2019-2020学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知复数 1 z， 2 z在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则 1 2 ( z z ) A1i B1i C1i D1i 2 （5 分） “sincos”是“sin21”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件

2、 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）向量a，b满足| 1a ，|2b ，()(2)abab，则向量a与b的夹角为( ) A45 B60 C90 D120 4 （5 分）已知数列 n a中， 3 2a ， 7 1a 若 1 n a 为等差数列，则 5 (a ) A 2 3 B 3 2 C 4 3 D 3 4 5 （5 分）已知点(2,4)M在抛物线 2 :2(0)C ypx p上，点M到抛物线C的焦点的距离是 ( ) A4 B3 C2 D1 6 （5 分）在ABC中，2ABACAD，20AEDE，若EBxAByAC，则( ) A2yx B2yx C2xy D2xy 7 （5 分）已知双曲线

3、22 22 :1,(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原 点，P是双曲线在第一象限上的点， 2 1212 |2|2 ,(0),PFPFm mPF PFm，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A 1 2 yx B 2 2 yx Cyx D2yx 8 （5 分）已知奇函数( )f x是R上增函数，( )( )g xxf x则( ) A 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 ggg B 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 ggg 第 2 页（共 21 页） C 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 ggg D 23 32 3 1

4、 (2)(2)(log) 4 ggg 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求，全部选对的得多项是符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的分，有选错的 0 分分 9 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，则下列四个命题正确的是( ) A直线BC与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B点C到面 11 ABC D的距离为 2 2 C两条异面直线 1 D C和 1 BC所成的角为 4 D三

5、棱柱 1111 AADBBC外接球半径为 3 2 10 （5 分）要得到cos2yx的图象 1 C，只要将sin(2) 3 yx 图象 2 C怎样变化得到？( ) A将sin(2) 3 yx 的图象 2 C沿x轴方向向左平移 12 个单位 Bsin(2) 3 yx 的图象 2 C沿x轴方向向右平移 11 12 个单位 C先作 2 C关于x轴对称图象 3 C，再将图象 3 C沿x轴方向向右平移 5 12 个单位 D先作 2 C关于x轴对称图象 3 C，再将图象 3 C沿x轴方向向左平移 12 个单位 11 （5 分）已知集合(Mx，)|( )yyf x，若对于 1 (x， 1) yM， 2 (x

6、， 2) yM，使 得 1212 0x xy y成 立 ， 则 称 集 合M是 “ 互 垂 点 集 ” 给 出 下 列 四 个 集 合 ： 2 1 ( , )|1Mx yyx； 2 ( , )|1Mx yyx； 3 ( , )| x Mx yye； 第 3 页（共 21 页） 4 ( , )|sin1Mx yyx其中是“互垂点集”集合的为( ) A 1 M B 2 M C 3 M D 4 M 12 （5 分） 德国著名数学家狄利克雷(,1805 859)Dirichletl在数学领域成就显著 19 世纪， 狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 1, ( ) 0, R xQ yf x xQ 其中R为

7、实数集，Q为有理数 集则关于函数( )f x有如下四个命题，其中真命题的是( ) A函数( )f x是偶函数 B 1 x， 2R xQ， 1212 ()()()f xxf xf x恒成立 C任取一个不为零的有理数T，()( )f xTf x对任意的xR恒成立 D不存在三个点 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()f x， 3 (C x， 3 ()f x，使得ABC为等腰直 角三角形 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知直线0xya与圆 22 :2O xy相交于A，B两点(O为坐标原点） ，且

8、AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为 ； 14 （5 分）已知直线2yx与曲线()yln xa相切，则a的值为 15 （5 分）5.2019l年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年 文明史得到国际社会认可 良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例， 实证了中华五千年文 明史 考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了 “放射性物质因衰变而减少” 这一规律 已 知样本中碳 14 的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足 5730 00 2( T NNN 表示碳 14 原有的质量） ，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址 文物样本中碳

9、 14 的质量是原来的 3 7 至 1 2 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年 到 年之间 （参考数据：20.3lg，70.84lg，30.48)lg 16 （5 分）已知ABC的顶点A平面，点B，C在平面异侧，且2AB ，3AC ， 若AB，AC与所成的角分别为, 3 6 ，则线段BC长度的取值范围为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知( )2cos (sin3cos )3f xxxx 第 4 页（共 21 页） （）求函数( )f x的最小

10、正周期及单调递减区间； （）求函数( )f x在区间,0 2 的取值范围 18（12 分） 在ABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 且 222 8sin3()abCbca， 若10,5ac ( ) I求cos A （）求ABC的面积S 19 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 1a ， 1 21 nn SS ， * nN ( ) I证明：1 n S 为等比数列，求出 n a的通项公式； （） 若 n n n b a ， 求 n b的前n项和 n T， 并判断是否存在正整数n使得 1 250 n n Tn 成立？ 若存在求出所有n值；若不存在说明理由 20 （12

11、 分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1000 多年， 在九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵()qiandu； 阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈()bienao指四个面均为直角三角形的 四面体如图在堑堵 111 ABCABC中，ABAC ( ) I求证：四棱锥 11 BA ACC为阳马； （）若 1 2C CBC，当鳖膈 1 CABC体积最大时，求锐二面角 11 CABC的余弦值 21 （12 分）给定椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，称圆心在原点O，半径为 22 ab的圆是 椭圆C的“卫星圆” 若椭圆C

12、的离心率 2 2 ，点(2, 2)在C上 ( ) I求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程； （）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线 1 l， 2 l，使得 12 ll，与椭 第 5 页（共 21 页） 圆C都只有一个交点，且 1 l， 2 l，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN为定 值 22 （12 分）已知函数( )2sinf xlnxxx，( )fx为( )f x的导函数 （）求证：( )fx在(0, )上存在唯一零点； （）求证：( )f x有且仅有两个不同的零点 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷学年山东省青岛

13、市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知复数 1 z， 2 z在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则 1 2 ( z z ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解：复数 1 z， 2 z在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)， 1 1zi ， 2 zi 1 2 2 1(1) 1 ziii i zii 故选：D 2

14、（5 分） “sincos”是“sin21”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：sincos，可得 4 k ，kZ， 22 2 k ，sin21， “s i nc o s”是“sin21”的充分条件， sin21，可得22 2 k ， 4 k ，kZ， 可得sincos， “s i nc o s”是“sin21”的必要条件， 所以“sincos”是“sin21”的充要条件 故选：C 3 （5 分）向量a，b满足| 1a ，|2b ，()(2)abab，则向量a与b的夹角为( ) A45 B60 C90 D120 【解答】解：设向量a

15、与b的夹角为 ()(2)abab， 2222 () (2)22 1( 2)12cos0abababa b ， 化为cos0， 第 7 页（共 21 页） 0，90 故选：C 4 （5 分）已知数列 n a中， 3 2a ， 7 1a 若 1 n a 为等差数列，则 5 (a ) A 2 3 B 3 2 C 4 3 D 3 4 【解答】解：设等差数列 1 n a 的公差为d， 则 73 11 4d aa ，即 1 14 2 d，解得 1 8 d 则 53 11113 2 244 d aa ，解得 5 4 3 a 故选：C 5 （5 分）已知点(2,4)M在抛物线 2 :2(0)C ypx p上，

16、点M到抛物线C的焦点的距离是 ( ) A4 B3 C2 D1 【解答】解：由点(2,4)M在抛物线 2 :2(0)C ypx p上，可得164p，4p ， 抛物线 2 :8C yx，焦点坐标(2,0)F，准线方程为2x ， 点M到抛物线C的准线方程的距离为 4， 则点M到抛物线C焦点的距离是：4， 故选：A 6 （5 分）在ABC中，2ABACAD，20AEDE，若EBxAByAC，则( ) A2yx B2yx C2xy D2xy 【解答】解：如图， 2ABACAD， 点D为边BC的中点， 20AEDE， 2AEDE ， 11 () 36 DEADABAC ， 又 11 () 22 DBCBA

17、BAC， 第 8 页（共 21 页） 1121 ()() 2633 EBDBDEABACABACABAC， 又EBxAByAC， 21 , 33 xy ， 2xy 故选：D 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1,(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原 点，P是双曲线在第一象限上的点， 2 1212 |2|2 ,(0),PFPFm mPF PFm，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A 1 2 yx B 2 2 yx Cyx D2yx 【解答】解：双曲线 22 22 :1,(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标

18、原 点，P是双曲线在第一象限上的点， 2 1212 |2|2 ,(0),PFPFm mPF PFm， 可得2ma， 2 12 4 2 cos4a aFPFa，所以 12 60FPF， 则 2222 1 441624212 2 caaaaa，即 222 3aba， 所以2 b a ， 所以双曲线的渐近线方程为：2yx 故选：D 8 （5 分）已知奇函数( )f x是R上增函数，( )( )g xxf x则( ) A 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 ggg B 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 ggg 第 9 页（共 21 页） C 23 32 3 1 (2)(2)(

19、log) 4 ggg D 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 ggg 【解答】解：由奇函数( )f x是R上增函数可得当0x 时，( )0f x ， 又( )( )g xxf x，则()()( )( )gxxfxxf xg x ， 即( )g x为偶函数，且当0x 时单调递增， 根据偶函数的对称性可知，当0x 时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大， 因为 33 1 ()(log 4) 4 g logg， 2 3 3 1 (2)() 4 gg ， 3 2 2 (2)() 4 gg ， 所以为 23 32 3 1 ()(2)(2) 4 g loggg 故选：B 二、多项选择题：

20、本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求，全部选对的得多项是符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的分，有选错的 0 分分 9 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，则下列四个命题正确的是( ) A直线BC与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B点C到面 11 ABC D的距离为 2 2 C两条异面直线 1 D C和 1 BC所成的角为 4 D三棱柱 1111 AADBBC外接球半径为 3 2 【解

21、答】解：正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1， 对于选项A：直线BC与平面 11 ABC D所成的角为 1 4 CBC ，故选项A正确 对于选项B：点C到面 11 ABC D的距离为 1 B C长度的一半，即 2 2 h ，故选项B正确 第 10 页（共 21 页） 对于选项C：两条异面直线 1 D C和 1 BC所成的角为 3 ，故选项C错误 对于选项D：三棱柱 1111 AADBBC外接球半径 222 1113 22 r ，故选项D正确 故选：ABD 10 （5 分）要得到cos2yx的图象 1 C，只要将sin(2) 3 yx 图象 2 C怎样变化得到？( ) A将sin(2

22、) 3 yx 的图象 2 C沿x轴方向向左平移 12 个单位 Bsin(2) 3 yx 的图象 2 C沿x轴方向向右平移 11 12 个单位 C先作 2 C关于x轴对称图象 3 C，再将图象 3 C沿x轴方向向右平移 5 12 个单位 D先作 2 C关于x轴对称图象 3 C，再将图象 3 C沿x轴方向向左平移 12 个单位 【解答】解：要得到cos2yx的图象 1 C，只要将sin(2) 3 yx 图象 2 C将sin(2) 3 yx 的 图象 2 C沿x轴方向向左平移 12 个单位即可，故选项A正确 或将sin(2) 3 yx 的图象 2 C沿x轴方向向右平移11 12 个单位，也可得到，故

23、选项B正确 或先作 2 C关于x轴对称图象 3 C，再将图象 3 C沿x轴方向向右平移 5 12 个单位，故选项C正 确 故选：ABC 11 （5 分）已知集合(Mx，)|( )yyf x，若对于 1 (x， 1) yM， 2 (x， 2) yM，使 得 1212 0x xy y成 立 ， 则 称 集 合M是 “ 互 垂 点 集 ” 给 出 下 列 四 个 集 合 ： 2 1 ( , )|1Mx yyx； 2 ( , )|1Mx yyx； 3 ( , )| x Mx yye； 4 ( , )|sin1Mx yyx其中是“互垂点集”集合的为( ) A 1 M B 2 M C 3 M D 4 M

24、【解答】解：由题意，对于 1 (x， 1) yM， 2 (x， 2) yM，使得 1212 0x xy y成立 即对于任意点 1 (Px， 1) y，在M中存在另一个点P，使得OPOP 2 1yx中，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P 第 11 页（共 21 页） 所以所以 1 M不是“互垂点集”集合， 1yx的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以在 2 M中的任意点 1 (Px， 1) y，在 2 M中存在另一个点P，使得OPOP 所以 2 M是“互垂点集”集合， x ye中，当P点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P 所以 3 M不是“互垂点集”集合， sin

25、1yx的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以 4 M是“互垂点集”集合， 故选：BD 12 （5 分） 德国著名数学家狄利克雷(,1805 859)Dirichletl在数学领域成就显著 19 世纪， 狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 1, ( ) 0, R xQ yf x xQ 其中R为实数集，Q为有理数 集则关于函数( )f x有如下四个命题，其中真命题的是( ) A函数( )f x是偶函数 B 1 x， 2R xQ， 1212 ()()()f xxf xf x恒成立 C任取一个不为零的有理数T，()( )f xTf x对任意的xR恒成立 D不存在三个点 1 (A

26、 x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()f x， 3 (C x， 3 ()f x，使得ABC为等腰直 角三角形 【解答】解：对于A，若xQ，则xQ ，满足( )()f xfx；若 R xQ，则 R xQ ， 满足( )()f xfx；故函数( )f x为偶函数，选项A正确； 对于B， 取 12 2,2 RR xQ xQ 痧， 则 12 ()(0)1f xxf， 12 ()()0f xf x，10， 故选项B错误； 对于C，若xQ，则xTQ，满足( )()f xf xT；若 R xQ，则 R xTQ，满足 ( )()f xf xT；故选项C正确； 对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下

27、四种情况： 第 12 页（共 21 页） 直角顶点A在1y 上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中点的 横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为 1 矛盾，故不 成立； 直角顶点A在1y 上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标 也应为无理数，这与点A的纵坐标为 1 矛盾，故不成立； 直角顶点A在x轴上，斜边在1y 上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的 横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为 0 矛盾，故 不成立； 直角顶点A在x轴上，斜边不在1y 上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的

28、横坐标 也应为无理数，这与点B的纵坐标为 1 矛盾，故不成立 第 13 页（共 21 页） 综上，不存在三个点 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()f x， 3 (C x， 3 ()f x，使得ABC为等腰直 角三角形，故选项D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知直线0xya与圆 22 :2O xy相交于A，B两点(O为坐标原点） ，且 AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为 2 ； 【解答】解：根据题意，圆 22 :2O xy的圆心为(0,0)，半径2r ， 若直线0x

29、ya与圆O交于A，B两点，且AOB为等腰直角三角形， 则圆心到直线的距离 | 1 2 a d ， 解可得2a ； 故答案为：2 14 （5 分）已知直线2yx与曲线()yln xa相切，则a的值为 3 【解答】 解： 依题意得 1 y xa ， 因此曲线()yln xa在切点处的切线的斜率等于 1 xa ， 1 1 xa ，1xa 此时，0y ，即切点坐标为(1,0)a 相应的切线方程是1 (1)yxa ， 即直线2yx， 12a ， 3a 故答案为：3 15 （5 分）5.2019l年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年 第 14 页（共 21 页） 文明史得到国

30、际社会认可 良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例， 实证了中华五千年文 明史 考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了 “放射性物质因衰变而减少” 这一规律 已 知样本中碳 14 的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足 5730 00 2( T NNN 表示碳 14 原有的质量） ，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 1 2 ；经过测定，良渚古城遗 址文物样本中碳 14 的质量是原来的 3 7 至 1 2 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到 年之间 （参考数据：20.3lg，70.84lg，30.48)lg 【解答】解： 5730 0 2 T NN ，当57

31、30T 时， 1 00 1 2 2 NNN ， 经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 1 2 ， 由题意可知： 3 57307 2 T ， 两边同时取以 2 为底的对数得： 5730 22 3 2 7 T loglog ， 3 37 7 1.2 573022 lg Tlglg lglg ， 6876T， 推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到 6876 年之间 16 （5 分）已知ABC的顶点A平面，点B，C在平面异侧，且2AB ，3AC ， 若AB，AC与所成的角分别为, 3 6 ，则线段BC长度的取值范围为 7, 13 【解答】解：分别过B，C作底面的垂线，垂足分别为

32、1 B， 1 C 由已知可得， 1 3BB ， 1 3 2 CC ， 1 1AB ， 1 3 2 AC 如图，当AB，AC所在平面与垂直，且B，C在底面上的射影 1 B， 1 C在A点同侧时BC 长度最小， 当AB，AC所在平面与垂直，且B，C在底面上的射影 1 B， 1 C在A点两侧时BC长度最 大 第 15 页（共 21 页） 过C作 1 CDBB的延长线，垂足为D，则 3 3 2 BD ， 1 2 CD ， 则BC的最小值为 2 3 31 ()7 24 ，最大值为 2 3 325 ()13 24 线段BC长度的取值范围为 7，13， 故答案为： 7, 13 四、解答题：本题共四、解答题：

33、本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知( )2cos (sin3cos )3f xxxx （）求函数( )f x的最小正周期及单调递减区间； （）求函数( )f x在区间,0 2 的取值范围 【解答】解：（） 由题意，化简得 2 ( )2cos sin3(2cos1)sin23cos22sin(2) 3 f xxxxxxx ， 所以函数( )f x的最小正周期 sinyx的减区间为 3 2,2, 22 kkkZ ， 由 3 222 232 kxk 剟， 得 511 1212 kx k 剟， 所

34、以函数( )f x的单调递减区间为 511 , 1212 kkkZ （）因为,0 2 x ，所以 4 2, 333 x 所以2 2sin(2)3 3 x 剟 所以函数( )f x在区间,0 2 上的取值范围是 2, 3 18（12 分） 在ABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 且 222 8sin3()abCbca， 第 16 页（共 21 页） 若10,5ac ( ) I求cos A （）求ABC的面积S 【解答】解：( ) I由题意得 222 8sin3() 22 abCbca bcbc ， 由余弦定理得： 4 sin 3cos aC A c ， 由正弦定理得4sin3cosAA

35、， 所以 3 tan 4 A ， 可得ABC中， 4 cos 5 A （）由 4 cos 5 A ，10,5ac 可得余弦定理 222 2cosabcbcA，得 2 8150bb， 解得3b 或5b ， 可得 3 sin 5 A ， 由 1 sin 2 SbcA，得 15 2 S 或 9 2 S 19 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 1a ， 1 21 nn SS ， * nN ( ) I证明：1 n S 为等比数列，求出 n a的通项公式； （） 若 n n n b a ， 求 n b的前n项和 n T， 并判断是否存在正整数n使得 1 250 n n Tn 成立？

36、 若存在求出所有n值；若不存在说明理由 【解答】解： （）证明： 1 21 nn SS ， * 1 12(1) nn SSnN 1 n S为等比数列， 1 12S ，公比为 2， 12n n S ，21 n n S ， 1 1 21 n n S ， 当2n时， 1 1 2n nnn aSS ， 1 1a 也满足此式， 1 2n n a ； 第 17 页（共 21 页） （） 1 2 n n n nn b a ， 011 12 222 n n n T ， 12 112 2222 n n n T ，两式相减得： 011 11112 2 222222 n nnn nn T ， 1 2 4 2 n n

37、 n T ， 代入 1 250 n n Tn ，得2260 n n， 令( )226(1) x f xxx，( )22 10 x fxln 在1x，)成立， ( )226 x f xx，(1,)x为增函数； 由f（5）f（4）0，所以不存在正整数n使得 1 250 n n Tn 成立 20 （12 分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1000 多年， 在九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵()qiandu； 阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈()bienao指四个面均为直角三角形的 四面体如图在堑堵 111 ABCABC中，A

38、BAC ( ) I求证：四棱锥 11 BA ACC为阳马； （）若 1 2C CBC，当鳖膈 1 CABC体积最大时，求锐二面角 11 CABC的余弦值 【解答】 （）证明： 1 A A 底面ABC，AB面ABC， 1 A AAB， 又ABAC， 1 A AACA，AB面 11 ACC A， 又四边形 11 ACC A为矩形， 四棱锥 11 BA ACC为阳马 第 18 页（共 21 页） （）解：ABAC，2BC ， 22 4ABAC， 又 1 A A 底面ABC， 1 22 1 11112 323323 CABC ABAC VCCAB ACAB AC ， 当且仅当2ABAC时， 1 1 3

39、 CABC VAB AC 取最大值， ABAC， 1 A A 底面ABC以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ( 2,0,0)B，(0, 2,0)C， 1(0 A， 0， 1 2)( 2,0, 2)AB ，(2, 2,0)BC ， 11 (0, 2,0)AC ， 设面 1 ABC的一个法向量 1111 ( ,)nx y z， 由 11 1 0 0 n A B n BC 得 1 ( 2 2,1)n ， 同理得 2 ( 2,0,1)n ， 12 12 12 15 cos, 5| | n n n n nn 二面角 11 CABC的余弦值为 15 5 21 （12 分）给定椭圆 22 22 :1(

40、0) xy Cab ab ，称圆心在原点O，半径为 22 ab的圆是 椭圆C的“卫星圆” 若椭圆C的离心率 2 2 ，点(2, 2)在C上 ( ) I求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程； （）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线 1 l， 2 l，使得 12 ll，与椭 圆C都只有一个交点，且 1 l， 2 l，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN为定 第 19 页（共 21 页） 值 【解答】解： （）由条件可得： 22 2 2 42 1 c a ab 解得2 2,2ab 所以椭圆的方程为 22 1 84 xy ，（3 分） 卫星圆的方程为 22 12xy（4 分） (

41、)II证明：当 1 l， 2 l中有一条无斜率时，不妨设 1 l无斜率， 因为 1 l与椭圆只有一个公共点，则其方程为2 2x 或2 2x ， 当 1 l方程为2 2x 时，此时 1 l与“卫星圆”交于点(2 2,2)和(2 2, 2)， 此时经过点(2 2,2)(2 2, 2)且与椭圆只有一个公共点的直线是2y 或2y ，即 2 l为 2y 或2y ， 所以 12 ll， 所以线段MN应为“卫星圆”的直径，所以| 4 3MN （7 分） 当 1 l， 2 l都有斜率时，设点 0 (P x， 0) y，其中 22 00 12xy， 设经过点 0 (P x， 0) y与椭圆只有一个公共点的直线为

42、 00 ()yt xxy， 则，联立方程组 00 22 () 1 84 ytxytx xy ，消去y，整理得 222 0000 (12)4()2()80txtytxxytx，（9 分） 所以 222 0000 (648)163280x tx y ty （10 分） 所以 22 00 12 22 00 328328(12) 1 648648 yx t t xx （11 分） 所以 12 1t t ，满足条件的两直线 1 l， 2 l垂直 所以线段MN应为“卫星圆”的直径， 第 20 页（共 21 页） 所以| 4 3MN 综合知：因为 1 l， 2 l经过点 0 (P x， 0) y，又分别交其

43、“卫星圆”于点MN，且 1 l， 2 l垂 直， 所以线段MN为“卫星圆” 22 00 12xy的直径， 所以| 4 3MN 为定值（12 分） 22 （12 分）已知函数( )2sinf xlnxxx，( )fx为( )f x的导函数 （）求证：( )fx在(0, )上存在唯一零点； （）求证：( )f x有且仅有两个不同的零点 【解答】解： （）设 1 ( )( )12cosg xfxx x ， 当(0, )x时， 2 1 ( )2sin0g xx x ， ( )g x在(0, )上单调递减 又 32 ()1 10, ()10 32 gg ， ( )g x在(,) 3 2 上有唯一的零点 （）由（）知，当(0, )x时，( )0fx，( )f x在(0, )上单调递增； 当( , )x 时，( )0fx，( )f x在( , ) 上单调递减； ( )f x在(0, )上存在唯一的极大值点() 32 ， ( )()220 2222 ffln 2222 1111 ()22sin220f eeee ， ( )f x在(0, )上恰有一个零点 ( )20fln，( )f x在( , ) 上也恰有一个零点； 当x，2 )时，sin0x，( )f xlnxx 设( )h xlnxx， 1 ( )10h x x ， ( )h x在，2