四川省巴中市普通高中2020级“一诊”考试文数试题及答案.pdf

1、巴 中 市 普 通 高中2020级f 一诊考试数学(文科)(满分15o 分 12o 分钟完卷)注意事项:1.答题煎,考生务必将 自已的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置.2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题 目的答案标号涂黑;非选择题答题时必须用o 5毫米黑色墨迹签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置,在规定的答题 区域以外答题无效,在试题卷上答题无效.3考试结束后,考生将答题卡交回.-、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共6o 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目 要求的。.1.设集 合彳=(-1,0,l),B=|石=2力一1,刀4。贝刂B=()A(|1)B.(

2、工1,o)c.(0,1)D.】-191)2.设复数z 满足z(1+i)=2,则|=(),A.芈 :.1 c.而 D.2z .3.若一组样本数据 i,2,的均值和方差分别为2,0.o 4,则数据51+195 2+1,5 3+l,5+1的均值和方差分别为()Af 3,l B.l l,l c 3,0.2 D.119o.24.已知等差数列()的前刀项和为凡,若%+钩0=钩1+3,则s 11=()A.33 B.66 c.22 D.44 9 “灬 z 1丿。,5.若双曲 线华|芒 扌=1(四0,D0)的渐近线为y=2艿,则双曲线的离心率为()四 D白 62一39.已知 函 数r Fn 圭刂菇(四+4)J+

3、5,J2,一 丿 t(2q-3)石,J2:.n 县)c.(09z r 数学(文科)第1万f 廿 丁、个.雨:.谔 q 苦 D贿6已知c,-3是两条不同直线,若四平面,则“四 D”是“3”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知 函数/(J)=万(四十丁 牛|)为偶 函数,则而主()上+z A。-1 B工2 c.28.已知=29贝刂t a n g=(s i n gl+c o s e)43F则实数的取值范围为()-9”A(0,号)D钆17Jo10.在/BC中,若2s i n 2/十00s 月=2s i n 2 B+2s i n 2 C-c

4、o s(B-C),则月=()A。孕 B.孕 C。忽 D。挈o 0 j 11.随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和除以4,余数分别为0,1,2,3,所对应的概率分别为凡,爿,尾,尾,则()A碍凡=马凡 B凡周=尾P2Ci P2碍=凡尾 D尾P2=尾凡12。若曰=11n 193=0加01,c=亠,则四D,c 的太小关系为()上UA.曰b c B.c n 乙 C。b 曰c|D。四0)过点(2,1)”则a 23的最小值为|_工_工曰 ,15.已知长方体的表面积为22,过工个顶点的三条棱长之和为6,则该长方体外接球的表16.已知四-范围为乙 为单位向量,若届:莎=0,(西|2乙).(西2B)主

5、1,则(J上面)。(IB)的取 值三、解答题:本太题共6小题,共70分,解答应写 出文字说 明,证明过程或演算 骤。17-21题为必考题,每个试题考生都要作答.22、23为选考题,考生按要求作答。(一)必考题:共 60分17。(本小题满分12分)某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系,随机抽取了男生120人,女生80人进行测试。根据测试成绩按0920),20,40),40,60),60,80),80,1001分组得到右图所示的频率分布直方图,并且男生的测试成绩不小于60分的有80人。频率组距0.010.00750.0050.0025(1)求这200人测试成绩的中位数和平均数的估计值;(

6、同工区间的数据用该区间中点值作代表)(2)填写卞面的2k 2动联表,判断是否有95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关.成绩小于60成绩不小于60数学(文科)第2页(共4页)o 20 40 60 80合计田,女合计0.025数学(文科)第3页(共4页)K2=18.(本小题满分12分)刀(d-3c)2(a+乙)(c+d)(g+。)(抄+d)已 知 数列()满足d 11,+1=2t 1(1)证明:数列(+1)是等比 数列;(2)设魄午求数 列t 九)的前刀 项和巍。C刀十 上 I19。(本小题满分12分)如图,正方形刀CD申。虽:尸分别是/F,BC的中点,将ED,DCF分别沿D四,DF折起

7、,使以,C两点重合于点P,过P作尸H上BD,垂足为H(1)证明:尸盯上平面刀FDE;(-2)若四棱锥P-BFD四的体积为12,求正方形的边长。P(1(r 2虍nvnv|0。0500。010佬2.7063。8416.635(题满分12本小分6 9已知椭圆C镁斗=F;。=1(四红 0)的狂、有焦点分别为珥,F2,左顶点为D,离 D i 心率为!.经过饿 的直线交椭圆于以,尸两点,只/B的周长为8。Z ,3 (1)求椭圆C的方程;(2)过直线嚣=4上一点P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,证明:直线M过定点;求岛山赢的最太值。备注:若点(而,均)在椭圆C:工:+JF;=1上:则椭圆C在点(炕,y O

8、)处的切线方程四 夕为 华 姜+上些=1.钅“D“(二)选考题,共10分,请考生在22,23题中任选一题作答9如果多 做,按第题记分。设函数只)(1)求不等式/(x)4的解集;且/(四)+/(3)下23.求o+喜)的最 小 值。四 夕搬攀(戴料)e 簿镑l 两l(共 4页)巴中市高 2023 届一诊考试文科数学参考答案共 9 页 第1页 巴中市高巴中市高 2023 届一诊考试届一诊考试文科数学文科数学参考答案参考答案 一一选择题：本大题共选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 D C B A B D A C D B A B 二填空题：本大题共二填空题

9、：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 1x=14 8 15 14 16 53 2,53 2 +三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤骤1721 题为必考题，每个试题考生都要作答题为必考题，每个试题考生都要作答22、23 为选考题，考生按要求为选考题，考生按要求作答作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17（本小题满分 12 分）某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生 120 人，女生 80 人进行测试 根据

10、测试成绩按0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100分组得到右图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于 60 分的有 80 人（1）求这 200 人测试成绩的中位数和平均数的估计值；（同一区间的数据用该区间中点值作代表）（2）填写下面的 22 列联表，判断是否有 95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关 成绩小于 60 成绩不小于 60 合计 男 女 合计 附：附：解：解：（1）设中位数的估计值为0 x，则 020(0.00250.00750.01)0.025(60)0.5x+=2 分 化简得00.025(60)0.1x=，解得064x=中位数的估计值为

11、 64 3 分 设平均数的估计值为x，则 10 20 0.002530 20 0.007550 20 0.01 70 20 0.02590 20 0.005x=+5 分 0.54.5 1035959=+=平均数的估计值为 59 6 分 注注：中位数估计值的另一算法 020 0.0050.025(80)0.5x+=，化简得00.025(80)0.4x=，解得064x=（2）成绩小于 60 分的人数为：200(0.00250.00750.01)20200 0.480+=7 分 由题意，得 22 列联表如下表：9 分 成绩小于 60 成绩不小于 60 合计 男 40 80 120 女 40 40 8

12、0 合计 80 120 200 22()()()()()n adbcKab cd ac bd=+2()P Kk 0.10 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 0 20 40 60 80 100 成绩0.0250.010.00750.0050.0025频率组距巴中市高 2023 届一诊考试文科数学参考答案共 9 页 第2页 222()200(40 4040 80)5053.841()()()()80 120 80 1209n adbcKab cd ac bd=+11 分 故 有 95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关 12 分 18（本小题满分 12 分）已

13、知数列na满足11a=，121nnaa+=+（1）证明：数列1na+是等比数列；（2）设1nnnba=+，求数列 nb的前 n 项和nS 解：解：（1）由121nnaa+=+得：112(1)nnaa+=+2 分 由11a=知：112a+=1121nnaa+=+4 分 数列1na+是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 5 分 （2）方法一方法一 由（1）得：12nna+=6 分 12nnnnnba=+7 分 231232222nnnS=+212321222nnnS=+8 分 得：2111112222nnnnS=+10 分 1122212212nnnnn+=11 分 222nnnS+=12 分

14、方法二方法二 由（1）得：12nna+=6 分 12nnnnnba=+7 分 231232222nnnS=+2311121 22222nnnnnS+=+8 分 得：21111122222nnnnS+=+10 分 11111(1)2122111222212nnnnnnnn+=11 分 222nnnS+=12 分 19（本小题满分 12 分）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别是AB，BC 的中点，将AED，DCF分别沿DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 P，过P 作PHBD，垂足为 H（1）证明：PH 平面 BFDE；（2）若四棱锥PBFDE的体积为 12，求正方形的边长 ABCDE

15、FPBHDEF巴中市高 2023 届一诊考试文科数学参考答案共 9 页 第3页 解：解：（1）证明：方法一方法一 在正方形 ABCD 中，有ACBD，由已知得/EFAC EFBD 1 分 由折叠的性质知：,PDPEPDPFPEPFP=PD 平面 PEF 2 分 又EF 平面 PEF，故PDEF 3 分 PDBDD=EF 平面 PBD 4 分 又PH 平面 PBD，故EFPH 5 分 PHBD，,EFBD 平面 BFDE，且 EF 与 BD 相交 PH 平面 BFDE 6 分 方法二方法二 在正方形 ABCD 中，有ACBD，由已知得/EFAC EFBD 1 分 由折叠的性质知：,PDPEPDP

16、FPEPFP=PD 平面 PEF 2 分 又EF 平面 PEF，故PDEF 3 分 PDBDD=EF 平面 PBD 4 分 又EF 平面 BFDE，故平面 BFDE平面 PBD 5 分 PH 平面 PBD，平面 BFDE平面 PBD=BD，PHBD PH 平面 BFDE 6 分 （2）方法一方法一 连结 EF，设EFBDQ=，正方形 ABCD 的边长为2 (0)aa 则22422ADEBFDESaSa=四边形 7 分 由已知得：3 22,2,2PDaPEPFaEFaDQa=PEPF，22PQa=8 分 由（1）知PDPQ，在直角PDQ 中 由PHDQ得：23PDPQPHaDQ=10 分 又由（

17、1）知：PH 平面 BFDE 2311242123339P BFDEBFDEVSPHaaa=四边形，解得3a=11 分 正方形的边长 6 12 分 方法方法二二 连结 EF，设EFBDQ=，正方形 ABCD 的边长为2 (0)aa 由已知得：2,2,3PDaPEPFaEFaDQBQ=，EFBD 7 分 PEPF，3DEFBEFSS=3P DEFP BEFVV=8 分 4433P BFDEP DEFF DEPVVV=9 分 由PEPF，PDPF，PDPE得：31133F PEDVPDPEPFa=10 分 又 12P BFDEV=34129a=，解得3a=11 分 正方形的边长 6 12 分 21

18、（本小题满分 12 分）PHDEFBQ巴中市高 2023 届一诊考试文科数学参考答案共 9 页 第4页 设函数()2xf xebxb=，2()1 (0)g xaxxa=（1）当0b=时，设()()()h xg x f x=，求函数()h x的单调区间；（2）若函数()f x有两个零点12,xx，求b的取值范围 解：解：（1）当0b=时，2()()()(1)xh xg x f xaxxe=，()(1)(2)xh xaxxe=+1 分 又 0a，故()0h x=得2x=，或1xa=2 分 当12a=，即12a=时，21()(2)2xh xxe=+0恒成立 ()h x的减区间为(,)+，无增区间 3

19、 分 当12a，即102a时，由()h x 0得1xa，或2x ；由()0h x得12xa ()h x的减区间为1(,),(2,)a+，增区间为1(,2)a 4 分 当12a，即12a 时，由()h x 0得2x ，或1xa；由()0h x得12xa ()h x的减区间为1(,2),(,)a+，增区间为1(2,)a 5 分 综上可得：当12a=时，()h x的减区间为(,)+，无增区间；当102a时，()h x的减区间为1(,),(2,)a+，增区间为1(,2)a；当12a 时，()h x的减区间为1(,2),(,)a+，增区间为1(2,)a 6 分 （2）方法一方法一(),xfxebx=R

20、当0b时，()0fx恒成立，()f x在 R 上是增函数，至多一个零点，不合题意 7 分 当0b 时，由()0fx=得lnxb=，此时：若lnxb，则()0fx，()f x是减函数；若lnxb，则()0fx，()f x是增函数 min()(ln)(1 ln)f xfbbb=+8 分 由函数()f x有两个零点12,xx得：(1 ln)0bb+，解得1be 9 分 当1be时，有2ln2bb 2(2)0(ln)fefb=()f x在(2,ln)b内有一个零点 10 分 令2()12xxF xex=，则()1xF xex=令()()1xxF xex=，则()1xxe=在(0,)+恒正 ()F x在

21、(0,)+上单调递增，故()(0)0F xF=()F x在(0,)+上单调递增 22(2)221(2)10bFbebbfb=(2)10(ln)fbfb ()f x在(ln,2)bb内也有一个零点 11 分 即 当1be时，函数()f x有两个零点12,xx 实数 b 的取值范围为1,)b+12 分 方法方法二二 由()0f x=得：(2)xeb x=+故()f x有两个零点12,xx等价于曲线xye=与直线(2)yb x=+有两个不同的交点 当2x 时，直线(2)yb x=+应在过点(2,0)的曲线xye=的切线的上方 7 分 巴中市高 2023 届一诊考试文科数学参考答案共 9 页 第5页

22、设过点(2,0)的曲线xye=的切线与曲线切于点00(,)xy 则有0002xxeex=+，解得01x=8 分 过点(2,0)的曲线xye=的切线方程为1(2)yxe=+1be 9 分 当1be时 由21(2)0,(1)0fefbe=知()f x在(2,1)内有一个零点 10 分 由直线上升与指数爆炸两种增长形知，总存在正数m，当xm时有(2)xeb x+()f x在(1,)+内也有一个零点 11 分 实数 b 的取值范围为1,)b+12 分 方法方法三三 由()0f x=得(2)xeb x=+，当2x=时等式不成立，故2x (2)2xebxx=+7 分 设()2xeH xx=+，则2(1)(

23、)(2)xexH xx+=+当1x 且2x 时，()0H x，当1x 时，()0H x ()H x在(,2),(2,1)内是减函数，在(1,)+内是增函数，1()(1)H xHe=极小值 8 分 又 当2x 时，()0H x；当2x 时，1()H xe 关于 x 方程2xebx=+有两个不同的解的必要条件为1be 10 分 又 当2x 时，若2x ，或x +时均有2xex+当1be时，方程2xebx=+有两个不同的解 11 分 实数 b 的取值范围为1,)b+12 分 方法四方法四 由()0f x=得：(2)xeb x=+，当0b=时等式不成立，故0b 7 分 于是对(2)xeb x=+变形得

24、12xxbe+=设2()xxG xe+=，则1()xxG xe+=当1x 时()0G x，()G x单调递增；当1x 时()0G x，()G x单调递减 8 分 max()(1)G xGe=9 分 又 当2x时，()0G x；当2x 时()0G x 当x +时，()0G x 10 分 当且仅当0eb时，直线1yb=与函数()G x的图象有两个不同的交点 11 分 1be时，函数()f x有两个零点12,xx 实数 b 的取值范围为1,)b+12 分 注注：上述解法中，若仅说明了在lnxb=的某一侧有一个零点但未说明在两侧各有一零点的扣 1 分；xyO21AB巴中市高 2023 届一诊考试文科数

25、学参考答案共 9 页 第6页 若未由零点存在定理说明1be时()f x一定有两个零点的扣 2 分 20（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1 (0)yxCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，左顶点为 D，离心率为12，经过1F的直线交椭圆于 A，B 两点，2F AB的周长为 8（1）求椭圆 C 的方程；（2）过直线4x=上一点 P 作椭圆 C 的两条切线，切点分别为 M，N，证明：直线 MN 过定点；求DMNS的最大值 说明说明：若点00(,)xy在椭圆2222:1yxCab+=上，则椭圆 C 在点00(,)xy处的切线方程为00221x xy yab+=解：解：（1）由椭圆的定义

26、及2F AB的周长为 8 得：48a=，解得2a=2 分 由离心率为12得：2222111()42bba=，化简得23b=3 分 椭圆 C 的方程为22143yx+=4 分 （2）证明证明 由（1）知2(2,0),(1,0)DF，设(4,)Pt，1122(,),(,)M xyN xy，则 以 M 为切点的椭圆 C 的切线方程为11143x xy y+=以 N 为切点的椭圆 C 的切线方程为22143x xy y+=5 分 又 两切线均过点 P，故114143xy t+=，且224143xty+=整理化简得11330 xy t+=，且22330 xy t+=6 分 点1122(,),(,)M x

27、yN xy均在直线330 xty+=上 直线 MN 的方程为330 xty+=，且直线 MN 过定点2(1,0)F 7 分 由22330,34120.xtyxy+=+=消去x得：22(12)6270tyty+=于是，222(6)4(12)(27)144(9)0ttt=+=+，1 20y y 由求根公式得：2122129|12tyyt+=+8 分 方法一方法一 设点 D 到直线 MN 的距离为d，则299dt=+9 分 222121221891193|1|2292129DMNttSMN dyyyytt+=+=+10 分 令29tm+=，则22218918123DMNtmStm+=+，且3m 设2

28、18(),33mf mmm=+，则22 218(3)()0(3)mf mm=+11 分 函数()f m在3,)+是减函数，从而max9()(3)2f mf=DMNS的最大值为92 12 分 方法二方法二 22221212218913|(|)|2212DMNDMFDNFtSSSDFyyyyt+=+=+=+10 分 下同方法一 巴中市高 2023 届一诊考试文科数学参考答案共 9 页 第7页 方法三方法三 由方法一知，直线 MN 的方程为330 xty+=，且直线 MN 过定点2(1,0)F 7 分 令3ts=，则 MN 的方程化为：1xsy=+由221,34120.xsyxy=+=消去x得：22

29、(34)690sysy+=于是，222(6)4(34)(9)144(1)0sss=+=+，1 20y y 8 分 由求根公式得：2122121|34syys+=+9 分 22221212218113|(|)|2234DMNDMFDNFsSSSDFyyyys+=+=+=+10 分 下仿方法一求解，略（二）选考题，共（二）选考题，共 10 分，请考生在分，请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，按第一题记分题中任选一题作答，如果多做，按第一题记分 22选修 44，坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为12,1xtyt=+=+（t 为参数），以 O 为极点，x

30、 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos2sin=+.（1）求l的普通方程和 C 的直角坐标方程；（2）设(1,1)P，直线l与曲线 C 相交于 A，B 两点，求11|PAPB+的值 解：解：（1）由12,1xtyt=+=+消去t得：12(1)xy=，整理得210 xy+=l的普通方程为210 xy+=2 分 由4cos2sin=+得24 cos2 sin=+3 分 代入222,cos,sinxyxy=+=整理得22420 xyxy+=C 的直角坐标方程为22420 xyxy+=5 分 （2）方法一方法一 设1122(,),(,)A xyB xy 由22210,420

31、xyxyxy+=+=解得1194 6,572 6.5xy=，或2294 6,572 6.5xy+=+=7 分 22112 62|(1)(1)5PAxy=+=22222 62|(1)(1)5PBxy+=+=9 分 553011|52|622 62PAPB+=+=+10 分 方法二方法二 点(1,1)P在直线l上，设直线l与曲线 C 的交点 A，B 分别对应参数1212,()tttt 则12|5|,|5|PAtPBt=6 分 1211111()|5PAPBtt+=+7 分 代12,1xtyt=+=+入22420 xyxy+=整理得：25440tt=解得：1222 622 6,55tt+=9 分 3

32、011155()|55 22|622 6PAPB+=+=+10 分 巴中市高 2023 届一诊考试文科数学参考答案共 9 页 第8页 方法方法三三 点(1,1)P在直线l上，设直线l与曲线 C 的交点 A，B 分别对应参数12,tt 则12|5|,|5|PAtPBt=6 分 12121 2|11111()|55|ttPAPBttt t+=+=7 分 代12,1xtyt=+=+入22420 xyxy+=整理得：25440tt=1245tt+=，1 245t t=8 分 21212121 24 61616|()42555ttttttt t+=+=+=9 分 121 2|3011|5|5|ttPAP

33、Bt t+=10 分 23选修 45，不等式选讲（10 分）设函数()|1|3|f xxx=+（1）求不等式()4f x的解集；（2）若0,0ab，且()()12f af b+=，求14()bab+的最小值 解：解：（1）方法一方法一 由()4f x得424,3.xx 或24,31.x 或424,1.xx+1 分 解424,3.xx 得43x 2 分 解24,31.x 得31x 3 分 解424,1.xx+得10 x 4 分 ()4f x的解集为 4,0 5 分 方法二方法二 ()4f x即|1|3|4xx+，其几何意义为：数轴上实数 x 对应的点到4与1所对点的距离之和小于 4 的点的集合

34、2 分 又 (0)(4)4ff=3 分 ()4f x的解集为 4,0 5 分 方法三方法三 42,3,()2,31,24,1.xxf xxxx=+其图象如右图 3 分 又 (0)(4)4ff=4 分 ()4f x的解集为 4,0 5 分 （2）方法一方法一 由0,0ab且()()12f af b+=得：2,02,02abab+=6 分 2()144242()1abbababaabaabab+=+=+=+7 分 422122()()33232 2aba babababbaba+=+=+=+8 分 当且仅当2abba=，即2 22,42 2ab=时取等号 9 分 14()bab+的最小值为22 2+10 分 方法二方法二 xOy41344y=巴中市高 2023 届一诊考试文科数学参考答案共 9 页 第9页 由0,0ab且()()12f af b+=得：2,02,02abab+=6 分 2()1442()2abbbbababaabaabab+=+=+=+7 分 2222 2babaabab+=8 分 当且仅当2abba=，即2 22,42 2ab=时取等号 9 分 14()bab+的最小值为22 2+10 分