第2节收敛数列的性质课件.ppt
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- 关 键 词:
- 收敛 数列 性质 课件
- 资源描述:
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1、1.2 收敛数列的性质 定理2.1(唯一性)若数列收敛,则其极限唯一.证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得.,021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当一、一、收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann .2 axbxnn.时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故极限唯一故极限唯一.教材教材P7 反证法反证法相应的相应的,可以给出有可以给出有下界下界的定义的定义定义2.1(数列有界的定义)若存在一个实数M,对数列所有的项都满足,,对数列对数列na,3,2,1,n
2、Man.的上界的上界是是则称则称naM例如例如,;1 nn数列数列.2n数列数列有界有界无界无界一个数列即有上界又有下界一个数列即有上界又有下界,则称为则称为有界数列有界数列.定理定理2.22.2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则.11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注:有界未必一定收敛。(注:有界未必一定收敛。(有界性是收敛的必要条件)有界性是收敛的必要条件)推论推论 无界无界数列必定数列必定发散发散.)
3、1(1是发散的是发散的数列数列比如:比如:nnx ;,N,lim 1 o nnnaNnaaa有有时时当当则则且且设设 ;,N,lim,lim 2 nnnnnnobaNnbabbaa 有有时时当当则则且且设设.,N,lim,lim 3 babaNnbbaannnnnno 则则有有有有时时当当若若设设数数列列极极限限的的保保序序性性)(定理2.3 见教材见教材P8图形图形|,2)1(11aaNnNan当当取取;2 aaan即即,222 naNnNa当当同理,取同理,取.,max21 naNnNNN当当取取证明 则则令令,2)2(ab .2,|,11baaaaaNnNnn 即即时时当当.2,|,22
4、babbbbNnNnn 即即时时当当.,max21nnbaNnNNN 由上得由上得当当取取.)2()3(可得可得用反证法由用反证法由注.,)3(babann 也可有也可有中即使有中即使有定理2.4二、二、极限的四则运算极限的四则运算则则设设,lim,limbbaannnn ;lim)1(babannn ;lim)2(babannn .0,lim)3(bbabannn其中其中证证;由绝对值的三角不等式可得|nnnnnna baba bababab.|bbabaannn|nnnnabbbM由,收敛,可得 有界,即,)1(2|,011 MaaNnNn ,)1(2|,22 abbNnNn.|,max2
5、1 abbaNnNNNnn得得当当取取bbnn11lim )3(先先证证,.,0112|时时当当对于对于NntsNb ,2|bbbn.02|bbn且此时且此时有有时时所所以以当当,1Nn .|22bbbn|11|bbbbbbnnn|bbbbnn便便有有时时因因此此当当,max21NNn.11lim ,bbnn 即证得即证得.)2(易见结论成立易见结论成立再由再由当当对对由由于于.,N 0,lim2tsbbnn .2|,N22 bbbnn 有有时时.|2|11|2 bbbbbnn说明说明1 1 有有+无无=无,无,无无+无无=不定;不定;;,不定不定无无无无不定不定无无有有 .推广到有限项2 2
6、22212limnnnnn数学分析巩固与指导数学分析巩固与指导例1:.145432lim22 nnnnn求求22145432limnnnnn 原式原式221lim4lim5lim4lim3lim2limnnnnnnnnnn 52 解例2).1(lim,1|12 nnqqqq计算极限计算极限设设).1(lim12 nnqqqqqqnnn 1lim11lim nnqqq lim1111 .11 q qqnn 11lim解三、夹逼定理证使得使得,0,0,021 NN 定理2.5满足:满足:若数列若数列,nnncba则则且且,limlim,3,2,1,nnnnnnncancba .limlimlimn
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