2019-2020学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷 一、选择题：共一、选择题：共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （5 分）设集合 |2| 2Axx， 2 |320Bx xx则( R AB ) A(0，12，4) B(1,2) C D(，0)(4，) 2 （5 分） “01x”是“ 2 log (1)1x ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非

2、必要条件 3 （5 分）过点(3,1)M作圆 22 2620xyxy的切线l，则l的方程为( ) A40xy B40xy或3x C20xy D20xy或3x 4 （5 分）已知数列 n a是等比数列，数列 n b是等差数列，若 2610 3 3a a a， 1611 7bbb，则 210 39 tan 1 bb a a 的值是( ) A1 B 2 2 C 2 2 D3 5 （5 分）设正实数a，b，c分别满足21 a a， 2 log1bb ， 2 1 ( )1 2 c c，则a，b，c的 大小关系为( ) Abca Bcba Ccab Dacb 6 （5 分）已知函数( )cos23sin2

3、f xxx，则下列说法中，正确的是( ) A( )f x的最小值为1 B( )f x在区间 6 ， 6 上单调递增 C( )f x的图象关于点( 62 k ，0)，kZ对称 D将( )f x的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 1 2 ，可得到( )2cos() 3 g xx 7 （5 分）抛物线 2 2(0)ypx p的焦点与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点F重合， 且相交于A，B两点，直线AF交抛物线与另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若 第 2 页（共 19 页） 1 | 2 AFFC，则双曲线的离心率为( ) A 2 3 3 B2 C2 D3 8（5分）

4、 设函数( )f x在R上可导，xR ， 有 2 ()( )fxf xx 且f（2）2； 对( 0 ,)x ， 有( )fxx恒成立，则 2 ( )1 2 f x x 的解集为( ) A( 2，0)(0，2) B(，2)(2，) C( 2，0)(2，) D(，2)(0，2) 9 （5 分）在四边形ABCD中，/ /ADBC，2AB ，5AD ，3BC ，60A ，点E在 线段CB的延长线上，且AEBE，点M在边CD所在直线上，则AM ME的最大值为( ) A 71 4 B24 C 51 4 D30 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30

5、分分. 10 （5 分）设 1 2 1 i zi i ，则| z 11 （5 分）曲线( )2sincosf xxx在点(，( )f处的切线方程为 12 （5 分）在 8 1 ()x x 的二项展式中， 2 x的项的系数是 （用数字作答） 13 （5 分）已知六棱锥PABCDEF的七个顶点都在球O的表面上，若2PA，PA底面 ABCDEF，且六边形ABCDEF是边长为 1 的正六边形，则球O的体积为 14 （5 分）若0mn，则 2 1 () m mn n 的最小值为 15 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x满足(2)(2)f xf x，且当( 2x ，2时， 2 111 (|),02

6、 ( )2 2 , 20 xxx f xxx xxx ， 若函数( )( ) |log| a g xf xx，(1)a 在(0,5)x上有四 第 3 页（共 19 页） 个零点，则实数a的取值范围为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 75 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （14 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知sin4 sinaAbB， 222 5()acabc （）求cos A的值； （）求sin(2)BA的值 17（15 分） 菱形ABCD中，120ABC，EA平面A

7、BCD，/ /EAFD，22EAADFD （）证明：直线/ /FC平面EAB； （）求二面角EFCA的正弦值； （） 线段BC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为 2 8 ？若存在， 求 EM MC ；若不存在，说明理由 18 （14 分）已知点A，B分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点和上顶点，F为其 右焦点，1BA BF ，且该椭圆的离心率为 1 2 ； （）求椭圆C的标准方程； （）设点P为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M为直线AP与y轴的交点， 线段AP的中垂线与x轴交于点N，若直线OP斜率为 OP k，直线MN的斜率为 MN k，

8、且 2 8 ( OPMN b kkO a 为坐标原点） ，求直线AP的方程 19 （16 分）已知数列 n a是公比大于 1 的等比数列， n S为数列 n a的前n项和， 3 7S ， 且 1 3a ， 2 3a， 3 4a 成等差数列 数列 n b的前n项和为 n T， * nN 满足 1 1 12 nn TT nn ， 第 4 页（共 19 页） 且 1 1b （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）令 2 2 , , nnn nn n bbc ab n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前2n项和为 2n Q； （）将数列 n a， n b的项按照“当n为奇数时， n a放在前面

9、；当n为偶数时， n b放在前 面”的要求进行排列，得到一个新的数列 1 a， 1 b， 2 b， 2 a， 3 a， 3 b， 4 b， 4 a， 5 a， 5 b， 6 b ， 求这个新数列的前n项和 n P 20 （16 分）已知 2 ( )46f xxxlnx （）求( )f x在(1，f（1）)处的切线方程以及( )f x的单调性； （）对(1,)x ，有 2 1 ( )( )6 (1)12xfxf xxk x 恒成立，求k的最大整数解； （） 令( )( )4(6)g xf xxalnx， 若( )g x有两个零点分别为 1 x， 212 ()xxx且 0 x为( )g x 的唯一

10、的极值点，求证： 120 34xxx 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：共一、选择题：共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （5 分）设集合 |2| 2Axx， 2 |320Bx xx则( R AB ) A(0，12，4) B(1,2) C D(，0)(4，) 【解答】解： |04Axx， |12Bxx， |1 RB x

11、 x或2x，(0 R AB ，12，4) 故选：A 2 （5 分） “01x”是“ 2 log (1)1x ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解：由 2 log (1)1x 得012x ，解得11x ， 则“01x”是“ 2 log (1)1x ”的充分不必要条件， 故选：A 3 （5 分）过点(3,1)M作圆 22 2620xyxy的切线l，则l的方程为( ) A40xy B40xy或3x C20xy D20xy或3x 【解答】解：根据题意，设圆 22 2620xyxy的圆心为C， 圆 22 2620xyxy即 22 (1)(3)

12、8xy，其圆心为(1,3)， 又由点M的坐标为(3,1)，有 22 (3 1)(1 3)8，即点M在圆上， 则 13 1 3 1 MC k ，则切线的斜率1k ， 则切线的方程为1(3)yx ，即20xy； 故选：C 第 6 页（共 19 页） 4 （5 分）已知数列 n a是等比数列，数列 n b是等差数列，若 2610 3 3a a a， 1611 7bbb，则 210 39 tan 1 bb a a 的值是( ) A1 B 2 2 C 2 2 D3 【解答】解：数列 n a是等比数列，数列 n b是等差数列， 若 2610 3 3a a a， 1611 7bbb， 可得 3 6 3 3a

13、 ， 6 37b， 即有 6 3a ， 6 7 3 b， 则 2106 2 396 14 27 3 tantantantan()3 11133 bbb a aa ， 故选：D 5 （5 分）设正实数a，b，c分别满足21 a a， 2 log1bb ， 2 1 ( )1 2 c c，则a，b，c的 大小关系为( ) Abca Bcba Ccab Dacb 【解答】解：分别画出函数图象： 1 y x ，2xy ， 2 logyx， 21 a a， 2 log1bb ， 则2ba， 由 2 1 ( )1 2 c c，可得2c ，或 4 则a，b，c的大小关系为cba 故选：B 第 7 页（共 19

14、 页） 6 （5 分）已知函数( )cos23sin2f xxx，则下列说法中，正确的是( ) A( )f x的最小值为1 B( )f x在区间 6 ， 6 上单调递增 C( )f x的图象关于点( 62 k ，0)，kZ对称 D将( )f x的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 1 2 ，可得到( )2cos() 3 g xx 【解答】解：( )2sin(2) 6 f xx ， 则函数的最小值为2，故A错误， 当 66 x 剟时，2 662 x 剟，此时函数( )f x为增函数，故B正确， 由2 6 xk 得 26 k x ，即函数关于( 26 k ，0)对称，故C错误， 将( )f x的纵

15、坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 1 2 ，得到2sin(4) 6 yx 此时函数的周期 2 42 T ，而( )g x的周期2T，故D错误， 故选：B 7 （5 分）抛物线 2 2(0)ypx p的焦点与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点F重合， 且相交于A，B两点，直线AF交抛物线与另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若 1 | 2 AFFC，则双曲线的离心率为( ) 第 8 页（共 19 页） A 2 3 3 B2 C2 D3 【解答】 解： 双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 直线AC的倾斜角， 即t a n b a ，sin b c ， cos a c

16、 ， 由抛物线的焦点弦公式可知：| 1cos ppc AF ac ，| 1cos ppc CF ca ， 由 1 | 2 AFFC，即 1 2 pcpc acca ，即2()acca，则3ca， 所以曲线的离心率为3 c e a ， 故选：D 8（5分） 设函数( )f x在R上可导，xR ， 有 2 ()( )fxf xx 且f（2）2； 对( 0 ,)x ， 有( )fxx恒成立，则 2 ( )1 2 f x x 的解集为( ) A( 2，0)(0，2) B(，2)(2，) C( 2，0)(2，) D(，2)(0，2) 【解答】解：令 2 1 ( )( ) 2 g xf xx， 22 11

17、 ()( )()( )0 22 gxg xfxxf xx， 函数( )g x为奇函数 (0,)x时，( )( )0g xfxx， 函数( )g x在(0,)上是增函数， 函数( )g x在(,0)上也是增函数， ( )g x在(,0)和(0,)上是增函数， 由 2 ( )1 2 f x x ，得 2 1 ( )0 2 f xx，即( )0g x ， 第 9 页（共 19 页） f（2）2， 2 1 (2)(2)20 2 gf，( 2)0g ， (2,)x 或( 2,0)x 时，( )0g x ， 故( 2x ，0)(2，)时， 2 ( )1 2 f x x 故选：C 9 （5 分）在四边形AB

18、CD中，/ /ADBC，2AB ，5AD ，3BC ，60A ，点E在 线段CB的延长线上，且AEBE，点M在边CD所在直线上，则AM ME的最大值为( ) A 71 4 B24 C 51 4 D30 【解答】解：如图： ； 因为：在四边形ABCD中，/ /ADBC，2AB ，5AD ，3BC ，60A ， 点E在线段CB的延长线上，且AEBE； 2AEBEAB； 四边形AECD为平行四边形；且AD与DC所成角为60 设DMxDC， 22 2 () ()() (1)(1)(1)4620AM MEADDMMCCEADxDCx DCADADxx DCxx AD DCxx ； 对称轴为 3 4 x

19、，开口向下 3 4 x时，AM ME的最大值为： 2 3371 4( )620 444 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 10 （5 分）设 1 2 1 i zi i ，则| z 1 第 10 页（共 19 页） 【解答】解： 2 1(1) 222 1(1)(1) ii ziiiii iii ， | 1z 故答案为：1 11（5 分） 曲线( )2sincosf xxx在点(，( )f处的切线方程为 2120xy 【解答】解：由( )2sincosf xxx，得( )2cossinfxxx， ( )2f ，又( )

20、1f ， 曲线( )2sincosf xxx在点(，( )f处的切线方程为：12()yx ， 即2120xy 故答案为：2120xy 12 （5 分）在 8 1 ()x x 的二项展式中， 2 x的项的系数是 70 （用数字作答） 【解答】解：因为通项公式为： 3 8 8 2 188 1 ()( 1) r rrrrr r TC xC x x ，0r ，1，2，8 令 3 82 2 r ，解得4r ，所以 2 x的项的系数为： 44 8 ( 1)70C 故答案为：70 13 （5 分）已知六棱锥PABCDEF的七个顶点都在球O的表面上，若2PA，PA底面 ABCDEF，且六边形ABCDEF是边长

21、为 1 的正六边形，则球O的体积为 8 2 3 【解答】解：把六棱锥PABCDEF补成一个直六棱柱，则直六棱柱的外接球即是六棱锥 PABCDEF的外接球， 设直六棱柱的上下底面的中心分别是 1 O， 2 O， 则外接球心O为 12 O O的中点， 且 12 2OOPA， 六边形ABCDEF是边长为 1 的正六边形， 1 AO B为等边三角形， 1 1AOAB， 又外接球半径 222 121 1 () 2 ROOAO， 2 1 12R ，2R， 外接球O的体积为： 3 48 2 33 R， 故答案为： 8 2 3 14 （5 分）若0mn，则 2 1 () m mn n 的最小值为 4 第 11

22、 页（共 19 页） 【解答】解：0mn，则 2222 22 2 1144 24 () () 2 mmmm mnn mn nmm 厖，当 且仅当2m ， 2 2 n 时取等号 2 1 () m mn n 的最小值为 4 故答案为：4 15 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x满足(2)(2)f xf x，且当( 2x ，2时， 2 111 (|),02 ( )2 2 , 20 xxx f xxx xxx ， 若函数( )( ) |log| a g xf xx，(1)a 在(0,5)x上有四 个零点，则实数a的取值范围为 (2.92，4(5,) 【解答】解：(2)(2)f xf x， (

23、)(4)f xf x，即函数( )f x的周期为 4， 函 数( )( )| l o g| a g xfxx，(1)a 在(0,5)x上 有 四 个 零 点 ， 等 价 于 函 数( )f x与 ( ) |log| a h xx在(0,5)x上有四个交点， 又当( 2x ，2时， 2 111 (|),02 ( )2 2 , 20 xxx f xxx xxx ， 由下图可知，当h（5）|log 5| 1 a 时，解得5a ， 由下图可知，当h（2）|log 2| a f（2）时，解得4a， 第 12 页（共 19 页） 又当(2,3)x时， 2 ( )68f xxx，( )logah xx，故

24、1 ( )26,( )fxxh x xlna ， 临界条件为( )f x与( )h x相切于同一点，设切点坐标为 0 (P x， 0) y，则 2 000 00 68 a yxx ylog x ， 即 20 00 68 lnx xx lna ， 由切点斜率相同得 0 0 1 26x x lna ， 由消去a得， 0 2 0000 1 ( 26)68 lnx xxxx ，即 2 00000 ( 26)68xxlnxxx， 方程在(2,3)x上有解，用二分法可得 0 2.835379x ， 又由 0 0 1 26x x lna ，则 00 1 ( 26) 2.92 xx ae ， 2.924a 综

25、上，2.924a 或5a 故答案为：(2.92，4(5,) 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 75 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （14 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知sin4 sinaAbB， 222 5()acabc （）求cos A的值； （）求sin(2)BA的值 【解答】 （）解：由 sinsin ab AB ，得sinsinaBbA， 又sin4 sinaAbB，得4 sinsinbBaA， 两式作比得： 4 ab ba ，2ab 第 13 页（共 19

26、页） 由 222 5()acabc，得 222 5 5 bcaac ， 由余弦定理，得 222 5 5 5 cos 25 ac bca A bcac ； （）解：由（） ，可得 2 5 sin 5 A，代入sin4 sinaAbB，得 sin5 sin 45 aA B b 由（）知，A为钝角，则B为锐角， 2 2 5 cos1sin 5 BB 于是 4 sin22sincos 5 BBB， 2 3 cos212sin 5 BB ， 故 4532 52 5 sin(2)sin2 coscos2 sin() 55555 BABABA 17（15 分） 菱形ABCD中，120ABC，EA平面ABCD

27、，/ /EAFD，22EAADFD （）证明：直线/ /FC平面EAB； （）求二面角EFCA的正弦值； （） 线段BC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为 2 8 ？若存在， 求 EM MC ；若不存在，说明理由 【解答】 解： （） 证明： 取BC中点T， 以D为原点， 分别以DA，DT，DT的方向为x轴， y轴，z轴正方向的空间直角坐标系， 则(2A，0，0)，(1B，3，0)，( 1C ，3，0)，(0D，0，0)，(2E，0，2)，(0F， 0，1) (0EA，0，2)，( 1AB ，3，0)， 设(nx，y，) z为平面EAB的法向量， 第 14 页（共 19 页

28、） 则 20 30 n EAz n ABxy ，取1y ，得( 3n ，1，0)， 又( 1FC ，3，1)，得0n FC ， 又直线FC 平面EAB，直线/ /FC平面EAB （）解：( 2EF ，0，1)，( 1FC ，3，1)，(2FA，0，1)， 设(nx，y，) z为平面EFC的法向量， 则 20 30 n EFxz n FCxyz ，取3x ，得( 3, 3,6)n ， 设(mx，y，) z为平面FCA的法向量， 则 20 30 n FAxz m FCxyz ，得(1m ，3，2)， 6 cos, | |4 m n m n mn ， 二面角EFCA的正弦值为： 2 610 1()

29、44 （）解：设( 3 , 3 , 2 )EMEC ，则(23 , 3 ,22 )M， 则( 1BD ，3，0)，(23DM，3，22 )， 设(px，y，) z为平面BDM的法向量， 则 30 (23 )3(22 )0 p BDxy p DMxyz ，取1y ，得 2 33 ( 3, 1,) 1 p ， 由( 1, 3, 2)EB ，得 2 2 33 | 2 322| 2 1 |cos,| 8 2 33 2 24() 1 EB p ， 解得 1 4 或 7 8 （舍)， 1 3 EM MC 第 15 页（共 19 页） 18 （14 分）已知点A，B分别是椭圆 22 22 :1(0) xy

30、Cab ab 的左顶点和上顶点，F为其 右焦点，1BA BF ，且该椭圆的离心率为 1 2 ； （）求椭圆C的标准方程； （）设点P为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M为直线AP与y轴的交点， 线段AP的中垂线与x轴交于点N，若直线OP斜率为 OP k，直线MN的斜率为 MN k，且 2 8 ( OPMN b kkO a 为坐标原点） ，求直线AP的方程 【解答】解：() I依题意知：(,0)Aa，(0, )Bb，( ,0)F c，(,)BAab ，( ,)BFcb， 则由题意： 2 1BA BFacb ，又 1 2 c e a ，解得： 2 4a ， 2 3b ， 椭圆C 的标准方程为

31、： 22 1 43 xy ()II由题意( 2,0)A ，设直线AP的斜率为k，直线AP 方程为：(2)yk x， 所以(0,2 )Mk，设( P P x，) P y，AP中点为( H H x，) H y，( N N x，0)， 由 22 (2) 1 43 yk x xy 整理得： 2222 (34)1616120kxk xk， 2 2 1612 ( 2) 34 P k x k ，解得 2 2 68 34 P k x k ，所以 22 222 681268 (2)( 343434 P kkk ykP kkk ， 2 12 ) 34 k k ， 中点 2 2 8 (3 4 k H k ， 2 6

32、 ) 34 k k ， 第 16 页（共 19 页） AP中垂线方程为： 2 22 618 () 3434 kk yx kkk ，令0y ，得 2 2 2 34 N k x k ， 所以N的坐标 2 2 2 (3 4 k k ，0)， 2 6 34 P OP P yk k xk ， 2 2 2 234 2 34 MN kk k kk k ， 222 22 6346(34)8 12 3434 OPMN kkkb kk kkka ，解得 2 9 4 k ， 3 2 k ， 直线AP 的方程为： 3 (2) 2 yx ， 即直线AP的方程：3260xy 19 （16 分）已知数列 n a是公比大于

33、1 的等比数列， n S为数列 n a的前n项和， 3 7S ， 且 1 3a ， 2 3a， 3 4a 成等差数列 数列 n b的前n项和为 n T， * nN 满足 1 1 12 nn TT nn ， 且 1 1b （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）令 2 2 , , nnn nn n bbc ab n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前2n项和为 2n Q； （）将数列 n a， n b的项按照“当n为奇数时， n a放在前面；当n为偶数时， n b放在前 面”的要求进行排列，得到一个新的数列 1 a， 1 b， 2 b， 2 a， 3 a， 3 b， 4 b， 4 a，

34、5 a， 5 b， 6 b ， 求这个新数列的前n项和 n P 【解答】解：() I由已知，得 123 13 2 7 (3)(4) 3 2 aaa aa a ， 即 123 123 7 67 aaa aaa ，也即 2 1 2 1 (1)7 (16)7 aqq aqq ，解得 1 1a ，2q ， 故 1 2n n a ； 1 1 12 nn TT nn ， 1 1b ，可得 n T n 是首项为 1，公差为 1 2 的等差数列， 11 1(1) 22 n Tn n n ， (1) 2 n n n T ， 则 n bn，*nN； 第 17 页（共 19 页） ( 1 11 , )2 2, n

35、n n II cnn nn 为奇数 为偶数 ， 21 21321242 11111 ()()(1)(2 24 822) 3352121 n nnn Qccccccn nn 1 1431 (1)(4) 2199 n n n 1 13131 4 9219 n n n ； ()III数列 n a前n项和21 n n S ，数列 n b的前n项和 (1) 2 n n n T ； 当2 (*)nk kN， 2 (1)(2) 2121 28 n k nkk k kn n PST ， 当43(*)nkkN， （1）当1n 时， 1 1 n PP， （2）当2n时， 1 21 2 2122 (22)(21)(

36、1)(1) 2121 28 n k nkk kknn PST ； 当41(*)nkkN， 1 21 2 212 2 (21)(3)(1) 2121 28 n k nkk kknn PST 综上 2 1 2 1 2 (2) 21,2 8 (1)(1) 21,43 8 1,1 (3)(1) 21,41 8 n n n n n n nk nn nk P n nn nk ，(*)kN 20 （16 分）已知 2 ( )46f xxxlnx （）求( )f x在(1，f（1）)处的切线方程以及( )f x的单调性； （）对(1,)x ，有 2 1 ( )( )6 (1)12xfxf xxk x 恒成立，

37、求k的最大整数解； （） 令( )( )4(6)g xf xxalnx， 若( )g x有两个零点分别为 1 x， 212 ()xxx且 0 x为( )g x 的唯一的极值点，求证： 120 34xxx 【解答】解： （） 2 ( )46f xxxlnx的导数为 6 ( )24fxx x ， 可得f（1）8 ，f（1）3 ， 所以( )f x在(1，f（1）)处的切线方程为38(1)yx 即85yx ； 第 18 页（共 19 页） 由 2 ( )(1)(3)fxxx x ，由( )0fx，可得3x ；由( )0fx，可得03x， 所以( )f x的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3

38、,)； （） 2 1 ( )( )6 (1)12xfxf xxk x 等价于() 1 min xxlnx k x ， 可令( ) 1 xxlnx h x x ， 2 2 ( ) (1) xlnx h x x ， 记( )2m xxlnx， 1 ( )10m x x ，所以( )m x为(1,)上的递增函数， 且m（3）130ln ，m（4）240ln，所以 0 (3,4)x， 0 ()0m x， 即 00 20xlnx， 所以( )h x在 0 (1,)x上递减，在 0 (x，)上递增， 且 000 00 0 ( )()(3,4) 1 min xx lnx h xh xx x ， 所以k的最大

39、整数解为 3； （）证明： 2 ( )g xxalnx， ( 2)( 2) ( )20 axaxa g xx xx ，可得 0 2 a x ， 当(0,) 2 a x，( )0g x，( 2 a x，)，( )0g x， 所以( )g x在(0,) 2 a 上单调递减，( 2 a ，)上单调递增，而要使( )g x有两个零点，要满足 0 ()0g x， 即 2 ()()0 222 aaa galn可得2ae， 因为 1 0 2 a x， 2 2 a x ，令 2 1 (1) x t t x ， 由 22 121122 ( )()f xf xxalnxxalnx， 即 2222 11111 2

40、1 alnt xalnxt xalntxx t ， 而 22 12011 34(31)2 2(31)8xxxtxatxa， 即 2 2 (31)8 1 alnt ta t ， 由0a ，1t ，只需证 22 (31)880tlntt， 第 19 页（共 19 页） 令 22 ( )(31)88h ttlntt，则 1 ( )(186)76h ttlntt t ， 令 1 ( )(186)76n ttlntt t ，则 2 61 ( )18110(1) t n tlntt t ， 故( )n t在(1,)上递增，( )n tn（1）0； 故( )h t在(1,)上递增，( )h th（1）0； 120 34xxx