清华大学数学实验3插值与数值积分课件.ppt
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- 清华大学 数学 实验 数值 积分 课件
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1、大学数学实验大学数学实验Mathematical Experiments 实验实验3 3 插值与数值积分插值与数值积分计算机会“算”吗?靠得住吗?例:把例:把4开开n次方,再平方次方,再平方n次,结果是次,结果是4?存在误差?存在误差?英国著名数值分析学家英国著名数值分析学家 HighamHigham(1998):(1998):Can you count on computers?Can you count on computers?精确计算:精确计算:解析结果解析结果(Analytical)近似计算:近似计算:数值结果数值结果(Numerical)?422n=55左右:结果变成左右:结果变成
2、1计算功效计算功效=计算工具计算工具*计算方法计算方法(算法算法)浮点运算:舍入误差浮点运算:舍入误差实验3的基本内容3.3.数值积分的数值积分的梯形公式、辛普森公式和梯形公式、辛普森公式和高斯公式。高斯公式。1.1.插值的基本原理;插值的基本原理;三种插值方法:拉格朗日插三种插值方法:拉格朗日插 值,分段线性值,分段线性 插值,三次样条插值。插值,三次样条插值。2.2.插值的插值的 MATLAB 实现实现及插值的应用及插值的应用。4.4.数值积分的数值积分的 MATLAB 实现实现及数值积分的应用及数值积分的应用。什么是插值什么是插值(Interpolation)?从查函数表说起?从查函数表
3、说起查查 函函 数数 表表xtdtex2221)(x0121.0 0.8413 0.8438 0.84611.1 0.8643 0.8665 0.86861.2 0.8849 0.8869 0.8888标准正态分布函数表标准正态分布函数表求求 (1.114)(1.114)=0.8665 (0.8686 0.8665)0.4=0.8673插值插值插值在图像处理插值在图像处理/数控加工数控加工/外观设计等领域有重要应用外观设计等领域有重要应用插值的基本原理插值的基本原理插值问题的提法插值问题的提法已知已知 n+1n+1个节点个节点,1,0(),(njyxjj其中其中jx互不相同,不妨设互不相同,不
4、妨设),10bxxxan求任一插值点求任一插值点)(*jxx 处的插值处的插值.*y0 x1xnx0y1y节点可视为由节点可视为由)(xgy 产生产生,g表达式复杂表达式复杂,甚至无表达式甚至无表达式*x*y0 x1xnx0y1y求解插值问题的基本思路求解插值问题的基本思路构造一个构造一个(相对简单的相对简单的)函数函数),(xfy 通过全部节点通过全部节点,即即),1,0()(njyxfjj再用再用)(xf计算插值,即计算插值,即).(*xfy*x*y插值的插值的基本原理基本原理1.1.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)多项式插值多项式插值1.0 1.0 插值多项式插值
5、多项式)1()(0111axaxaxaxLnnnnnnnnnnnnnyyYaaAxxxxX001100,11在什么条件下)(0)det(X),1,0()(njyxLjjn)2(YXA 求ia三种插值三种插值方法方法有唯一解)2(1.1 1.1 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式nixxxxxxxxxxxxxxxxxlniiiiiiniii1,0,)()()()()()()(110110)3()()(0 xlyxLiniinjjnjiyxLjijixl)(,0,1)(则若又又(2)有唯一解,故有唯一解,故(3)与与(1)相同。相同。基函数基函数()ilx)1()(0111axaxaxaxLnn
6、nnn)2(YXA三种插值三种插值方法方法),(),()!1()()()()(0)1(baxxngxLxgxRnjjnnn1)1()(nnMg减小(粗略地看)如何使误差)(xRn平缓gjxx 接近njjnnxxnMxR01)!1()(三种插值三种插值方法方法1.2 1.2 误差估计误差估计增加n1.3 1.3 拉格朗日插值多项式的振荡拉格朗日插值多项式的振荡?)(?)(xRxLnnn55,11)(2xxxg63.363.3),()(limxxgxLnnRunge现象现象取n=2,4,6,8,10,计算Ln(x),画出图形-505-1.5-1-0.500.511.52y=1/(1+x2)n=2n
7、=4n=6n=8n=10三种插值三种插值方法方法Runge.m2.2.分段线性插值分段线性插值xjxj-1xj+1x0 xn其它,0,)()()(1111110jjjjjjjjjjjnjjjnxxxxxxxxxxxxxxxlxlyxI计算量与计算量与n n无关无关;n n越大,误差越小越大,误差越小.nnnxxxxgxI0),()(lim三种插值三种插值方法方法机翼下轮廓线3.3.三次样条插值三次样条插值样条函数的由来样条函数的由来飞机、船体、汽车外形等的放样(设计)飞机、船体、汽车外形等的放样(设计)细木条:样条细木条:样条3.3.三次样条插值三次样条插值,1,),()(1nixxxxsxS
8、iii,)()3),1,0()()2),1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs数学样条(数学样条(spline)iiiidcban,4 个待定系数3))1,1()()()()(),()(111 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii3)2),3)共 4n-2个方程三种插值三种插值方法方法自然边界条件)(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiii三次样条插值确定三次样条插值确定4n4n个系数需增加个系数需增加 2 2个条件个条件思考1)自然边界条件的几何意义是什么?2)样条插值为什么普遍用3次多项式,而不是2或4次?三
9、次样条三次样条插值插值).()(limxgxSn三种插值方法小结三种插值方法小结 拉格朗日插值(高次多项式插值):拉格朗日插值(高次多项式插值):曲线光滑;误差估计有表达式;收敛性不能保证。曲线光滑;误差估计有表达式;收敛性不能保证。用于理论分析,实际意义不大用于理论分析,实际意义不大。分段线性和三次样条插值(低次多项式插值):分段线性和三次样条插值(低次多项式插值):曲线不光滑(三次样条插值已大有改进);误差估曲线不光滑(三次样条插值已大有改进);误差估计较难(对三次样条插值);收敛性有保证。计较难(对三次样条插值);收敛性有保证。简单实用,应用广泛简单实用,应用广泛。其他:其他:Hermi
10、te插值、分段三次插值、二维插值等插值、分段三次插值、二维插值等根据需要,各取所需根据需要,各取所需。1.1.拉格朗日插值拉格朗日插值:自编程序自编程序,如名为如名为 lagr.m 的的M文件,文件,第一行为第一行为 function y=lagr(x0,y0,x)输入输入:节点节点x0,y0,插值点插值点x(均为均为数组,长度自定义数组,长度自定义)););输出输出:插值插值y(与与x同长度数组同长度数组))。)。应用时输入应用时输入x0,y0,x后后,运行运行 y=lagr(x0,y0,x)2.2.分段线性插值分段线性插值:已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x)y=inte
11、rp1(x0,y0,x,linear)3.3.三次样条插值三次样条插值:已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x,spline)或或 y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值计算注:注:MATLAB有样条工具箱(有样条工具箱(Spline Toolbox)用MATLAB作插值计算55,11)(2xxxg为例,作三种插值的比较为例,作三种插值的比较以以 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.8000 0.8434 0.7500 0.8205 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.5000 0.3
12、077 0.2353 0.3500 0.2973 2.0000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 2.5000 0.1379 0.2538 0.1500 0.1401 3.0000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 3.5000 0.0755 -0.2262 0.0794 0.0745 4.0000 0.0588 0.0588 0.0588 0.0588 4.5000 0.0471 1.5787 0.0486 0.0484 5.0000 0.0385 0.0385 0.0385 0.0385 x y y1 y2 y3 用用n=11个节个节点,点,m=
13、21个插值点,个插值点,三种方法作三种方法作插值,画图。插值,画图。chazhi1插值的应用加工时需要加工时需要x每每改变改变0.05时的时的y值值chazhi2图1 零件的轮廓线 (x间隔0.2)表1 x间隔0.2的加工坐标x,y(图1右半部的数据)数控机床加工零件数控机床加工零件 0.0,5.00 0.2,4.710.4,4.31 0.6,3.68 0.8,3.051.0,2.50 1.2,2.051.4,1.69 1.6,1.40 1.8,1.182.0,1.00 2.2,0.862.4,0.74 2.6,0.64 模型模型 将图1逆时针方向转90度,轮廓线上下对称,只需对上半部计算一个
14、函数在插值点的值。图2 逆时针方向转90度的结果-5-4-3-2-101234500.511.522.533.544.55uv令v=x,u=-y 为什么要作数值积分为什么要作数值积分 许多函数许多函数“积不出来积不出来”,只能用数值方法,如只能用数值方法,如dxxxdxebabaxsin,22 积分是重要的数学工具,是微分方程、概率积分是重要的数学工具,是微分方程、概率论等的基础;在实际问题中有直接应用。论等的基础;在实际问题中有直接应用。对于用离散数据或者图形表示的函数对于用离散数据或者图形表示的函数,计算积分只有求助于数值方法。计算积分只有求助于数值方法。数值数值积分积分nabfIIdxx
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