2019-2020学年河北省部分重点高中高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年河北省部分重点高中高三 （上） 期末数学试卷 （理学年河北省部分重点高中高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集 UR，集合 A1，3） ，UB（，1）（4，+） ，则 AB （ ） A （1，1） B （1，3） C1，3） D1，4 2 （5 分）复数( 2 1) 2（其中 i 为虚数单位）的虚部等于（ ）

2、Ai B1 C1 D0 3 （5 分）已知各项为正数的等比数列an中，a21，a4a664，则公比 q（ ） A4 B3 C2 D2 4 （5 分）某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表： 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 80 85 90 学生乙 81 83 85 学生丙 90 86 82 则下列结论正确的是（ ） A甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为 86 B在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 5 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则

3、该几何体的体积是（ ） 第 2 页（共 19 页） A54 B27 C18 D9 6 （5 分）已知 （ 2，）且 sin（+ 2）= 1 3，则 tan（+）（ ） A22 B22 C 2 4 D 2 4 7 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为（ ） A2 +2 B5 +1 C3 +1 D2 +1 8 （5 分）下列命题中真命题的个数是（ ） ABC 中，B60是ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列的充要条件； 若“am2bm2，则 ab”的逆命题为真命题；

4、xy6 是 x2 或 y3 充分不必要条件； lgxlgy 是的充要条件 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9 （5 分）将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么互不相 同的分配方案共有（ ） A252 种 B112 种 C70 种 D56 种 10 （5 分）设 a= 2 ; 2 2( + 4)dx，则二项式（a 1 ） 6 展开式中含 x2项的系数是 （ ） A192 B193 C6 D7 11 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）+f（x）2xe x，若 f（0）1，则 函数() () 的取值范围为（ ） 第 3 页（共 19 页

5、） A2，0 B1，0 C0，1 D0，2 12 （5 分）已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 C： 2 2 2 2 =1（ba0）上有的 一点 P（5，m） ， （m0） ，点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作 双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ） A2 2 4 = 1 B 2 2 2 3 = 1 C2 2 6 = 1 D 2 3 2 2 7 2 = 1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分

6、）设 x，y 满足约束条件 + 2 1 2 + 1 0 ，则 z3x2y 的最小值为 14 （5 分） （理） 2 ; 2 （1+cosx）dx 15 （5 分）已知函数() = ( + )(0，0，0 2)的图象过点(0， 1 2)，最 小正周期为2 3 ，且最小值为1若 6 ，f（x）的值域是1， 3 2 ，则 m 的 取值范围是 16 （5 分）数列an是首项 a10，公差为 d 的等差数列，其前 n 和为 Sn，存在非零实数 t， 对任意 nN*有 Snan+（n1）tan恒成立，则 t 的值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出

7、文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+11，且 a11，数列bn中，b11， b59，2bnbn+1+bn1（n2） （1）求数列an和bn的通项公式： （2）若 cnanbn，求cn的前 n 项的和 Tn 18 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是菱形，ADC120，AD 的中点 M 是 顶点 P 的底面

8、ABCD 的射影，N 是 PC 的中点 （）求证：平面 MPB平面 PBC； （）若 MPMC，求直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为1 2， P 是椭圆 C 上的一个动点，且PFF2面积的最大值为3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率不为零的直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q，且 PQ 的垂直平分线交 y 轴 于点(0， 1 8)，求直线 PQ 的斜率 20 （12 分）已知函数 f（x）exax2 （1）若 a1，证明：当 x0 时，f（x

9、）1； （2）若 f（x）在（0，+）有两个零点，求 a 的取值范围 21 （12 分） 11 月， 2019 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办， 其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮） ，在相同的条件下， 每轮甲乙两人或在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分， 未命中者得1 分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分，设甲每次投球命中的概率为 1 2，乙每次投球命中的概容为 2 3，且各次投球互不影响 （1）经过 1 轮投球，记甲的得分为 X，求 X 的分布列； （2）若经过 n 轮投球，用 pi表示经过第 i 轮投

10、球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的 概率 求 p1，p2，p3； 规定 p00，经过计算机计算可估计得 piapi+1+bpi+cpi1（b1） ，请根据中 p1， p2，p3的值分别写出 a，c 关于 b 的表达式，并由此求出数列pn的通项公式 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 = 3 + 2 = 2 + 2 （ 为参数）

11、 ， 直线 C2的方程为 = 3 3 ，以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 第 5 页（共 19 页） （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP|OQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，a+2b3证明： （1）2+ 2 9 5； （2）3 + 43 81 16 第 6 页（共 19 页） 2019-2020 学年河北省部分重点高中高三 （上） 期末数学试卷 （理学年河北省部分重点高中高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本

12、题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集 UR，集合 A1，3） ，UB（，1）（4，+） ，则 AB （ ） A （1，1） B （1，3） C1，3） D1，4 【解答】解：全集 UR，UB（，1）（4，+） ， B1，4， A1，3） ， AB1，3） 故选：C 2 （5 分）复数( 2 1) 2（其中 i 为虚数单位）的虚部等于（ ） Ai B1 C1 D0 【解答】解：由于 ( 2 1) 2 = 22 (1)2

13、= 22 2 = ，所以虚部为1， 故选：B 3 （5 分）已知各项为正数的等比数列an中，a21，a4a664，则公比 q（ ） A4 B3 C2 D2 【解答】解：各项为正数的等比数列an中，a21，a4a664， 1 = 1 13 15= 64，且 q0， 解得1= 1 2，q2， 公比 q2 故选：C 4 （5 分）某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表： 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 80 85 90 第 7 页（共 19 页） 学生乙 81 83 85 学生丙 90 86 82 则下列结论正确的是（ ） A甲，乙，丙第三

14、次月考物理成绩的平均数为 86 B在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 【解答】解：由表中数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为 1 3 （90+85+82）= 257 3 86，A 错误； 这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高， 为1 3 （90+86+82）86，B 错误； 这三次月考物理成绩中，乙的成绩波动性最小，最稳定，C 正确； 这三次月考物理成绩中，甲的成绩波动性最大，方差最大，D 错误 故选：C 5 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A54 B27

15、 C18 D9 【解答】解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥， 且底面为矩形，长 6，宽 3；体高为 3 则 = 1 3 = 1 3 6 3 3 =18 故选：C 6 （5 分）已知 （ 2，）且 sin（+ 2）= 1 3，则 tan（+）（ ） 第 8 页（共 19 页） A22 B22 C 2 4 D 2 4 【解答】 解： 已知 （ 2， ） 且 sin （+ 2） cos= 1 3， sin= 1 2 = 22 3 ， tan= = 22，则 tan（+）tan22， 故选：A 7 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）有相同的焦点

16、F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为（ ） A2 +2 B5 +1 C3 +1 D2 +1 【解答】解：抛物线的焦点坐标为（ 2，0） ；双曲线的焦点坐标为（c，0） ， p2c， 点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴， 将 xc 代入双曲线方程得到 A（c， 2 ） ， 将 A 的坐标代入抛物线方程得到 4 2 =2pc，即 4a4+4a2b2b40 解得 =2 + 22， 2 2 = 2;2 2 = 2 + 22，解得： =2 + 1 故选：D 8 （5 分）下列命题中真命题的个数是（ ） ABC 中，B60是ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列的充

17、要条件； 若“am2bm2，则 ab”的逆命题为真命题； xy6 是 x2 或 y3 充分不必要条件； lgxlgy 是的充要条件 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】 解： ABC 中， B60ABC 的三内角 A， B， C 成等差数列， 故正确； 若“am2bm2，则 ab”的逆命题“若 ab，则 am2bm2” ， 当 m0 时不成立，故若“am2bm2，则 ab”的逆命题为假命题，故错误； xy6 是 x2 或 y3 的逆否命题是： 第 9 页（共 19 页） 若 x2 且 x3，则 xy6，真命题， xy6x2 或 y3， xy6 是 x2 或 y3 充分不必要条件，故

18、正确； f（x）lgx 在定义域 x0 范围内是单增函数：lgxlgy 可得到 xy0 g（x）= 在定义域 x0 范围内是单增函数：可得到 xy0 可见，lgxlgy，但是当 y0 时，推不出 lgxlgy， lg0 不存在，lgxlgy 是的充分不必要条件，故错误 故选：B 9 （5 分）将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么互不相 同的分配方案共有（ ） A252 种 B112 种 C70 种 D56 种 【解答】解：由题意知将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学 生 包括甲、乙每屋住 4 人、3 人或 5 人、2 人， 当甲和

19、乙两个屋子住 4 人、3 人，共有 C73A22 当甲和乙两个屋子住 5 人、2 人，共有 C72A22 根据分类计数原理得到共有 C73A22+C72A22352+212112（种） 故选：B 10 （5 分）设 a= 2 ; 2 2( + 4)dx，则二项式（a 1 ） 6 展开式中含 x2项的系数是 （ ） A192 B193 C6 D7 【解答】解：由于 a= 2 ; 2 2( + 4)dx= 2sin（x+ 4）|; 2 2 = 2 （ 2 2 ）（ 2 2 ） 2， 二项式（a 1 ） 6（2 1 ） 6，它的展开式的通项公式为 Tr+1= 6 （1）r26 rx3r， 令 3r2

20、， 可得 r1， 故二项式 （a 1 ） 6 展开式中含 x2项的系数是6 125192， 故选：A 第 10 页（共 19 页） 11 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）+f（x）2xe x，若 f（0）1，则 函数() () 的取值范围为（ ） A2，0 B1，0 C0，1 D0，2 【解答】解：由 f（x）+f（x）2xe x， 得():() = 2，即 exf（x）+exf（x）2x， 令 g（x）exf（x） ，则 g（x）exf（x）+exf（x）2x， g（x）x2+c（其中 c 为常数） ， f（x）= 2+ ， 又 f（0）1， c1，则 f（x）= 2

21、+1 ， f（x）= 221 ， () () = 2;2;1 2:1 = 1 + 2 2:1， 当 x0 时，() () = 1， 当 x0 时，() () = 1 + 2 :1 ， + 1 (， 2 2，+ )， () () 2，0 故选：A 12 （5 分）已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 C： 2 2 2 2 =1（ba0）上有的 一点 P（5，m） ， （m0） ，点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作 双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ） A2 2 4 =

22、 1 B 2 2 2 3 = 1 C2 2 6 = 1 D 2 3 2 2 7 2 = 1 【解答】解：由题意可知：在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，即 c= 5， 由双曲线方程可得渐近线方程 bxay0， 第 11 页（共 19 页） 由(5，)（m0） ，设过 P 平行于 bx+ay0 的直线为 l， 则 l 的方程为：bx+ayb5 am0，l 与渐近线 bxay0 交点为 A， 则 A（5: 2 ，5: 2 ） ，|OA|5: 2 | 2+2 22 ， P 点到 OA 的距离是：d= 丨5丨 2+2 ， |OA|d1，|5: 2 | 2+2 22 丨5;丨 2:2 =1，

23、5b2a2m22ab， 由 P 在双曲线上，5b2a2m2a2b2， 且 a2+b25， b2，a1， 双曲线的方程为2 2 4 = 1， 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 + 2 1 2 + 1 0 ，则 z3x2y 的最小值为 5 【解答】解：由 x，y 满足约束条件 + 2 1 2 + 1 0 作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为 A， 联立 + 2 = 1 2 + = 1，解得 A（1，1） z3x2y 的最小值为31215 故答案为：5 第 12 页（共 19

24、页） 14 （5 分） （理） 2 ; 2 （1+cosx）dx 【解答】解： 2 ; 2 (1 + ) =（x+sinx）|; 2 2 = 2 +1（ 2 1）+2， 故答案为 +2 15 （5 分）已知函数() = ( + )(0，0，0 2)的图象过点(0， 1 2)，最 小正周期为2 3 ，且最小值为1若 6 ，f（x）的值域是1， 3 2 ，则 m 的 取值范围是 2 9 ， 5 18 【解答】 解： 由题意可得 A1， T= 2 = 2 3 ， 所以 3， 又过 （0， 1 2） ， 即 cos （30+） = 1 2，0 2，所以 = 3， 所以 f（x）cos（3x+ 3） ；

25、 因为 6 ，所以 3x+ 3 5 6 ，3m+ 3，令 t3x+ 3，t 5 6 ，3m+ 3，所以 f（t） cost，t5 6 ，3m+ 3， 第 13 页（共 19 页） 由 f（x）的值域是1， 3 2 ，即 f（t）的值域是1， 3 2 ，如图所示，t= 5 6或 7 6 ， f（t）= 3 2 ，这时 3m+ 3 = 7 6 ，解得 m= 5 18 ， 当 t3m+ 3 =，即 m= 2 9 ，f（t）1， 所以 m 的取值范围为：2 9 ， 5 18 故答案为：2 9 ， 5 18 16 （5 分）数列an是首项 a10，公差为 d 的等差数列，其前 n 和为 Sn，存在非零实

26、数 t， 对任意 nN*有 Snan+（n1）tan恒成立，则 t 的值为 1 或1 2 【解答】解：对任意 nN*有 Snan+（n1）tan恒成立， Sn1（n1）tan（n2）恒成立， 又数列an是首项 a10，公差为 d 的等差数列， (1:1)(;1) 2 =（n1）tan（n2）恒成立，即1:1 2 =tan（n2）恒成立， 当 n2 时，1:1 2 =a1ta2t（a1+d） 当 n3 时，1:2 2 = 21: 2 =t（a1+2d） 联立得：d2a1d， d0 或 da1， 当 d0 时，t1； 当 da1时，t= 1 2 故答案为：1 或1 2 三、解答题：共三、解答题：共

27、 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+11，且 a11，数列bn中，b11， b59，2bnbn+1+bn1（n2） （1）求数列an和bn的通项公式： （2）若 cnanbn，求cn的前 n 项的和 Tn 【解答】解： （1）由题意，可知： 第 14 页（共 19

28、页） 对于数列an： 当 n1 时，a11 当 n2 时，anSnSn1（an+11）（an1）an+1an an+12an 数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 an2n 1 对于数列bn： 2bnbn+1+bn1（n2） 根据等差中项判别法，可知：数列bn是等差数列 又公差 d= 51 51 = 91 4 = 2 数列bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 bn1+（n1）22n1 （2）由（1） ，可知： cnanbn，（2n1） 2n 1 Tnc1+c2+cn 11+321+522+（2n1） 2n 1， 2= 1 21+ 3 22+ + (2 3) 2;1+（2n1）

29、2n， ，可得： = 1 + 2 21+ 2 22+ +22n 1（2n1） 2n 1+4 （1+2+22+2n 2）（2n1） 2n 1+41;2 1 1;2 （2n1） 2n 1+4 （2n 11）（2n1） 2n （32n） 2n3 Tn（2n3） 2n+3 18 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是菱形，ADC120，AD 的中点 M 是 顶点 P 的底面 ABCD 的射影，N 是 PC 的中点 （）求证：平面 MPB平面 PBC； （）若 MPMC，求直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值 第 15 页（共 19 页） 【解答】 （）证明：在菱形 ABCD 中

30、，设 AB2a，M 是 AD 的中点， MB2AM2+AB22AMABcos603a2，MC2DM2+DC22DMDCcos1207a2 又BC24a2，MB2+BC2MC2，MBBC， 又P 在底面 ABCD 的射影 M 是 AD 的中点，PM平面 ABCD， 又BC平面 ABCD，PMBC， 而 PMMBM，PM，MB平面 PMB，BC平面 PMB， 又 BC平面 PBC，平面 MPB平面 PBC （）解：过 B 作 BHMC，连接 HN， PM平面 ABCD，BC平面 ABCD，BHPM， 又PM，MC平面 PMC，PMMCM，BH平面 PMC， HN 为直线 BN 在平面 PMC 上的

31、射影， 故BNH 为直线 BN 与平面 PMC 所成的角， 在MBC 中， = 23 7 = 221 7 由（）知 BC平面 PMB，PB平面 PMB，PBBC = 1 2 = 14 2 ， = = 221 7 14 2 = 26 7 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为1 2， 第 16 页（共 19 页） P 是椭圆 C 上的一个动点，且PFF2面积的最大值为3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率不为零的直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q，且 PQ 的垂直平分线交 y 轴 于点(0， 1 8)，求直线 PQ 的

32、斜率 【解答】解： （1）因为椭圆离心率为1 2，当 P 为 C 的短轴顶点时，PF1F2 的面积有最大 值3， 所以 = 1 2 2= 2+ 2 1 2 2 = 3 ，所以 = 2 = 3 = 1 ，故椭圆 C 的方程为： 2 4 + 2 3 =1 （2）设直线 PQ 的方程为 yk（x1） ， 当 k0 时，yk（x1）代入 2 4 + 2 3 =1， 得： （3+4k2）x28k2x+4k2120， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y 2） ，线段 PQ 的中点为 N（x0，y0） ， x0= 1+2 2 = 42 3+42，y0= 1+2 2 =k（x01）= 3 3+42，即 N（

33、 42 3:42， ;3 3:42） 因为 TNPQ，则 kTNkPQ1，所以 3 3+42; 1 8 42 3+42 k1， 化简得 4k28k+30，解得 k= 1 2或 k= 3 2 20 （12 分）已知函数 f（x）exax2 （1）若 a1，证明：当 x0 时，f（x）1； （2）若 f（x）在（0，+）有两个零点，求 a 的取值范围 【解答】 （1）证明：当 a1 时，函数 f（x）exx2，则 f（x）ex2x 令 g（x）ex2x，则 g（x）ex2，令 g（x）0，得 xln2 当 x（0，ln2）时，g（x）0，当 x（ln2，+）时，g（x）0， g（x）g（ln2）e

34、ln22ln222ln20， f（x）在0，+）上单调递增， f（x）f（0）1； （2）解：f（x）在（0，+）有两个零点方程 exax20 在（0，+）有两个根， = 2在（0，+）有两个根， 第 17 页（共 19 页） 即函数 ya 与 G（x）= 2 的图象在（0，+）有两个交点 G（x）= (2) 3 ， 当 x（0，2）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递增， 当 x（2，+）时，G（x）0，G（x）在（2，+）递增， G（x）最小值为 G（2）= 2 4 ， 当 x0 时，G（x）+，当 x+时，G（x）+， f（x）在（0，+）有两个零点时，a 的取值范围是（ 2 4 ，+

35、 ） 21 （12 分） 11 月， 2019 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办， 其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮） ，在相同的条件下， 每轮甲乙两人或在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分， 未命中者得1 分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分，设甲每次投球命中的概率为 1 2，乙每次投球命中的概容为 2 3，且各次投球互不影响 （1）经过 1 轮投球，记甲的得分为 X，求 X 的分布列； （2）若经过 n 轮投球，用 pi表示经过第 i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的 概率 求 p1，p2，p3

36、； 规定 p00，经过计算机计算可估计得 piapi+1+bpi+cpi1（b1） ，请根据中 p1， p2，p3的值分别写出 a，c 关于 b 的表达式，并由此求出数列pn的通项公式 【解答】解： （1）X 的可能取值为1，0，1， P（X1）= (1 1 2) 2 3 = 1 3， P（X0）= 1 2 2 3 + (1 1 2) (1 2 3) = 1 2， P（X1）= 1 2 (1 2 3) = 1 6， X 的分布列为： X 1 0 1 P 1 3 1 2 1 6 （2）由（1）知 p1= 1 6， 第 18 页（共 19 页） 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况： 一是两轮甲各

37、得 1 分，二是两轮中有一轮甲得 0 分，有一轮甲得 1 分， p2= 1 6 1 6 + 2 1(1 2)( 1 6) = 7 36 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况： 一是三轮甲各得 1 分，二是三轮中有两轮甲各得 1 分，一轮得 0 分，三是三轮中有一轮 甲得 1 分，两轮各得 0 分，四是两轮各得 1 分，1 轮得1 分， p3= (1 6) 3 + 3 2(1 6) 2(1 2) + 3 1(1 6)( 1 2) 2 + 3 2(1 6) 2(1 3) = 43 216 p00，piapi+1+bpi+cpi1（b1） ， = 1 :1+ 1;1， 将0= 0，1= 1 6 ，

38、2= 7 36 ，3= 43 216代入，解得 1; = 6 7， 1; = 1 7， = 6 7 (1 )， = 1 7 (1 )， = 6 7 :1+ 1 7 ;1，:1= 7 6 1 6 ;1， pi+1pi= 1 6（pipi1） ， p1p0= 1 6，pnpn1是首项与公比都是 1 6的等比数列， pnpn1= 1 6， pnp0+（p1p0）+（p2p1）+（pnpn1）= 1 6(1 1 6) 11 6 = 1 5(1 1 6) （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则

39、按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 = 3 + 2 = 2 + 2 （ 为参数） ， 直线 C2的方程为 = 3 3 ，以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP|OQ|的值 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为 = 3 + 2 = 2 + 2 （ 为参数） ， 转化为普通方程：( 3)2+ ( 2)2= 4， 即2+ 2 23 4 + 3 = 0， 第

40、19 页（共 19 页） 则 C1的极坐标方程为2 23 4 + 3 = 0，（3 分） 直线 C2的方程为 = 3 3 ， 直线 C2的极坐标方程 = 6 ( )（5 分） （2）设 P（1，1） ，Q（2，2） ， 将 = 6 ( )代入2 23 4 + 3 = 0， 得：25+30， 123， |OP|OQ|123（10 分） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，a+2b3证明： （1）2+ 2 9 5； （2）3 + 43 81 16 【解答】证明： （1）已知 a0，b0，a+2b3，则 a32b0，b（0，3 2） ， 所以 a2+b2（32b）2+b25b212b+95（b 6 5） 2+9 5 9 5， 当 b= 6 5时，a32b= 3 5时，取等号， 故结论成立； （2）已知 a0，b0，a+2b3 22， 故 0ab 9 8，当且仅当 a2b= 3 2取等号， 所以 a3b+4ab3ab（a2+4b2）ab（a+2b）24abab（94ab）4（ab） 2+9ab=81 16 4( 9 8) 2， 当且仅当 ab= 9 8时，取等号， 故命题成立