麦克斯韦速率分布函数课件.ppt

1、一一.分布的概念分布的概念气体系统是由大量分子组成，气体系统是由大量分子组成，而各分子的速率通过碰撞而各分子的速率通过碰撞不断地改变，不断地改变，不可能逐个加以描述不可能逐个加以描述,只能给出分子数按只能给出分子数按速率的分布。速率的分布。问题的提出问题的提出分布的概念分布的概念例如学生人数按年龄的分布例如学生人数按年龄的分布 年龄年龄 15 16 17 18 19 20 2122 人数按年龄人数按年龄 的分布的分布 2000 3000 4000 1000 人数比率按人数比率按 年龄的分布年龄的分布 20%30%40%10%12.5 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 速率速率v1 v2

2、 v2 v3 vi vi+v 分子数按速率分子数按速率 的分布的分布 N1 N2 Ni 分子数比率分子数比率按速率的分布按速率的分布N1/N N2/N Ni/N 例如气体分子按速率的分布例如气体分子按速率的分布 Ni 就是就是分子数按速率的分布分子数按速率的分布二二.速率分布函数速率分布函数 f(v)设某系统处于平衡态下，设某系统处于平衡态下，总分子数为总分子数为 N ，则在则在vv+dv 区区间内分子数的比率为间内分子数的比率为NNd)(vfvdvvdd)(NNff(v)称为称为速率分布函数速率分布函数意义：意义：分布在速率分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总附近单位速率间隔内的分子

3、数与总分子数的比率。分子数的比率。三三.气体速率分布的实验测定气体速率分布的实验测定1.实验装置实验装置2.测量原理测量原理(1)能通过细槽到达检测器能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件的分子所满足的条件LvvL通过改变角速度通过改变角速度的大小，的大小，选择速率选择速率v (3)通过细槽的宽度，选择不同的速率区间通过细槽的宽度，选择不同的速率区间vv2L(4)沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数下的分子数 四四.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律理想气体在理想气体在平衡态平衡态下分子的速率分布函数下分子的速率分

4、布函数kTekTf2/22/32)2(4)(vvv (麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数)式中式中为分子质量，为分子质量，T 为气体热力学温度，为气体热力学温度，k 为玻耳兹曼常量为玻耳兹曼常量k=1.3810-23 J/K1.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律说明说明(1)从统计的概念来看讲速率从统计的概念来看讲速率恰好恰好等于某一值的分子数多少，等于某一值的分子数多少，是没有意义的。是没有意义的。(2)麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的对处于平衡态下的混合气体的各各 组分组分分别适用。分别适用。(3)在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速

5、率在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能分布能很好的符合很好的符合。vvvvvd)2(4d)(d2/22/32kTekTfNN 理想气体在理想气体在平衡态平衡态下，气体中分子速率在下，气体中分子速率在vv+dv 区间区间内的分子数与总分子数的比率为内的分子数与总分子数的比率为这一规律称为这一规律称为麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律2.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线f(v)vOv(速率分布曲线速率分布曲线)由图可见，气体中由图可见，气体中速率很小、速率很速率很小、速率很大的分子数都很少。大的分子数都很少。NNdvv d)(f在在dv 间隔内间隔内,曲线下曲线下

6、的面积表示速率分布的面积表示速率分布在在vv+dv 中的中的分子分子数与总分子数的比率数与总分子数的比率vdv 在在v1v2 区间内区间内,曲线下的面积表示速率分布在曲线下的面积表示速率分布在v1v2 之间之间的的分子数与总分子数的比率分子数与总分子数的比率NNf21d)(vvvvv1v2TvOT(速率分布曲线速率分布曲线)曲线下面的总面积，曲线下面的总面积，等于分布在整个速等于分布在整个速率范围内所有各个率范围内所有各个速率间隔中的分子速率间隔中的分子数与总分子数的比数与总分子数的比率的总和率的总和 01d)(vvf最概然速率最概然速率v p f(v)出现极大值时出现极大值时,所对应的速率称

7、为最概然速率所对应的速率称为最概然速率 pv(归一化条件归一化条件)f(v)不同气体不同气体,不同温度下的不同温度下的速率分布曲线的关系速率分布曲线的关系 一定一定,T 越大越大,这时曲线向右移动这时曲线向右移动 T 一定一定,越大越大,这时曲线向左移动这时曲线向左移动v p 越大越大,v p 越小越小,T1f(v)vOT2(T1)1pv2pv1f(v)vO2(1)1pv2pv由于曲线下的面积不变由于曲线下的面积不变,由此可见由此可见五五.分子速率的三种统计平均值分子速率的三种统计平均值 1.平均速率平均速率MRTkT59.18 0d)(1dNNfNNNvvvvJ/K1038.1106.022

8、8.3123230NRk0d)(Nf vvv式中式中M 为气体的摩尔质量，为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量为摩尔气体常量 21d)(vvvvvf思考：思考：是否表示在是否表示在v1 v2 区间内的平均速率区间内的平均速率？MRTkT73.132v3.最概然速率最概然速率 2.方均根速率方均根速率kTf3)d(022vvvv0d(dpvvvv)fMRTMRTkTp41.122vT(1)一般三种速率一般三种速率用途用途各各 不相同不相同 讨论分子的讨论分子的碰撞次数碰撞次数用用说明说明v讨论分子的讨论分子的平均平动动平均平动动能能用用2v讨论讨论速率分布速率分布一般用一般用pvpvv2vpvv

9、v2f(v)vO(2)同一种气体分子的三种速率的大小关系同一种气体分子的三种速率的大小关系:氦气的速率分布曲线如图所示氦气的速率分布曲线如图所示.解解例例求求(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率1000He2Hm/s10001023RT3H10)(2RTpvm/s1041.13MRT3)(2H2vm/s1073.13MRT2pv)(vf)m/s(vO(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，(2)0va有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为00000202)(0vvv

10、vvvvvvvafa(1)作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a(2)速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数解解例例求求)(vf02v032va12100aavv(1)由归一化条件得由归一化条件得1dd000200vvvvvvvaavO(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以与总分子数的比率，所以323200vv因此，因此，vv0 的分子数为的分子数为(2N/3)同理同理 vv0 的分子数为的分子数为(N/3)a0vNN0vv NN32的分子数与总分子数的比率为的分子数与总分子

11、数的比率为根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。)1(v根据平均值的定义，速率倒数的平均值为根据平均值的定义，速率倒数的平均值为 0d)(1)1(vvvvfvvvd)2(4022/32kTekT)2(d)()2(42022/32vvkTekTkTkTv4482kTkT 解解例例根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率vpvp+v 区间内的分子数与温度区间内的分子数与温度 成反比成反比(设设v 很小很小)T22/2/32)2(4)(vvvkTekTf2/3224vvvvpep114)(efp

12、pvv将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有例例证证vvv124)(ekTNNfNpTN1金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似。设金属中共有气体分子很类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大个电子，其中电子的最大速率为速率为vm，设电子速率在，设电子速率在vv+dv 之间的几率为之间的几率为式中式中A 为常数为常数vv d2ANNdmvv 0mvv 0解解例例求求 该电子气的平均速率该电子气的平均速率NNm)d(0vvvmAvvv03d44mAv因为仅在因为仅在（0，vm）区间分布有电子，所以区间分布有电子，所以五五.气体分子按平动动能的分布规律气体分子按平动动能的分布规律vvvkTekTNN2/22/32)2(4 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律221vvv kTekTfNN/2123)2(24)(上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在 +区间内的分子数与总分子数的比率。区间内的分子数与总分子数的比率。意义：意义：代入上式得代入上式得思考思考最概然平动动能是否最概然平动动能是否等于等于最概然速率所对应的平最概然速率所对应的平动动能动动能?两边微分两边微分