2019-2020学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 16 页） 2019-2020 学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）若集合 Ax|1x3，Bx|1x2，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 2 （4 分）命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是（ ） Ax0（0，+） ，lnx0x01 Bx0（0，+） ，lnx0x01 Cx（0，+） ，ln

2、xx1 Dx（0，+） ，lnxx1 3 （4 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（ ） Ayx Byx21 Cycosx Dyx 1 2 4 （4 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（0，0，0） ， （0，0， 1） ， （1， 1， 0） ， （1， 0， 1） ， 则此四面体在 xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为 （ ） A1 4 B1 2 C3 4 D1 5 （4 分）已知菱形 ABCD 边长为 1，BAD60，则 =（ ） A1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 6 （4 分）双曲线 4x2y21 的离心率为（ ） A5

3、 B 5 2 C3 D 3 2 7 （4 分）已知公差不为 0 的等差数列an，前 n 项和为 Sn，满足 S3S110，且 a1，a2， a4成等比数列，则 a3（ ） A2 B6 C5 或 6 D12 8 （4 分）在(1 2)6的展开式中，常数项是（ ） A20 B15 C15 D30 9 （4 分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵记鲑鱼的游速 为 v（单位：m/s） ，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q科学研究发现 v 与3 100成正比当 v1m/s 时， 鲑鱼的耗氧量的单位数为 900 当 v2m/s 时， 其耗氧量的单位数为 （ ） A1800 B2700 C72

4、90 D8100 10 （4 分）在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别是边 AC，AB 上的点，满足 DE 第 2 页（共 16 页） BC 且 = （ （0， 1） ） ， 将ADE 沿直线 DE 折到ADE 的位置 在翻折过程中， 下列结论成立的是（ ） A在边 AE 上存在点 F，使得在翻折过程中，满足 BF平面 ACD B存在 (0， 1 2)，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 ABC平面 BCDE C若 = 1 2，当二面角 ADEB 为直二面角时，| = 10 4 D在翻折过程中，四棱锥 ABCDE 体积的最大值记为 f（） ，f（）的最大值为23 9 二、

5、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）复数 1 1:的实部为 12 （5 分）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排 列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“” ，如图就是一重卦如 果某重卦中有 2 个阳爻，则它可以组成 种重卦 （用数字作答） 13 （5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，c22ab 且 sinA= 1 2sinC，则 cosA 14 （5 分）我们称一个数列是“有趣数列” ，当且仅当该数列满足以下两个条件： 所有的奇数项满足 a2n1a2n+1，所有的偶数项满足

6、 a2na2n+2； 任意相邻的两项 a2n1，a2n满足 a2n1a2n 根据上面的信息完成下面的问题： （i）数列 1，2，3，4，5，6 “有趣数列” （填“是”或者“不是” ） ； （ii）若 ann+（1）n2 ，则数列an “有趣数列” （填“是”或者“不是” ） 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，则 F 的坐标为 ；过点 F 的直线交抛 物线 C 于 A，B 两点，若|AF|4，则AOB 的面积为 16 （5 分）定义域为 R 的函数 f（x）同时满足以下两条性质： 存在 x0R，使得 f（x0）0； 对于任意 xR，有 f（x+1）2f（x） 根据以下条件

7、，分别写出满足上述性质的一个函数 第 3 页（共 16 页） （ i）若 f（x）是增函数，则 f（x） ； （）若 f（x）不是单调函数，则 f（x） 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （13 分）已知函数 f（x）sinxcosx+32x （）求( 3)的值； （）求 f（x）在区间0， 2上的最大值 18 （14 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，BAC= 2，AA1AB AC1，CC1的中点为 H （）求证：ABA1C； （）求二面角 A1BCA 的余

8、弦值； （）在棱 A1B1上是否存在点 N，使得 HN平面 A1BC？若存在，求出 1 11的值；若不 存在，请说明理由 19 （13 分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境我国的垃圾处理多采 用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境垃圾分类把不易降解的物质分出 来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.2020 年 5 月 1 日起，北京市将实行生活垃 圾分类， 分类标准为厨余垃圾、 可回收物、 有害垃圾和其它垃圾四类 生活垃圾中有 30% 40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源如：回收利用 1 吨废纸可再 造出 0.8 吨好纸，可以挽救 17 棵大树，少用

9、纯碱 240 千克，降低造纸的污染排放 75%， 节省造纸能源消耗 40%50% 现调查了北京市 5 个小区 12 月份的生活垃圾投放情况， 其中可回收物中废纸和塑料品的 投放量如表： A 小区 B 小区 C 小区 D 小区 E 小区 第 4 页（共 16 页） 废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投放量（吨） 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3 （）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 1 个小区，求该小区 12 月份的可回收物中， 废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨的概率； （）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 2 个小区，

10、记 X 为 12 月份投放的废纸可再 造好纸超过 4 吨的小区个数，求 X 的分布列及期望 20 （13 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为1 2，以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy+6 =0 相切 （）求椭圆方程； （） 设 S 为椭圆右顶点， 过椭圆 C 的右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点 （异于 S） ， 直线 PS，QS 分别交直线 x4 于 A，B 两点求证：A，B 两点的纵坐标之积为定值 21 （14 分）已知函数 f（x）= 1 3 3 (+1) 2 2+ax （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（

11、0） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性； （）对于任意 x1，x20，2，都有|f（x1）f（x2）| 2 3，求实数 a 的取值范围 22 （13 分）已知 nN*，n2，给定 nn 个整点（x，y） ，其中 1x，yn，x，yN* （）当 n2 时，从上面的 22 个整点中任取两个不同的整点（x1，y1） ， （x2，y2） ， 求 x1+x2的所有可能值； （）从上面 nn 个整点中任取 m 个不同的整点， 5 2 1 （ i）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1） ， （x1，y1） ， （x2，y2） ， （x2，y2） ， 满足 y1y1，y2y2，y1y2；

12、（ ii）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1） ， （x1，y1） ， （x2，y2） ， （x2，y2） ， 满足 x1+x1x2+x2，y1y2 第 5 页（共 16 页） 2019-2020 学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）若集合 Ax|1x3，Bx|1x2，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|1x1

13、Cx|1x2 Dx|2x3 【解答】解：集合 Ax|1x3，Bx|1x2， ABx|1x2 故选：C 2 （4 分）命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是（ ） Ax0（0，+） ，lnx0x01 Bx0（0，+） ，lnx0x01 Cx（0，+） ，lnxx1 Dx（0，+） ，lnxx1 【解答】解：命题的否定是：x（0，+） ，lnxx1， 故选：C 3 （4 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（ ） Ayx Byx21 Cycosx Dyx 1 2 【解答】解：Ayx 在（0，+）上单调递减，该选项错误； Byx21 为偶函数，且 x0 时为增函数数；

14、符合题意； Cycosx 在（0，+）不单调，该选项错误； Dy= 1 2的图象不关于 y 轴对称，不是偶函数，该选项错误 故选：B 4 （4 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（0，0，0） ， （0，0， 1） ， （1， 1， 0） ， （1， 0， 1） ， 则此四面体在 xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为 （ ） A1 4 B1 2 C3 4 D1 【解答】解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（0，0，0） ， （0，0，1） ， （1，1，0） ， （1，0，1） ， 如图，此四面体在 xOy 坐标平面上的正投影图形是ABD

15、， 此四面体在 xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为： 第 6 页（共 16 页） SABD= 1 2 1 1 = 1 2 故选：B 5 （4 分）已知菱形 ABCD 边长为 1，BAD60，则 =（ ） A1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【解答】解：菱形 ABCD 边长为 1，BAD60，则 =| | |cos60 = 1 1 1 2 = 1 2 故选：A 6 （4 分）双曲线 4x2y21 的离心率为（ ） A5 B 5 2 C3 D 3 2 【解答】解：由题设条件可知：a= 1 2，c= 5 2 ，e= = 5 故选：A 7 （4 分）已知公差不为 0 的等差数列an，前

16、n 项和为 Sn，满足 S3S110，且 a1，a2， a4成等比数列，则 a3（ ） A2 B6 C5 或 6 D12 【解答】解：设等差数列an的公差为 d（d0） ， 由 S3S110，且 a1，a2，a4成等比数列，得 21 + 3 = 10 (1+ )2= 1(1+ 3)，解得 1= 2 = 2 a3a1+2d6 故选：B 8 （4 分）在(1 2)6的展开式中，常数项是（ ） 第 7 页（共 16 页） A20 B15 C15 D30 【解答】解：在(1 2)6的展开式中，通项公式为 Tr+1= 6 （1）rx3r6， 令 3r60，求得 r2，可得常数项是6 2 =15， 故选：

17、C 9 （4 分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵记鲑鱼的游速 为 v（单位：m/s） ，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q科学研究发现 v 与3 100成正比当 v1m/s 时， 鲑鱼的耗氧量的单位数为 900 当 v2m/s 时， 其耗氧量的单位数为 （ ） A1800 B2700 C7290 D8100 【解答】解：根据题意设 vk3 100，把 v1，Q900 代入可得 k= 1 2， 所以 v= 1 2 3 100， 当 v2 时，代入得 2= 1 2 3 100，解得 Q8100， 故选：D 10 （4 分）在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别是

18、边 AC，AB 上的点，满足 DE BC 且 = （ （0， 1） ） ， 将ADE 沿直线 DE 折到ADE 的位置 在翻折过程中， 下列结论成立的是（ ） A在边 AE 上存在点 F，使得在翻折过程中，满足 BF平面 ACD B存在 (0， 1 2)，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 ABC平面 BCDE C若 = 1 2，当二面角 ADEB 为直二面角时，| = 10 4 D在翻折过程中，四棱锥 ABCDE 体积的最大值记为 f（） ，f（）的最大值为23 9 【解答】解：如图所示， A在边 AE 上点 F，在 AD 上取一点 N，使得 FNED，在 ED 上取一点 H，使得 NH

19、EF， 作 HGBE 交 BC 于点 G， 则可得 FN BG，即四边形 BGNF 为平行四边形，NGBE，而 GN 始终与平面 ACD 相 交，因此 在边 AE 上不存在点 F，使得在翻折过程中，满足 BF平面 ACD，不正确 第 8 页（共 16 页） B (0， 1 2)，在翻折过程中，点 A在底面 BCDE 的射影不可能在交线 BC 上，因此 不满足平面 ABC平面 BCDE，因此不正确 C = 1 2， 当二面角 ADEB 为直二面角时， 取 ED 的中点 M， 可得： AM平面 BCDE 则|AB|= 2+ 2=( 3 2 )2+ 1 + (1 2) 2 2 1 1 2 120 =

20、 10 2 10 4 ，因此不 正确 D在翻折过程中，取平面 AED平面 BCDE，四棱锥 ABCDE 体积 f（）= 1 3S 四边 形BCDE3 = 1 3 3 （12） 33， （0， 1） ， f （） 132， 可得 = 3 3 时， 函 数 f（）取得最大值= 3 3 （1 1 3）= 23 9 ，因此正确 故选：D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 （5 分）复数 1 1:的实部为 1 2 【解答】解： 1 1: = 1; (1:)(1;) = 1 2 1 2 ， 复数 1 1:的实部为 1 2， 第 9 页（共 16 页

21、） 故答案为：1 2 12 （5 分）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排 列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“” ，如图就是一重卦如 果某重卦中有 2 个阳爻，则它可以组成 15 种重卦 （用数字作答） 【解答】解：2 个阳爻放到 6 个爻中，即从 6 个中选 2 个地方放，共有6 2 = 15种， 故答案为：15 13 （5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，c22ab 且 sinA= 1 2sinC，则 cosA 7 8 【解答】解：c22ab 且 sinA= 1 2sinC， 由正弦定理可得，2ac， bc2a， 则 cosA

22、= 2+22 2 = 7 8 故答案为：7 8 14 （5 分）我们称一个数列是“有趣数列” ，当且仅当该数列满足以下两个条件： 所有的奇数项满足 a2n1a2n+1，所有的偶数项满足 a2na2n+2； 任意相邻的两项 a2n1，a2n满足 a2n1a2n 根据上面的信息完成下面的问题： （i）数列 1，2，3，4，5，6 是 “有趣数列” （填“是”或者“不是” ） ； （ii）若 ann+（1）n2 ，则数列an 是 “有趣数列” （填“是”或者“不是” ） 【解答】解：数列 1，2，3，4，5，6 显然满足上述条件，时“有趣数列” ， 对于 ann+（1）n2 ， 当 n2k+1，kN

23、 时，2:1= 2 + 1 2 2+1，显然是关于 k 递增的数列； 当 n2k，kN 时，2= 2 + 2 2 =2k+ 1 ，当 k1 时，根据对勾函数的性质，也是递增 的； 第 10 页（共 16 页） 故也是“有趣数列” ， 故答案为：是；是 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，则 F 的坐标为 （1，0） ；过点 F 的直 线交抛物线 C 于 A，B 两点，若|AF|4，则AOB 的面积为 43 3 【解答】解：由抛物线 C：y24x，得 2p4，p2， F（1，0） ； 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由|AF|x1+14，得 x13， 1= 23

24、， 由抛物线的性质得：y1y24， 2= 4 1 = 4 23 = 23 3 = 1 2| |1 2| = 43 3 故答案为： （1，0） ；43 3 16 （5 分）定义域为 R 的函数 f（x）同时满足以下两条性质： 存在 x0R，使得 f（x0）0； 对于任意 xR，有 f（x+1）2f（x） 根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数 （ i）若 f（x）是增函数，则 f（x） 2x ； （）若 f（x）不是单调函数，则 f（x） 1， 0，1) 1 2 ( + 1) 【解答】解： （i）f（x）2x， （ii）() = 1， 0，1) 1 2( + 1) 第 11 页（共 16

25、页） 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （13 分）已知函数 f（x）sinxcosx+32x （）求( 3)的值； （）求 f（x）在区间0， 2上的最大值 【解答】解：f（x）sinxcosx+32x= 1 2 2 + 3(1+2) 2 ， = 1 2 2 + 3 2 2 + 3 2 ， sin（2x+ 1 3 ）+ 3 2 ， （I）( 3) = 3 2 ， （II）0 1 2 ， 1 3 2 + 1 3 4 3 ， 结合正弦函数的性质可知，当2 + 1 3 = 1 2即 x= 1

26、2时，函数取得最大值 1+ 3 2 18 （14 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，BAC= 2，AA1AB AC1，CC1的中点为 H （）求证：ABA1C； （）求二面角 A1BCA 的余弦值； （）在棱 A1B1上是否存在点 N，使得 HN平面 A1BC？若存在，求出 1 11的值；若不 存在，请说明理由 【解答】解： （I）AA1平面 ABC，AB平面 ABC，所以 AA1AB， 又BAC= 2，所以 ABAC，AA1ACA， 故 AB平面 ACC1A1，A1C平面 ACC1A1， 第 12 页（共 16 页） 所以 ABA1C； （II）建立如图空间直角坐

27、标系， A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，A1（0，0，1） ， 设平面 A1CB 的一个法向量为 = (，)， 1 = (1，0， 1)，1 = (0，1， 1) 由 1 = 0 1 = 0 ，得 = 0 = 0，故 = (1，1，1)， 又平面 ABC 的法向量为 = (0，0，1)， 由 cos ， = 1 3 = 3 3 ， 由题意知二面角 A1BCA 为锐角，故二面角 A1BCA 的余弦值为 3 3 ； （III）假设 A1B1 上存在点 N（x，y，z） ，使得 HN平面 A1BC， 由1 = 11 ， 0，1， 由 H（0，1，1 2） ，1 = (，0

28、，0)， 所以 = 1 + 1 = (， 1， 1 2)， 由 HN平面 A1BC， = 1 + 1 2 = 0，得 = 1 2， 故在棱 A1B1上存在点 N（1 2 ，0，1） ，使得 HN平面 A1BC， 1 11的值为 1 2 19 （13 分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境我国的垃圾处理多采 用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境垃圾分类把不易降解的物质分出 来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.2020 年 5 月 1 日起，北京市将实行生活垃 圾分类， 分类标准为厨余垃圾、 可回收物、 有害垃圾和其它垃圾四类 生活垃圾中有 30% 40%可以回收利用

29、，分出可回收垃圾既环保，又节约资源如：回收利用 1 吨废纸可再 造出 0.8 吨好纸，可以挽救 17 棵大树，少用纯碱 240 千克，降低造纸的污染排放 75%， 第 13 页（共 16 页） 节省造纸能源消耗 40%50% 现调查了北京市 5 个小区 12 月份的生活垃圾投放情况， 其中可回收物中废纸和塑料品的 投放量如表： A 小区 B 小区 C 小区 D 小区 E 小区 废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投放量（吨） 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3 （）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 1 个小区，求该小区 12 月份的可回收物中， 废纸投放

30、量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨的概率； （）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 2 个小区，记 X 为 12 月份投放的废纸可再 造好纸超过 4 吨的小区个数，求 X 的分布列及期望 【解答】解： （）从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 1 个小区， 基本事件总数 n5， 该小区 12 月份的可回收物中，废纸投放量超过 5 吨且塑料品投放量超过 3.5 吨的小区有 2 个， 该小区12月份的可回收物中， 废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率： p= 2 5 （）A，B，C，D，E 这 5 个小区中 12 月份投放的废纸可再造好纸超过 4 吨的小区

31、 2 个， 从 A，B，C，D，E 这 5 个小区中任取 2 个小区， 记 X 为 12 月份投放的废纸可再造好纸超过 4 吨的小区个数， 则 X 的可能取值为 0， 1， 2， P（X0）= 3 2 5 2 =0.3， P（X1）= 3 1 2 1 5 2 =0.6， P（X2）= 2 2 5 2 =0.1， X 的分布列为： X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 E（X）00.3+10.6+20.10.8 第 14 页（共 16 页） 20 （13 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为1 2，以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy+6 =

32、0 相切 （）求椭圆方程； （） 设 S 为椭圆右顶点， 过椭圆 C 的右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点 （异于 S） ， 直线 PS，QS 分别交直线 x4 于 A，B 两点求证：A，B 两点的纵坐标之积为定值 【解答】解（）由题意得：e= = 1 2，b= |00+6| 2 = 3，a2b2+c2，解得：a24， b23， 所以椭圆的方程： 2 4 + 2 3 =1； （）证明：由（）得，S（2，0） ，右焦点 F（1，0）由题意得，直线 l 的斜率不为零， 设直线 l 为：xmy+1，设 P（x，y） ，Q（x，y） ， 联立直线l与椭圆的方程整理得：（4+3m2） y

33、2+6my90， y+y= 6 4+32， yy= 9 4+32； kPF= 2，设直线 FP：y= 2（x2） ，与 x4 联立，得 y= 2 2，即 yA= 2 2， 同理可得：yB= 2 2， yAyB= 4 (2)(2) = 4 (1)(1) = 4 2(+)+1 = 36 4+32 92 4+32 6 4+32+1 = 36 4 = 9，为定值， 所以 A，B 两点的纵坐标之积为定值9 21 （14 分）已知函数 f（x）= 1 3 3 (+1) 2 2+ax （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性； （）对于任意 x

34、1，x20，2，都有|f（x1）f（x2）| 2 3，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （）当 a1 时，() = 1 3 3 2+ ，故 f（x）x22x+1，则 f（0） 1， 又 f（0）0， 故所求切线方程为 yx； 第 15 页（共 16 页） （）f（x）x2（a+1）x+a（x1） （xa） ，令 f（x）0，解得 x1 或 xa， 当 a1 时，令 f（x）0 解得 x1 或 xa，函数 f（x）单调递增；令 f（x）0 解 得 1xa，函数 f（x）单调递减； 当 a1 时，f（x）x22x+1（x1）20，函数 f（x）单调递增； 当 a1 时，令 f（x）0 解得 x

35、a 或 x1，函数单调递增；令 f（x）0 解得 a x1，函数 f（x）单调递减； 综上，当 a1 时，函数 f（x）的增区间为（，1） ， （a，+） ，减区间为（1，a） ； 当 a1 时，函数 f（x）的增区间为（，+） ； 当 a1 时，函数 f（x）的增区间为（，a） ， （1，+） ，减区间为（a，1） ； （）令 f（x）0，解得 x1 或 xa， 当 a0 时，随 x 变化，f（x） ，f（x）变化情况如下表： x 0 （0，1） 1 （1，2） 2 f（x） 0 + f（x） 0 减 极小值 增 2 3 由表可知，f（0）f（1） ，此时|(2) (1)| 2 3，不合题意

36、； 当 0a1 时，随 x 变化，f（x） ，f（x）变化情况如下表： x 0 （0，a） a （a，1） 1 （1，2） 2 f（x） + 0 0 + f（x） 0 增 极大值 减 极小值 增 2 3 由表可得，f（0）0，() = 1 6 3+ 1 2 2，(1) = 1 2 1 6，(2) = 2 3，且 f（0）f （a） ，f（1）f（2） ， 所以只需() (2) (1) (0)，即 1 6 3 + 1 2 2 2 3 1 2 1 6 0 ，解得1 3 1； 当 a1 时，f（x）x22x+1（x1）20 在（0，2）上恒成立，符合题意； 当 1a2 时，只需(1) (2) ()

37、(0)，即 1 2 1 6 2 3 1 6 3+ 1 2 2 0 ，解得1 5 3； 当 a2 时，f（1）f（2） ，不合题意； 第 16 页（共 16 页） 综上，实数 a 的取值范围是1 3， 5 3 22 （13 分）已知 nN*，n2，给定 nn 个整点（x，y） ，其中 1x，yn，x，yN* （）当 n2 时，从上面的 22 个整点中任取两个不同的整点（x1，y1） ， （x2，y2） ， 求 x1+x2的所有可能值； （）从上面 nn 个整点中任取 m 个不同的整点， 5 2 1 （ i）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1） ， （x1，y1） ， （x2，y2） ， （

38、x2，y2） ， 满足 y1y1，y2y2，y1y2； （ ii）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1） ， （x1，y1） ， （x2，y2） ， （x2，y2） ， 满足 x1+x1x2+x2，y1y2 【解答】解： （）当 n2 时，4 个整点分别为（1，1） ， （1，2） ， （2，1） ， （2，2） ， 所以 x1+x2的所有可能值为 2，3，4； （） （i）假设不存在互不相同的四个整点（x1，y1） ， （x1，y1） ， （x2，y2） ， （x2， y2） ，满足 y1y1，y2y2，y1y2； 即在直线 yi（1in，iN+）中至多有一条直线上取多余 1 个整点，其

39、余每条直线上 至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为 n1+n2n1， 而 2n1 5 2n1，与已知 m 5 2 1 矛盾， 故存在互不相同的四个整点（x1，y1） ， （x1，y1） ， （x2，y2） ， （x2，y2） ，满足 y1 y1，y2y2，y1y2； （ii）设直线 yi（1in，iN+）有 ai个选定的点， 若 ai2，设 yi 上的这 ai个选定的点的横坐标为 x1，x2，xn，且满足 x1x2 xn， 由 x1+x2x1+x3x2+x3x2+x4x3+x4;1+ ， 则 x1，x2，xn，中任意不同两项之和的不同的值恰有 2n3 个， 而 1 (2 3) =2m3n5n23n2n3，可知 存在互不相同的四个整点（x1，y1） ， （x1，y1） ， （x2，y2） ， （x2，y2） ，满足 x1+x1 x2+x2，y1y2