第一节数项级数的概念和性质实用课件.ppt

1、n第一节数项级数的概念和性质n第二节幂级数n第三节函数的幂级数展开2023-2-72一、数项级数及其收敛性一、数项级数及其收敛性二、数项级数的基本性质二、数项级数的基本性质三、数项级数收敛的必要条件三、数项级数收敛的必要条件第六章第六章 无穷级数无穷级数第一节数项级数的概念和性质第一节数项级数的概念和性质2023-2-73 由于式中的每一项都是常由于式中的每一项都是常数数，定义定义 1 设给定一个数列设给定一个数列 u1,u2,un,，则表达式则表达式u1+u2+un+称为无穷级数称为无穷级数.其中中 u1,u2 ,叫做该级数的项，叫做该级数的项，un 称为一般项或通项称为一般项或通项.所以又

2、叫所以又叫数项级数数项级数，简称简称级数级数，.1 nnu并记为并记为一、数项级数及其收敛性一、数项级数及其收敛性称称 u1+u2+un+=为部分和数列，记作为部分和数列，记作Sn.1 nnu2023-2-74即即,limSSnn ,1 nnu 收敛收敛则称级数则称级数 级数的和级数的和.S 称为称为,1 nnuS并并记记为为 这时也称该这时也称该级数收敛于级数收敛于 若部分和数列的极限不存在，若部分和数列的极限不存在，1 nnu就称级数就称级数发散发散.定义定义 2若级数若级数 的部分和数列的部分和数列 1nnu nS的极限存在，的极限存在，2023-2-75例例 2 试讨论等比级数试讨论等

3、比级数a+ar+ar2+arn-1+(a 0)的收敛性的收敛性.当当 r 1 时，时，所给级数的部分和为所给级数的部分和为,11rraSnn-根据等比数列前根据等比数列前 n 项的求和公式可知项的求和公式可知，解解2023-2-76时时当当于于是是 1,r.111limlimrarraSnnnn-由定义由定义 2 知，知，该等比级数收敛，该等比级数收敛，,1raS-其和其和即即.111 -nnarra2023-2-77,1 时时当当 r.11limlim -rraSnnnn所以这时该等比级数发散所以这时该等比级数发散.当当 r=1 时，时，,)(nnaSn当当因此该等比级数发散因此该等比级数发

4、散.2023-2-78部分和数列极限不存在，部分和数列极限不存在，故该等比级数发散故该等比级数发散.,11 -nnar等比级数等比级数;1时收敛时收敛当公比当公比 r -,)1(1aaaaaSnn 当当 n 为奇数，为奇数，,1 时时当当-r当当 n 为偶数，为偶数，,0r当公比当公比.1时发散时发散2023-2-79根据等比数列前 n 项的求和公式可知，例 6 试讨论级数这个函数 S(x)就称为函数项级数的和函数.例 3 试求函数根据等比数列前 n 项的求和公式可知，而级数 是绝对收敛的，所以根据幂级数可逐项求导的法则，但在收敛区间端例 5 试证明级数注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数当 r

5、 1 时，所给级数的部分和为幂级数展开式是唯一的 .则和函数 S(x)在（R,R)可积，记作 R,R=例 6 试讨论级数三、数项级数收敛的必要条件们仿照数项级数的情形，将函数项级数 的前n 项和记为 Sn(x)，且称为部分和函数，解 令 x 1=y，则 x=y+1，试证明其发散试证明其发散.,)1ln()(xxxf-令令,0)0(f则则由此知由此知 f(x)为增函数为增函数.例例 3 级数级数n131211称为调和级称为调和级数，数，证证x先证一个不等式先证一个不等式xx()1ln(.)0 xxf-111)(.02023-2-710 1,31,21,1 代代入入上上式式得得令令nx)(xf即即

6、可得可得,)0(fx)1ln(x 1)11ln(21)211ln(n1)11ln(n 2023-2-711相加得相加得nSn131211 )134232ln(nn )1ln(n,时时当当 n,)1ln(n,nS所以所以 故级数故级数.1 1发散发散 nnnn1ln34ln23ln2ln 2023-2-712解解 注意到注意到 ,3121-nn因此，因此，nS nkkk1)3)(2(1)3121(1-kknk.3131-n )3)(2(1nn 例例 4 求级数求级数 1)3)(2(1nnn的和的和.2023-2-713 所以该级数的和为所以该级数的和为.31)3131(limlim -nSSnn

7、n即即.31)3)(2(11 nnn2023-2-714 不影响级不影响级数的收敛性数的收敛性.1.在级数的前面加上或去掉有限项在级数的前面加上或去掉有限项，但一般将会改变收敛级数的和但一般将会改变收敛级数的和.2.用一个非零的常数用一个非零的常数 c,1的每一项的每一项乘级数乘级数 nnu,1Sunn 且且若若.1cScunn 则则相相的的收收敛敛性性与与原原级级数数所所得得到到新新的的级级数数 11nnnnucu.同同二、数项级数的基本性质二、数项级数的基本性质2023-2-715 所得级数收所得级数收敛且其和等于两个级数和的相加敛且其和等于两个级数和的相加.3.两个收敛级数的对应项相加两

8、个收敛级数的对应项相加，,1项项的的前前去去掉掉级级数数nunn 1nkku所所得得的的级级数数,1的余项的余项称为级数称为级数 nnu,nr记记为为即即.321 nnnnuuur,1 1Sunn收收敛敛于于若若级级数数可可知知由由性性质质 2023-2-716因此不能直接利用公式求收敛半径 R.当 r 1 时，所给级数的部分和为收敛半径 R=1，则在(R,也表示了函数的最后一个式子称为二项展开式，式称为泰勒公式.的展开式由本章第四节例 1 可知那么，级数 收敛于函数 f(x)的条件为因此不能直接利用公式求收敛半径 R.点处的收敛性可能改变.收敛半径 R=1，因为幂级数收敛.1 x 1.例 2

9、 试讨论等比级数解 因为所给级数的部分和函数这就是级数收敛的必要条件.由此知 f(x)为增函数.二、幂级数及其收敛性 这是能借助级数作近似计算这是能借助级数作近似计算的基本依据的基本依据.,也必收敛也必收敛则余项则余项nr.0lim nnr且有且有这是因为这是因为,nnSSr-.0)(limlim-SSSSrnnnn时时替代级数和替代级数和就是用部分和就是用部分和显然显然SSrnn,所产生的误差所产生的误差.2023-2-717,1的的概概念念那那么么由由其其部部分分和和收收敛敛于于若若数数项项级级数数Sunn 就有就有.1-nnnSSu于是于是.)(limlim1-nnnnnSSu.liml

10、im,1SSSnnnn -知知依据级数收敛的定义可依据级数收敛的定义可因此这时必有因此这时必有.0lim nnu这就是级数收敛的必要条件这就是级数收敛的必要条件.三、数项级数收敛的必要条件三、数项级数收敛的必要条件2023-2-718,0lim nnu若若事实上，事实上，,1收敛收敛如果如果 nnu,0lim nnu必必有有.1发发散散 则则级级数数 nnu,1收收敛敛若若数数项项级级数数 nnu定理定理则则.0lim nnu这与假设这与假设.0lim相矛盾相矛盾 nnu2023-2-719例例 5 试证明级数试证明级数 1ln32ln221ln1ln 1nnnnnnn.发散发散,1ln nn

11、nun级数的通项级数的通项 证证,时时当当 n 1lnlimnnnn.1)11(1lnlim-nnn.,0lim所以该级数发散所以该级数发散因为因为 nnu2023-2-720例例 6 试讨论级数试讨论级数.2sin1的收敛性的收敛性 nn解解 注意到级数注意到级数 -010101012sin1nn,2sin极极限限不不存存在在时时当当的的通通项项 nnun 所以级数发散所以级数发散 .2023-2-721一、一、函数项级数函数项级数二、二、幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性三、三、幂级数的运算幂级数的运算第二节第二节 幂级数幂级数第六章第六章 无穷级数无穷级数2023-2-722 则称点则称点

12、 x0 为函数项级为函数项级数数的一个收敛点的一个收敛点.称为称为函数项级数函数项级数，.)(1 nnxu简记为简记为,)()()(21 xuxuxun 在函数项级数在函数项级数 中，若令中，若令 x 取定义域中某取定义域中某一确定值一确定值 x0，则得到一个数项级数则得到一个数项级数.)()()(00201 xuxuxun若上述数项级数收敛，若上述数项级数收敛，反之，若上述数项级数发反之，若上述数项级数发散，散，则称点则称点 x0 为函数项级数为函数项级数 的发散点的发散点.一、一、函数项级数函数项级数2023-2-723 上述级数的和上述级数的和 S 也随之也随之变动，变动，称为函数项级数

13、的收称为函数项级数的收敛域敛域.收敛点的全体构成的集合，收敛点的全体构成的集合，若若 x0 是收敛域内的一个值，是收敛域内的一个值，因此必有一个因此必有一个和和 S(x0)与之对应，与之对应，即即.)()()()(002010 xuxuxuxSn当当 x0 在收敛域内变动时，在收敛域内变动时，就得到一个定义在收敛域上的函数就得到一个定义在收敛域上的函数 S(x)，即即.)()()()(21 xuxuxuxSn2023-2-724 如果我如果我们仿照数项级数的情形，们仿照数项级数的情形，将函数项级数将函数项级数 的前的前n 项项和记为和记为 Sn(x)，且称为部分和函数，且称为部分和函数，这个函

14、数这个函数 S(x)就称为函数项级数的就称为函数项级数的和函数和函数.即即Sn(x),)()()(21xuxuxun 那么在函数项级数的收敛域内有那么在函数项级数的收敛域内有.)()(limxSxSnn ,)(记记余余项项若若以以xrn,)()()(xSxSxrnn-则在收敛域内同样有则在收敛域内同样有.0)(lim xrnn2023-2-725解解 因为所给级数的部分和函数因为所给级数的部分和函数)(xSn.1)(1)1(1 112xxxxxnnn-时时当当1 x.111)(1lim)(limxxxxSnnnn -所以，它在区间所以，它在区间(-1,1)内收敛内收敛，即收敛域为即收敛域为(-

15、1,1).且所给级数的和函数为且所给级数的和函数为.11)(xxS 例例 1 试讨论试讨论-21 xx函数项级数函数项级数.)1(11收收敛敛域域-nnxx 当当,1发散发散时时2023-2-726一般形式为一般形式为.2210 nnxaxaxaa称称为为的的级级数数是是任任意意实实常常数数其其中中),(210naaaa幂级数幂级数，.,210数数对应项的系对应项的系称为幂级数称为幂级数其中的其中的naaaa幂级数更一般的形式为幂级数更一般的形式为.)()()(0202010-nnxxaxxaxxaa它显然可以通过变量代换它显然可以通过变量代换 y=x-x0 方法化为式方法化为式.二、幂级数及

16、其收敛性二、幂级数及其收敛性2023-2-727 则称幂级则称幂级数为不缺项的，数为不缺项的，),2,1,0(0 0 naxannnn中中设幂级数设幂级数否则称为否则称为缺项的幂级数缺项的幂级数.例如幂级数例如幂级数-nnnnnxxxxx264220)1(1)1(缺缺 x 的奇次幂，的奇次幂，叫缺项的幂级数，叫缺项的幂级数，又如又如-nnnnnxxxx)1(1)1(20是不缺项的幂级数是不缺项的幂级数.2023-2-728定理定理 .1是是不不缺缺项项的的设设幂幂级级数数nnnxa .0 na即即如果如果,lim1nnnaar ,1 时时rx 则当则当该幂级数收敛该幂级数收敛;,1 时时rx

17、当当该幂级数发散该幂级数发散.,1称为幂级数的收敛半径称为幂级数的收敛半径r记作记作 R,R=r1.即即1lim nnnaaR2023-2-729利用麦克劳林公式将函数 f(x)展开成幂级数当 r 1 时，所给级数的部分和为例 6 试讨论级数收敛半径 R=1，例 3 试求函数故收敛域为幂级数展开式是唯一的 .第三节函数的幂级数展开例 5 试证明级数而级数 是绝对收敛的，则和函数 S(x)在（R,R)可积，那么就得到一个数项级数，上述级数的和 S 也随之也表示了函数的解 因为所给级数的部分和函数显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，例 2 试讨论等比级数因为用一个非零的常数 c这就是级数收敛

18、的必要条件.u1+u2+un+因为因为它不一定是正项级数，它不一定是正项级数，证证,1中中因因为为在在幂幂级级数数 nnnxa 若将若将 x 看成看成是一个确定的值，是一个确定的值，那么就得到一个数项级数，那么就得到一个数项级数，为此，我们可对幂级数的各为此，我们可对幂级数的各项取绝对值，项取绝对值，得得,2210 nnxaxaxaa这是一个正项级数这是一个正项级数.运用比值审敛法运用比值审敛法.因为因为nnnnnxaxa11lim xaannn1lim .xr 2023-2-730,1 xr所所以以当当.1级级数数收收敛敛时时,即即rx ,1,1时时 即即当当rxxr 也就是说也就是说.1l

19、im11nnnnnxaxa显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，一般项一般项nnxa不趋近于零不趋近于零.由级数收敛的必要条由级数收敛的必要条件可知该幂级数发散件可知该幂级数发散.,1绝对收敛绝对收敛这表明幂级数这表明幂级数 nnnxa因此它因此它必然收敛必然收敛.2023-2-731 可运用上述可运用上述定理求收敛半径定理求收敛半径例例 2 试求幂级数试求幂级数 12nnnnx的收敛区间的收敛区间.解解 所给的幂级数为不缺项的，所给的幂级数为不缺项的，.21122lim1 nnRnnn.1,211 nnx幂幂级级数数为为正正项项级级数数时时 当当

20、它是发散的它是发散的.此为调和级数，此为调和级数，2023-2-732.11 -nnn）（数数幂幂级级数数为为收收敛敛的的交交错错级级,21时时 当当-x.21,212,1）的的收收敛敛区区间间为为幂幂级级数数所所以以-nnnnx2023-2-733 例例 3求幂级求幂级.12)1(02的的收收敛敛区区间间数数 -nnnnx解解所给幂级数缺少所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，的奇次幂项，-02121)(nnnnx我我们们考考虑虑级级数数,1212 nnnx 对此正对此正项级数利用比值审敛法项级数利用比值审敛法因此不能直接利用公式求收敛半径因此不能直接利用公式求收敛半径 R.是一个是一个缺项幂级数

21、，缺项幂级数，2023-2-734.1211)2(lim221)2(xnxnxnnn ,1 ,12 x即即因因为为当当,1时时当当 x 所求幂级所求幂级数绝对收敛数绝对收敛.1,1121)(02-为为的收敛区间的收敛区间所以幂级数所以幂级数nnnnx,1时时也即也即 x.121)(0收收敛敛代代入入得得级级数数 -nnn2023-2-735 幂幂级数收敛级数收敛.例例 4.22)(1)(0的收敛区间的收敛区间求幂级数求幂级数 -nnnnx 解解运运用正项级数的比值审敛法用正项级数的比值审敛法.nnnnnnnxx22)(1)(22)(1)(lim111-.22-x,122,1 -x即即当当,40

22、时时也也即即 x2023-2-736.)4(0,22)(1)(0的收敛区间为的收敛区间为因此幂级数因此幂级数 -nnnnx.,)1(40也也是是发发散散的的化化为为时时，幂幂级级数数当当 -nnx区间端点处区间端点处:,10 n化化为为幂幂级级数数;它它是是发发散散的的当当 x=0 时，时，2023-2-737它们的和函数分别为它们的和函数分别为.),(min,)()(2121RRRxSxS 记记与与 00nnnnnnxbxa为为别别的收敛半径分的收敛半径分与与设幂级数设幂级数,)(2121均不为零均不为零与与与与RRRR三、三、幂级数的运算幂级数的运算2023-2-7381.加法和减法加法和

23、减法 00nnnnnnxbxa.)()()(210 xSxSxbannnn .Rxbannnn的收敛半径是的收敛半径是此时所得幂级数此时所得幂级数)(0 2023-2-7392.乘法乘法 00nnnnnnxbxa),()(21xSxS 20011000()(baxbababa -nnnnxbababaxbaba)()011020211此时所得幂级数的收敛半径是此时所得幂级数的收敛半径是 R.2023-2-740用一个非零的常数 c例 5 试证明级数所求幂级一、麦克劳林(Maclaurin)公式u1+u2+un+而级数 是绝对收敛的，u1+u2+un+所以根据幂级数可逐项求导的法则，例 6 试讨

24、论级数例 3 试求函数则称点 x0 为函数项级数的一个收敛点.其端点的收敛所以这时该等比级数发散.解 令 x 1=y，则 x=y+1，那么在函数项级数的收敛域内有收敛半径 R=1，1 x 1.这个函数 S(x)就称为函数项级数的和函数.但在收敛区间端但在收敛区间端点处的收敛性可能改变点处的收敛性可能改变.3.逐项求导数逐项求导数若幂级数若幂级数,0Rxannn的收敛半径为的收敛半径为 则在则在(-R,R)内和函数内和函数 S(x)可导可导，且有且有 )(xS )(0nnnxa )(0nnnxa,01 -nnnnxa所得幂级数的收敛半径仍为所得幂级数的收敛半径仍为 R，2023-2-741 但在

25、收敛区间端但在收敛区间端点处的收敛性可能改变点处的收敛性可能改变.则和函数则和函数 S(x)在在（-R,R)可积可积，并且有并且有:xxSxd)0 xxaxnnnd00 00dnxnnxxa,101 nnnxna所得幂级数的收敛半径仍为所得幂级数的收敛半径仍为 R，.R收敛半径为收敛半径为和函数和函数 S(x)的的设幂级数设幂级数 0nnnxa4.逐项积分逐项积分2023-2-742解解幂级数幂级数逐逐项项求求积积分分后后所所得得幂幂幂幂级级数数 0 nnx例例 5讨论讨论.级数的收敛区间级数的收敛区间,120 nnnxxxx收敛半径收敛半径 R=1，逐项求积分后得逐项求积分后得 011nnn

26、x.132132 nxxxxn2023-2-743它的收敛半径仍为它的收敛半径仍为 R=1.;111)(01是是收收敛敛的的-nnn当当 x=1 时，时，幂级数为调和级数，幂级数为调和级数，它是发散的它是发散的.当当 x=-1 时，幂级数为时，幂级数为交错级数，交错级数，故原幂级数故原幂级数 的的收敛区间为收敛区间为-1,1).2023-2-744例例 6.)1(0的和函数的和函数求幂级数求幂级数 nnxn 解解所给幂级数的收敛半径所给幂级数的收敛半径 R=1，收敛收敛区间为区间为 -1,1)，,)()1(1 nnxxn注注意意到到而而 0)1(nnxn 01)(nnx 01)(nnx在收敛区

27、间在收敛区间(-1,1)内，内，.101xxxnn-幂幂级级数数所以所以 0)1(nnxn 01)(nnx -)1(xx.)1(12x-2023-2-745一、一、麦克劳林麦克劳林 (Maclaurin)公式公式二、二、直接展开法直接展开法三、三、间接展开法间接展开法第三节第三节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开第六章第六章 无穷级数无穷级数2023-2-746泰勒泰勒 (Taylor)公式公式 如果函数如果函数 f(x)在在 x=x0,的的某某一一领领域域内内有直到有直到(n+1)阶的导数阶的导数，则在这则在这个领域内有如下公式个领域内有如下公式:一、一、麦克劳林麦克劳林(Maclaurin

28、)公式公式 .xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn)()(!)()(2!)()()()(00)(200000-2023-2-747.10101)()()!()()()(之之间间与与在在xxxxnfxrnnn-其中其中称为拉格朗日型余项称为拉格朗日型余项.式式称为称为泰勒公式泰勒公式 .,00 x如果令如果令就得到就得到 xrxnfxfxffxfnnn .)(!)0(!2)0()0()0()()(2 2023-2-748.)()!)()()(10111xnfxrnnn(x 式称为式称为麦克劳林公式麦克劳林公式 .幂级数幂级数我们称之为我们称之为麦克劳林级数麦克劳林级数.那么它是否以函数那

29、么它是否以函数 f(x)为和函数呢为和函数呢?,!)0(!2)0()0()(0)(2 nnxnfxfxff2023-2-749.!)0(!2)0()0()0()()(21nnnxnfxfxffxS 即即那么，那么，级数级数 收敛于函数收敛于函数 f(x)的条件为的条件为.)()(lim1xfxSnn ,1)(xSn若令麦克劳林级数若令麦克劳林级数 的前的前n+1 项和为项和为2023-2-750 注意到麦克劳林公式注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数与麦克劳林级数 的关系，的关系，可知可知.)()()(xrxSxfnn1于是，当于是，当0)(lim xrnn时，有时，有,lim1)()(xfxS

30、nn 反之，若反之，若.0)(lim xrnn.)()(lim1xfxSnn 必有必有2023-2-751这表明，麦克劳林级数这表明，麦克劳林级数 以以 f(x)为和函数的为和函数的充要条件，充要条件，.0)时时当当 nxrn()(这样，我们就得到了函数这样，我们就得到了函数 f(x)的幂级数展开式的幂级数展开式：中的余项中的余项是麦克劳林公式是麦克劳林公式 !)0(!2)0()0()0()()(2 nnxnfxfxffxf2023-2-752 也表示了函数的也表示了函数的幂级数展开式是唯一的幂级数展开式是唯一的 .它就是函数它就是函数 f(x)的幂级数表达式的幂级数表达式.幂级数幂级数:,)

31、(!)()(!2)()()()(00)(200000-nnxxnxfxxxfxxxfxfxf称为称为泰勒级数泰勒级数.2023-2-753 利用麦克劳林公式将函数利用麦克劳林公式将函数 f x)展开成幂级数展开成幂级数的方法，称为直接展开法的方法，称为直接展开法.解解,),3,2,1(e)()(nxfxn由由例例 1试将函数试将函数 f(x)=ex 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.可以可以得到得到.1)0()0()0()0()(nffff二、二、直接展开法直接展开法2023-2-754因此我们可以得到幂级因此我们可以得到幂级数数显然，这个幂级数的收敛区间为显然，这个幂级数的收敛区间为(-,

32、+).,e)(xxf 收敛于收敛于,e)(项项的的麦麦克克劳劳林林公公式式中中的的余余还还要要考考察察函函数数xxf 因为因为,)10()!1(e)(1)(xnxrnxn.!1!2112 nxnxx,e)(为为和和函函数数是是否否以以数数至至于于级级xxf 2023-2-755因而有因而有所以所以 ,eexx.)!1(e)!1(e)(11 nxnxnxnxnxr 注意到，对任一确定的注意到，对任一确定的 x 值，值，而级数而级数 是绝对收敛的，是绝对收敛的，因此其一因此其一般项当般项当 n 时，时，,0)!1(1 nxnx 且且,xx 是一个确定是一个确定xe.的常数的常数所以，当所以，当n

33、时时,0)!1(e 1 nxnx2023-2-756由此可知由此可知.0)(lim xrnn因此有因此有.)(!1!211e2 -xxnxxnx,e)(xxf 确实收敛于确实收敛于这表明级数这表明级数2023-2-757解解)2sin()()(nxxfn由由,0)0(f,1)0(f,0)0(f,1)0(-f,0)0()2(nf.)1()0()12(nnf-于是可以得到幂级数于是可以得到幂级数例例 2 试将试将的幂级的幂级展开成展开成函数函数 sin)(x xxf.数数,),3,2,1(n可可知知2023-2-758,)!12()1(!51!311253 -nxxxxnn且它的收敛区间为且它的收

34、敛区间为.),(-因为所给函数的麦克劳林公式的余项为因为所给函数的麦克劳林公式的余项为.)!1(2)1(sin)(1 nnxnnxxr 所以可以推知所以可以推知1)!1(2)1(sin)(nnxnnxxr 2023-2-759因此得到因此得到的的幂幂级级数数展展开开式式为为 sin)(xxf.)()!12()1(!51!31sin1253 -xnxxxxxnn.)(0)!1(1时时当当 nnxn2023-2-760,cos)(sinxx 因因为为解解而而.)()!12()1(!51!31sin1253 -xnxxxxxnn所以根据幂级数可逐项求导的法则，所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得可得

35、.)()!2()1(!41!211cos242 -xnxxxxnn例例 3 试求函数试求函数.cos)(的的幂幂级级数数展展开开式式xxf 三、三、间接展开法间接展开法2023-2-761解解 注意到注意到.d11)1ln(0 xxxx而函数而函数x 11的展开式由本章第四节例的展开式由本章第四节例 1 可知可知 例例 4 将函数将函数)1ln()(xxf 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.)11()1(1112 -xxxxxnn将上式两边同时积分将上式两边同时积分2023-2-762.1)1(3121)1ln(132 -nxxxxxnn因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，因为幂级数逐项积分后收

36、敛半径不变，所以，上式所以，上式右端级数的收敛半径仍为右端级数的收敛半径仍为 R=1;故收敛域为故收敛域为-1 x 1.当当 x=1 时，该级数收敛时，该级数收敛.而当而当 x=-1 时该级时该级数发散，数发散，2023-2-763解解 因为因为231)(2-xxxf)2)(1(1xx-.2111xx-例例 6 试将函数试将函数 x 的幂级数的幂级数.231)(2-xxxf展开成展开成2023-2-764所以所以xxxf-2111)(且且2112121xx-2)2(2121xx.2)2()2(-xxn).11(1112 -xxxxxn2023-2-765)1(2 nxxx)2()2(21 212 -nxxx.212212212211123322-nnnxxx 根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个，取较小的一个，故故 R=1，因此所得幂级数的收因此所得幂级数的收敛区间为敛区间为-1 x 0 时，时，当当-1 m 0 时，时，收敛区间为收敛区间为(-1,1.