2019-2020学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.不需要写出解答过程，请把答案直不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上接填写在答题卡相应位置上. 1 （5 分）集合 |21Ax xk，kZ，1B ，2，3，4，则AB 2（5 分） 已知复数( ,)zabi a bR， 且满足9izi（其中i为虚数单位） ， 则ab 3 （5 分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有 7 人用时为 6

2、 分钟，有 14 人用时 7 分钟，有 15 人用时为 8 分钟，还有 4 人用时为 10 分钟，则高二（4）班全体同 学用餐平均用时为 分钟 4 （5 分）函数( )(1)3(1,2) x f xaaa过定点 5 （5 分）等差数列 n a（公差不为0)，其中 1 a， 2 a， 6 a成等比数列，则这个等比数列的 公比为 6 （5 分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道作答，小李 会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为 7 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，1AB ，2AD ， 1 1AA ，E为BC的中点，则 点A到平面 1

3、 ADE的距离是 8 （5 分）如图所示的流程图中，输出n的值为 第 2 页（共 21 页） 9 （5 分）圆 22 :(1)(2)4Cxy关于直线21yx的对称圆的方程为 10 （5 分）正方形ABCD的边长为 2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直 径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则PM PN的取值范围是 11 （5 分）双曲线 22 :1 43 xy C的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线 右支上不同于顶点B的任一点， 连接PA交圆O于点Q， 设直线PB，QB的斜率分别为 1 k， 2 k，若 12 kk，则 12 （5 分）对于任意的正数a，b，不等式

4、222 (2)443aba kbaba恒成立，则k的最大 值为 13（5 分） 在直角三角形ABC中，C为直角，45BAC， 点D在线段BC上， 且 1 3 CDCB， 若 1 tan 2 DAB，则BAC的正切值为 14 （5 分）函数 22 ( ) |1|9f xxxkx在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k的取 值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 第 3 页（共 21 页） 15 （14 分）在ABC

5、中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量(23 , 3 )mabc， 向量(cos ,cos)nBC，且/ /mn （1）求角C的大小； （2）求sin3sin() 3 yAB 的最大值 16 （14 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，PAD为锐 角三角形，且平面PAD 底面ABCD，E为PD的中点，CDDP （1）求证：/ /OE平面PAB； （2）求证：CDPA 17 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，焦距为 4，且椭 圆过点 5 (2, ) 3 ，过点 2 F且不平行与坐标轴的直线l交椭

6、圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对 称点为R，直线PR交x轴于点M （1）求 1 PFQ的周长； （2）求 1 PF M面积的最大值 18 （16 分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发 酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示） ，其中AD AB结 合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为 450 米 3 ，深 2 米若池底和池壁每平方米的 第 4 页（共 21 页） 造价分别为 200 元和 150 元，发酵池造价总费用不超过 65400 元 （1）求发酵池AD边长的范围； （2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为 4 米和

7、b米的走道(b为常数） 问： 发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小 19 （16 分）已知 n a， n b均为正项数列，其前n项和分别为 n S， n T，且 1 1 2 a ， 1 1b ， 2 2b ，当2n，*nN时， 1 12 nn Sa ， 22 1 1 11 2() 2 nn nn nn TT bT bb （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 2 (2) nn n nn ba c bb ，求数列 n c的前n项和 n P 20 （16 分）设函数( )f xlnxax，aR，0a （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数( )0f x 有两个零

8、点 1 x， 212 ()xxx （）求a的取值范围； （）求证： 12 x x随着 2 1 x x 的增大而增大 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A，B 两小题，每小题两小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证分，解答时应写出文字说明，证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21（10 分） 已知a，bR， 矩阵 ab A cd ， 若矩阵A属于特征值 5 的一个特征向量为 1 1 ， 点( 2,1)P 在A对应的变换作用下得到点( 1,2)P ，求矩阵A 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22

9、（10 分）已知曲线 1 4cos : 4sin x C y ， （其中为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴的正 第 5 页（共 21 页） 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为cos()2 3 3 ，设曲线 1 C与曲线 2 C交于A，B两点，求AB的长 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过分，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤程或演算步骤 23（10 分） 如图， 矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，90AEB， 30EAB，2 3AB ，3AD （1

10、）求异面直线OC与DE所成角的余弦值； （2）求二面角ADEC的正弦值 24 （10 分）对于任意的1x ， * nN，用数学归纳法证明： 1 ! n x x e n 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.不需要写出解答过程，请把答案直不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上接填写在答题卡相应位置上. 1 （5 分）集合 |21Ax xk，kZ，1B

11、，2，3，4，则AB 1，3 【解答】解：因为21k ，kZ表示为奇数， 集合 |21Ax xk，kZ，1B ，2，3，4， 故1AB ，3 故答案为：1，3 2 （5 分）已知复数( ,)zabi a bR，且满足9izi（其中i为虚数单位） ，则ab 8 【解答】解：由zabi，得 2 9izaibibaii ， 1a，9b ，则8ab 故答案为：8 3 （5 分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有 7 人用时为 6 分钟，有 14 人用时 7 分钟，有 15 人用时为 8 分钟，还有 4 人用时为 10 分钟，则高二（4）班全体同 学用餐平均用时为 7.5 分钟 【解答】

12、解：因为：有 7 人用时为 6 分钟，有 14 人用时 7 分钟，有 15 人用时为 8 分钟，还 有 4 人用时为 10 分钟； 所以：平均用时： 7614715 84 10 7.5 714154 ， 故答案为：7.5 4 （5 分）函数( )(1)3(1,2) x f xaaa过定点 (0, 2) 【解答】解：令0x 得：(0)1 32f ， 函数( )f x恒过定点(0, 2)， 故答案为：(0, 2) 5 （5 分）等差数列 n a（公差不为0)，其中 1 a， 2 a， 6 a成等比数列，则这个等比数列的 公比为 4 第 7 页（共 21 页） 【解答】解：设等差数列 n a的公差为

13、d，则 21 aad， 61 5aad 依题意， 2 21 6 aaa， 即 2 111 ()(5 )ada ad 整理得 1 3da， 211 4aada， 2 1 4 a q a 故答案为：4 6 （5 分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道作答，小李 会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为 1 2 【解答】解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道作答，小 李会其中的三道题， 基本事件总数 2 4 6nC， 抽到的 2 道题小李都会包含的基本事件 2 3 3mC， 则抽到的 2 道题小李都会的概率为 2 3 2

14、4 1 2 C P C 故答案为： 1 2 7 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，1AB ，2AD ， 1 1AA ，E为BC的中点，则 点A到平面 1 ADE的距离是 6 3 【解答】解： 1 111 211 323 AADE V 三棱锥 ， 第 8 页（共 21 页） 11 66111 23 22323 A DEA A DE SVh 三棱锥 ，解得 6 3 h 故答案为： 6 3 8 （5 分）如图所示的流程图中，输出n的值为 4 【解答】解：模拟程序的运行，可得 1S ，1n ； 2 1 1log0 2 S ，2n ； 2 2 0log 3 S ，3n ； 222 23

15、2 1 344 Slogloglog ，4n ； 1S跳出循环，输出结果，4n ， 故答案为：4 9 （ 5分 ） 圆 22 :(1)(2)4Cxy关 于 直 线21yx的 对 称 圆 的 方 程 为 22 (3)4xy 【解答】解：圆 22 :(1)(2)4Cxy的圆心为( 1,2)，关于21yx对称点设为( , )x y， 第 9 页（共 21 页） 则有： 21 21 22 21 12 yx y x ，解得 3 0 x y ，所以对称后的圆心为(3,0)， 故答案为： 22 (3)4xy 10 （5 分）正方形ABCD的边长为 2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直 径，点P

16、为正方形ABCD边界上任一点，则PM PN的取值范围是 0，1 【解答】解：作图如下， 22 222 11 ()() (2)1 44 PM PNPMPNPMPNPONMPO， 又1 |2PO剟，故 2 12PO剟，故 2 01 1PO 剟，即PM PN的取值范围是0，1 故答案为：0，1 11 （5 分）双曲线 22 :1 43 xy C的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线 右支上不同于顶点B的任一点， 连接PA交圆O于点Q， 设直线PB，QB的斜率分别为 1 k， 2 k，若 12 kk，则 3 4 【解答】解：双曲线 22 :1 43 xy C的左右顶点为A，B，以AB为直径

17、作圆O，P为双曲 线右支上不同于顶点B的任一点， 连接PA交圆O于点Q， 设直线PB，QB的斜率分别为 1 k， 2 k，若 12 kk， 可得： 3 4 1 PAPB PAQB kk kk ， 3 4 PB QB k k ， 故答案为： 3 4 第 10 页（共 21 页） 12 （5 分）对于任意的正数a，b，不等式 222 (2)443aba kbaba恒成立，则k的最大 值为 2 2 【解答】解：依题意， 2 22 2 4 ( )43 443 2 21 bb baba aa k b aba a ， 令0 b t a ，则 22 443(21)2 2121 ttt k tt ， 令21

18、1t ，则 2 22 k ， 而函数 2 y 在(1,)上的最小值为 2 22 2 2 ， 故2 2k，即k的最大值为2 2 故答案为：2 2 13（5 分） 在直角三角形ABC中，C为直角，45BAC， 点D在线段BC上， 且 1 3 CDCB， 若 1 tan 2 DAB，则BAC的正切值为 3 【 解 答 】 解 ： 设A Cx，3BCt， 由45BAC可 知 ， 3 t a n1 t BAC x ， 2 2 3 1 tan,tan 32 1 tt t xx CADDAB tx x ， 令 t m x ，即 2 31 132 mm m ，解得1m 或 1 3 m ， 第 11 页（共 2

19、1 页） 则tan3BAC或tan1BAC（舍)，故tan3BAC 故答案为：3 14 （5 分）函数 22 ( ) |1|9f xxxkx在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k的取 值范围是 26 ( 3 ，8) 【解答】解：( )0(0f xx，3)可得： 22 10 ,(0,1) |1| 9 8 2,1,3) x xx x k x xx x ， 如图所示：有两个零点的范围满足 26 8 3 k ，所以 26 ( 3 k ，8) 故答案为： 26 ( 3 ，8) 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答

20、题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）在ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量(23 , 3 )mabc， 向量(cos ,cos)nBC，且/ /mn （1）求角C的大小； （2）求sin3sin() 3 yAB 的最大值 第 12 页（共 21 页） 【解答】解： （1）由/ /mn，得3 cos(23 )cos0cBabC； 由正弦定理得：3sincos(2sin3sin )cos0CBABC； 3(sincossincos )2sincosCBBCAC； 3sin()3sin2sincosBCAAC； si

21、n0A； 3 cos 2 C； 又(0, )C； 6 C ； （2）由（1）知 5 6 ABC ， 所以 32 BA ， 5 (0,) 6 A ； 所以sin3sin()sin3sin()sin3cos2sin() 323 yAByAAAAA ； 5 (0,) 6 A ； ( 33 A ， 7 ) 6 ； 32 A 即 6 A 时，y取最大值 2 16 （14 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，PAD为锐 角三角形，且平面PAD 底面ABCD，E为PD的中点，CDDP （1）求证：/ /OE平面PAB； （2）求证：CDPA 【解答】证明： （1）连结BD，ABC

22、D是平行四边形，O为其中心， O是BD中点， 第 13 页（共 21 页） E是PD中点，/ /OEPB， PB 平面PAB，OE 平面PAB， / /OE平面PAB （2）作PHAD于H， 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PHAD，PH 平面PAD， PH平面ABCD， 又CDPD，PDPHP， CD平面PAD， PA平面PAD，CDPA 17 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，焦距为 4，且椭 圆过点 5 (2, ) 3 ，过点 2 F且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对 称

23、点为R，直线PR交x轴于点M （1）求 1 PFQ的周长； （2）求 1 PF M面积的最大值 【解答】解： （1）设椭圆C的焦距为2c，则24c ，2c ， 1( 2.0) F ， 2(2,0) F，且椭圆过 第 14 页（共 21 页） 点 5 (2, ) 3 A， 由椭圆的定义 12 26aAFAF，故3a ， 所以， 1 PFQ的周长为412a ； （2）由（1）知， 2 945b ，故椭圆的方程为 22 1 95 xy ， 设直线:2l xmy， 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，则 2 (R x， 2) y， 直线 12 11 12 :() yy PR yxxy

24、 xx ，得 1212 12 ( y xx y M yy ，0)， 联立 22 2 1 95 xmy xy ，消去x，得 22 (59)20250mymy， 12 2 20 59 m yy m ， 12 2 25 59 y y m ， 12211212 2 90 22() 59 m x yx ymy yyy m ， 所以 1 1221 11 12 11313 5 (2) | 244 PF M x yx y Syy yy ，当且仅当P在短轴顶点处取得等号， 故 1 PF M面积的最大值为 13 5 4 18 （16 分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发 酵馆

25、内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示） ，其中AD AB结 合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为 450 米 3 ，深 2 米若池底和池壁每平方米的 造价分别为 200 元和 150 元，发酵池造价总费用不超过 65400 元 （1）求发酵池AD边长的范围； （2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为 4 米和b米的走道(b为常数） 问： 发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小 第 15 页（共 21 页） 【解答】解： （1）由题意，长方形ABCD的面积 450 225 2 S 米 2， 设ADx米，则 225 AB x 米则 225 0x x ，解

26、得15x 设发酵池造价总费用为( )f x，则 450225 ( )2252001502 (2)600()4500065400f xxx xx 解得925x剟，又15x，故15x，25 （2）由题意，可设发酵馆的占地面积为( )S x，则 2251800 ( )(8)(2 )216225S xxbbxb xx ，15x，25 2 2 2(900) ( ) bx S x x ，15x，25 当4b时，( ) 0S x即( )S x在15，25上单调递增， 此时当15x 时，发酵馆的占地面积( )S x最小， 即15ABAD米时，发酵馆的占地面积最小； 当 36 0 25 b 时，( ) 0S x

27、即( )S x在15，25上单调递减， 此时当25x 时，发酵馆的占地面积( )S x最小， 即25AD 米，9AB 米时，发酵馆的占地面积最小； 当 36 4 25 b时，有 当 30 15 x b 时，( )0S x，( )S x单调递减； 当 30 25x b 时，( )0S x，( )S x单调递增 当 3030 b x bb 时，( )0S x，( )S x取得极小值 即 30 b AD b ， 15 2 b AB 时，发酵馆的占地面积最小 19 （16 分）已知 n a， n b均为正项数列，其前n项和分别为 n S， n T，且 1 1 2 a ， 1 1b ， 2 2b ，当2

28、n，*nN时， 1 12 nn Sa ， 22 1 1 11 2() 2 nn nn nn TT bT bb （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 2 (2) nn n nn ba c bb ，求数列 n c的前n项和 n P 第 16 页（共 21 页） 【解答】解： （1）由题意， 1 12 nn Sa ，则有 1 12 nn Sa ， 两式相减，整理得 1 1 2 nn aa ，(2)n 当2n 时， 112 1 12 2 Saa ， 解得 21 11 42 aa 数列 n a是以 1 2 为首项， 1 2 为公比的等比数列 1 2 n n a，*nN 又 22 1 11

29、 11 2() 2 nn nnnn nn TT bTTT bb ，2n 整理，得 111 1 1111 2()()2() nnnnnnn nn nnnn TTTTb TT TT bbbb ，2n 0 n b ，0 n T 11 2 1 n nn b bb ，2n 即 11 2 nnn bbb ，2n 根据等差中项的性质，可知数列 n b成等差数列 1 1b ， 2 2b ， 21 211dbb 数列 n b是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 n bn，*nN （2）由（1） ，得 221 (2)2111 22(1) 2 nn n nnn nn ban c bbnnnn ， 根据累加法，可得

30、： 12nn Pccc 21 11111 (1)()() 22223 22(1) 2 nn nn 1 1 (1) 2nn 20 （16 分）设函数( )f xlnxax，aR，0a （1）求函数( )f x的单调区间； 第 17 页（共 21 页） （2）若函数( )0f x 有两个零点 1 x， 212 ()xxx （）求a的取值范围； （）求证： 12 x x随着 2 1 x x 的增大而增大 【解答】解： （1）( )f xlnxax， 1 ( )fxa x ， 当0a 时，( )0fx在(0,)上恒成立，函数( )f x在(0,)单调递增， 当0a 时， 由( )0fx可得， 1 (0

31、,)x a ， 此时( )f x单调递增， 由( )0fx可得， 1 ( ,)x a ， 此时函数单调递减， 综上可得，0a 时，函数( )f x的单调递增区间为(0,)， 当0a 时，函数的递增区间 1 (0,) a ，单调递减区间为 1 (,) a ； （2） （）由（1）可知，0a 时，函数( )f x的单调递增区间为(0,)，最多一个零点， 不符合题意， 当0a 时，若使得( )f x有两个零点，则 1 ( )( )10 max f xflna a ， 解可得 1 0a e ， f（1）0a ，且 1 1 a ， 存在 1 1 (1, )x a 使得 1 ()0f x， 又因为 2 1

32、1 ()2flna aa ， 设g（a） 1 2lna a ， 1 (0, )a e ， 则g（a） 2 12 0 a a ， 故g（a）单调递增，所以g（a） 1 ( )20ge e ， 即 2 1 ()0f a ， 2 11 aa ， 所以存在 2 2 11 (,)x a a 使得 2 ()0f x， 综上可得， 1 (0, )a e ， 第 18 页（共 21 页） （）由题意可得， 1120 0lnxaxlnxax， 12 12 lnxlnx xx ， 12 xx， 2 1 1 x x ，令 2 1 1 x t x ，则 21 xtx， 121 121 lnxlnxlntx xxtx

33、， 解可得， 1 1 lnt lnx t ， 21 1 tlnt lnxlntlnx t ， 所以 12 (1) () 1 tlnt ln x x t ， 设 (1) ( ) 1 tlnt h t t ，1t ， 则 2 1 2 ( ) (1) tlnt t h t t ， 令 1 ( )2H ttlnt t ，t1， 则 2 22 12(1) ( )10 t H t ttt ， ( )H t单调递增，( )H tH（1）0，则( )0h t， 故( )h t单调递增，即 12 ()ln x x随着 2 1 x t x 的增大而增大， 所以 12 x x随着 2 1 x x 的增大而增大 【选

34、做题】本题包括【选做题】本题包括 A，B 两小题，每小题两小题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证分，解答时应写出文字说明，证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21（10 分） 已知a，bR， 矩阵 ab A cd ， 若矩阵A属于特征值 5 的一个特征向量为 1 1 ， 点( 2,1)P 在A对应的变换作用下得到点( 1,2)P ，求矩阵A 【解答】解：a，bR，矩阵 ab A cd ，矩阵A属于特征值 5 的一个特征向量为 1 1 ， 点( 2,1)P 在A对应的变换作用下得到点( 1,2)P ， 第 19 页（共

35、21 页） 115 5 115 ab cd ，且 21 12 ab cd ， 5 5 21 22 ab cd ab cd ，解得 2 3 1 4 a b c d ， 矩阵 23 14 A 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 1 4cos : 4sin x C y ， （其中为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为cos()2 3 3 ，设曲线 1 C与曲线 2 C交于A，B两点，求AB的长 【解答】解：曲线 2 C的极坐标方程为cos()2 3 3 ，转换为直角坐标方程为： 34 30xy 曲线

36、 1 4cos : 4sin x C y ， （其中为参数） ，转换为直角坐标方程为 22 16xy 所以圆心(0,0)到直线34 30xy的距离 | 4 3| 2 3 13 d 所以 22 24(2 3)4AB 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过分，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤程或演算步骤 23（10 分） 如图， 矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，90AEB， 30EAB，2 3AB ，3AD （1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值； （2）求二面角ADE

37、C的正弦值 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴， 过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系， 90AEB，30EAB，2 3AB ，3AD 1 3 2 BEAB，(0C，3，3)，(0D，3，3)，(0A，3，0)， 3 (2E， 3 2 ，0)， (0, 3,3)OC ， 3 (2DE ， 3 3 2 ，3)， 设异面直线OC与DE所成角为， 则 9 |6 2 cos 8| |1218 OC DE OCDE ， 异面直线OC与DE所成角的余弦值为 6 8 （2）(0AD ，0，3)， 3 3 3 ( , 3) 2

38、2 DE ，(0DC ，2 3，0)， 设平面ADE的法向量(mx，y，) z， 则 30 33 3 30 22 m ADz m DExyz ，取1y ，得(3m ，1，0)， 设平面DEC的法向量(nx，y，) z， 则 2 30 33 3 30 22 n DCy n DExyz ，取1z ，得(2n ，0，1)， 设二面角ADEC的平面角为， 则 |2 33 |cos| | |455 m n mn ， 2 310 sin1() 55 ， 第 21 页（共 21 页） 二面角ADEC的正弦值为 10 5 24 （10 分）对于任意的1x ， * nN，用数学归纳法证明： 1 ! n x x e n 【解答】证明：当1n 时，设 1 ( ) x f xex ，(1,)x，则 1 ( )10 x fxe ， ( )f x在(1,)上单调递增，( )f xf（1）0，即 1x ex ， 当1n 时，原命题成立； 假设当nk时， 1 ! k x x e k 对任意(1,)x， 当1nk时，设 1 1 ( ) (1)! k x x g xe k ，则 1 ( )0 ! k x x g xe k ， ( )g x在(1,)上单调递增， 1 ( )(1)10 (1)! g xg k ， 1 1 (1)! k x x e k ， 由知， 1 ! n x x e n 成立