四川省巴中市普通高中2020级“一诊”考试理数试题及答案.pdf

1、巴中市普通高中2020级一诊考试 数学(理科)(满分150分 120分钟完卷)注意事项:1。答题前,考生务必将 自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置。2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题 目的答案标号涂黑g 非选择题答题时必须用O。5毫米黑色墨迹签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置,在规定的答题区域以外答题无效,在试题卷上答题无效。3.考试结束后,考生将答题卡交回:-、选择题:本大题共 12个 小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 回 要求的。1.设集合以=(1,0,1),罗=(J|女=21,刀4,则/B生()A.(-1)B.(-1,Q)C.(

2、0,I)D。(T19|1)2.设复数z 满足z(1+i)|2;则|生()。A。殍 :1 c。雨 D。2z3.若一组样本数据 1,2,刀的期望和方差5 3+l,5冫十1的期望和方差分别为(分别为290.04,则数据5y l+1。95,21,A.3,1 B。11,1 C.3|0。2 D。4.已知等差数列()的前刀 项和为凡,若四7+q 0=c 11十3,则S11A。33 B.66 C。22 D.B.J6。已知四,3是两条不同直线,若曰 平面,则“夕 3】是“3 的(A。充分而不必要条件 B。必要而不充分条件C。充分必要条件 D。既不充分也不必要条件7.已知函数/(x)=J(四十一亠)为偶函 数.则

3、a=()I十z 乃A。-1 B。工2 C。2 D.1s i n e=2,则t a n e=()Co s32一3D4一3一9。已 知函 数/(功:=r 。l f F(g t 4十59石F己在R上单调 递 减,则实数a 的取值范围 为(t(7-3,J2:0,要)c。(0,召匀 D.o,吾lZ 0 03一2nvA数学(理科)第1页(共4页)3石2 y?四2 325.若双曲线=1(四0,D)0)的渐近线为=2石,则双曲 线的离心率为()=()试。根据测试成绩按0,20),20,40),40,60),60,80),80,1001分组得到右图所示的频率分布直方图,并且男生的测试成绩不小于60分的有80人。

4、(1)填写下面的22列联表,判断是否有95%四C(0,00750.0025名学生中选2名学生发言,设及格学生发言的小于60(10名学生进行座谈,再在这10求x 的分布列和期望。(2)数学(理科)|第2页(共4页)A.曰(3c B.c(曰(D C。30)的左、右焦点分别为珥,F2,左顶点为D,离四 D心率为共:经过日的直线交椭圆于H,B两点,F2HB的周长为8。z ,(1)求椭圆C的方程;(2)过直线J=4上一点P作椭圆C的两条切线,切点分别为,求s Dn 们的最大值。说明:若点(而,y O)在椭圆C、1上,则椭圆c 在点(幻,y O)处的切线方程艹 二 氵 辽 三l v 九?-3-P(K2 七

5、)nvnvnvU3.8416.63521。(本小 题沛 兮12兮)设函数/()=召J亠h-23i g()=锚2一石工1(四0).(1)当D=0时,设尼(万)=g(万)/);求函数 乃(x 的单调区间;(2)若函数/(x)有两个零点均,砀,证明/(Li f)0,且/(四)+r(D)生12,求上(D+手)的最小值。曰 夕(理科)。第4页(共4页)巴中市高 2023 届一诊考试理科数学参考答案共 9 页 第1页 巴中市高巴中市高 2023 届一诊考试届一诊考试理理科数学参考答案科数学参考答案 一一选择题：本大题共选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 D

6、C B A B D A C D A B A 二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 1x=14 15 15 14 16 53 2,53 2 +三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤骤1721 题为必考题，每个试题考生都要作答题为必考题，每个试题考生都要作答22、23 为选考题，考生按要求为选考题，考生按要求作答作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17（本小题满分 12 分）某中学为了解高中数学学习中抽象思

7、维与性别的关系，随机抽取了男生 120 人，女生 80 人进行测试 根据测试成绩按0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100分组得到右图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于 60 分的有 80 人（1）填写下面的 22 列联表，判断是否有 95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；成绩小于 60 成绩不小于 60 合计 男 女 合计 （2）规定成绩不小于 60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样随机抽取 10 名学生进行座谈，再在这 10 名学生中选 2 名学生发言，设及格学生发言的人数为 X，求 X 的分布列和期望 附：附：解：解：（1）成绩小

8、于 60 分的人数为：200(0.00250.00750.01)20200 0.480+=1 分 由题意，得 22 列联表如下表：3 分 成绩小于 60 成绩不小于 60 合计 男 40 80 120 女 40 40 80 合计 80 120 200 222()200(40 4040 80)5053.841()()()()80 120 80 1209n adbcKab cd ac bd=+5 分 故 有 95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关 6 分 （2）由（1）知，200 人中不及格的人数为 80，及格人数为 120 用分层抽样随机抽取的 10 名学生中不及格有 4 人，及格有

9、6 人 7 分 由题意，X 的所有可能取值为 0，1，2，且 X 服从超几何分布 264210C C()=(0,1,2)CkkP Xkk=，即：8 分 22()()()()()n adbcKab cd ac bd=+2()P Kk 0.10 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 0 20 40 60 80 100 成绩0.0250.010.00750.0050.0025频率组距巴中市高 2023 届一诊考试理科数学参考答案共 9 页 第2页 021120646464222101010C CC CC C281(0),(1),(2)15153CCCP XP XP X=10

10、 分 X 的分布列为 11 分 X 0 1 2 P 215 815 13 2816012151535EX=+=12 分 18（本小题满分 12 分）已知数列na满足11a=，121nnaa+=+（1）证明：数列1na+是等比数列；（2）设1nnba=，12nnSbbb=+，证明：2nS.解：解：（1）由121nnaa+=+得：112(1)nnaa+=+2 分 由11a=知：112a+=1121nnaa+=+4 分 数列1na+是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 5 分 （2）方法一方法一 由（1）得：12nna+=6 分 1212nnna=，当且仅当1n=时取等号 8 分 1111212n

11、nnnba=9 分 122111111221221222212nnnnnSbbb=+=即 2nS 12 分 方法二方法二 由（1）得：12nna+=21nna=6 分 23432 1,73 2,154 3aaa=7 分 当5n时，恒有222(1 1)1 CC(1)1nnnnnn n=+=+，故21(1)0nn n 8 分 对任意2n时，恒有21(1)0nn n 当2n时，恒有1111(1)1nnban nnn=10 分 121111111(1)()()222231nnSbbbnnn=+=即 2nS 12 分 说明：说明：也可用数学归纳法证明：1212nn与21(1)nn n 19（本小题满分

12、12 分）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，将AED，DCF分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 P，过 P 作PHBD，垂足为 H（1）证明：PH 平面 BFDE；（2）求PB与平面PED所成角的正弦值 解：解：（1）证明：方法一方法一 ABCDEFPBHDEF巴中市高 2023 届一诊考试理科数学参考答案共 9 页 第3页 在正方形 ABCD 中，有ACBD，由已知得/EFAC EFBD 1 分 由折叠的性质知：,PDPEPDPFPEPFP=PD 平面 PEF 2 分 又 EF 平面 PEF PDEF 3 分 PDBDD=EF 平面 PBD 4

13、分 PH 平面 PBD EFPH 5 分 PHBD，,EFBD 平面 BFDE，且 EF 与 BD 相交 PH 平面 BFDE 6 分 方法二方法二 在正方形 ABCD 中，有ACBD，由已知得/EFAC EFBD 1 分 由折叠的性质知：,PDPEPDPFPEPFP=PD 平面 PEF 2 分 又EF 平面 PEF，故PDEF 3 分 PDBDD=EF 平面 PBD 4 分 又EF 平面 BFDE，故平面 BFDE平面 PBD 5 分 PH 平面 PBD，平面 BFDE平面 PBD=BD，PHBD PH 平面 BFDE 6 分 （2）方法一方法一 不妨设正方形 ABCD 的边长为2，由已知得

14、：2,1,2PDPEPFEF=PEPF 7 分 故直线 PD，PE，PF 两两垂直 以 P 为原点，PD，PE，PF 所在直线分别为 x，y，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则(0,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,0,1)PDEF 平面 PED 的一个法向量为(0,0,1)PF=8 分 设EFBDQ=，则11(,0,)22Q，且11 11121(,2,)(,)33 22636QBDQ=9 分 11121222(,0,)(,)(,)22636333PBPQQB=+=+=10 分 设PB与平面PED所成角为，则2|33sin|cos,|23|33PB PFPB PFPBPF=

15、11 分 PB与平面PED所成角的正弦值为33 12 分 方法二方法二 不妨设正方形 ABCD 的边长为2，设EFBDQ=，PB与平面PED所成角为 由已知得：2,1,2PDPEPFEF=，PEPF，22PQBQ=7 分 又 PDPF，故PF 平面 PDE 8 分 222sin|cos,|cos22PBPFBFPBPB PFFPBPBPF+=9 分 在直角PDQ 中，3 222,22PDDQPQ=PBHDEFzxyQ巴中市高 2023 届一诊考试理科数学参考答案共 9 页 第4页 1cos3PQPQDDQ=，故1coscos3PQBPQD=10 分 在BPQ中，222 32cos3BPBQPQ

16、PQDQPQB=+=11 分 3sin3=PB与平面PED所成角的正弦值为33 11 分 方法三方法三 以 B 原点，BF，BE 及过 B 平面 BFDE 的垂线分别 为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设正方形 ABCD 的边长为2，设EFBDQ=，PB与平面PED所成角为 则11(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0),(,0,)22FEDQ 7 分 由已知得：2,1,2PDPEPFEF=PEPF 8 分 又 PDPF，故PF 平面 PDE FP为平面 PED 的一个法向量 9 分 在直角PDQ 中，3 222,22PDDQPQ=23PDPQPHDQ=，226PQHQ

17、DQ=2 23BQ=10 分 由（1）知平面PH BFDE，故点 P 的坐标为222(,)333P 222122(,),(,)333333BPFP=11 分 244|3999sin|cos,|23|33BP FPBP FPBPFP+=PB与平面PED所成角的正弦值为33 12 分 20（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1 (0)yxCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，左顶点为 D，离心率为12，经过1F的直线交椭圆于 A，B 两点，2F AB的周长为 8（1）求椭圆 C 的方程；（2）过直线4x=上一点 P 作椭圆 C 的两条切线，切点分别为 M，N，求DMNS的最大值 说明说

18、明：若点00(,)xy在椭圆2222:1yxCab+=上，则椭圆 C 在点00(,)xy处的切线方程为00221x xy yab+=解：解：（1）由椭圆的定义及2F AB的周长为 8 得：48a=，解得2a=2 分 由离心率为12得：2222111()42bba=，化简得23b=3 分 椭圆 C 的方程为22143yx+=4 分 （2）由（1）知2(2,0),(1,0)DF，设(4,)Pt，1122(,),(,)M xyN xy，则 以 M 为切点的椭圆 C 的切线方程为11143x xy y+=DxBHEPFyzQ巴中市高 2023 届一诊考试理科数学参考答案共 9 页 第5页 以 N 为切

19、点的椭圆 C 的切线方程为22143x xy y+=5 分 又 两切线均过点 P，故114143xy t+=，且224143xty+=整理化简得11330 xy t+=，且22330 xy t+=6 分 点1122(,),(,)M xyN xy均在直线330 xty+=上 直线 MN 的方程为330 xty+=，且直线 MN 过定点2(1,0)F 7 分 由22330,34120.xtyxy+=+=消去x得：22(12)6270tyty+=于是，222(6)4(12)(27)144(9)0ttt=+=+，1 20y y 由求根公式得：2122129|12tyyt+=+8 分 方法一方法一 设点

20、 D 到直线 MN 的距离为d，则299dt=+9 分 222121221891193|1|2292129DMNttSMN dyyyytt+=+=+10 分 令29tm+=，则22218918123DMNtmStm+=+，且3m 设218(),33mf mmm=+，则22 218(3)()0(3)mf mm=+11 分 函数()f m在3,)+是减函数，从而max9()(3)2f mf=DMNS的最大值为92 12 分 方法二方法二 22221212218913|(|)|2212DMNDMFDNFtSSSDFyyyyt+=+=+=+10 分 下同方法一 方法三方法三 由方法一知，直线 MN 的

21、方程为330 xty+=，且直线 MN 过定点2(1,0)F 7 分 令3ts=，则 MN 的方程化为：1xsy=+由221,34120.xsyxy=+=消去x得：22(34)690sysy+=于是，222(6)4(34)(9)144(1)0sss=+=+，1 20y y 8 分 由求根公式得：2122121|34syys+=+9 分 22221212218113|(|)|2234DMNDMFDNFsSSSDFyyyys+=+=+=+10 分 下仿方法一求解，略 21（本小题满分 12 分）设函数()2xf xebxb=，2()1 (0)g xaxxa=（1）当0b=时，设()()()h xg

22、 x f x=，求函数()h x的单调区间；（2）若函数()f x有两个零点12,xx，证明12()02xxf+解：解：（1）当0b=时，2()()()(1)xh xg x f xaxxe=，()(1)(2)xh xaxxe=+1 分 又 0a，故()0h x=得2x=，或1xa=2 分 巴中市高 2023 届一诊考试理科数学参考答案共 9 页 第6页 当12a=，即12a=时，21()(2)2xh xxe=+0恒成立 ()h x的减区间为(,)+，无增区间 3 分 当12a，即102a时，由()h x 0得：1xa，或2x ；由()0h x得12xa ()h x的减区间为1(,),(2,)a

23、+，增区间为1(,2)a 4 分 当12a，即12a 时，由()h x 0得2x ，或1xa；由()0h x得12xa ()h x的减区间为1(,2),(,)a+，增区间为1(2,)a 5 分 综上可得：当12a=时，()h x的减区间为(,)+，无增区间；当102a时，()h x的减区间为1(,),(2,)a+，增区间为1(,2)a；当12a 时，()h x的减区间为1(,2),(,)a+，增区间为1(2,)a 6 分 （2）(),xfxebx=R 当0b时，()0fx恒成立，()f x在 R 上是增函数，至多一个零点，不合题意 7 分 当0b 时，由()0fx=得lnxb=，此时：若lnx

24、b，则()0fx，()f x是减函数；若lnxb，则()0fx，()f x是增函数 min()(ln)(1 ln)f xfbbb=+由函数()f x有两个零点12,xx得：(1 ln)0bb+，解得1be 当1be时，有2ln2bb 又 2(2)0fe=，2222(2)(2)221222102bbfbebbbbb=+=当1be时，函数()f x有两个零点12,xx 8 分 注注：若未说明1be时()f x一定有两个零点，或仅说明了在lnxb=的某一侧有零点的扣 1 分 方法一方法一 设12lnxbx，则12()()0f xf x=，且22lnlnxbb+设()()(2ln)(ln)F xf x

25、fxbxb=+，则2()22 lnxxF xeb ebxbb=+22()22()20 xxxxF xeb ebeb eb=+=()F x在(ln,+)b上是增函数，故()(ln)0F xFb=9 分 当2lnxb时，有2()0F x，即22()(2ln)0f xfxb+成立 12()(2ln)0f xfxb+，即12()(2ln)f xfxb+10 分 由()f x在(,ln)b上是减函数且12,2lnlnxxbb+得：122lnxxb+12ln2xxb+11 分 当1be时，()xfxeb=在 R 上是增函数，且(ln)0fb=12()02xxf+12 分 方法二方法二 不妨设12lnxbx

26、，又()fx在 R 上单调递增 巴中市高 2023 届一诊考试理科数学参考答案共 9 页 第7页 要证12()02xxf+，只需证12ln2xxb+9 分 又12,xx是()f x的零点，故12()()0f xf x=即1212(2),(2)xxeb xeb x=+=+1122lnln(2),lnln(2)xbxxbx=+=+得2121ln(2)ln(2)xxxx=+2121(2)(2)1ln(2)ln(2)xxxx+=+10 分 由对数均值不等式得：211221(2)(2)(2)(2)1ln(2)ln(2)xxxxxx+=+12(2)(2)1xx+11 分+得：1212lnln(2)(2)2

27、xxbxx+=+12ln2xxb+12 分（二）选考题，共（二）选考题，共 10 分，请考生在分，请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，按第一题记分题中任选一题作答，如果多做，按第一题记分 22选修 44，坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为12,1xtyt=+=+（t 为参数），以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos2sin=+.（1）求l的普通方程和 C 的直角坐标方程；（2）设(1,1)P，直线l与曲线 C 相交于 A，B 两点，求11|PAPB+的值 解：解：（1）由12,1xtyt=+=+消去t得

28、12(1)xy=，整理得210 xy+=l的普通方程为210 xy+=2 分 由4cos2sin=+得24 cos2 sin=+3 分 代入222,cos,sinxyxy=+=整理得22420 xyxy+=C 的直角坐标方程为22420 xyxy+=5 分 （2）方法一方法一 设1122(,),(,)A xyB xy 由22210,420 xyxyxy+=+=解得1194 6,572 6.5xy=，或2294 6,572 6.5xy+=+=7 分 22112 62|(1)(1)5PAxy=+=22222 62|(1)(1)5PBxy+=+=9 分 553011|52|622 62PAPB+=+

29、=+10 分 方法二方法二 点(1,1)P在直线l上，设直线l与曲线 C 的交点 A，B 分别对应参数1212,()tttt 则12|5|,|5|PAtPBt=6 分 1211111()|5PAPBtt+=+7 分 代12,1xtyt=+=+入22420 xyxy+=整理得：25440tt=巴中市高 2023 届一诊考试理科数学参考答案共 9 页 第8页 解得：1222 622 6,55tt+=9 分 3011155()|55 22|622 6PAPB+=+=+10 分 方法方法三三 点(1,1)P在直线l上，设直线l与曲线 C 的交点 A，B 分别对应参数12,tt 则12|5|,|5|PA

30、tPBt=6 分 12121 2|11111()|55|ttPAPBttt t+=+=7 分 代12,1xtyt=+=+入22420 xyxy+=整理得：25440tt=1245tt+=，1 245t t=8 分 21212121 24 61616|()42555ttttttt t+=+=+=9 分 121 2|3011|5|5|ttPAPBt t+=10 分 23选修 45，不等式选讲（10 分）设函数()|1|3|f xxx=+（1）求不等式()4f x的解集；（2）若0,0ab，且()()12f af b+=，求14()bab+的最小值 解：解：（1）方法一方法一 由()4f x得424

31、,3.xx 或24,31.x 或424,1.xx+1 分 解424,3.xx 得43x 2 分 解24,31.x 得31x 3 分 解424,1.xx+得10 x 4 分 ()4f x的解集为 4,0 5 分 方法二方法二 ()4f x即|1|3|4xx+，其几何意义为：数轴上实数 x 对应的点到4与1所对点的距离之和小于 4 的点的集合 2 分 又 (0)(4)4ff=3 分 ()4f x的解集为 4,0 5 分 方法三方法三 42,3,()2,31,24,1.xxf xxxx=+其图象如右图 3 分 又 (0)(4)4ff=4 分 ()4f x的解集为 4,0 5 分 （2）方法一方法一

32、由0,0ab且()()12f af b+=得：2,02,02abab+=6 分 2()144242()1abbababaabaabab+=+=+=+7 分 422122()()33232 2aba babababbaba+=+=+=+8 分 xOy41344y=巴中市高 2023 届一诊考试理科数学参考答案共 9 页 第9页 当且仅当2abba=，即2 22,42 2ab=时取等号 9 分 14()bab+的最小值为22 2+10 分 方法二方法二 由0,0ab且()()12f af b+=得：2,02,02abab+=6 分 2()1442()2abbbbababaabaabab+=+=+=+7 分 2222 2babaabab+=8 分 当且仅当2abba=，即2 22,42 2ab=时取等号 9 分 14()bab+的最小值为22 2+10 分