第三章泊松过程要点课件.ppt
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1、第三章第三章Poisson过程过程 在生活中,常常会遇到这样一类随机现象,它们发生在生活中,常常会遇到这样一类随机现象,它们发生的地点、时间以及相联系的某种属性,常常归结为某一空的地点、时间以及相联系的某种属性,常常归结为某一空间间E中的点的随机发生或随机到达。中的点的随机发生或随机到达。例:电话交换台一天内收到用户的呼唤情况,例:电话交换台一天内收到用户的呼唤情况,X(n)是是第第n次呼唤发生时的时间;次呼唤发生时的时间;商店接待的顾客流,等待公共汽车的乘客流,要求再商店接待的顾客流,等待公共汽车的乘客流,要求再机场降落的飞机流等,股票价格的跳跃次数等。机场降落的飞机流等,股票价格的跳跃次数
2、等。泊松过程(泊松过程(Poisson process)最早由法国人)最早由法国人Poisson于于1837年引入。年引入。主主 要要 内内 容容 第一节第一节 泊松过程的基本概念泊松过程的基本概念 第二节第二节 相邻时间的时间间隔相邻时间的时间间隔 第三节第三节 剩余寿命与年龄剩余寿命与年龄 第四节第四节 非时齐泊松过程非时齐泊松过程 第五节第五节 复合泊松过程复合泊松过程 第六节第六节 更新过程更新过程第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念一随机过程 ,若满足条件:(1)是一计数过程,且N(0)=0;(零初值性(零初值性)(2)任取 (独立增量过程)(独立增量过程)相互独立;
3、(3)(增量平稳性)(增量平稳性)(4)对任意 和充分小的 ,有称 是强度 为的时齐泊松过程。其中 称为强度常数。一、定义一、定义(),0N t t,0,0,()()()s tnP N stN snP N tn120,nttt1211(),()(),()()nnN tN tN tN tN t0t 0t()()1()()()2()P N ttN ttotP N ttN tot 0(),0N t t 第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念从定义可得知,为一时齐泊松过程,N(t)表示0,t时段内事件发生的次数。(1)条件(1)表明在初始时刻无事件发生,即(2)条件(2)表明任意多个不相
4、重叠的时间间隔内发生的事件数相互独立(3)条件(3)表明 时间内发生的时间数的分布只与时间间隔t有关,与时间起点无关 (4)条件(4)表明在足够小的时间 内事件发生一次的概率与时间 成正比,而在足够小的时间内事件发生次数不少于2的概率是关于 的高阶无穷小。即在足够短的时间内,事件发生两次以上为小概率事件。(),0N t t(0)01P N,s stttt第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念例例1:设N(t)为 时段内某电话交换台收到的呼叫次数,N(t)的状态空间为 ,且具有如下性质:1)N(0)=0,即初始时刻未收到任何呼叫;2)在 这段时间收到的呼叫次数只与时间间隔t 有关,
5、而与时间起点s无关;3)在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫次数相互独立;4)在足够小的时间间隔内可见 是强度 的泊松过程。0,)t0,1,2,s st()()()PttotPtot 时间内有一次呼叫(时间内收到2次及其以上呼叫)(),0N t t 第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念 若 为时齐泊松过程,则 有即 是参数为 的泊松分布。定理定理1:(),0N t t 0()()(),!ktteP N stN skkNk,0,s t()()N stN st证明第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念一计数过程 ,若满足条件:(1)N(0)=0;(2)N(t)是独
6、立增量过程;(3)对 ,即则称 是强度为 的时齐泊松过程。泊松过程的等价定义:泊松过程的等价定义:(),0N t t,0,()()()s tN stN sPt0()()(),0!ktteP N stN skkNk(),0N t t 等价性的证明第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念 泊松过程的样本函数是一条阶梯曲线,t i表示第i个事件发生的时刻,那么在时刻ti阶梯曲线上跳一个单位。第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念二、泊松过程的几个例子二、泊松过程的几个例子第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念
7、第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念()()NmtE N tt1、均值函数、均值函数二、泊松过程的数字特征二、泊松过程的数字特征 表示0,t)时段内平均发生的事件数,表示单位时间内平均发生的事件数。()E N t()E N tt第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念()()NDtD N tt2、方差函数、方差函数2222()()()()()NNtE NtD N tmttt3、二阶原点矩、二阶原点矩第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念21212121 2(,)()()min(,)NRt tE N t N tt tt t4、自相关函数、自相关函数证明:
8、当 时12tt1212212112121121211121 21(,)()()()()()()()()()()()()NRt tEN t N tEN tN tN tENtEN t E N tN tENttttttt tt当 时12tt2121 22(,)NRt tt tt所以2121 212(,)min(,)NRt tt tt t第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念1212(,)min(,)NCt tt t5、自协方差函数、自协方差函数证明:12121221 2121212(,)(,)()()min(,)min(,)NNNNCt tRt tmt mtt tt tttt t第一节
9、、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念例例2:设粒子按平均率为4个/min的泊松过程到达某计数器,N(t)表示0,t)内到达计数器的粒子个数,试求:(1)N(t)的均值、方差、自相关函数与自协方差函数;(2)在第3min到第5min之间到达计数器的粒子个数的概率分布。()(4)N tPt解:(1)()4()NNmttDt12121 2(,)4min(,)16NRt tt tt t1212(,)4min(,)NCt tt t(2)N(5)-N(3)的分布律为4 2(4 2)(5)(3),1,2,3,!eP NNkkk 第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念1(),0N t
10、t 1、泊松过程的叠加、泊松过程的叠加定理:定理:设 与 为相互独立且强度分别为 的泊松过程,对于任意给定的仍为泊松过程。即两个相互独立的泊松过程的叠加仍然为泊松过程,且其强度为二泊松过程的强度之和 .三、泊松过程的叠加与分解三、泊松过程的叠加与分解 ,tT12,2(),0N t t 12()()(),N tN tN t tT12第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念12(0)(0)(0)NNN证明:证明:(1)(2)为独立增量过程,其和也为独立增量过程;为独立增量过程,其和也为独立增量过程;(3)记)记 ()()(,)N tsN tN t ts12(),()N tN t1112
11、1212110110()121200(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)()()!1()()!()!()!mkmksskm kmmskm kkkP N t tsmP N t tsN t tsmP N t tsk N t tsmkP N t tsk P N t tsmksesemesskmkk mkme)12()!smsm得证得证第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念例例2:设乘客从南北两个方向在0,t)时段内到达同一飞机场的人数 分别服从强度为 的泊松过程,试求在0,t)时段内到达机场的人数的平均值。+)t12答案:(12()()N tN t和12,第一节、泊松过程的基本
12、概念第一节、泊松过程的基本概念(),0N t t 2、泊松过程的分解、泊松过程的分解定理:定理:设 为强度为 的泊松过程,为进入子系统A的质点数,为进入子系统B的质点数,则N(t)的分解过程 相互独立,分别服从强度为 和 的泊松过程。其中p,1-p为分别进入系统A和B的概率。.1()N t2()N t12()()N tN t、p(1)p第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念120(0)(0)(0)NNN证明:证明:(1)可得可得(2)由)由N(t)的独立增量性可得,的独立增量性可得,也为独立增量过程;也为独立增量过程;(3)记)记 ()()(,)N tsN tN t ts12()
13、,()N tN t1111111111111011111(,)(,)|(,)(,)(,)|(,)(,)()!()(1)(1)!()!()(1=!mm kmmkkm kkm kssmm km kksP N t tskP N t tskN t tsm P N t tsmP N t tskN t tsm P N t tsmsmsC ppeppemkmkmpsek!1111(1)()111)()()()()!m kkkspspsm kpspspseeemkkk!12(0)(0)0NN第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念(4)证明)证明 的独立性的独立性 其中 表示独立到达泊松系统的 个
14、质点中恰好到达系统A有 个,则有 12(),()N tN t11221112111212(),()(),()()|()()P N tk N tkP N tk N tkkP N tkN tkk P N tkk1112()|()N tkN tkk12kk1k112121112()|()(1)kkkkkP N tkN tkkCpp第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念 所以所以 独立性得证。独立性得证。1212121212112212121212(1)121122(),()()!()(1)!()!()(1)!()()!()()kkkktkkkktkkptp tP N tk N tkkk
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