2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年浙江省绍兴市诸暨市高三（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市诸暨市高三（上）期末数学试卷 一、选择题一、选择题 1 （3 分）若 |1Px x， |0Qx x，全集为R，则( ) APQ BQP C R QC P D R C PQ 2 （3 分）双曲线 2 2 1 3 y x 的焦点坐标为( ) A(2,0) B( 2,0) C(0,2) D(0, 2) 3 （3 分）已知a，bR，i是虚数单位， ai bi ai ，则b可取的值为( ) A1 B1 C1 或1 D任意实数 4 （3 分）已知公比为q的等比数列 n a的首项 1 0a ，则“1

2、q ”是“ 53 aa”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （3 分）已知 2 0 3 a，随机变量的分布列如图：则当a增大时，的期望( )E变化情 况是( ) 1 0 1 P 1 3 a b A( )E增大 B( )E减小 C( )E先增后减 D( )E先减后增 6 （3 分）若函数( )2sin()(06,|) 2 f xx 的图象经过点(,2) 6 和 2 (, 2) 3 ，则 要得到函数( )2sing xx的图象，只需把( )f x的图象( ) A向左平移 6 个单位 B向左平移 12 个单位 C向右平移 6 个单位 D向右平移 12

3、 个单位 7 （3 分）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形中，可能是其俯视图 的是( ) 第 2 页（共 19 页） A都可能 B可能，不可能 C不可能，可能 D都不可能 8 （3 分）已知a，0b ，1ab，则 12 211ab 的最小值是( ) A 9 5 B 11 6 C 7 5 D 2 2 1 5 9 （3 分）正四面体ABCD中，BCD在平面内，点E在线段AC上，2AEEC，l是 平面的垂线，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与l所成角为，则sin的最小 值是( ) A 7 7 B 3 6 C 2 21 21 D 7 14 10 （3 分）已知函数 2 ( )f x

4、xxb的定义域为0，1，值域包含于区间0，1，且存 在实数 00 1 0 2 xy剟满足： 00 (2)fxy， 00 (2)fyx，则实数b的取值范围是( ) A 3 0, 4 B 1 3 ,) 4 4 C 33 (, 16 4 D 3 1 (, 16 4 二、填空题二、填空题 11 （3 分）已知函数 2 21,1 ( ) ,1 xx f x xx ，则 1 ( ( ) 2 f f ；若f（a）1，则a 第 3 页（共 19 页） 12 （3 分）若二项式 1 (3)nx x 展开式各项系数和为 64，则n ；常数项为 13（3 分） 若实数x，y满足约束条件 24 0 1 0 xy xy

5、 xy ， 则2xy的最大值是 ； 若01a， 且axy的最大值为 3，则a 14 （3 分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D为边AC上的中点，已 知5a ，7b ，8c ，则cosB ；BD 15 （3 分）用 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的四位数，其中奇数有 个 16 （3 分）已知a，b是不共线的两个向量，若对任意的m，nR，|amb的最小值为 1，|(1)| 2 n n ab的最小值为 1，若4a b ，则a，b所成角的余弦值为 17 （3 分）已知A，B分别是椭圆 2 2 1 2 x y的右顶点，上顶点，P是椭圆在第三象限一 段弧上的点，PA交y轴于M点，P

6、B交x轴于N点，若/ /MNAB，则P点坐标为 三、解答题三、解答题 18已知函数 2 ( )2sin cos2 3sin3f xxxx （1）求函数( )f x在区间0, 2 上的值域； （2）设(, ) 2 ， 10 () 213 f ，求sin的值 19 已 知 四 棱 锥PABCD中 ， 底 面ABCD为 矩 形 ， 平 面PAD 平 面A B C D， 2PAPDAD，点E，F分别是PD，AB的中点 （1）求证：/ /AE平面PFC； （2）若CF与平面PCD所成角的余弦值等于 6 4 ，求AB的长 20数列 n a是公比为正数的等比数列， 1 2a ， 23 12aa；数列 n b

7、前n项和为 n S，满 第 4 页（共 19 页） 足 2 3b ，(1)() 2 nn n SbnN （）求 1 b， 3 b及数列 n a， n b的通项公式； （）求 1 1223 3nn a ba ba ba b 21已过抛物线 2 :4C xy的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，以A，B两点为切 点作抛物线的切线，两条直线交于P点 （1）当直线l平行于x轴时，求点P的坐标； （2）当 | 2 | PA PB 时，求直线l的方程 22 已知函数 11 1 ( )(1) 4 xx f xeeaxa ， 其中2.718e 是自然对数的底数，( )( )g xfx 是函数( )f x的导

8、数 （1）若( )g x是R上的单调函数，求a的值； （2）当 7 8 a 时，求证：若 12 xx，且 12 2xx ，则 12 ()()2f xf x 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年浙江省绍兴市诸暨市高三（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市诸暨市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）若 |1Px x， |0Qx x，全集为R，则( ) APQ BQP C R QC P D R C PQ 【解答】解： |1Px x， |0Qx x，全集为R， |1 R C Px xQ， 故选：D 2 （3 分）双曲线 2 2 1

9、 3 y x 的焦点坐标为( ) A(2,0) B( 2,0) C(0,2) D(0, 2) 【解答】解：双曲线 2 2 1 3 y x ， 2 4c，( 2,0)F， 故选：B 3 （3 分）已知a，bR，i是虚数单位， ai bi ai ，则b可取的值为( ) A1 B1 C1 或1 D任意实数 【解答】解： ai bi ai ，()aiai bibabi ， 1 ab ab ，解得 1 1 a b 或 1 1 a b ， 故选：C 4 （3 分）已知公比为q的等比数列 n a的首项 1 0a ，则“1q ”是“ 53 aa”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不

10、充分也不必要条件 【解答】解：依题可知 2 533( 1)0aaa q， 1 0a ， 3 0a，1q或1q ， 故选：A 5 （3 分）已知 2 0 3 a，随机变量的分布列如图：则当a增大时，的期望( )E变化情 况是( ) 第 6 页（共 19 页） 1 0 1 P 1 3 a b A( )E增大 B( )E减小 C( )E先增后减 D( )E先减后增 【解答】解：依题可知 1 ( ) 3 2 3 Eb ab ， 12 ( ) 33 Ea ， 当a增大时，的期望( )E减小 故选：B 6 （3 分）若函数( )2sin()(06,|) 2 f xx 的图象经过点(,2) 6 和 2 (,

11、 2) 3 ，则 要得到函数( )2sing xx的图象，只需把( )f x的图象( ) A向左平移 6 个单位 B向左平移 12 个单位 C向右平移 6 个单位 D向右平移 12 个单位 【解答】解：因为函数( )2sin()f xx的图象经过点(,2) 6 和 2 (, 2) 3 ，可知这两点分 别为图象的最高点和最低点， 有 2 2362 T T ，由 2 T ，可得2，满足06 （注：若这两点不为函数图象相邻的最高点和最低点，则得出的不满足06) 再将点(,2) 6 代入( )2sin()f xx求得 6 ， 所以( )2sin(2)2sin2() 612 f xxx 向右平移 12

12、个单位可得到( )2sin2g xx 故选：D 7 （3 分）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形中，可能是其俯视图 的是( ) 第 7 页（共 19 页） A都可能 B可能，不可能 C不可能，可能 D都不可能 【解答】解：当俯视图为时，该几何体是三棱锥，如图 1 所示； 当俯视图是时，该几何体是棱锥和圆锥的组合体，如图 2 所示； 所以都有可能 故选：A 8 （3 分）已知a，0b ，1ab，则 12 211ab 的最小值是( ) A 9 5 B 11 6 C 7 5 D 2 2 1 5 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：a，0b ，1ab， 由权方和不等式可得 2 119

13、 (2) 1229 222 115 21115 1 222 abb aab ， 1 2 2 ( 1 1 2 b a ，“” )， 故选：A 9 （3 分）正四面体ABCD中，BCD在平面内，点E在线段AC上，2AEEC，l是 平面的垂线，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与l所成角为，则sin的最小 值是( ) A 7 7 B 3 6 C 2 21 21 D 7 14 【解答】解析：相对运动，让正四面体ABCD保持静止，平面绕着CD旋转， 故其垂线l也绕着CD旋转，取AD上的点F，使得2 AF DF ， 连接/ /EFEFCD，等价于平面绕着EF旋转， 在BEF中，2BC ， 2 7 3

14、BEBF， 4 3 EF ， 222 2 742 7 ()( )() 7 333 cos 72 74 2 33 BEF 如下图所示，将问题抽象为几何模型，平面的垂线可看作圆锥底面半径EP，绕着圆锥的轴 EF旋转， 故选：A 第 9 页（共 19 页） 10 （3 分）已知函数 2 ( )f xxxb的定义域为0，1，值域包含于区间0，1，且存 在实数 00 1 0 2 xy剟满足： 00 (2)fxy， 00 (2)fyx，则实数b的取值范围是( ) A 3 0, 4 B 1 3 ,) 4 4 C 33 (, 16 4 D 3 1 (, 16 4 【解答】解： （代数消元） 2 0000 (2

15、)42fxxxby， 2 0000 (2)42fyyybx， 两式相减可得 22 00000000 3 4()2() 4 xyxyyxxy， 故可得 00 31 3 , ) 44 8 xy， 代入可得 2 00 3 43 4 bxx对称轴为 3 8 ， 故可得 3 1 (, 16 4 b， 故选：D 二、填空题二、填空题 11 （3 分）已知函数 2 21,1 ( ) ,1 xx f x xx ，则 1 ( ( ) 2 f f 4 ；若f（a）1，则a 【解答】解： 1 ( )2 2 f， 1 ( ( )(2)4 2 f ff； 故 1 ( ( )4 2 f f； 若1a ，则2110aa ；

16、 若1a，则 2 11aa ， 故0a 或 1 故答案为：4，0 或 1， 第 10 页（共 19 页） 12 （3 分）若二项式 1 (3)nx x 展开式各项系数和为 64，则n 6 ；常数项为 【解答】解：二项式 1 (3)nx x 中， 令1x ，则264 n ，解得6n ； 所以展开式的通项公式为 13 6 66 22 166 (3 )()( 1)3 r rrrrrr r TCxxCx ， 令 3 60 2 r，解得4r ， 所以展开式的常数项为 442 6 ( 1)3135C 故答案为：6，135 13（3 分） 若实数x，y满足约束条件 24 0 1 0 xy xy xy ， 则

17、2xy的最大值是 5 ； 若01a， 且axy的最大值为 3，则a 【解答】解：可行域的三个交点： 11 ( ,) 22 A，(2,1)B，( 4,4)C ， 则2xy在(2,1)B处取到最大值， 故2xy的最大值是 5； yax ，10a ， 若 1 1 2 a ，点(2,1)B处取到最大值，则2131aa （舍)； 若 1 0 2 a ，点( 4,4)C 处取到最大值，则 1 443 4 aa， 故 1 4 a 故答案为：5， 1 4 第 11 页（共 19 页） 14 （3 分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D为边AC上的中点，已 知5a ，7b ，8c ，则cosB

18、1 2 ；BD 【解答】解：1：向量法 由题意 222 2564491 cos 22 5 82 acb B ac ， 1 () 2 BDBABC，平方， 得到 22 1129 |(|2| |cos ) 42 BDBABCBABCB， 故填： 1 2 ， 129 2 解：2：平行四边形法则 倍长中线，由平行四边形法则，得到 2222 (2)2()BDACBABC， 即 2 129 4 BD ，即 129 2 BD 解析 3：余弦定理 由题意 222 2564491 cos 22 5 82 acb B ac ， 因为coscos0ADBCDB， 则 222222 0 22 ADBDABDCBDBC

19、 BD ADBD DC ，代入数据， 得到 2 129 4 BD ，即 129 2 BD ， 故填： 1 2 ， 129 2 故答案为： 1 2 ， 129 2 15 （3 分）用 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的四位数，其中奇数有 36 个 【解答】解：特殊位置优先考虑 先考虑末尾，有 1 2 C种，再考虑首位非零， 1 3 ，剩下的两个位置有 2 3 A种， 则由分步乘法计数原理，得到共有奇数 112 233 36C C A 种， 第 12 页（共 19 页） 故答案为：36 16 （3 分）已知a，b是不共线的两个向量，若对任意的m，nR，|amb的最小值为 1，|(1)| 2 n

20、 n ab的最小值为 1，若4a b ，则a，b所成角的余弦值为 3 2 【解答】解： 2222 ()8ambb mma，mR， 当 2 4 m b 时， 22 2 6 ()1 min amba b ，即 222 16a bb， 2 22222 (1)(4)(2) 24 nb n abanana，nR， 当 2 2 2 2 4 4 a n b a 时， 22 22 2 2 (2) (1)1 2 4 4 min na n aba b a ，即 2222 4a bba， 222 2222 | 2 16 4 | 4 3 a a bb b a bba ， 3 cos 2| | a b ab 故答案为：

21、 3 2 17 （3 分）已知A，B分别是椭圆 2 2 1 2 x y的右顶点，上顶点，P是椭圆在第三象限一 段弧上的点，PA交y轴于M点，PB交x轴于N点，若/ /MNAB，则P点坐标为 2 ( 1,) 2 【解答】解：法一：椭圆 2 2 1 2 x y在坐标轴上进行仿射变换：设 2 2 mx，ny，从而 得到圆方程： 22 1mn显然P是圆在第三象限弧的中点 22 (,) 22 满足题意，即 22 22 mx ， 2 2 ny ，可得1x ， 2 2 y ， 故答案为： 2 ( 1,) 2 法二： （常规方法） 设点(P m，)(0n m，0)n，( 2,0)A，(0, 1)B， 直线PA

22、方程：(2) 2 n yx m ，PA交y轴于点 2 (0,) 2 n M m ， 直线PB方程： 1 1 n yx m ，PB交x轴于点(,0) 1 m N n ，利用 MNAB KK， 即 2 (1)1 (2)2 n n mm ，化简可得 22 222nnmm， 第 13 页（共 19 页） 又因为点( , )P m n在椭圆上，所以 2 2 1 2 m n，可得 2 1 2 m n 代入 22 222nnmm， 化简可得(1)(1)(2)0(0)m mmmm，得1m ， 2 2 n ， 故答案为： 2 ( 1,) 2 三、解答题三、解答题 18已知函数 2 ( )2sin cos2 3s

23、in3f xxxx （1）求函数( )f x在区间0, 2 上的值域； （2）设(, ) 2 ， 10 () 213 f ，求sin的值 【解答】解： （1）( )sin23cos22sin(2) 3 f xxxx ， 当0x， 2 时， 4 2 333 x 剟， 即当 4 2 33 x 时，函数取得最小值为 4 2sin3 3 y ， 当2 32 x 时，函数取得最大值为2sin2 2 y ， 所以，此时( )f x的值域为3,2 （2）因为 10 ()2sin() 2313 f ， 所以 5 sin() 313 ， 54 633 ， 所以 12 cos() 313 ， 512 3 sins

24、in()sin()coscos()sin 33333326 19 已 知 四 棱 锥PABCD中 ， 底 面ABCD为 矩 形 ， 平 面PAD 平 面A B C D， 2PAPDAD，点E，F分别是PD，AB的中点 第 14 页（共 19 页） （1）求证：/ /AE平面PFC； （2）若CF与平面PCD所成角的余弦值等于 6 4 ，求AB的长 【解答】解： （1）证明：取PC的中点M，连接MF，NE， E，M分别为PD，PC的中点， / /EMDC， 1 2 EMDC， ABCD为矩形，/ /EMAF，EMAF， 四边形AFEM是平行四边形， / /AEFM，AE 平面PFC， 又FM 平

25、面PFC，/ /AE平面PFC （2）解：取AD的中点O， 2PAPDAD，POAD，3PO ， 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PO平面ABCD， 以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，OP为z轴，建立如图 坐标系， 设2ABa，则(0,0, 3)P，( 1D ，0，0)，( 1C ，2a，0)，(1F，a，0)， ( 1,0,3)PD ，(0,2 ,0)DCa， 设平面PCD的法向量(nx，y，) z， 则 30 20 n PDxz n DCax ，取3x ，得平面PCD的法向量( 3,0, 1)n ， ( 2, ,0)FCa ， 设CF与

26、平面PCD所成角为， 第 15 页（共 19 页） CF与平面PCD所成角的余弦值等于 6 4 ， 2 2 |2 36 sin1() 4| | 44 CF n CFn a ， 解得 2 5 5 a ， （舍负） 故AB的长为 4 5 5 20数列 n a是公比为正数的等比数列， 1 2a ， 23 12aa；数列 n b前n项和为 n S，满 足 2 3b ，(1)() 2 nn n SbnN （）求 1 b， 3 b及数列 n a， n b的通项公式； （）求 1 1223 3nn a ba ba ba b 【解答】解： （）解法1:（数列定义） 易知 2 231( )12aaa qq，解得

27、2q 或3q ， 又公比为正数，则2q ，故 1 1 2 nn n aaq ，nN ； 111 1 (1)1 2 Sbb， 3333 3 4(1)5 2 Sbbb，(1) 2 nn n Sb， 则 11 1( 1) 2 nn n Sb ，2n，两式相减得 1 (2)(1)1 nn nbnb ， 第 16 页（共 19 页） 则 12 (3)(2)1 nn nbnb ，3n，同理两式相减得 12 2 nnn bbb ，3n（注 1 :b， 3 b也符 合） ， 则 n b为等差数列，故21 n bn，nN 解法2:（数学归纳法） 易知 2 231( )12aaa qq， 解得2q 或3q ， 又

28、公比为正数， 则2q ， 故 1 1 2 nn n aaq ， nN ； 111 1 (1)1 2 Sbb， 3333 3 4(1)5 2 Sbbb，猜想21 n bn，nN ， 用数学归纳法证明 当1n 时， 1 1b 成立； 假设当nk时，21 k bk成立， 当1nk时 ， 2 1111 1( 1) 2 kkkkk k SbkbSb ， 则 2 1 (1)21 k kbkk ， 即 1 21 k bk ， 故当1nk时，结论也成立 由可知，对于任意的*nN，21 n bn均成立； （）解法1:（错位相减法求和） 由（1）可知(21) 2n n n a bn， 1 12 23 3 1 23

29、 45 8(21) 2n nn n Taba ba ba bn， 1 21 438516(21) 2n n Tn ， 相减可得 1 11 4(12) 22(482 )(21) 222(21) 2 12 n nnn n Tnn ， 化简可得 1 6(23) 2n n Tn 解法2:（裂项求和） 由（1）可知(21) 2n n n a bn，注意到 1 (21) 2(23) 2(25) 2 nnn nnn ， 11 1 12 23 3 1 4( 3) 2 8( 1) 4 3168(23) 2(25) 2 6(23) 2 nnn nn n Taba ba ba bnnn 第 17 页（共 19 页）

30、 21已过抛物线 2 :4C xy的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，以A，B两点为切 点作抛物线的切线，两条直线交于P点 （1）当直线l平行于x轴时，求点P的坐标； （2）当 | 2 | PA PB 时，求直线l的方程 【解答】解： （1）依题可知(0,1)F，当直线l平行于x轴时，则l的方程为1y ， 所以可得(2,1)A，( 2,1)B ，又 2 4xy可得 2 4 x y ， 1 2 yx ； 所以在A，B 处的切线分别为： 2 1(2) 2 yx ， 2 1(2) 2 yx ， 即1yx，1yx ， 联立两切线可得 1 1 yx yx 解得0x ，1y ，所以(0, 1)P （2

31、）设l的方程为：1ykx，( ,)A x y，(,)B xy， 则联立有 2 1 4 ykx xy 整理得： 2 440xkx，所以4xxk ，4x x ， 在A处的切线为： 2 11 () 42 yxx xx，即 2 11 24 yx xx， 同理可得，在B处切线： 2 11 () 42 yxxxx ，即 2 11 24 yx xx ， 联立有： 2 2 11 24 11 24 yx xx yx xx 解得 2 xx x ，1y ，即点( 2 xx P ，1) 22 1 |1() |1() | 2222 xxxx PAxxx ， 同理可得： 2 1 |1() | 22 x PBxx ， 所以

32、 2 2 2 2 1() |4 2 2 |4 1() 2 x PAx PBxx ， 22 44(4)xx ， 又4x x ，解得 2 1x 1x ，所以 4 1 x x 或 4 1 x x ， 所以直线方程为： 3 1 4 yx 22 已知函数 11 1 ( )(1) 4 xx f xeeaxa ， 其中2.718e 是自然对数的底数，( )( )g xfx 是函数( )f x的导数 第 18 页（共 19 页） （1）若( )g x是R上的单调函数，求a的值； （2）当 7 8 a 时，求证：若 12 xx，且 12 2xx ，则 12 ()()2f xf x 【解答】解： （1） 11 1

33、 ( )( )(1) 2 xx g xfxeeax ， 11 ( )(1) xx g xeeaxa ， 由题意( )g x是R上的单调函数， 故 1 ( )1 0 x G xeaxa 恒成立，由于( 1)0G ， 所以( 1)0G ，解得1a 解法 1：消元求导： （2） 1111 171173 ( )()(1) 488484 xxxx f xeexeex ， 令1xt ， 12 0tt，不妨设 2 10tx ， 173 ( )() 484 tt h teet， 令 173173 ( )( )()()() 484484 tttt H th thteeteet ， 原题即证明当0t 时，()2H

34、 t ， 171171171 ( )()()()()()() 288288288 tttttttttttt H teeteeteeeet eeee 711 () ()()()2 0 8216 tttttttt eeeeteeee ，其中 11 ()()1 0 22 tttt eeee ， 因为(0)2H， 所以当0t 时，( )2H t ，得证 解法 2：切线放缩： 化解过程同上，原题即证明当0t 时，( )( )()2H th tht， 173 ( )() 484 tt h teet， 注意到 00 173 (0)(0)1 484 hee， 求出 173 ( )() 484 tt h tee

35、t在(0,1)处的切线方程，则 171 ( )() 288 tt h teet，即 3 (0) 8 h， 则：切线方程为 3 1 8 yt 下面证明 3 ( )1 8 h tt 恒成立(0)t ； 令 3 ( )( )1 8 F th tt， 则 1713 ( )()00 2888 tt F teett ，得( )0F t在0t 恒成立， 第 19 页（共 19 页） 故( )F t在(0)t 上单调递增， 3 ( )( )1(0)0 8 F th ttF 恒成立， 故 3 ( )1 8 h tt 恒成立，同理可证()ht始终位于()ht在(0,1)处的切线 3 1 8 yt 的上方， 即： 3 () ()1 8 htt（实际上( )h t与()ht关于y轴对称） ， 故 33 ( )( )()1()12 88 H th thttt 恒成立，原不等式得证