第11章差错控制编码课件.ppt
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1、1通信原理第11章差错控制编码 211.1 概述z信道分类:从差错控制角度看v随机信道:错码的出现是随机的 v突发信道:错码是成串集中出现的v混合信道:既存在随机错码又存在突发错码 z差错控制技术的种类v 检错重发v前向纠错 v反馈校验v检错删除 3z差错控制编码:常称为纠错编码纠错编码v信息码元信息码元 kv监督码元监督码元 n-kv编码效率编码效率(简称码率码率)信息码元个数与总码元个数之比k/n v冗余度:冗余度:监督码元数(n-k)和信息码元数 k 之比。v差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高传输可靠性。411.2 纠错编码的基本原理z分组码基本原理:v所有比特用于传送信息 3位二
2、进制数可构成8种不同组合,若将其全部用来表示8种不同天气,“000”(晴),“001”(云),“010”(阴),“011”(雨),“100”(雪),“101”(霜),“110”(雾),“111”(雹)。w问题:其中任一码组在传输中若发生错码都将变成另一个信息码组 接收端将无法发现错误。许用码组5v部分比特用于传送信息 若在上述8种码组中只准许使用4种来传送天气,例如:“000”(晴),“001”(云),“011”(雨),“010”(阴),“101”(霜),“100”(雪),“110”(雾),“111”(雹)。w发端错一位或三位码,收端可以检测出来w信息量降低,但检错能力提高了w发端错两位码,收
3、端检测不出来?许用码组禁用码组增大冗余度即增加监督位6v分组码的结构w将信息码分组,为每组信息码附加若干监督码的编码称为分组码分组码。w在分组码中,监督码元仅监督本码组中的信息码元。w信息位和监督位的关系,如信息位信息位监督位监督位晴晴000云云011阴阴101雨雨1107w分组码的一般结构v分组码的符号:(n,k)wN 码组的总位数,又称为码组的长度(码长),wk 码组中信息码元的数目,wn k r 码组中的监督码元数目,或称监督位数目。8v分组码的码重和码距w码重:码组中“1”的个数w码距:两个码组中对应位上不同数字的个数,又称汉明距离汉明距离。w最小码距d0:某种编码中各个码组之间距离的
4、最小值)。v码距的几何意义w每个码组的3个码元的值(a1,a2,a3)就是此立方体各顶点的坐标。w码距概念在图中对应于各顶点之间沿立方体各边行走的几何距离。(0,0,0)(0,0,1)(1,0,1)(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,1,1)(1,1,1)a2a0a19v码距和检纠错能力的关系w一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力w为检测e个错码,要求最小码距 d0 e+1w为了纠正t个错码,要求最小码距d0 2t+1w为纠正t个错码,同时检测e个错码,要求最小码距)(10teted1011.4简单的实用编码z11.4.1 奇偶监督码v奇偶监督码只有一位监
5、督位v偶监督保证码组中“1”的数目为偶数,偶监督关系式:式中a0为监督位,其他位为信息位。v奇监督保证码组中“1”的数目为奇数,奇监督关系式:0021aaann1021aaann1111.5 线性分组码z基本概念v代数码代数码:建立在代数学基础上的编码。v线性码线性码:信息位和监督位是由一组线性代数方程联系着的。z汉明码汉明码v定义:能够纠正1位错码且编码效率较高的一种线性分组码12v汉明码的构造原理。w监督关系式监督关系式w校正子校正子G若S=0,无错码;若S=1,有错码G一个校正子S不能指出错码的位置G多个校正子的组合可指出错码位置G增多校正子 增多监督关系式 增多监督位Gr个监督关系式能
6、指示1位错码的 个可能位置G指示1位错码的n种可能位置的监督位个数要求12r0021aaann021aaaSnn1212rknrr或13w例:设分组码分组码(n,k)中k=4,为了纠正1位错码,由上式可知,要求监督位数 r 3。若取 r=3,则n=k+r=7。S1 S2 S3错码位错码位置置S1 S2 S3错码位错码位置置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码无错码错码位置与校正子关系监督关系式24561aaaaS13562aaaaS03463aaaaS14信息位信息位a6 a5 a4 a3监督位监督位a2 a1 a0信息位信息位a6 a5 a4 a
7、3监督位监督位a2 a1 a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111由监督关系式得出的信息位与监督位接收端收到每个码组后,先计算出S1、S2和S3,再查表判断错码情况。表中所列的(7,4)汉明码的最小码距d0=3。因此,这种码能够纠正1个错码或检测2个错码。由于码率k/n=(n-r)/n=1 r/n,故当n很大和r很小时,码率接近1。可见,汉明码是一种高效码。15z线性分组码的一般原理v线性分组码的构造wH矩阵
8、(监督阵)000034613562456aaaaaaaaaaaa010011010010101100010111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)(模20001011001110101011101000123456aaaaaaaH AT=0T 或或A HT=0监督阵16GH矩阵的性质:G H的行数就是监督关系式的数目,等于监督位个数r。G 典型监督阵可分解为P Ir形式,P为r k阶矩阵,Ir 为r r阶单位方阵。G由代数理论可知,H矩阵的各行应该是线性无关的 rPIH00110110101101100111017wG矩阵(生成矩阵)3460
9、35614562aaaaaaaaaaaa3456012101111011110aaaaaaaQ34563456012011101110111aaaaaaaaaaaQ为一为一k r阶矩阵,阶矩阵,Q=PT在信息位给定后,用在信息位给定后,用信息位的行矩阵乘矩信息位的行矩阵乘矩阵阵Q就产生出监督位就产生出监督位180110001101001011001001111000QGkI I G34560123456aaaaaaaaaaaGA3456aaaa生成阵G如果找到了码的生成矩阵G,则编码的方法就完全确定了。G具有IkQ形式的生成矩阵称为典型生成矩阵典型生成矩阵。系统码19GG矩阵的性质:G G矩阵
10、的各行是线性无关的。G G的各行本身就是一个码组。G如果已有k个线性无关的码组,则可以用其作 为生成矩阵G。20w错误图样 0121bbbbnnB0121eeeennEiiiiiababe当当,1,00121aaaannAB A=E错误图样接收码发送码21v线性分组码的性质w封闭性:封闭性:是指一种线性码中的任意两个码组之和仍为这种码中的一个码组。w两个码组(A1和A2)之间的距离(即对应位不同的数目)必定是另一个码组(A1+A2)的重量(即“1”的数目)。w码组间的最小距离就是码组的最小重量(除全“0”码组外)。2211.6 循环码z11.6.1 循环码原理v循环性:循环性:指任一码组循环移
11、位(即将最右端的一个码元移至左端,或反之)以后,仍为该码中的一个码组。一种(7,3)循环码的全部码组(an-1 an-2 a0)码组编码组编号号信息位信息位监督位监督位码组编码组编号号信息位信息位监督位监督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a0100000005100101120010111610111003010111071100101401110018111001023v码多项式w码组的多项式表示法把码组中各码元当作是一个多项式的系数,即一个长为n的码组表示为Gxn仅是码元位置的标记,不关心xn的取值。w码多项式的按模运算G整数运算中的模n运算 若一个整数m可以表示为
12、式中,Q 整数,则在模 n 运算下,有 m p (模n)即,在模 n 运算下,一个整数m等于它被 n 除得的余数。npnpQnm,012211)(axaxaxaxTnnnn24G码多项式运算中的模运算。若一任意多项式F(x)被一 n 次多项式N(x)除,得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x),即则写为G码多项式系数仍按模2 运算,即系数只取 0 和1。如,因为)()()()(xRxQxNxF)(模)()()(xNxRxF)(模)1(113224xxxxx xx3+1 x4+x2+1 x4+x x2+x+1注意,由于在模2运算中,用加法代替了减法25v循环码的生成矩阵Gwk个线性不相关的
13、已知码组可构成生成矩阵Gw用g(x)表示(n,k)循环码中前(k-1)位皆为“0”的码组,则g(x),x g(x),x2 g(x),xk-1 g(x)都是码组,且是线性无关的。(左移)wg(x)必须是一个常数项不为“0”的(n-k)次多项式,而且是(n,k)码中次数为(n k)的唯一多项式(线性无关)w唯一的(n k)次多项式g(x)为码的生成多项式w循环码的生成矩阵G可得)()()()()(21xgxxgxgxxgxxkkG26w所有码多项式T(x)都可被g(x)整除,且任意一个次数不大于(k 1)的多项式乘g(x)都是码多项式v循环码的码多项式w在循环码中,若T(x)是一个长为n的许用码组
14、,则xiT(x)在按模xn+1运算下,也是该编码中的一个许用码组,即若 则T(x)也是该编码中的一个许用码组。)()()()()()()()()()(452645262456456xgaxaxaxgaxxgaxgxaxgxxgxgxaaaxaaaxTG)(模)1()()(nixxTxTx27v如何寻找任一(n,k)循环码的生成多项式循环码的生成多项式应该是(xn+1)的一个(n k)次因式为了求(7,3)循环码的生成多项式g(x)需要从(x7+1)中找到一个(n k)=4次的因子)1)(1)(1(13237xxxxxx1)1)(1(2423xxxxxx1)1)(1(2343xxxxxx上两式都
15、可作为生成多项式。选用的生成多项式不同,产生出的循环码码组也不同28z11.6.2 循环码的编解码方法v循环码的编码方法w编码原则G从(xn+1)的因子中选一个(n-k)次多项式作为g(x)。G所有码多项式T(x)都可以被g(x)整除。w编码步骤:G用xn-k乘m(x)G用g(x)除xn-k m(x),得到商Q(x)和余式r(x)G编出的码组T(x)为T(x)=xn-k m(x)+r(x)29v循环码的解码方法w解码要求:检错和纠错。w检错解码原理:在接收端将接收码组R(x)用原生成多项式g(x)去除,判断余式。w纠错解码原理:为了能够纠错,要求每个可纠正的错误图样必须与一个特定余式有一一对应
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