类比平面几何的勾股定理龙湾中学主张课件.ppt

1、合情推理合情推理温州市龙湾中学温州市龙湾中学 陈华云陈华云1、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，则一切金属都具有怎样的特性？则一切金属都具有怎样的特性？导电导电该类事物的该类事物的部分部分对象对象部分部分对象具有对象具有的共同特征的共同特征该类事物该类事物的的整体整体全部全部对象都对象都具有的特征具有的特征1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=521+3+5+(2n-1)=n2个别的个别的式子式子一般的一般的式子式子2、1，2，3、根据我所给出的数列的前几项，请你猜猜这、根据我所给出的数列的前几项，请

2、你猜猜这个数列的通项公式可能是什么？个数列的通项公式可能是什么？4,2n-1个别项个别项一般项一般项7,n2-n+221、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，则一切金属都能则一切金属都能导电导电。2、3、1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+(2n-1)=n21，2，4，7，由某类事物的部分对象具有某些特征，推出由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。或者由个别事实概括出一般结论的推理。归纳推理归纳推理部分对象部分对象全部对象全部对

3、象个别事实个别事实一般结论一般结论n2-n+22大胆地猜想大胆地猜想:任何一个不小任何一个不小于于6 6的偶数都的偶数都等于两个奇质等于两个奇质数之和数之和.6=3+3，8=3+5，10=5+5,12=5+7，14=7+7，16=5+11,1000=29+971，1002=139+863,10=3+720=3+1730=13+17哥德巴赫哥德巴赫陈氏定理陈氏定理(Chens Theorem)任何充分大的偶数都任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积两个质数的乘积,简称为简称为“1+2”。例例1.已知数列已知数列an 第一项

4、第一项a1=2，且，且（n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa对自然数对自然数n，考察的结果情况：，考察的结果情况：n012345111113311723112nn112nn思考：思考：1141 1153 1167 1183 11101 11121nnnnnn222222当n=6时，n当n=7时，n当n=8时，n当n=9时，n当n=10时，n当n=11时，n 大胆猜想大胆猜想 小心求证小心求证归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分

5、到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立视频视频ba ba ba cbcabcac 22ba.从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理n123设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1a123设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1an

6、2a123设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1an2an3a推理有两种：论证（演绎）推理和推理有两种：论证（演绎）推理和合情推理（归纳、类比）合情推理（归纳、类比）恩格思说：恩格思说：“归纳和演绎，正如分析和综合一样归纳和演绎，正如分析和综合一样是必然相互联系着的。是必然相互联系着的。”克莱因也说过：克莱因也说过：“最初建立某一个假设的人所最初建立某一个假设的人所做的归纳工作，跟最初证明这个假设的人所做做的归纳工作，跟最初证明这个假设的人所做的演绎工作，当然具有同样的价值。的演绎工作，当然具有同样的价值。”1.归纳的方法与态度归纳的

7、方法与态度第一，第一，“理智的勇气理智的勇气”：我们应当随时准备修正：我们应当随时准备修正 我们的任何一个猜测或信仰我们的任何一个猜测或信仰。第二，第二，“理智上的诚实理智上的诚实”：把事实摆在优先地位：把事实摆在优先地位 第三，第三，“理智的克制理智的克制”：如果没有某种充分的理：如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率的改变一个信念由，我们不应当轻率的改变一个信念 例例1 1：设正数列：设正数列 1(),21nnnnnnasaaa的前 项和为求通项 的公式。1231,21,321,nnnaaaa分析：，猜测 数学归纳法证明1nnnnnaan已知数列，其中0，S 是数列的前 项和，Q 是前 项

8、积。例例2 2：nnn试比较（S）与（Q-1）的大小。111221222111122131()241aaaaa 1分析：当n=1，SQ，两者相等。当n=2，试取，则S（）-2=-1;Q221.2有SQ123312313,2aaaaaa3当n=3，试取，则S（）3=23333171(),31.283)1nnn nQ仍有SQ猜测：当时，都有(S（Q-1）.例例3 3：，确定，试问：该数列中任意连续确定，试问：该数列中任意连续n n项之和，是否项之和，是否可作为另一项？可作为另一项？斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,1221,1kkkaaa aa由递推公式121222234121233124

9、12123,kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkka aaa aaaaaaaa aaaaaaa aaaa aaa aaaa当n=2，由于前有，因此任意连续两项之和可作为另一项。当n=3时，由于，且，即有 不是该数列的任何一项。当n=4时，由上面的结果可知：345123234111,kkkkkkkkkk nkkk nk naaa aaaaaaaa aaa 且 可见，任意连续四项之和仍然不是该数列的项。由上述：n=3,4已讨论，猜测当n 3时，对任意k N 都有 例例4.4.分解因式：分解因式：1111(1)(1)(2)1!2!3!1(1)(1)(1)!nnSxx xx xx

10、x xxnn 11Sx 2(1)11!2!xx xS(1)(2)2!xx32(1)(2)(1)(2)(1)(2)3!2!3!(1)(2)(3)3!x xxxxx xxSSxxx猜想猜想：(1)(2)(3)()!nxxxnxSn例例5.5.设当设当 时，时，（1 1）试以）试以 表示表示 及及 ，其中；其中；0,1x(1)2()f xf x()f x()f xn()f xn,0,1nNx(1)2()f xf x分析（分析（1 1）当）当n=1n=1时，时，n=2n=2时时猜想：猜想：2(2)(1)12(1)2 2()2()f nfxf xf xf x()2(),0,1nf xnf x nNx1(

11、)(),0,12nf xnf x nNx 2 2 类比是一个伟大的引路人类比是一个伟大的引路人思维能力包括思维能力包括“会用归纳，演绎和类比进行推理会用归纳，演绎和类比进行推理”这三种推理的区别是：这三种推理的区别是：归纳归纳从特殊到一般，结论是似真的；从特殊到一般，结论是似真的；演绎演绎从一般到特殊，结论是必真的；从一般到特殊，结论是必真的；类比类比从特殊到从特殊到特殊特殊，结论是似真的。，结论是似真的。类比的思维结构是：类比的思维结构是：A A有性质：有性质：a a，b b，c c，d d B B也有性质也有性质 （类似于（类似于d d）B B有性质：有性质：,a b cd例例6 6 分析

12、等差数列与等比数列内容的类似性。分析等差数列与等比数列内容的类似性。分析：以通项公式为例。分析：以通项公式为例。乘乘 乘方乘方 加加 乘乘1(1)naand11nnaaq nn1b-a;p+1bbbbnmnpqnmnpqnnnnnnaaaaaaa aa abaaaaa+p+1命题.若m、n、p、qN，则（1）对等差数列有：；（2）对等比数列有：。命题2.设0ab,在a,b之间插入p个数，（1）若这p+2个数成等差，那么公差d=（2）这p+2个数成等比，那么公比q=命题3.（1）若数列，都是等差数列，那么仍为等差数列;（2）若数列，都是等比数列，那么 1kk1k1bbkbbnnknnkaaaaa

13、a仍为等比数列。命题4.（1）若是等差数列,且（）,则仍为等差数列；（2）若是等比数列,且（）,则仍为等比数列。qpnm且例例7 7（20002000上海）在等差数列上海）在等差数列 中，若中，若 ,则有则有 成立；成立；类比上述性质，相应地，在等比数列类比上述性质，相应地，在等比数列 中中若若 =1=1，则有等式，则有等式 成立成立。na100a 1n119 nn19,naaaaN（）bn9bnn9nn1010+i10-i0101bbbaaaaa 由及，于是与9-i9+i1b2 10 1 192 9 1 17b ，n1117-nbbbbn17,nN应填（）2;2a aaa a a 21 11

14、()()2;aaaa aa()mnm nmanamn aa aa等；()()();()()().)()()ABABABABpqpq （p q）=(（p q）=(UUUUUU痧痧00 000aaAAaAaaUa aU UU例例8 8：求证：求证：x x、y y、z,z,中必有两个互相相等中必有两个互相相等 0111,yxzxxyyxzxxyxyzR、且例例9.9.求证求证,x y zR222222xxyyyyzzzxzx例例10 10 求证：求证：,a b cR2222223()ababbcbccacaabc例例1111平面几何与立体几何的许多概念、性质平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的

15、，如：是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行长方形的每一边与另一边平行而与其他的边垂直而与其他的边垂直;”“长方体的每一面与另一面长方体的每一面与另一面平行，而与其他的面垂直。平行，而与其他的面垂直。”请用类比的方法写出更多相似的命题。请用类比的方法写出更多相似的命题。（平面）在（平面）在 中，斜边是中，斜边是ABAB，则，则（立体）（立体）二面角二面角tRABCcosCBABBOABCOAABC在三棱锥中，面，cosABCBOCA BCOSS的大小为，则面积（2 2）（平面）在平行四边形中，各对角线平方和）（平面）在平行四边形中，各对角线平方和等于各边长的平方和；等于各边长的平方和；（立

16、体）在平行六面体中，各对角线平方和等（立体）在平行六面体中，各对角线平方和等于各棱长的平方和。于各棱长的平方和。（3 3）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的径的2 2倍：倍：（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的的3 3倍。倍。（4 4）（平面）余弦定理）（平面）余弦定理:（立体）异面直线上两点间距离公式：（立体）异面直线上两点间距离公式：2222cosbabCca22222cosldmnmn例例1212在平面几何里有勾股定理：在平面几何里有勾股定理：“设设 的两边的两边ABAB、ACAC互相垂直，

17、则互相垂直，则 ”,拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积的关系，可以得研究三棱锥的侧面积与底面积的关系，可以得出的正确结论是：出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面设三棱锥的三个侧面ABCABC、ACDACD、ADBADB两两垂直，两两垂直，则则 （20032003全国）全国）ABC222ABACBC2222ABCACDADBBCDSSSS3 3“大胆猜想，小心求证大胆猜想，小心求证”“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，而想象力概括着世界上的一切，推动着

18、进步，并且是知识进化的源泉。并且是知识进化的源泉。”（爱因斯坦）（爱因斯坦）“数学家的创造性工种成果是论证推理，即证明；数学家的创造性工种成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。的。”（波利亚）（波利亚）“猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种，猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种，归纳也好，类比也好，都包含着猜想的成分归纳也好，类比也好，都包含着猜想的成分”（波利亚（波利亚）例例1313：已知数列：已知数列 ，其中，其中 数列数列 是是 中那些中那些3 3的倍数由小到大排列而成的倍数由小到大排列而成的数列。试用的数列。试用

19、k k表示表示 和和 。na12nan nbna21kb2kb1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a 中的偶数项即中的偶数项即 恰是恰是 中序号中序号为为3 3的倍数的项，而奇数项的倍数的项，而奇数项 是是 中中序号比序号比3 3的倍数小的倍数小1 1的项。于是猜想：的项。于是猜想：，即，即，（以下用数学归纳法证明）（以下用数学归纳法证明）。nb2468,b b b b na1357,b b b b na23kkba2131kkba233(31)12332kkkkbak 21313(31)123(31)2kkkkbak 例例14.14.下面是一个下面是一个“倒三角形倒三角形”数

20、表数表1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，19841984，19851985，19861986，19871987 3 3，5 5，7 7，9 9，3969 3969，39713971，39733973 8 8，1212，1616，.7940.7940，79447944 20 20，2828，15884 15884 .这个数表的结构是：第一行是从这个数表的结构是：第一行是从1 1开始的开始的19871987个连续正整数；从第二行起每一行中的各数都等于个连续正整数；从第二行起每一行中的各数都等于它肩上两数之和；表中最下面一行只有一个数，求它肩上两数之和；表中最下面一行只有一个数，求最下面的这个数最下面的这个数。