2019-2020学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷 一、填空题：一、填空题： 1 （5 分）已知集合1A ，2k ，2B ，4，且2AB ，则实数k的值为 2 （5 分）设 2 (1 3 ) iabi，则ab 3 （5 分）用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本在高一抽 40 人，高二抽 30 人，若高三有 400 人，则该校共有 人 4 （5 分）如图是一个算法流程图，如输入x的值为 1，则输出S的值为 5 （5 分）已知aR，则“0a ”是“( )2 (sin )f xx ax”为偶函数的

2、条件 6（5 分） 若一组样本数据 21， 19，x， 20， 18 的平均数为 20， 则该组样本数据的方差为 7 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点且以双曲线 2 2 1 3 y x 的右准线为准线的 抛物线方程是 8 （5 分）已知( , )|4x yxy ，0x ，0y ，( , )|2Ax yx，0y ，0xy， 若向区域上随机投掷一点P，则点P落在区域A的概率为 9（5 分） 等差数列 n a的公差不为零，11a ，2a是 1 a和 5 a的等比中项， 则 159 246 aaa aaa 10 （5 分）已知定义在(0,)上的函数( )f x的导函数为( )fx，且(

3、)( )0xfxf x，则 (1) (1) (3) 3 xf x f 的解集为 第 2 页（共 20 页） 11 （5 分）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，圆台的高为2 3cm，母线 与轴的夹角为30，则这个圆台的轴截面的面积等于 2 cm 12 （5 分）已知函数 13 ,1 ( )22 ,1 xx f x lnx x ，若存在实数m，()n mn满足( )( )f mf n，则 2nm的取值范围为 13 （5 分）在ABC中，若sincos2BB，则 sin2 tantan A BC 的最大值为 14 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆 22 :(1)1Cxy

4、上两点，且2AB ， 点P的坐标为(2,1)，则|2|PAPB的取值范围为 二、解答题：二、解答题： 15 （14 分）已知 2 ( )2 3sincos2cos1f xxxx （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）若(0,) 6 ， 3 ( ) 2 f x ，求sin2的值 16 （14 分）如图，ABC是以BC为底边的等腰三角形，DA，EB都垂直于平面ABC， 且线段DA长度大于线段EB的长度，M是BC的中点，N是ED的中点求证： （1）AM 平面EBC； （2）/ /MN平面DAC 17 （14 分）如图是一个半径为 1 千米的扇形景点的平面示意图， 2 3 AOB 原有观光

5、道路OC，且OCOB为便于游客观赏，景点 2 部门决定新建两条道路PQ，PA，其中P 在原道路OC（不含端点O，)C上，Q在景点边界OB上， 且OPOQ， 同时维修原道路OP 段因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米费用分别是2a万元，6a元，维修OP段的 每千米费用是a万元 第 3 页（共 20 页） （1）设APC，求所需总费用( )f，并给出的取值范围； （2）当P距离O处多远时，总费用最小 18 （16 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 右准线的方程为4x ， 1 F， 2 F分别为椭圆C的左、右焦点，A

6、，B分别为椭圆C的左右顶 点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过(T t，0)()ta作斜率为(0)k k 的直线l交椭圆C与M，N两点（点M在点N的 左侧） ，且 12 / /FMF N设直线AM，BN的斜率分别为 1 k， 2 k，求 12 k k的值 19 （16 分）已知函数( )(1)f xx lnx，( )(g xaxb a，)bR （1）若1a 时，直线( )yg x是曲线( )f x的一条切线，求b的值； （2）若 b e a ，且( )( )f xg x在xe，)上恒成立，求a的取值范围； （3）令( )( )( )xf xg x，且( )x在区间e， 2 e上有零点，求

7、2 4ab的最小值 20 （16 分）对于项数为(*,1)m mNm的有穷正整数数列 n a，记 1 k bmin a， 2 a， (1 k ak ，2，)m，即 k b为 1 a， 2 a， k a中的最小值，设由 1 b， 2 b， m b组成 数列 n b称为 n a的“新型数列” （1）若数列 n a为 2019，2020，2019，2018，2017，请写出 n a的“新型数列” n b的 第 4 页（共 20 页） 所有项； （2） 若数列 n a满足 10 1 ( ),6, 2 22,7, n n n a n n 且其对应的 “新型数列” n b的项数21m，30， 求 n b的

8、所有项的和； （3）若数列 n a的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的 n a及其对 应的“新型数列” n b 三、附加题三、附加题 21已知矩阵 21 01 M （1）求矩阵M的特征值及特征向量； （2） 2 1 ，求 3 M 22 在极坐标系中， 已知点M，N的极坐标分别为(2,) 2 ， 7 (2 2,) 4 ， 直线l的方程为 3 （1）求以线段MN为直径的圆C的极坐标方程； （2）求直线l被（1）中的圆C所截得的弦长 23甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束甲每场比赛获胜的 概率均为 2 3 设比赛局数为X （1）求3X 得概率； （2）求X的

9、分布列和数学期望 24已知数列 n a满足 * 1 1 2() n n anN a ，且 1 1 2 a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n a的前n项和为 n S，求证：当2n时， 211 4 5 nn SSn 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：一、填空题： 1 （5 分）已知集合1A ，2k ，2B ，4，且2AB ，则实数k的值为 4 【解答】解：2AB ， 2A ， 22k ，4k 故答案为：4 2 （5 分）设 2 (1 3 )

10、 iabi，则ab 2 【解答】解：由 2 (1 3 )1 6986iiiabi ， 得 8 6 a b ， 2ab 故答案为：2 3 （5 分）用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本在高一抽 40 人，高二抽 30 人，若高三有 400 人，则该校共有 1800 人 【解答】解：用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本， 在高一抽 40 人，高二抽 30 人，固在高三抽取90403020（人) 设全校共有x人，则 9020 400x ，求得1800x （人) 故答案为：1800 4 （5 分）如图是一个算法流程图，如输入x的值为 1，则输出S的值

11、为 35 第 6 页（共 20 页） 【解答】解：1x ，0S ，011S ； 3x ，1910S ； 5x ，102535S ，跳出循环， 故答案为 35 5 （5 分）已知aR，则“0a ”是“( )2 (sin )f xx ax”为偶函数的 充要 条件 【解答】解：由( )2 (sin )f xx ax为偶函数()( )0fxf x 2 (sin )2 (sin )0400x axx axaxa； 反之，由0a ，得( )2 sinf xxx，定义域为R，且()( )fxf x，函数为偶函数 “0a ”是“( )2 (sin )f xx ax”为偶函数的充要条件 故答案为：充要 6 （5

12、 分）若一组样本数据 21，19，x，20，18 的平均数为 20，则该组样本数据的方差为 2 【解答】解：数据 21，19，x，20，18 的平均数为 1 (21 192018)20 5 x， 解得22x ； 所以该组样本数据的方差为 222222 1 (2122)(1920)(2220)(2020)(1820) 2 5 s 故答案为：2 第 7 页（共 20 页） 7 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点且以双曲线 2 2 1 3 y x 的右准线为准线的 抛物线方程是 2 2yx 【解答】解：由双曲线 2 2 1 3 y x 的右准线为 1 2 x ， 设顶点在原点且以双曲线

13、2 2 1 3 y x 的右准线为准线的抛物线方程为 2 2(0)ypx p， 则 1 22 p ， 所以抛物线方程是 2 2yx 故答案为： 2 2yx 8 （5 分）已知( , )|4x yxy ，0x ，0y ，( , )|2Ax yx，0y ，0xy， 若向区域上随机投掷一点P，则点P落在区域A的概率为 1 4 【解答】解：如图所示，区域A为阴影部分，(2,2)D 向区域上随机投掷一点P，则点P落在区域A的概率 1 22 1 2 1 4 44 2 P 故答案为： 1 4 9 （5 分）等差数列 n a的公差不为零， 1 1a ， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项，则 159 246

14、 aaa aaa 9 7 【解答】解：等差数列 n a的公差d不为零， 1 1a ， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项， 可得 2 21 5 aaa，即 2 (1)14dd ， 解得2(0d 舍去） ， 第 8 页（共 20 页） 可得12(1)21 n ann ， 则 159 246 19179 37117 aaa aaa ， 故答案为： 9 7 10 （5 分）已知定义在(0,)上的函数( )f x的导函数为( )fx，且( )( )0xfxf x，则 (1) (1) (3) 3 xf x f 的解集为 |14xx 【解答】解：令( )( )g xxf x，则( )( )( )0g x

15、xfxf x， 所以( )g x在(0,)上单调递减， 则 (1) (1) (3) 3 xf x f 可化为(1) (1)3xf xf（3） ， 即(1)g xg（3） ， 所以，013x ， 解可得，14x， 故答案为 |14xx 11 （5 分）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，圆台的高为2 3cm，母线 与轴的夹角为30，则这个圆台的轴截面的面积等于 8 3 2 cm 【解答】解：设圆台的下底面半径为R，上底面半径为r； 由23 2Rr，得3Rr； 由圆台的高为2 3hcm，母线与轴的夹角为30，如图所示； 则tan30 Rr h ，即 23 32 3 r ， 解得1r

16、，所以33Rr； 所以圆台的轴截面的面积为 2 1 262 38 3 2 Scm 轴截面 故答案为：8 3 第 9 页（共 20 页） 12 （5 分）已知函数 13 ,1 ( )22 ,1 xx f x lnx x ，若存在实数m，()n mn满足( )( )f mf n，则 2nm的取值范围为 (5， 2 21e 【解答】解：由函数 13 ,1 ( )22 ,1 xx f x lnx x ，知( )f x在(，1和(1,)上单调递增， ( 3)0f，f（1）2，当( )2ln x 时， 2 xe， 在直角坐标系中画出( )f x图象，如下： 存在实数m，()n mn满足( )( )f mf

17、 n， 由图象，可知31m ， 2 1n e ， 由( )( )f mf n，得 13 22 mlnn， 23mlnn，2223nmnlnn， 令 2 ( )223(1)g xxlnxx e ，则 22 ( )0 x g x x ， ( )g x在(1， 2 e上单调递增，( )(5g x， 2 21e 2(5nm， 2 21e 故答案为：(5， 2 21e 第 10 页（共 20 页） 13 （5 分）在ABC中，若sincos2BB，则 sin2 tantan A BC 的最大值为 21 2 【解答】解：sincos2BB，即2sin()2 4 B ， sin()1 4 B ， (0, )

18、B，( 44 B ， 5 ) 4 ， 42 B ， 可得 4 B ， 3 4 CA ， 2 2 2 2 2tansin 1 sin2sin2tan111cos221 1cos sincoscossin2sin(2) 31tansin tantan122242 1tan()1()1 41tancos AA AAAA tan AA AAAAA AA BCtan A A AA ， 3 (0,) 4 A ，可得2( 44 A ， 5 ) 4 ，可得 2 sin(2)( 42 A ，1， sin221 sin(2)( 1 tantan242 A A BC ， 21 2 ， sin2 tantan A B

19、C 的最大值为 21 2 故答案为： 21 2 14 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆 22 :(1)1Cxy上两点，且2AB ， 点P的坐标为(2,1)，则|2|PAPB的取值范围为 52，52 【解答】 第 11 页（共 20 页） 解：设2PAPBPE，则有， 1 () 2 PAPBPE 所以A为BE的中点，2AEAB， 过O作OFAB，垂足为F， 因为2AB ，所以 2 2 AFBF， 2 22 1() 22 OF ， 23 2 2 22 EFAEAF， 2222 23 2 ()()5 22 OEOFEF， 所以点E的轨迹方程为： 22 (1)5xy， 所以2OP ， 所

20、以|2|PAPB的取值范围为： 52，52， 故答案为： 52，52 二、解答题：二、解答题： 15 （14 分）已知 2 ( )2 3sincos2cos1f xxxx （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）若(0,) 6 ， 3 ( ) 2 f x ，求sin2的值 【解答】解： （1） 2 ( )2 3sincos2cos13sin2cos22sin(2) 6 f xxxxxxx ， 令222 262 kxk 剟，求得 36 kx k 剟， 第 12 页（共 20 页） 可得函数( )f x的增区间为 3 k ， 6 k ，kZ， （2）若(0,) 6 ， 3 ( )2sin(

21、2) 62 f x ， 3 sin(2) 64 ， 2 7 cos(2)1sin (2) 664 ， 337 13 37 sin2sin(2)sin(2)coscos(2)sin 6666664 2428 16 （14 分）如图，ABC是以BC为底边的等腰三角形，DA，EB都垂直于平面ABC， 且线段DA长度大于线段EB的长度，M是BC的中点，N是ED的中点求证： （1）AM 平面EBC； （2）/ /MN平面DAC 【解答】证明： （1）ABC是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点， AMBC， EB 平面ABC，AM在平面ABC内， EBAM， 又BC、EB在平面EBC内，且BCEBB

22、， AM平面EBC； （2）取AB的中点H，连接MH、NH， 在ABC中，因为M、H分别为BC、BA的中点，所以/ /MHAC， 又MH不在平面ACD内，AC在平面ACD内， / /MH平面ACD； 又DA，EB都垂直于平面ABC，且线段DA长度大于线段EB的长度， / /DAEB，则四边形ABED为以BE、AD为底边的梯形， 又H，N分别为AB，ED的中点， / /NHAD， 第 13 页（共 20 页） 又NH不在平面ACD内，AD在平面ACD内， / /NH平面ACD； 又MHNHH，且都在平面MNH内， 平面/ /MNH平面DAC， 又MN在平面MNH内， / /MN平面DAC 17

23、（14 分）如图是一个半径为 1 千米的扇形景点的平面示意图， 2 3 AOB 原有观光 道路OC，且OCOB为便于游客观赏，景点 2 部门决定新建两条道路PQ，PA，其中P 在原道路OC（不含端点O，)C上，Q在景点边界OB上， 且OPOQ， 同时维修原道路OP 段因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米费用分别是2a万元，6a元，维修OP段的 每千米费用是a万元 （1）设APC，求所需总费用( )f，并给出的取值范围； （2）当P距离O处多远时，总费用最小 【解答】解： （1） 2 3 AOB ，OCOB， 6 AOC ， AOP中， sinsinsin APAOOP AOPAPOOAP ，

24、 sin1 sin2sin AOAOP AP APO ， 第 14 页（共 20 页） sin() sin3sincos 6 sinsin2sin AOOAP OP APO ， 3sincos3sincos6 ( )22 2sin2sin2sin a faa 3sincos63 32cos 33 2sin2sin22 aa aa sin ， 7 612 （2） 3 32cos ( )3 22 a fa sin ， 7 612 2 22 cos (2cos )12cos ( )33 22 sin faa sinsin ， 由( )0f，得 1 cos 2 ，又 7 612 ， 3 ， 当 63

25、时，( )0f，( )f在(,) 6 3 上单调递减， 当 7 312 时，( )0f，( )f在 7 (,) 3 12 上单调递增， 当 3 时，( )f取最小值，此时 3 3 OP 当P距离O处 3 3 千米时，总费用最小 18 （16 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 右准线的方程为4x ， 1 F， 2 F分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左右顶 点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过(T t，0)()ta作斜率为(0)k k 的直线l交椭圆C与M，N两点（点M在点N的 左侧） ，且 12

26、/ /FMF N设直线AM，BN的斜率分别为 1 k， 2 k，求 12 k k的值 【解答】解： （1）由题意知 1 2 c a ， 2 4 a c ， 222 bac，解得： 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy ； 第 15 页（共 20 页） （2）设( , )M x y，( ,)N x y， 因为过( , 0)T t，设直线l的方程为：()yk xt，联立直线l与椭圆的方程整理得： 2222 2 (34)84120kxk txk t， 2 2 8 34 k t xx k ， 2 2 2 412 34 k t xx k ， 因为 1( 1,0) F

27、， 2(1,0) F， 所以 1 (1, )FMxy， 2 (1,)F Nxy，且 12 / /FMF N， 所以(1)(1)xyxy，即(1)()(1)()k xxtk xxt， 整理得：()2t xxxxt， 所以 2 22 86 22 3434 xxk xx tkk ， 又 22 ()()4xxxxxx， 即 22 2 22 222 86412 ()()4 343434 k tk t kkk ，整理得： 22 4(4)9k t ， 因为直线AM，BN的斜率分别为 1 k， 2 k，且( 2,0)A ，(2,0)B， 所以 222 22 222222 22 12 2 22 2222 22

28、41289 3 ()()()(312)3(4)9 34344 412622(2)(2)2()4416124(4)129124 24 3434 k tk t ktt yyk xt k xtkxxt xxtktkt kk k k k txxxxxxxxk tkkt kk 所以 12 k k的值为 9 4 19 （16 分）已知函数( )(1)f xx lnx，( )(g xaxb a，)bR （1）若1a 时，直线( )yg x是曲线( )f x的一条切线，求b的值； （2）若 b e a ，且( )( )f xg x在xe，)上恒成立，求a的取值范围； （3）令( )( )( )xf xg x，

29、且( )x在区间e， 2 e上有零点，求 2 4ab的最小值 【解答】解： （1）当1a 时，( )g xxb，( )fxlnx，设切点 0 (x， 0 ()f x， 因为( )g xxb是( )yf x的一条切线， 所以 0 1lnx 即 0 xe， 所以f（e）0， 又切点( , )A e o在切线yxb上，所以be ， 第 16 页（共 20 页） （2）当 b e a 时，令( )( )( )(1)()h xf xg xx lnxa xe， 则( )h xlnxa， 若1a，则当x e时，( ) 0h x，( )h x单调递增，( )h xh（e）0，即( )( )f xg x符合题意

30、， 若1a ，则由( )0h x可得 a xee， 当 a exe时，( )0h x，( )h x单调递减，( )h xh（e）0，与已知( )h x在e，)上恒 大于等于 0 矛盾，舍去， 又0a ， 综上可得，a的取值范围(，0)(0，1， （3）( )(1)xx lnxaxb，设( )x在e， 2 e上的一个零点 0 x， 则 0000 ()(1)0xx lnxaxb可得 000 (1)bx lnxax， 所以， 2222 0000000 44(1)(2)4(1)4abax lnxaxaxx lnxx， 2 000 4(1)4x lnxx，当且仅当 0 2ax时等号成立， 令 2 ( )

31、4 (1)4t xx lnxx， 2 e x e剟，则( )48t xlnxx， 因为 2 e x e剟，则12lnx剟，480lnxx， 所以( )t x在e， 2 e上单调递减， 所以( )t x的最小值 224 ()44t eee， 故 2 4ab的最小值 24 44ee， 20 （16 分）对于项数为(*,1)m mNm的有穷正整数数列 n a，记 1 k bmin a， 2 a， (1 k ak ，2，)m，即 k b为 1 a， 2 a， k a中的最小值，设由 1 b， 2 b， m b组成 数列 n b称为 n a的“新型数列” （1）若数列 n a为 2019，2020，20

32、19，2018，2017，请写出 n a的“新型数列” n b的 所有项； （2） 若数列 n a满足 10 1 ( ),6, 2 22,7, n n n a n n 且其对应的 “新型数列” n b的项数21m，30， 第 17 页（共 20 页） 求 n b的所有项的和； （3）若数列 n a的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的 n a及其对 应的“新型数列” n b 【解答】解： （1）数列 n b为 2019，2019，2019，2018，2017； （2）由已知得：当6n时， n a关于n递减； 当6n时， n a关于n递减； 又 67 aa，所以 * nN时， n

33、 a关于n递减； 因为0 n a ，所以21m又21m，30，所以21m ， 所以 n b共 21 项且各项分别与 n a中各项相同， 其和为 26 21 111 1024( )1024( )1024( )15141 222 T 6 11 (1) 15(151) 22 10241128 1 2 1 2 （3）先不妨设数列 n a单调递增 当2m 时， 1 a， * 2 aN， 12122 2aaa aa， 所以 1 2a ， 1 1a ，此时无解，不满足题意， 当3m 时，由 123123 aaaa a a，得 1231233 3aaaa a aa， 所以 12 3a a ，又 12 aa，所

34、以 1 1a ， 2 2a ，代入原式得 3 3a ， 当4m时，由 123123mmm aaaaa a aama， 而 123 (1)! mmm a a aamama，矛盾! 所以不存在满足题意的数列 n a， 综上满足题意的数列:1 n a，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1 所以对应的“新型数列” n b分别为：1，1，1；1，1，1；2，1，1；2，2，1；3，1，1； 第 18 页（共 20 页） 3，2，1 三、附加题三、附加题 21已知矩阵 21 01 M （1）求矩阵M的特征值及特征向量； （2） 2 1 ，求 3 M 【解答】解：矩阵M的特征多

35、项式为 21 ( )(2)(1) 01 f ， 令( )0f，得矩阵M的特征值为 1 或 2 当1时由二元一次方程组 0 000 xy xy 得0xy， 令1x ，则1y ，特征值1对应的特征向量 1 1 1 ； 当2时由二元一次方程组 00 00 xy xy 得0y ，令1x ， 特征值2对应的特征向量 2 1 0 ； （2） 12 2 1 ， 333 12 MMM 333 12 119 122 101 22 在极坐标系中， 已知点M，N的极坐标分别为(2,) 2 ， 7 (2 2,) 4 ， 直线l的方程为 3 （1）求以线段MN为直径的圆C的极坐标方程； （2）求直线l被（1）中的圆C所

36、截得的弦长 【解答】 解：（1） 已知点M，N的极坐标分别为(2,) 2 ， 7 (2 2,) 4 ， 转换为直角坐标为(0,2)M， (2, 2)N 第 19 页（共 20 页） 所以：以MN为直径的圆心坐标为(1,0)半径为5 圆的方程为： 22 (1)5xy 转换为极坐标方程为： 2 2 cos40 （2）直线l的方程为 3 转换为直角坐标方程为：3yx 由（1）得：圆心(1,0)到直线30xy的距离 3 2 d ， 所截得的弦长为： 2 3 2 5()17 2 l 23甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束甲每场比赛获胜的 概率均为 2 3 设比赛局数为X （1）求

37、3X 得概率； （2）求X的分布列和数学期望 【解答】解： （1）3X 即甲连胜三局或乙连胜三局， 3X的概率 33 211 (3)( )( ) 333 P X （2）由题意得X的可能取值为 3，4，5， 33 211 (3)( )( ) 333 P X ， 1313 33 122 110 (4)( )( )( )( ) 333327 P XCC， 223223 44 12218 (5)( ) ( )( ) ( ) 333327 P XCC， X的分布列为： X 3 4 5 P 9 27 10 27 8 27 9108107 ()345 27272727 E X 24已知数列 n a满足 *

38、1 1 2() n n anN a ，且 1 1 2 a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n a的前n项和为 n S，求证：当2n时， 211 4 5 nn SSn 第 20 页（共 20 页） 【解答】证明： （1）数列 n a满足 * 1 1 2() n n anN a ， 所以 1 1 11 n n a a ， 整理得 1 1 1 1 n n n a a a ， 所以 1 1 1 11 n nn a aa ，转换为 1 11 1 11 nn aa （常数） ， 所以数列 1 1 n a 且是以 2 为首项 1 位公差的等差数列 所以 1 1 1 n n a ， 故 1 n

39、 n a n （2）由于 2111221 121 122 nnnnnn nnn SSaaaa nnn ， 所以 121111111 111() 122122122 nnn n nnnnnnnnn ， 要证 1214 1225 nnn n nnn ， 只需证明 1114 (2) 1225 n nnn 设 11111111111111111 1(1)12() 12221222342242 S nnnnnnnnnn ， 11111 1 234212nn ， 当2n 时， 114 345 S 恒成立 当3n时， 1111111111111474 1()()1 234567222122345605 S nnn ， 故：当2n时， 211 4 5 nn SSn