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1、数论综合测试 1. 求所有的正整数 k,n 使得 k! = n i=1 (2n 2i1). 2. 设 n 为合数. 证明: 对任意正整数 b, bn 1 b 1 不为某个素数的幂. 3. 给定两两不同的正整数 a1,a2,.,ak. 记 A = x | 存在正整数i = j,使得x = (ai,aj)或x = ai,aj. 求 |A| 的最小值. 4. 证明: 对于任意素数 p 和不全相等的正整数 b1,b2,.bp, 存在正整数 k, 使得 (b1+ k)(b2+ k)(bp+ k) 不是正整数的方幂 (即形如 ab的数, 其中 b 2). 5. 定义 rad(n) 如下: rad(1) =

2、 1, 若 n 1, 则 rad(n) 表示 n 所有素因子的乘积. 已知数列 an 满足: a1为正整数, 且对任意正整数 n, an+1= an+ rad(an). 证明: 无论 a1如何取值, 该数列中都存在连续 2020 项构成等差数列. 6. 给定大于 1 的正整数 n,k. 设 P(x) 为 n 次整系数多项式, 定义 Q(x) = P(P(P(P(x), 即 P(x) 迭代 k 次所得的多项式. 考虑方程 Q(x) = x, 设其整数根个数的最大可能值为 f(n,k). (1) 证明: 若 u 为该方程的一个整数根, 则 P(P(u) = u. (2) 证明: 若 u,v 为该方程的两个整数根, 且 P(u) = u, 则 P(u) + u = P(v) + v. (3) 证明: f(n,k) = n. 1