2019-2020学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 16 页） 2019-2020 学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷 （文科）（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 | 13Mxx ， 2 |760Nx xx，则(MN ) A | 13xx B |36xx C |13xx D |16xx 2 （5 分）若实数a，b满足01a，11b ，则2ab的取值范围是( ) A( 2,3)

2、 B( 3,2) C(2,3) D( 2,2) 3 （5 分）若0ab，则下列不等式中恒成立的是( ) A 11 ab B 11 ab C 22 ab D 22 ab 4 （5 分）关于“4ab，则a，b至少有一个等于 2”及其逆命题的说法正确的是( ) A原命题为真，逆命题为假 B原命题为假，逆命题为真 C原命题与逆命题均为真命题 D原命题与逆命题均为假命题 5 （5 分）若数列1，2，5，8，11，x，中的项按一定规律变化，则实数x最有可能的 值是( ) A12 B13 C14 D15 6 （5 分）已知平面向量a，b满足| 2a ，| 3b ，且4a b ，则向量a在b方向上的投 影是(

3、 ) A 4 3 B 3 4 C2 D1 7 （5 分）若实数x，y满足258xy，则xy的最大值是( ) A8 B 8 5 C16 D16 5 8 （5 分）若实数x，y满足不等式组 20 20 3 0 xy xy xy ，则2xy的最大值为( ) A3 B2 C1 D0 9 （5 分） 已知二次函数( )f x满足(3)(3)fxfx， 若( )f x在区间3，)上单调递减， 第 2 页（共 16 页） 且( )(0)f mf恒成立，则实数m的取值范围是( ) A(，0 B0，6 C6，) D(，06， ) 10 （5 分）已知项数为奇数的等比数列 n a的首项为 1，奇数项之和为 21，

4、偶数项之和为 10，则这个等比数列前n项的和为( ) A21 n B22 n C 31 2 n D31 n 11 （5 分）函数 2 ( ) x e f x x 的图象大致为( ) A B C D 12 （5 分）下列表述正确的是( ) 4 ()4(1,20) min lgxx lgx ； 若0ab，则0 b ln a ； 若x，y，z均是正数，且3412 xyz ，( ,1)() xy n nnN z ，则n的值是 4； 若正实数x，y满足 19 15xy xy ，且1xy ，则x，y均为定值 A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，

5、共 20 分分 13 （5 分）若数列 n a是首项为20，公差为 3 的等差数列，则该数列中最接近于零的是 第 项 第 3 页（共 16 页） 14 （5 分）若函数 2 2 1,0 ( )3 2,0 xx f x xx ，则不等式f（a）a的解集是 15 （5 分）已知函数( )f x满足(10)( )f xf x，若f（1）1，则不等式 2 (31)logfx的 解集为 16 （5 分）已知以区间(0,2)上的整数分子，以 2 为分母的数组集合 1 A，其所有元素的和为 1 a；以区间(0， 2 2 )上的整数分子，以 2 2为分母组成不属于集合 1 A的数组集合 2 A，其所有 元素的

6、和为 2 a；依此类推以区间(0，2 ) n 上的整数为分子， 以2n为分母组成不属于 1 A， 21n AA 的数组成集合 n A，其所有元素的和为 n a，若数列 n a前n项和为 n S，则 2 0 2 02 0 1 9 SS 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知函数( )sin2cos21f xxx （1）求函数( )f x的最小正周期； （2） 若将函数( )f x的图象沿x轴向右平移 4 个单位长度得到函数( )g x的图象， 求函数( )g x 的单调递增区间 18 （12 分

7、）已知函数 2 ( )2()f xxxa xR （1）若函数( )f x的值域为0，)，求实数a的值； （2）若( )0f x 对任意的1x，)成立，求实数a的取值范围 19 （12 分）已知在公比为q的等比数列 n a中， 4 16a ， 342 2(2)aaa （1）若1q ，求数列 n a的通项公式； （2）当1q 时，若等差数列 n b满足 31 ba， 512 baa， 123nn Sbbbb，求数 列 1 n S 的前n项的和 20 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2 cos2aCcb （1）求角A的大小； （2）若1a ，求ABC面积的最大值 21

8、 （12 分）已知等差数列 n a的所有项和为 150，且该数列前 10 项和为 10，最后 10 项的 第 4 页（共 16 页） 和为 50 （1）求数列 n a的项数； （2）求 212230 aaa的值 22 （12 分）已知函数 2 1 ( )2(,0) lnxa f xaR a axx （1）讨论函数( )f x的极值； （2）若0a ，求函数( )f x在区间1，2上的最值 第 5 页（共 16 页） 2019-2020 学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题

9、：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 | 13Mxx ， 2 |760Nx xx，则(MN ) A | 13xx B |36xx C |13xx D |16xx 【解答】解： | 13Mxx ， |16Nxx， |13MNxx 故选：C 2 （5 分）若实数a，b满足01a，11b ，则2ab的取值范围是( ) A( 2,3) B( 3,2) C(2,3) D( 2,2) 【解答】解：11b ， 222b ， 又01a，

10、 223ab 故选：A 3 （5 分）若0ab，则下列不等式中恒成立的是( ) A 11 ab B 11 ab C 22 ab D 22 ab 【解答】解：因为0ab，所以 11 ab ；令1a ，2b ，则 22 ab；令2a ，1b ， 则 22 ab 故选：B 4 （5 分）关于“4ab，则a，b至少有一个等于 2”及其逆命题的说法正确的是( ) A原命题为真，逆命题为假 B原命题为假，逆命题为真 C原命题与逆命题均为真命题 D原命题与逆命题均为假命题 【解答】解：原命题：关于“4ab，则a，b至少有一个等于 2” 若1.9a ，2.1b ，则4ab故原命题为假； 第 6 页（共 16

11、页） 若2a ，2.1b ，则4ab，故其逆命题为假 故选：D 5 （5 分）若数列1，2，5，8，11，x，中的项按一定规律变化，则实数x最有可能的 值是( ) A12 B13 C14 D15 【解答】解：根据题意，数列1，2，5，8，11，x， 分析可知，从第二项起，每一项与前一项的差等于 3， 所以11314x 故选：C 6 （5 分）已知平面向量a，b满足| 2a ，| 3b ，且4a b ，则向量a在b方向上的投 影是( ) A 4 3 B 3 4 C2 D1 【解答】解：设向量a与b的夹角是，则向量a在b方向上投影 4 |cos 3| a b a b 故选：A 7 （5 分）若实数

12、x，y满足258xy，则xy的最大值是( ) A8 B 8 5 C16 D16 5 【解答】解：因为 2 25 25() 2 xy xy ，当且仅当25xy时等号成立， 又因为258xy，所以1016xy， 故xy的最大值是 8 5 ， 故选：B 8 （5 分）若实数x，y满足不等式组 20 20 3 0 xy xy xy ，则2xy的最大值为( ) A3 B2 C1 D0 【解答】解：画出不等式组 20, 20, 3 0, xy xy xy 表示的平面区域如下图阴影区域： 第 7 页（共 16 页） 令2xyz，则 11 22 yxz，据图分析知，当2xyz与20xy重合时，z取得最大 值，

13、 且0200 max z，即(2 )0 max xy， 故选：D 9 （5 分） 已知二次函数( )f x满足(3)(3)fxfx， 若( )f x在区间3，)上单调递减， 且( )(0)f mf恒成立，则实数m的取值范围是( ) A(，0 B0，6 C6，) D(，06， ) 【解答】解：据题意设 2 ( )(f xaxbxc a，b，cR，且0)a ，又(3)(3)fxfx， 22 (3)(3)(3)(3)axbxcaxbxc， (6)0xab， 60ab， 22 ( )6(3)9f xaxaxca xac， 又( )f x在区间3，)上单调递减， 0a，又( )(0)f mf， 06m

14、剟， 故选：B 10 （5 分）已知项数为奇数的等比数列 n a的首项为 1，奇数项之和为 21，偶数项之和为 10，则这个等比数列前n项的和为( ) A21 n B22 n C 31 2 n D31 n 【解答】解：根据题意，数列 n a为等比数列，设 11 1 nn n aa qq ， 第 8 页（共 16 页） 又由数列 n a的奇数项之和为 21，偶数项之和为 10，则 21 1 2 10 q ， 所以这个等比数列前n项和 1 (12 ) 21 12 n n n S 故选：A 11 （5 分）函数 2 ( ) x e f x x 的图象大致为( ) A B C D 【解答】解： 2 (

15、 ) x e f x x ， 22222 222 ()2(21) ( ) xxxxx exexxeeex fx xxx ， 令( )0fx，则 1 2 x ，分析知，函数( )f x在区间(,0)上单调递减，在区间 1 (0, ) 2 上单调 递减，在区间 1 ( ,) 2 上单调递增， 又当0x 时，( )0f x ；当0x 时，( )0f x ，且 1 ( )2 2 fe， 故选：C 12 （5 分）下列表述正确的是( ) 4 ()4(1,20) min lgxx lgx ； 若0ab，则0 b ln a ； 若x，y，z均是正数，且3412 xyz ，( ,1)() xy n nnN z

16、 ，则n的值是 4； 若正实数x，y满足 19 15xy xy ，且1xy ，则x，y均为定值 A B C D 第 9 页（共 16 页） 【解答】解：当1x 时，0lgx ，则 44 ()24 min lgxlgx lgxlgx ， 当且仅当 4 lgx lgx ，即100x 时， 4 ()4 min lgx lgx ，又(1,20)x，所以当(1,20)x时， 4 4lgx lgx ，所以不正确； 若0ab，则01 b a ，则0 b ln a ；所以正确； 令3412 xyz k， 得 3 l o gxk， 4 logyk， 12 logzk， 所以 111 xyz ， 所以 1xy x

17、yz ， 所以 2 () 2 xyxyxy zxyyx ， 因为43 yx ，0x ，0y ，所以20yx，且0yx，所以 1 1 2 y x 设 y t x ，则 1 2 xy t zt ， 又因为( ,1)() xy n nnN z ，所以4n ；所以正确； 据题意得 199 ()()10 yx xy xyxy ，又0x ，0y ，所以 19 ()() 16xy xy 又因为01xy ，所以 19 16 xy ，又 19 15xy xy ，所以 19 1516xy xy ，解 方程组 1 19 16 xy xy ，得 1 4 3 4 x y ，所以正确； 故选：D 二、填空题：本题共二、填

18、空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若数列 n a是首项为20，公差为 3 的等差数列，则该数列中最接近于零的是 第 8 项 【解答】解：根据题意，数列 n a是首项为20，公差为 3 的等差数列， 则203(1)323 n ann ， 则该数列最接近于零的是第 8 项； 故答案为：8 14 （5 分）若函数 2 2 1,0 ( )3 2,0 xx f x xx ，则不等式f（a）a的解集是 ( 1,) 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：由题意，得 0 2 1 3 a aa 或 2 0 2 a aa ， 解得0a或10a ， 所以所

19、求不等式的解集是( 1,) 故答案为：( 1,) 15 （5 分）已知函数( )f x满足(10)( )f xf x，若f（1）1，则不等式 2 (31)logfx的 解集为 (0,2) 【解答】解：根据题意，因为(10)( )f xf x，f（1）1， 则(31)(21 10)(21)(11 10)(11)(1 10)fffffff（1）1， 不等式 2 (31)logfx即 2 log1x ， 解可得02x， 即x的取值范围为(0,2)； 故答案为：(0,2) 16 （5 分）已知以区间(0,2)上的整数分子，以 2 为分母的数组集合 1 A，其所有元素的和为 1 a；以区间(0， 2 2

20、 )上的整数分子，以 2 2为分母组成不属于集合 1 A的数组集合 2 A，其所有 元素的和为 2 a；依此类推以区间(0，2 ) n 上的整数为分子， 以2n为分母组成不属于 1 A， 21n AA 的数组成集合 n A， 其所有元素的和为 n a， 若数列 n a前n项和为 n S， 则 20202019 SS 2018 2 【解答】解：据题意，得 1 1 2 a ， 21 22222 13123 () 22222 aa， 3 321 333 1221 ()() 222 aaa ， 121 1221 ()()(2) 222 n nn nnn aaaan ， 123 122121 2222

21、nn n nnn aaaa ， 123 21 2 n nn Saaaa ， 20202019 2018 20002019 2121 2 22 SS 故答案为： 2018 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 11 页（共 16 页） 17 （10 分）已知函数( )sin2cos21f xxx （1）求函数( )f x的最小正周期； （2） 若将函数( )f x的图象沿x轴向右平移 4 个单位长度得到函数( )g x的图象， 求函数( )g x 的单调递增区间 【解答】解： （1） 22 ( )sin2co

22、s212(sin2cos2 )1 22 f xxxxx 2(sin2 coscos2 sin)12sin(2)1 444 xxx ， 故它的最小正周期为 2 2 （2）据（1）求解知，( )2sin(2)1 4 f xx ， 将函数( )f x的图象沿x轴向右平移 4 个单位长度， 得到函数( )2sin(2)1 4 g xx 的图象 令222() 242 kxkkZ 剟， 即 3 222() 44 kxkkZ 剟， 求得 3 () 88 kxkkZ 剟， 所求的( )g x的单调递增区间为 3 ,() 88 kkkZ 18 （12 分）已知函数 2 ( )2()f xxxa xR （1）若函

23、数( )f x的值域为0，)，求实数a的值； （2）若( )0f x 对任意的1x，)成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数 2 ( )2()f xxxa xR的值域为0，)， 2 24 10a ， 1a （2）( )0f x 对任意的1x，)成立， 2 20xxa对任意的1x，)成立， 2 2axx 对任意的1x，)成立， 又当1x，)时， 22 (2 )12 13 max xx ， 第 12 页（共 16 页） 3a 即所求实数的取值范围是( 3,) 19 （12 分）已知在公比为q的等比数列 n a中， 4 16a ， 342 2(2)aaa （1）若1q ，求数列 n a的

24、通项公式； （2）当1q 时，若等差数列 n b满足 31 ba， 512 baa， 123nn Sbbbb，求数 列 1 n S 的前n项的和 【解答】解： （1）据题意，得 3 1 23 111 16 2(2) a q a qa qa q ， 解得 2 3 q 或2q ， 又1q ， 2q ， 1 3 16 2 2 a ， 2n n a ； （2）据（1）求解知1q 时， 2 3 q ， 4 2 16( ) 3 n n a ， 1 54a， 2 36a ， 31 54ba， 512 90baa， 等差数列 n b的公差 53 9054 18 22 bb d ， 13 2542 1818bb

25、d， 2 (1) 181899 2 n n n Snnn ， 2 111 11 () 9991 n Snnnn ， 数列 1 n S 的前n项和 111111 111 11 (1)()() 929 239199 nnn n SSSnnn 20 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2 cos2aCcb 第 13 页（共 16 页） （1）求角A的大小； （2）若1a ，求ABC面积的最大值 【解答】 （本题满分为 10 分） 解： （1）在ABC中，2 cos2aCcb， 由正弦定理可得：2sincossin2sinACCB （1 分） 又sinsin()BAC，2s

26、incossin2sincos2cossinACCACAC， sin2cossinCAC （3 分） sin0C ， 1 cos 2 A， A是三角形的内角， 3 A （5 分） （2） 22222 2cos2abcbcAbcbcbcbcbc， 1bc （8 分） 1133 sin1 2224 SbcA ，即ABC面积的最大值为 3 4 （10 分） 21 （12 分）已知等差数列 n a的所有项和为 150，且该数列前 10 项和为 10，最后 10 项的 和为 50 （1）求数列 n a的项数； （2）求 212230 aaa的值 【解答】解： （1）据题意，得 12310 10aaaa，

27、 129 50 nnnn aaaa ， 12132109 ()()()()60 nnnn aaaaaaaa ， 又据等差数列性质知， 12132109nnnn aaaaaaaa ， 1 10()60 n aa， 1 6 n aa， 又 1 () 150 2 n n aa ， 50n，即数列 n a的项数为 50 第 14 页（共 16 页） （2）据（1）求解知， 150 1 6 109 1010 2 aa ad ，即 1 1 2496 292 ad ad ， 1 11 20 1 10 a d ， 2122233021301 10111 ()5(249 )5(249)30 22010 aaaa

28、aaad 22 （12 分）已知函数 2 1 ( )2(,0) lnxa f xaR a axx （1）讨论函数( )f x的极值； （2）若0a ，求函数( )f x在区间1，2上的最值 【解答】解： （1）因为 2 1 ( )2 lnxa f x axx ， 所以 32 2333 1122(2 )() ( ) axaxaxa xa fx axxxaxax ， 讨论： 当0a 时，令( )0fx，得0xa ，令( )0fx，得xa， 所以当0a 时，函数( )f x在区间(0,)a上单调递增，在区间(,)a上单调递减， 所以当0a 时，函数( )f x存在极大值 () ()2 lna fa

29、a ，不存在极小值； 当0a 时，令( )0fx，得2xa，令( )0fx，得02xa， 所以当0a 时，函数( )f x在区间(0,2 )a上单调递减，在区间(2 ,)a 上单调递增， 所以当0a 时，函数( )f x存在极小值 2 2123 (2 )22 2(2 )4 ln aaln a fa aaaaa ，不存在 极大值； （2）据（1）求解知，当0a 时，函数( )f x在区间(0,2 )a上单调递减，在区间(2 ,)a 上 单调递增， 讨论： ( ) i当22a，即1a时，函数( )f x在区间1，2上单调递减， 所 以 函 数( )f x在 区 间1，2上 的 最 大 值( )ma

30、xf xf（ 1 ）1a， 最 小 值 2123 ( )(2)2 2442 min lnalna f xf aa ； ( )ii当021a，即 1 0 2 a 时，函数( )f x在区间1，2上单调递增， 第 15 页（共 16 页） 所以函数( )f x在区间1，2上的最大值 2123 ( )(2)2 2442 max lnalna f xf aa ，最小 值( )minf xf（1）1a； ()iii当122a，即 1 1 2 a时，函数( )f x在区间1，2 a上单调递减，在区间2a，2上 单调递增， 所以函数( )f x在区间1，2上的最小值 2 2123 ( )(2 )22 2(2

31、 )4 min ln aaln a f xfa aaaaa ，最大值为f（1）与f（2）的较大 者 下面比较f（1）与f（2）的大小： 21312 (1)(2)12(2) 2442 lnaaln ffa aa ， 令f（1）f（2） ，得 312 0 42 aln a ，化简得 2 324 20aaln， 所以 11 12 2 3 ln a 或 11 12 2 3 ln a 又 1 ( ,1) 2 a， 所以 11 12 2 3 ln a ， 所以当 11 122 1 3 ln a 时，f（1）f（2） ，函数( )f x在区间1，2上的最大值 ( )maxf xf（1）1a； 所以当 111

32、 122 23 ln a 时，f（1）f（2） ，函数( )f x在区间1，2上的最大值 2123 ( )(2)2 2442 max lnalna f xf aa ； 所以当 11122 3 ln a 时，f（1）f（2） ，函数( )f x在区间1，2上的最大值 11 12 211 12 24 ( )(1)(2)1 33 max lnln f xff ； 综上所述， 当 1 0 2 a 时， 函数( )f x在区间1，2上的最大值为 23 42 lna a ， 最小值为1a ； 当 111 12 2 23 ln a 时，函数( )f x在区间1，2上的最大值为 23 42 lna a ，最小值为 23 2 4 ln a aa ； 当 11 12 2 3 ln a 时，函数( )f x在区间1，2上的最大值为 1 12 24 3 ln ，最小值为 23 2 4 ln a aa ； 第 16 页（共 16 页） 当 11 12 2 1 3 ln a 时，函数( )f x在区间1，2上的最大值为1a ，最小值为 23 2 4 ln a aa ； 当1a时，函数( )f x在区间1，2上的最大值为1a ，最小值为 23 42 lna a ；