对边平行，四条边都相等如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上（3）在（2）的条件下，若OE=，求CE的长。已知，如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任一点，过D作DEAG,过B作BFAG。（2）如图2，若点P在AC的延长线

20、上时，（1）中的关系是否还成立？若成立，请予证明；如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H。在等腰RtABC中，ABC=900，AB=BC,在等腰RtBDE中,BDE=900，BD=DE,连接AD,点F是AD上一点。如图如图1 1，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，BDBD是对角线，点是对角线，点E E在在BDBD上，上，BEGBEG是等腰是等腰RtRt，且，且BEG=90BEG=90，点点F F是是DGDG的中点，连结的中点，连结EFEF与与CFCF。（1 1）求证：）求证：EF=CFEF=CF；（2 2）求

21、证：）求证：EFCFEFCF；（3 3）如图）如图2 2，若等腰，若等腰RtRtBEGBEG绕点绕点B B按顺时按顺时针旋转针旋转4545，其他条件不变，请判断，其他条件不变，请判断CEFCEF的的形状，并证明你的结论形状，并证明你的结论。ABCDEGF图图1 1ABCDEGF（图（图2 2）已知，如图，四边形已知，如图，四边形ABCDABCD是正方形。是正方形。G G是是DADA延延长线上一点，且长线上一点，且AG=ADAG=AD。E E、F F分别是分别是ABAB、BCBC上上的一点，且的一点，且EFAC,EFAC,延长延长GEGE交交DFDF于点于点H H，交，交BCBC于于点点K K。

22、求证：。求证：AH=AB.AH=AB.A AB BC CD DE EF FH HG GK K已知，如图，点已知，如图，点M M是正方形是正方形ABCDABCD的边的边BCBC的中点，的中点，CNCN平分正方形平分正方形ABCDABCD的外角的外角DCG,DCG,直线直线MNAMMNAM交交CNCN于点于点N N。（。（1 1）求证：）求证：AM=MNAM=MN；(2)(2)若若M M点是点是BC BC 边上边上任意一点，其他条件不变，（任意一点，其他条件不变，（1 1）中的结论还）中的结论还成立吗？请予以证成立吗？请予以证明。明。（3 3）若点若点M M在在BCBC的的延长线上呢？延长线上呢？

23、A AB BM MC CG GN ND D（20152015年春年春.武汉校级月考武汉校级月考）已知，如图，）已知，如图，A A、B B两点坐标为两点坐标为A A（0 0，4 4）,B,B（4,04,0），），P P为线段为线段ABAB上的任一点，过上的任一点，过P P作作OPOP的垂线与过的垂线与过B B点的点的x x轴的轴的垂线交于点垂线交于点Q Q，OQOQ与直线与直线ABAB交于点交于点M M。请探究下。请探究下列问题：（列问题：（1 1）判断）判断OPQOPQ的形状并证明的形状并证明(需用需用到四点共圆，初二学生可不做此问到四点共圆，初二学生可不做此问)；（；（2 2）三）三条线段条

24、线段APAP、PMPM、BMBM之间存在何种相等的数量关之间存在何种相等的数量关系？证明你的结论。（系？证明你的结论。（3 3）当点）当点P P在线段在线段ABAB上运上运动时，请问：动时，请问：BP-BQ BP-BQ的值是否发生变化？若不的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由。变，请求出其值；若变化，请说明理由。2 2x xy yO OA A（0,40,4）B B（4,04,0）P PQ QC CM M如图，如图，ABCABC和和ADEADE都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，AB=AC,AD=AE,BAC=DAE=90AB=AC,AD=AE,BAC=DAE=900 0

25、 。（。（1 1）求证：）求证：ACEACEABDABD；（；（2 2）若）若AC=2AC=2，EC=4EC=4，DC=2 ,DC=2 ,求求ACDACD的度数；（的度数；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，直接）的条件下，直接写出写出DEDE的长为的长为 （只填结果，不用（只填结果，不用写计算过程）写计算过程）A AD DB BC CE EF F10102 22 2在等腰在等腰RtRtABCABC中，中，ABC=90ABC=900 0，AB=BC,AB=BC,在等腰在等腰RtRtBDEBDE中中,BDE=90BDE=900 0，BD=DE,BD=DE,连接连接AD,AD,点点F F是是AD

26、AD上一点。（上一点。（1 1）如图，当点）如图，当点E E和点和点F F重合时，若重合时，若BE=BE=，且，且DE=DE=，求，求BCBC的长。（的长。（2 2）如图，）如图，当点当点F F为为ADAD的中点，且恰好在的中点，且恰好在BEBE上时，若上时，若AB=AD,AB=AD,求证：求证：CD=CD=。B BA AE(F)E(F)C CD D图图B BA AC CD DE EF F图图G GM MN NABAB5 55 52 23 3ADAD已知，如图，在正方形已知，如图，在正方形ABCDABCD中中，G G是是BCBC上的任上的任一点，过一点，过D D作作DEAG,DEAG,过过B

27、B作作BFAGBFAG。求证：（求证：（1 1）AEDAEDBFABFA；（2 2）DFCEDFCE。A AB BC CD DG GE EF F如图如图，点，点E E是正方形是正方形ABCDABCD外一点，点外一点，点F F是线段是线段AEAE上上一点，一点，EBFEBF是等腰直角三角形，其中是等腰直角三角形，其中EBF=90EBF=90，连接，连接CECE、CFCF。（1 1）求证：）求证：ABFABFCBECBE；（2 2）判断）判断CEFCEF的形状，并说明理由。的形状，并说明理由。A AB BE EC CD DF F四边形四边形ABCDABCD是边长为是边长为4 4的正方形，点的正方形

28、，点E E在边在边ADAD所在所在的直线上，连接的直线上，连接CECE，以，以CECE为边，作正方形为边，作正方形CEFG,CEFG,（点（点D D、F F在直线在直线CECE的同侧），连接的同侧），连接BFBF。（1 1）如图）如图1 1，当点，当点E E与点与点A A重合时，请直接写出重合时，请直接写出BFBF的长；的长；（2 2）如图）如图2 2，当点，当点E E在线段在线段ADAD上时，上时，AE=1.AE=1.求点求点F F到到ADAD的距离；的距离；求求BFBF的长；的长；（3 3）若）若 ,请直接写出此时请直接写出此时AEAE的长。的长。10103 3=BFBFF FA(E)A(

29、E)B BC CD DG G图图1 1A AE EF FG GC CD DB B【天利【天利3838套】如图，四边形套】如图，四边形ABCDABCD是边长为是边长为1 1的正的正方形，点方形，点E E在在ADAD上运动，且不与上运动，且不与A A点和点和D D点重合，点重合，连接连接CECE，过点，过点C C作作CFCECFCE交交ABAB的延长线于点的延长线于点F F，EFEF交交BCBC于点于点G G。（1 1）求证：）求证：CDECDECBFCBF；（2 2）当）当 时，求时，求CGCG的长；的长；（3 3）连接）连接AGAG，在点，在点E E运动过程中，四边形运动过程中，四边形CEAG

30、CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时能否为平行四边形？若能，求出此时DEDE的长；若的长；若不能，请说明理由。不能，请说明理由。2 21 1=DEDEA AD DC CB BF FG GE E如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AB=ACAB=AC，点，点D D在在BCBC上，连接上，连接ADAD，过点，过点C C作作CEADCEAD于点于点E E。（1 1）如图，若）如图，若BAD=30BAD=30，求，求DCEDCE的度数；的度数；（2 2）如图，过点）如图，过点B B作作BFADBFAD，交，交ADAD的延长线的延长线于点于点F F，点，点O O为为

31、BCBC的中点，连接的中点，连接EOEO。OEOE2 2=EFEF求证：求证：C CA AB BD DE E图图C CA AB BF FD DO OE E图图G G如图，将边长为如图，将边长为1212的正方形的正方形ABCDABCD纸片折叠，点纸片折叠，点A A落在落在BCBC边上的边上的G G处，点处，点D D落在落在H H处，处，BG=5BG=5，求折痕，求折痕EFEF的长。的长。D DH HC CG GE EA AF FB B50.50.【浙江省竞赛题】如图，正方形【浙江省竞赛题】如图，正方形ABCDABCD、正方形、正方形CGEFCGEF的边长分别为的边长分别为2,32,3，且点，且点

32、B B、C C、G G在同一条直在同一条直线上，线上，M M是是AEAE的中点，连接的中点，连接MFMF，则，则MFMF的长为的长为 。C CB BA AD DM MF FE EG G2 23 3N N2 22 2=MFMF【武汉硚口区】如图，在四边形【武汉硚口区】如图，在四边形ABCDABCD中，中，BAD=BCD=90BAD=BCD=90，BC=CDBC=CD。（1 1）求证：）求证：ACAC平分平分BADBAD；（2 2）若）若AB=8AB=8，AD=6AD=6，求，求BCBC和和ACAC的长。的长。D DC CB BA AF FE E如图，在如图，在ABCABC中，中，BAC=90BA

33、C=90，ADAD是是BCBC边上的边上的中线，点中线，点E E、F F分别在线段分别在线段ADAD上，上，BE=ACBE=AC，CFADCFAD，EF=2EF=2，则则BCBC的长为的长为 。，10102 2=ACACH HF FE ED DC CB BA A如图所示，正方形如图所示，正方形ABCDABCD的面积为的面积为1212，ABEABE是等边是等边三角形，点三角形，点E E在正方形在正方形ABCDABCD内，在对角线内，在对角线ACAC上有一上有一点点P P，使，使PD+PEPD+PE的和最小，则这个最小值是的和最小，则这个最小值是 。P PE ED DC CB BA A3 32 2

34、=PE）PE）+（PD（PD最小最小24.24.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，点中，点E E在在BCBC边上，边上，AFAF平分平分DAEDAE，DFAEDFAE，AFAF与与CDCD相交于点相交于点G G。（1 1）如图，当）如图，当AEC=120AEC=120，AE=4AE=4时，求时，求FGFG的长；的长；F FE EG GA A图图1 1B BD DC C截长补短后证截长补短后证ABKABKDFGDFG。（2 2）如图）如图2 2，在，在ABAB边上截取点边上截取点H H，使得，使得DH=AEDH=AE，DHDH与与AFAF、AEAE分别交于点分别交于点M M、N N，求

35、证：，求证：AE=AH+DGAE=AH+DG。K KN NM MF FG GA A图图2 2B BD DC CH HE E如图，一块大的直角三角板的一边经过正方形如图，一块大的直角三角板的一边经过正方形ABCDABCD的顶点的顶点D D，直角顶点，直角顶点P P在正方形在正方形ABCD ABCD 的对角的对角线线ACAC上移动，与正方形的另一边上移动，与正方形的另一边BCBC交于点交于点E E。（1 1）如图）如图1 1，当点，当点P P在线段在线段ACAC上移动时，求线段上移动时，求线段DPDP与与EPEP的数量关系，并予以证明；的数量关系，并予以证明；C CD DP PE EB BA A图

36、图1 1（2 2）如图）如图2 2，若点，若点P P在在ACAC的延长线上时，（的延长线上时，（1 1）中）中的关系是否还成立？若成立，请予证明；若不成的关系是否还成立？若成立，请予证明；若不成立，请说明理由。立，请说明理由。F FC CD DP PE EB BA A图图2 2【20202020 东莞期末东莞期末】25.25.如图如图1 1，已知四边形，已知四边形ABCDABCD是是正方形，正方形，E E是对角线是对角线BDBD上的一点，连接上的一点，连接AEAE，CECE。（1 1）求证：）求证：AE=CEAE=CE；图图1 1E ED DC CB BA A（2 2）如图）如图2 2，点，点

37、P P是边是边CDCD上的一点，且上的一点，且PEBDPEBD于于E E，连接连接BPBP，O O为为BPBP的中点，连接的中点，连接EOEO。若。若PBC=30PBC=30，求求POEPOE的度数；的度数；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，若）的条件下，若OE=OE=，求，求CECE的长。的长。2 2O O图图2 2E ED DC CB BA AP PPOE=30POE=30CE=2CE=225.25.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，P P为为ABAB边上任意一点，边上任意一点，AEDPAEDP于于E E，点，点F F在在DPDP的延长线上，且的延长线上，且EF=DEEF

38、=DE，连，连接接AFAF、BFBF，BAFBAF的平分线交的平分线交DFDF于于G G，连接，连接GCGC。（1 1）求证：）求证：AEGAEG是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；（2 2）求证：）求证：AG+CG=DGAG+CG=DG。2 2E EP PD DC CB BA AF FG G【20202020河南中考】如图，在边长为河南中考】如图，在边长为2 2 的正方形的正方形ABCDABCD中，点中，点E E，F F分别是边分别是边ABAB，BCBC的中点，连接的中点，连接ECEC，FDFD，点，点G G，H H分别是分别是ECEC，FDFD的中点，连接的中点，连接GHGH，则，则GHGH的长度为的长度为 。2 2H HG GF FE ED DC CB BA A