《工程数学基础第2版》课件第6章.ppt
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- 工程数学基础第2版 工程 数学 基础 课件
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1、第第6章章 空间解析几何与多元函数微积分空间解析几何与多元函数微积分以前我们讨论的函数只依赖于一个自变量,但在自然科学和工程技术上常常会遇到依赖于两个或更多个自变量的函数,这种函数称为多元函数本章先介绍空间解析几何的初步知识,然后在一元函数的基础上,讨论多元函数的基本概念、多元函数的微积分法及其应用学习本章时,在方法上要注意二维向量与三维向量及一元函数与二元函数之间的异同点,以便更好地掌握多元函数微积分法的基本概念和方法 6.1 空间解析几何初步6.2 多元函数6.3 偏导数与全微分6.4 多元函数的极值和最值6.5 二重积分6.6 二重积分的计算与应用6.1 空间解析几何初步空间解析几何初步
2、6.1.1 空间直角坐标系1.空间直角坐标系的概念2.空间点的直角坐标xyzM0 xA0yB0zCxyz6.1.2 向量及其运算1.向量的概念在研究力学、物理学及其他一些实际问题时,我们经常遇到这样一类量,它既有大小又有方向,我们把这一类量叫做向量向量,如力、速度、位移等.向量的表示:向量的表示:ABa,b,ccba,向量的模:向量的模:AB单位向量:单位向量:模等于模等于1的向量。的向量。零向量:零向量:模为模为0的向量。的向量。向量平行:向量平行:ab向径:向径:aOMxyzrOM如图,称 为向径,通常记作r.记a(x,y,z).向量,向径,坐标之间有一一对应的关系。a2.向量的线性运算(
3、1)向量的加法:c=a+b加法运算定律:加法运算定律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c).(2)向量的减法:a-b=a+(-b)ABCa+bababbabab(3)向量的数乘:a实数向量数乘运算定律:数乘运算定律:结合律:()a=(a)=(a);分配律:(a+b)=a+b,(+)a=a+a定理定理1 1:设向量a0,则向量b平行于a的充分必要条件是存在唯一的实数,使b=a.(4)坐标基本向量及向量关于基本向量的分解坐标基本向量及向量关于基本向量的分解坐标基本向量:i=(1,0,0);j=(0,1,0);k=(0,0,1)a=(x,y,z)=xi+yj+zkxyzOM
4、aijkxiyjzk向量的坐标运算:aba+b),(111zyx),(222zyx),(212121zzyyxx例1:设a=(0,-1,2),b=(-1,3,4),求a+b,2a-b.解:a+b=(0+(-1),-1+3,2+4)=(-1,2,6);2a-b=(20,2(-1),22)-(-1,3,4)=(0-(-1),-2-3,4-4)=(1,-5,0).例2:已知两点A(0,1,-4),B(2,3,0),试用坐标表示向量AB解:)4,2,2()4,1,0()0,3,2(OAOBAB3.向量的数量积向量的夹角:(a,b)或(b,a)向量垂直:ab定义定义1 设a,b是两个向量,它们的模及夹角
5、的余弦的乘积,称为向量a与b的数量积,记为ab,即 ababcos(a,b).坐标基本向量的数量积坐标基本向量的数量积:ii=jj=kk=1;ij=ji=ik=ki=jk=kj=0.数量积的性质:数量积的性质:aa=;a0=0,其中0是零向量;ab=ba;(a)b=a(b)=(ab),其中是任意实数;(a+b)c=ac+bc2a2a向量的数量积不满足结合律例3 已知(a,b)=,a=3,b=4,求向量c=3a+2b的模。32解:,|b|,|a|,ba,4332734443123922232cos|c|.|ba|c|7323把代入,即得所以,2222241294122323|b|ba,|b|a|
6、a|bbaababacc|c|cos9向量数量积的坐标运算:向量数量积的坐标运算:k,ji,a11111zyxzyx1kji,b22222zyxzyx2)(kji111zyx)(kji222zyx212121zzyyxxab.,001102113321MMM21MM32MM.例例4 已知三点求向量与的夹角.,01121MM10132,MM 2110101110011122222232213221|MMMMMMMMcos.3解:解:所以4.向量的向量积ba)sin(ba,bababa定义定义2 a,b两个向量的向量积是一个向量,记作,它的模为,它的方向与a,b所在的平面垂直,成右手系.且使a,b
7、,abba向量的向量积的运算性质:aa=0;a0=0;ab ba;(a)b=a(b)=(ab),(a+b)c=c=ac+bc,(a+b)c=c=ac+bc.坐标基本向量的向量积:ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j,向量的向量积不满足交换律,结合律向量积的坐标运算:k,ji,a11111zyxzyx1kji,b22222zyxzyx2kjikjiba221122112211222111yxyxxzxzzyzyzyxzyx)-,-,-(12211211221yxyxxzxzzyzy2222211,b,abajikjikjiba662211221222212222110
8、66,ba例例5 5 已知,求。.解:123200301,CBAabc|,|21BCABSABC,222101ACABBCABkjikji242222101.624221|21222BCABSABC例例6 6 已知三点,求解:解:由向量积的定义及几何意义知.的面积.5.向量的关系与判断(1)向量垂直及其判定定理定理2 两个非零向量a,b垂直 ab=0.k,ji,a11111zyxzyx1kji,b22222zyxzyx2212121zzyyxx定理定理2 设a,b垂直=0.(2)向量平行及其判定定理定理3 ab存在实数,使a b.定理定理4 4 ab ab=0.23121,b,ax21321
9、x2132例例7 已知两向量解解(1)由定理2知,当ab时,ab=(2)因为,由定理3知,无论x取何值,a与b都不平行.求x的值,若(1)ab;(2)ab.=0,即x=-8;6.1.3 空间平面及其方程1.平面的点法式方程),(0000zyxM),(CBAn),(zyxM0000zzCyyBxxA021,A131,n 00231zyx.053zyx例例8 求过点且以向量解:解:根据平面点法式方程,得所求平面为即 为法向量的平面方程.123200301,CBA,222101ACABBCABABAC242,nBCAB0320412zyx.04242zyx例例9 求过三点解:解:由于且垂直于和所确定
10、的平面,因此可取平面的法向量为所求平面方程为即的平面方程.2.平面的一般式方程0000zzCyyBxxA000CzByAxD令0000DCzByAx213,M0 ByAx213,M03BAAB3.03 yx例例10 求过z轴和点解解 由于平面通过z轴,因此,C=0,D=0,故可设所求方程为将点代入方程,得即所以所求方程为的平面方程.cRbQaP,0000000DCzByAx000DCcDBbDAa.,cDCbDBaDA1czbyax例例11 求过点解解 设平面方程为,将三点坐标代入方程得解之得代入方程,整理得所求平面方程为.的平面方程.6.1.4 空间直线及其方程1.空间直线的一般式方程211
11、01111DzCyBxA202222DzCyBxAll0022221111DzCyBxADzCyBxA过一条直线的平面有无数个,但只要在其中任取两个,把它们的方程联立起来,所得的方程组就表示空间直线l.2.空间直线的点向式方程与参数方程),(000zyxM0)(pnm,s),(zyxMpzznyymxx000点向式方程参数方程ptzzntyymtxx000例例12 求过点(1,3,-2)且垂直于平面 的直线方程.331321zyx0132zyx解解 由于所求直线与已知平面垂直,故平面的法向量与直线的 方向向量平行,所以所求直线的方向向量可取为,故所求的 直线方程为345121,BA264,s
12、AB216241zyx例例13 求过两点解解 由于直线过A,B两点,可取方向向量故所求的直线方程为 的直线方程.6.1.5 线、面的位置关系1.两平面的位置关系(1)平面间平行、垂直的判定及夹角计算 21,0022221111DzCyBxADzCyBxA22221111,CBACBAnn设两平面的方程为则它们的法向量分别为121n.212121212CCBBAA0nnn平面(若某个分母为0,则对应分子也为0,重合作为平行的特例)121n.00212121212CCBBAAnnn平面12121221212122222221212121212121,CBACBACCBBAANNcoscosnnnn
13、若,既不平行又不垂直,记(,)为,所成两面角的平面角(平面夹角),因为()所以.90,12,(2)点到平面的距离公式0DCzByAx:000zyxP,Q222000CBADCzByAxd1035623zyx2,056623zyx1511,PP2 372162356561213222d例例14 求两平行平面:解解 两平行平面的距离就是其中一个平面上任意一点到另一平面的距离.取,点到平面的距离为.间的距离.2.两直线的位置关系两直线的位置关系(1)直线间平行、垂直的判定及夹角计算.21ll,111111pzznyymxx222222pzznyymxx22221111pnmpnm,s,s设直线的方程
14、为,方向向量为.1l2l0ss21212121ppnnmm直线.(若某个分母为0,则对应分子也为0,重合作为平行的特例)1l2l021ss0212121ppnnmm直线.21ll,21ll,21ll,21ll,2121s,s,cosllcos若既不平行又不垂直,记()为所成的角,简称夹角,()90,则(2)点到直线的距离.pzznyymxxl000:000zyxP,PlQPQd Pl已知直线和直线外一点,过 作 的垂直平面,垂足为,称为到直线 的距离.Q000zyxP,pzznyymxxl000:11121zyxl:l112,s lQs02zyx0211121zyxzyx21210zyxQ21
15、210,2202102100222 PQd例例15:求原点到直线解解 直线的方向向量为,过原点作 的垂直平面垂足为,则就是的法向量,所以的方程为 解方程组得 所以点是 原点到直线的距离的距离.3.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系0DCzByAx:pzznyymxxl000:设有平面,直线 lsn.00CpBnAmns lsn.spCnBmA0n(若某个分母为0,则对应分子也为0,直线在平面上作为平行的特例)l20222222,sin;,2pnmCBACpBnAmcosnsns记,交角为则.012zyyxl:01zyx:l22122101210021101,kjikjis1,1,1N93
16、93221111212111222222arcsinsin,例例16求直线与平面之间的夹角解解 直线的方向向量平面的法向量所以由公式可得11.1返回返回6.2 多元函数多元函数6.2.1 多元函数概述多元函数概述0PxyO),(000yxPxOy若点是面上的一个点,我们把点集)()(|),(2020yyxxyx),(000yxP),(0PU叫做点的 邻域邻域,记为),(000yxP),(000yxP),(0PUo对于点的 邻域,当不包括点时,也称它为空心邻域空心邻域,记作 由xOy平面上的一条或几条曲线所围成的一部分平面或整个平面,称为xOy平面上的一个平面区域平面区域围成平面区域的曲线称为区
17、域边界区域边界.不包含边界的区域称为开区域开区域,包含全部边界的区域称为闭区域闭区域.包含部分边界的区域称为半开半闭半开半闭区域区域.若能找到适当长为半径的圆,使区域内的所有点都在该圆内,这样的区域称为有界区域有界区域.否则称为无界区域无界区域.x2yO1 有界,开区间xyO无界,开区间1.多元函数的定义S)0,0(,21haahs例例 三角形面积与其底长a,高h有下列依赖关系:VTkP 0,0VTTVT例例2一定质量的理想气体的压强P与体积V和绝对温度T之间满足下列确定性关系:其中k为常数,T,V为取值于集合的实数对.,x y z,x yDfz,x yD(,)zf x y定义定义3 设有三个
18、变量,如果对于变量,在它们内的每一对确定的值,按照某一对应法则,变量z都有唯一确定的值与之对应,则称为在上的二元函数二元函数,记作的变化范围二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数 2.二元函数的定义域实际问题:根据自变量所表示的实际意义确定函数的定义域;数学式函数:能使该数学式子有意义的那些自变量取值的全体 229zxy(0,1)f(1,1)f 例例3 求函数的定义域,并计算和 xyO3解解:函数的定义域为22(,)|9Dx yxy22(0,1)9012 2f22(1,1)9(1)17f 例例 求函数2222arcsin12xyzxy的定义域解解 函数的定义域为22(,)12Dx yxy
19、3.二元函数的几何意义例例5 作二元函数221zxy的图形1zOxy11221zxy 例例6 作二元函数22zxy的图形 yxzO22zxy6.2.2 二元函数的极限二元函数的极限(,)zf x y000(,)P xy(,)P x y000(,)P xy(,)f x yAA(,)zf x y),(),(00yxyx定义定义4 设函数在点的某一空心邻域内有定义,以任意方式趋近于点时,对应的函数值都趋近于一个确定的,那么称这个常数为函数当时的极限,记为如果在此邻域内的动点常数00(,)(,)lim(,)x yxyf x yAAyxfyyxx),(lim00AyxfPP),(lim0或,或xyyxy
20、x22)2,1(),(lim2222001lim()sinxyxyxy)(lim)(lim)2,1(),(22)2,1(),(xyyxyxyx252121limlimlimlim22)2,1(),()2,1(),(2)2,1(),(2)2,1(),(yxyxyxyxyxyx22rxy0,0 xy0r 2222001lim()sinxyxyxy01lim sin0rrr例例7 求下列极限 (2)解解 (1)原式=(2)令,则当时,故(1)222222 (0),(,)0,(0).xyxyxyf x yxy(,)(0 0)P x yO,(,)P x yykx(0,0)2(,)(,)(0)1kf x
21、yf x kxxk220 x11i l),(lim00kkkkmyxfyyxxk),(lim00yxfyyxx例例8 讨论二元函数当时,极限是否存在.沿直线趋于点时,此时所以可见其极限值是随直线斜率的不同而不同,因此不存在 解解 当6.2.3 二元函数的连续性二元函数的连续性(,)zf x y000(,)P xy(,)P x y000(,)P xy(,)zf x y(,)f x y000(,)P xy00(,)f xy0000lim(,)(,)xxyyf x yf xy(,)f x y000(,)P xy定义定义5 设函数在点的某一邻域内有定义,趋近于点时,函数的极限等于在点处的函数值,即,则
22、称在点在点处连续处连续如果当邻域内的任意一点函数函数间断点:(,)zf x y000(,)P xy(,)zf x y如果函数在点处不连续,的间断点间断点 则称该点为函数(,)zf x y000(,)P xy(1)函数在点处无定义(,)P x y000(,)P xy(,)zf x y(2)当点趋于点时,函数的极限不存在(,)zf x y00(,)xy(3)函数在点处极限值不等于函数在该点的函数值22xzxy1ln22yxz例例 讨论下列函数的间断点(或间断线):;(2)(1)220 xy22xzxyyxyx 解解(1)当时,函数无定义,和 所以直该函数有间断线0122 yx1ln22yxz012
23、2 yx(2)当时,函数无定义,所以圆周是该函数的间断线定义定义6 6 由变量,x y的基本初等函数及常数经过有限次的四则运算或复合而构成的,且用一个数学式子表示的二元函数称为二元初等函数二元初等函数(,)f x yD(,)f x yD性质性质(最值性质)如果函数在有界闭区域连续,则在上一定存在最大值和最小值 上(,)f x yD性质性质(介值性质)如果函数在有界闭区域上连续,(,)f x yDMm则在上一定可取得介于函数最大值与最小值之间的任何值 返回返回6.3 偏导数与全微分偏导数与全微分6.3.1 偏导数的概念及求法偏导数的概念及求法1偏导数的定义偏导数的定义(,)zf x y00(,)
24、xyy0yx0 xx0000(,)(,)f xx yf xy定义定义7 设函数在点的某一邻域内有定义,当固定在,而 在处有增量时,相应的函数有增量如果极限00000(,)(,)limxf xx yf xyx 存在,(,)zf x y00(,)xyx则称此极限值为函数在点处对对的的偏导数偏导数.记为00(,)xyzx00(,)xyfx),(00yxfx00(,)xzxy,或 00(,)xyzx00000(,)(,)limxf xx yf xyx 即),(yxfz),(00yxy类似地,函数在点处对对的偏导数的偏导数,定义为00(,)xyzy00000(,)(,)limyf xyyf xyy.2二
25、元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义yxzxT0MOyT0y0 x00(,0)xy00(,)xfxyxTM0 x对轴的斜率 表示00(,)yfxy表示 yTM0y对轴的斜率 偏导数的求法偏导数的求法xzyxx 要求,把看成常数,函数看成是以一元函数,然后对 求导数。为自变量的25222zx yyxxzyz2,1zx2,1zy例例1 设,求,及解解 552 2242zx yxyx2424252102zxyyx yyy5(2,1)4 2 1210zx 24(2,1)10 212 142zy ,)ln(22yxzyzx例例2 下列函数的偏导数 (2)(1)解解 (1)22222212()z
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