2020届云师大附中高三高考适应性月考（二）数学（理）试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 22 页 2020 届云师大附中高三高考适应性月考（二）数学（理）试届云师大附中高三高考适应性月考（二）数学（理）试 题题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 2 230Ax xx，集合，集合 lg3Bx yx，则，则AB （）（） A3 1xx B3x x C31 3xxx 或 D13xx 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据一元二次不等式以及对数函数的定义域化简集合 A、B，根据交集的定义 写出AB即可. 【详解】 2 |230 |3Ax xxx x 或1x ， |lg(3) |3Bx yxx x ， AB | 31xx 或3x ，故选 C. 【点睛】 本题主要考

2、查了集合的化简与运算问题，属于基础题 2设设 12 2 i z i ，则，则 z 的虚部是（）的虚部是（） A1 Bi C-1 D-i 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据复数的性质化简z，结合虚部即可得到结果. 【详解】 12ii(2i) i 2i2i z ，z的虚部为 1，故选 A 【点睛】 本题主要考查了复数的运算性质以及复数的分类，属于基础题. 3已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为近线方程为2yx，则该双，则该双 曲线的离心率是（）曲线的离心率是（） A3 B5 C5或或 6 2 D 3或 或 6 2 【答案】【答

3、案】D 第 2 页 共 22 页 【解析】【解析】分为焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情形，由渐近线的方程得 b a 的值，结合 2 2 2 1 b e a 可得离心率的值. 【详解】 依题意，双曲线的焦点在x轴上时，设它的方程为 22 22 1(00) xy ab ab ，； 由渐近线方程为2yx，得2 b a ，故 2 2 2 13 b e a ，即 3e ， 焦点在y轴上时，设它的方程为 22 22 1(00) yx ab ab ， 由渐近线方程为2yx，得2 a b ，故 2 2 2 3 1 2 b e a ，即 6 2 e ，故选 D 【点睛】 本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的

4、概念，掌握 2 2 2 1 b e a 是解题的关键，属 于中档题. 4 下图的程序框图的算法思路源于我国数学名著 九章算术 中的 下图的程序框图的算法思路源于我国数学名著 九章算术 中的“中国剩余定理中国剩余定理” 若 若 正整数正整数 N 除以正整数除以正整数 m 后得余数后得余数 r，则记为，则记为 modNrm ，如：，如： 82 mod3 ，则执行，则执行 该程序框图输出的该程序框图输出的 n 等于（）等于（） A7 B6 C5 D8 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的

5、变化情况，可得答案 【详解】 根据给定的程序框图，可知： 第 3 页 共 22 页 第一次执行循环体得3n，15M ，此时15 0(mod 5) ，不满足第一个条件； 第二次执行循环体得5n，20M ，此时20 0(mod5) ，不满足第一个条件； 第三次执行循环体得7n，27M ，此时27 2(mod5) 且2726M ，既满足第一 个条件又满足第二个条件，退出循环，输出 7，故选 A 【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题 5根据如下样本数据得到的回归直线方程根据如下样本数据得到的回归直线方程 ybxa，则下列判断正确的是（，

6、则下列判断正确的是（ ） x 2 3 4 5 6 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2 A 0,0.94bba B 0,40.9bba C 0,0.94aba D 0,40.9aba 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先根据增减性得 0,b 再求, x y代入验证选项 【详解】 因为随着x增加，y大体减少，所以 0,b 因为 2345642.50.50.52 4,0.9 55 xy ， 所以0.9 4ba ，0,a 故选 D 【点睛】 本题考查回归直线方程，考查基本分析判断能力，属基础题. 6在在ABC中，中，D 在边在边 AC 上满足上满足 1 2 ADDC，E 为为 BD 的中点，

7、则的中点，则CE uuu v （）（） A 51 63 BABC B 15 36 BABC C 15 36 BABC D 51 63 BABC 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据E为中点，首先易得 11 22 CECBCD，再通过向量加法以及向量的减法 第 4 页 共 22 页 和 1 2 ADDC即可得到结果. 【详解】 如图所示： 因为E为BD的中点，所以 11 22 CECBCD， 又 1 2 ADDC， 2 3 CDCA， 1 2 CECB 12111115 () 23232336 CACBCACBBABCBABC，故选 B 【点睛】 本题主要考查平面向量基本定理的应用，对向量加

8、法和减法的运用较为灵活，属于基础 题 7已知实数已知实数 x，y 满足约束条件满足约束条件 0 30 1 xy xy y ，则，则 2 2 x y z 的最大值是（）的最大值是（） A2 B1 C 1 2 D-1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【详解】 由实数 x，y 满足约束条件 0 30 1 xy xy y ，作出可行域如图，则 21 2 x z 的最大值就是 2txy 的最大值时取得，联立 0 1 xy y ,解得 (1,1)A.化目标函数2txy 为 2yxt

9、，由图可知，当直线2yxt过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 有最大值为 1 2 ，故选 C. 第 5 页 共 22 页 【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题 8 2 6 1 12xx x 的展开式中，含的展开式中，含 2 x的项的系数是（）的项的系数是（） A-40 B-25 C25 D55 【答案】【答案】B 【解析】【解析】写出二项式 6 1 x x 的展开式中的通项，然后观察含 2 x的项有两种构成，一 种是 2 12x 中的 1 与 6 1 x x 中的二次项相乘得到，一种是 2 12x 中的 2 2x与 6 1 x x 中的常数项

10、相乘得到，将系数相加即可得出结果。 【详解】 二项式 6 1 x x 的展开式中的通项 66 2 166 1 C( 1) C k kkkkk k Txx x ，含 2 x的项的 系数为 2233 66 ( 1)2 ( 1)25CC ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题 9函数函数 sin ln xx yx x 在在4,4的图象大致是（）的图象大致是（） 第 6 页 共 22 页 A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先证明该函数为偶函数，故而可排除 C，D 选项，接着判断函数在 2 x 处的 函数值符号即可排除

11、选项 B，即可得结果. 【详解】 令 sin ln | ( ) | xxx f x x ，则 ( )f x的定义域为(0)(0)， ， 因为 ()fx ()sin()ln|()|sin ln| ( ) |()| xxxxxx f x xx ，所以 ( )f x为偶函数， 则选项 C，D 错误； 当x 2 时， sinln 222 ( )ln0 2 2 f x ，所以选项 B 错误，故选 A 【点睛】 本题主要考查了函数图象的识别，主要通过排除法，利用函数的奇偶性以及函数值的符 号是常用的方法手段，属于中档题. 10在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线中，抛物线 2 20ypx

12、p的焦点为的焦点为 F，准线为，准线为 l，过点，过点 F 倾斜角为倾斜角为 3 的直的直线线 l与抛物线交于不同的两点与抛物线交于不同的两点 A，B（其中点（其中点 A 在第一象限） ，过点在第一象限） ，过点 A 作作AMl，垂足为，垂足为 M 且且2 3MF ，则抛物线的方程是（），则抛物线的方程是（） A 2 3yx B 2 3yx C 2 yx D 2 2 3yx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设直线l与x轴交于点N，连接MF，先证得AMF为等边三角形，然后在 RtMNF中，求出|3FN 即得到p的值，进而可得结果. 【详解】 第 7 页 共 22 页 设直线l与x轴交于点N，

13、连接MF，因为直线 l 的倾斜角为 3 ，所以 3 MAF， 又| | |AFAM ，所以AMF为等边三角形，即 3 AFM，则 3 MFN， 在RtMNF中，| 2 3MF ，所以|3FN ，即3p ， 所以抛物线的方程为 2 2 3yx，故选 D 【点睛】 本题考查了抛物线的简单几何性质， 考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方 法，是中档题 11已知已知 0.3 log6a ， 2 log 6b ，则（，则（ ） A22babaab B22baabba C22babaab D22abbaba 【答案】【答案】A 【解析】【解析】容易判断出0a ，0b，从而得出0ab，并可得出 12

14、2 1 ba baba ， 从而得出2baab，并容易得出22baba，从而得出结论. 【详解】 因为 0.3 log60a ， 2 log 60b ，所以0ab， 因为 6666 12 log 0.32 log 2log 1.2log 61 ab ，即 2 1 ba ab ， 又0ab，所以2baab， 又( 2 )(2 )40babaa ，所以22baba，所以22babaab， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等 式的性质，属于中档题. 12在直三棱柱在直三棱柱 111 ABCABC中，中， 90BAC 且且 1 4BB ，

15、设其外接球的球心为，设其外接球的球心为 O， 已知三棱锥已知三棱锥OABC的体积为的体积为 2.则球则球 O 的表面积的最小值是（）的表面积的最小值是（） A 32 3 B28 C16 D32 【答案】【答案】B 【解析】【解析】设,ABcACb，球的半径为 R，因为底面均为直角三角形，故外接球的 球心为两个底面三角形外接圆圆心的连线的中点，如图中 O 点为三棱柱外接球的球 第 8 页 共 22 页 心根据三棱锥 OABC 的体积为 2，可得6bc ，接着表示出 R，根据基本不等式可 得到球的表面积的最小值 【详解】 如图，在RtABC中， 设,ABcACb， 则 22 BCbc ， 取 11

16、 ,BC BC的中点分别为 21 ,O O则 21 ,O O分 别为RtABC和 11 Rt ABC的外接圆的圆心，连接 21 O O，又直三棱柱 111 ABCABC 的外接球的球心为 O，则 O 为 21 O O的中点，连接 OB，则 OB 为三核柱外接球的半径。 设半径为 R， 因为直三棱柱 111 ABCABC， 所以 121 4BBO O， 所以三棱锥O ABC 的高为 2，即 2 2OO ，又三棱锥O ABC体积为 2，所以 11 226 32 ABC O Vbcbc .在 2 RtOO B中， 2 2 2222 2 2 2 1 44 224 bcbc RBCOO ， 所以 22

17、222 44416216121628 4 bc SRbcbc 球表 ，当且仅当bc时取“=”，所以球 O 的表面积的最小值是28，故选 B. 【点睛】 本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等,属于中档题 二、填空题二、填空题 13已知已知 2, 2 1 ,2 xx f x f xx ，则，则 1f的值为的值为_。 【答案】【答案】4 【解析】【解析】根据 (1)(1 1)(2)fff 即可得到结果. 第 9 页 共 22 页 【详解】 因为12，所以 2 (1)(1 1)(2)24fff，故答案为 4. 【点睛】 本题主要考查函数值的求法， 考查函数性质等基础知识， 考查运算

18、求解能力， 是基础题 14 记 记 n S为等比数列为等比数列 n a的前的前n项和， 若项和， 若 4352 32,4SSS a， 则， 则 6 a=_. 【答案】【答案】64 【解析】【解析】根据 1nnn aSS ，将 354 32SSS变形为 4354 22SSSS，即可快速 求出公比，进而求出 4 a。 【详解】 设等比数列 n a的公比为 q， 4354354 32,22SSSSSSS，得 5 45 4 2,2 a aaq a ，又 2 4a ，得 4 6 4 264a . 故答案为：64. 【点睛】 本题考查等比数列的性质，特别是对 1nnn aSS 的灵活运用，考查运算求解能力

19、， 是基础题 15函数函数( )2sin cos2,0f xxxx ，的单调增区间为的单调增区间为_. 【答案】【答案】 5 , 62 和,0 6 【解析【解析】求出( )2sincos2f xxx的导函数，利用导数列不等式组即可求出其单调 增区间 【详解】 因为( )2sincos2f xxx，所以( )2cos2sin22cos (1 2sin )fxxxxx .令 ( )0fx ， 则 c o s0 1 2 s i n0 0 x x x 剟 ， 或 c o s0 1 2 s i n0 0 x x x 剟 ， 所以0 6 x 或 5 62 x ， 所以函数( )2sincos2 ,0f x

20、xx x 的单调增区间为 5 , 62 和,0 6 第 10 页 共 22 页 故答案为 5 , 62 和,0 6 【点睛】 本题考查利用导数研究三角型的函数单调性，其中解三角不等式是难点，结合三角函数 的图像可快速解出，是基础题 16设三次函数设三次函数 32 11 ( ) 32 f xaxbxcx， （， （a,b,c 为实数且为实数且0a）的导数为）的导数为( )fx ， 记记( )( )g xfx ，若对任意，若对任意xR，不等式，不等式( )( )fxg x 恒成立，则恒成立，则 2 22 b ac 的最大值的最大值 为为_ 【答案】【答案】2 2 2 【解析】【解析】先对函数 (

21、)f x求导，二次求导，求出( )g x，不等式 ( )( )fxg x 恒成立问题 即二次不等式恒成立问题， 根据图像可得0且0a， 可得出1 c a ， 分1 c a 和1 c a 讨论，利用不等式的性质和基本不等式可求得 2 22 b ac 的最大值。 【详解】 因为 32 11 ( ) 32 f xaxbxcx，所以 2 ( ),( )2fxaxbxc fxaxb ，即 ( )2g xaxb. 因为对任意xR，不等式( )( )fxg x 恒成立，所以 2 2axbxcaxb恒成立， 即 2 (2 )0axba xcb 恒成立，所以 2 (2 )4 () 0baa cb 且0a，即 2

22、2 44baca，所以 2 440aca，所以0c a ，所以 1 c a ，令 c t a ，则1t. 当1t 时， 2 22 ,0,0 b ac b ac ；当1t 时， 22 2222222 44 444(1)4(1)44 2 22 2 1(1)2(1)22 22 (1)2 1 (1) c bacatt a acacttt c t t a 剟? 当且仅当 2 1t 时，取得最大值为2 2 2 . 第 11 页 共 22 页 故答案为：2 2 2 【点睛】 本题考查多变量的最值的问题，根据变量之间的关系，进行代换，换元，利用基本不等 式求最值，是道难度比较大的题目。 三、解答题三、解答题

23、17如图，已知平面四边形如图，已知平面四边形 ABDC 中中，满足，满足 1 cos 7 ABD 且且 11 cos 14 CBD. （1）求）求ABC； （2）若）若ABC的外接圆的面积为的外接圆的面积为3且且 9 2 BC BA，求，求ABC的周长的周长 【答案】【答案】 （1） 3 ABC（2）9 【解析】【解析】 （1）由 1 cos 7 ABD 可得sin ABD，由 11 cos 14 CBD可得sin CBD， 根据coscos()ABCABDCBD和两角差的余弦公式即可得结果； （2）由（1） 及正弦定理可得3AC ，由 9 2 BCBA 可得9BC BA，由余弦定理可得 6A

24、BBC，联立解出3ABBC，进而可得周长. 【详解】 （1）因为在ABD中， 1 cos 7 ABD ，所以 14 3 sin1 497 ABD， 在CBD中， 11 cos 14 CBD， 所以 1215 3 sin1 19614 CBD， coscos()coscossinsinABCABDCBDABDCBDABDCBD 1160491 9898982 ， (0 )ABC又， ， 3 ABC （2）设ABC的外接圆的半径为R， 2 33RR则 第 12 页 共 22 页 由（1）知 3 ABC， 3 23 2 ACR， 又 9 2 BCBA ，得 9 cos9 2 BCBAABCBCBA，

25、 2 22 2cosACABBCAB BCABC 2 22 ()39ABBCAB BCABBCAB BC， 6ABBC， 联立 6 9 ABBC AB BC ， ， 解得3ABBC， ABC的周长为9 【点睛】 本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，两角差余弦公式的应用，属于中档 题. 18某冰糖橙，甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称。该橙按照等级可分为四某冰糖橙，甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称。该橙按照等级可分为四 类：珍品、特级、优级和一级（每箱有类：珍品、特级、优级和一级（每箱有 5kg）,某采购商打算订购一批橙子销往省外，并某采购商打算订购一批橙子销往省外，并

26、从采购的这批橙子中随机抽取从采购的这批橙子中随机抽取 100 箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级等级 珍品珍品 特级特级 优级优级 一级一级 箱数箱数 40 30 10 20 （1）若将频率改为概率，从这）若将频率改为概率，从这 100 箱橙子中有放回地箱橙子中有放回地随机抽取随机抽取 4 箱，求恰好抽到箱，求恰好抽到 2 箱箱 是一级品的概率：是一级品的概率： （2）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考：）利用样本估计总体，庄园老板提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为方案一：不分等级卖出，价

27、格为 27 元元/kg; 方案二：分等级卖出，分等级的橙子价格如下：方案二：分等级卖出，分等级的橙子价格如下： 等级等级 珍品珍品 特级特级 优级优级 一级一级 售价（元售价（元/kg） 36 30 24 18 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3）用分层抽样的方法从这）用分层抽样的方法从这 100 箱橙子中抽取箱橙子中抽取 10 箱，再从抽取的箱，再从抽取的 10 箱中随机抽取箱中随机抽取 3 箱，箱，X 表示抽取的是珍品等级，求表示抽取的是珍品等级，求 x 的分布列及数学期望的分布列及数学期望 E（X）. 第 13 页 共 22 页 【答案】【

28、答案】 （1） 96 625 （2）从采购商的角度考虑应该采用方案一，详见解析（3）详见解 析 【解析】【解析】 （1）若将频率改为概率，因为是有放回抽取，所以先求出“从这 100 箱橙子中 随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”的概率，然后推出恰好抽到 2 箱是一级品的概率。 （2）求出方案二单价的数学期望和 27 进行大小比较即可。 （3）分层抽样的方法从这 100 箱橙子中抽取 10 箱，求出珍品和非珍品的箱数，根据排 列组合知识求出对应的概率，进而写出分布列，求出期望即可。 【详解】 解： （1）设“从这 100 箱橙子中随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”为事件 A， 则 201 ( ) 10

29、05 P A 现有放回地随机抽取 4 箱，设抽到一级品的个数为， 则 1 4, 5 B ， 所以恰好抽到 2 箱是一级品的概率为 22 2 4 1496 (2)C 55625 P （2）设方案二的单价为，则单价的期望为（） 4312294 ( )3630241829.4 1010101010 E 因为( )29.427E， 所以从采购商的角度考虑应该采用方案一 （3）用分层抽样的方法从这 100 箱橙子中抽取 10 箱，其中珍品 4 箱，非珍品 6 箱，则 现从中抽取 3 箱，则珍品等级的数量 X 服从超几何分布， 则 X 的所有可能取值分别为 0，1，2，3， 321 664 33 1010

30、 CC C11 (0),(1) C6C2 P XP X 123 644 33 1010 C CC31 (2),(3) C10C30 P XP X X 的分布列为 X 0 1 2 3 第 14 页 共 22 页 P 1 6 1 2 3 10 1 30 11316 ()0123 6210305 E X 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 19如图，在三棱锥如图，在三棱锥ABCD中，中，N 为为 CD 的中点，的中点，M 是是 AC 上一点上一点. （1）若）若 M 为为 AC 的中点，求证：的中点，求证：AD/平面平面 BMN； （2）若）

31、若2AMMC，平面，平面ABD 平面平面 BCD,ABBC ABADBCBD，求，求 直线直线 AC 与平面与平面 BMN 所成的角的余弦值所成的角的余弦值 【答案】【答案】 （1）详见解析（2） 10 10 【解析】【解析】 （1）由/MNAD，即可证明出 AD/平面 BMN； （2）向量法，建立空间直角坐标系，求出AC以及面 BMN 的法相量n，利用直线 AC 与平面 BMN 所成的角为， 则s i n|c o s,|A Cn即可求出 AC 与平面 BMN 所成的角 的正弦值，进而求出余弦值。 【详解】 （1）证明：如图，在ACD中，因为 M，N 分别为棱 AC，CD 的中点，连接 MN，

32、 所以/MNAD，又AD平面 BMN，MN 平面 BMN， 第 15 页 共 22 页 所以/AD平面 BMN （2） 解： 取BD的中点O， 连接AO， 因为ABAD， 所以AOBD， 又因为平面ABD 平面 BCD，平面ABD平面 BCD=BD，BCDBD,AO平面 ABO, 所以AO 平面 BCD，所以AOBC. 又,ABBCAOABA，,AO AB 平面 ABO 所以BC平面 ABO, BO平面 ABO,所以BCBO 连接 ON,所以/ONBC,所以ONBO, 如图建系， 设2ABADBCBD，则3.AO ， 因为2AMMC，所以 2 3 AMAC， (0,0, 3),(0, 1,0)

33、,(2, 1,0),(1,0,0)ABCN 所以(2, 1,3)AC ，则 422 3 , 333 AM 所以 423 , 333 M ，则 4 13 ,(1,1,0) 3 33 BMBN 设平面 BMN 的一个法向量为( , , )nx y z， 则 0 0 BM n BN n ，即 413 0 333 0 xyz xy 3zx yx 令1x ，则(1, 1,3)n 设直线 AC 与平面 BMN 所成的角为， 则 |2 1 3|63 10 sin|cos,| 10852 10 AC n 又0 2 剟，所以 2 10 cos1 sin 10 ， 第 16 页 共 22 页 所以直线 AC 与平

34、面 BMN 所成的角的余弦值为 10 10 【点睛】 本题考查线面平行的证明，以及向量法求线面角，考查计算能力，是中档题 20已知椭圆已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为的离心率为 6 3 ，短轴长为，短轴长为 4. （1）求椭圆）求椭圆 C 的标准方程的标准方程. （2）设直线设直线 l 过点（过点（2,0）且与椭圆）且与椭圆 C 相交于不同的两点相交于不同的两点 A、B，直线，直线6x与与 x 轴交于轴交于 点点 D,E 是直线是直线6x上异于上异于 D 的任意一点，当的任意一点，当 0AE DE 时，直线时，直线 BE 是否恒过是否恒过 x 轴轴 上的定点？若

35、过，求出定点坐标，若不过，请说明理由上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由 【答案】【答案】 （1） 22 1 124 xy （2）直线 BE 恒过 x 轴上的定点(4,0)，详见解析 【解析】【解析】 （1）利用离心率 6 3 ，短轴长 4，列关于, ,a b c的方程组，解方程即可求得椭 圆 C 的标准方程。 （2）当斜率不存在时，可得直线 BE 过定点(4,0)，当斜率存在时， 0AE DE ，设 出, ,A B E的坐标，求出直线 BE 的方程，求出与 x 轴的交点表达式 121 21 26 6 y myy x yy ，即证 121 21 26 64 y myy yy , 根

36、据 121 21 26 64 y myy yy 的特点，将直线 l 和椭圆联立，得到 1212 ,yyy y， 代入 121 21 26 64 y myy yy ，可得式子成立，即证明直线 BE 恒过 x 轴上的定点 (4,0)。 【详解】 解： （1）由题意得 222 6 3 2 c a b abc 。解得2 3,2ab， 所以椭圆 C 的标准方程为 22 1 124 xy 第 17 页 共 22 页 （2）直线 BE 恒过 x 轴上的定点(4,0) 证明如下： 因为 0AE DE .所以AEDE ， 因为直线 l 过点(2,0) 当直线 l 的斜率不存在时，则直线 l 的方程为2x， 不妨

37、设 2 62 6 2,2,. 33 AB 则 2 6 6, 3 E 此时，直线 BE 的方程为 6 (4) 3 yx， 所以直线 BE 过定点(4,0)； 直线 l 的斜率存在且不为零时，设直线 l 的方程为2(0)xmym， 1122 ,A x yB x y，所以 1 6,Ey. 直线 21 1 2 :(6) 6 yy BEyyx x ，令0y ，得 12 21 6 6 yx x yy 即 121 21 6 6 y xy x yy ，又 22 2xmy 所以 121 21 26 6 y myy x yy 即证 121 21 26 64 y myy yy 即证 1212 20 *yymy y

38、联立 22 1 124 2 xy xmy ,消 x 得 22 3480mymy ， 因为点(2,0)在 C 内，所以直线 l 与 C 恒有两个交点， 由韦达定理得， 1212 22 48 , 33 m yyy y mm 代入（）中得 1212 22 88 20 33 mm yymy y mm 第 18 页 共 22 页 所以直线 BE 过定点(4,0)， 综上所述，直线 BE 恒过 x 轴上的定点(4,0). 【点睛】 本题考查直线和椭圆的的位置关系，利用韦达定理计算直线过定点问题，对学生计算能 力要求较高，是一道难度较大的题。 21函数函数( )22(1)2 ( x f xee xa aR且

39、且 0)a （1）当）当 1 2 a 时，求函数时，求函数( )f x在点在点 0, (0)f处的切线方程；处的切线方程； （2）定义在）定义在 R 上的函数上的函数( )g x满足满足 2 ( )()2g xgxx，当，当0x时，时，( )2g xx 。若。若 存在存在 0 x满足不等式满足不等式( ) 1(1)2g xgxx且且 0 x是函数是函数( )2yf xx的一个零点，求的一个零点，求 实数实数 a 的取值范围。的取值范围。 【答案】【答案】 （1）(42 e)10xy （2） e , 2 【解析】【解析】 （1）将 1 2 a 代入( )f x，求其导函数，得(0) f 的值，进

40、而可得切线方程。 （2）构造函数 2 ( )( )h xg xx，根据已知得到其是奇函数，求导可得( ) h x在0,) 上的单调性，将( ) 1(1)2g xgxx转化为关于( )h x的不等式，利用( )h x的单调性 解该不等式， 可求得 0 x的范围， 即( )2yf xx的零点的范围， 转化为( )2f xx在 0 x 的范围上有零点，利用导数知识和零点存在性定理，可求出 a 的取值范围。 【详解】 解： （1）当 1 2 a 时，因为( )2e2(1e)22e2(1e)1 xx f xxax 所以( )2e2(1e) x fx ， 所以 0 (0)2e2(1e)42 ef ， 又(

41、0)1f，所以函数 ( )f x在点(0,(0)f 处的切线方程为1(42)(0)yex ， 即(42 e)10xy （2）令 2 ( )( )h xg xx，因为 2 ( )()2g xgxx， 所以 222 ( )()( )()()( )()20h xhxg xxgxxg xgxx ， 所以( )h x为奇函数。 第 19 页 共 22 页 当0x时，( )( )20h xg xx ， 所以( )h x在0,)上单调递减， 所以( )h x在 R 上单调递减， 又 0 x满足不等式( ) 1(1)2g xgxx，即 000 112g xgxx， 所以 2 2 00000 1112h xxh

42、xxx， 化简得 00 1h xhx，所以 00 1xx，即 0 1 2 x 令 1 ( )( )22e2(1e)222e2 e2 2 xx xf xxxaxxa x 因为 0 x是函数( )2yf xx的一个零点， 所以( )x在 1 2 x时有一个零点： 当 1 2 x时， 2 ( )2e2 e 2e2 e0 x x， 所以( )x在 1 , 2 上单调递减， 又 1 0,0 2e a a ，又因为2e2 e22e0 ee aa cc aa a ， 所以要使( )x在 1 2 x时有一个零点，只需 1 2 1 2ee20 2 a ，解得 e 2 a， 所以实数 a 的取值范围为 e , 2 【点睛】 本题考查利用单调性解不等式以及函数的零点问题，考查学生计算能力和分析能力，其 中通过观察条件( )2( )20g xxg xx ，得到 2 ( )( )2g xxg xx，构造 的函数 2 ( )( )h xg xx解题，是一道难度较大的题目。 22在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，曲线中，曲线 1 C： 4cos 4sin x y ， （， （