2019-2020学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2019-2020 学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）已知集合0A，1，2，0B ，1，3，若全集UAB，则()( U AB ) A2，3 B0，1 C0，1，2，3 D 2 （4 分）已知 2 2 log 48,2 3 b a ，则(ab ) A4 B5 C6 D7 3 （4 分）已知实数x，y满足 236 0 0 xy x y ，则zxy的最大值为( ) A4 B3 C14 5 D2 4 （4 分）二项式

2、 9 (12 ) x的展开式中 6 x的系数为( ) A 6 9 C B 6 9 C C 66 9 2C D 66 9 2C 5 （4 分）函数( )sin()f xxx的图象是( ) A B 第 2 页（共 22 页） C D 6 （4 分）已知点F为椭圆 22 :1 95 xy C的右焦点，点P为椭圆C与圆 22 (2)16xy一 个交点，则| (PF ) A2 B4 C6 D2 5 7 （4 分）已知a，bR， “| | | |1ab”是“ | 1 | 1 ab ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8（4 分） 如图， 三棱柱 111

3、 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形， 侧棱 1 AA 底面ABC， 且 1 2AA ，则异面直线 1 A B， 1 AC所成的角的大小为( ) 第 3 页（共 22 页） A 6 B 4 C 3 D 2 9 （4 分）已知双曲线C的离心率 2 3 3 e ，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂 足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则 | ( | MF NF ) A2 B 1 2 C 3 2 D 2 3 3 10 （4 分）已知数列 n a满足：0 n a ，且 22 11 2(*) nnn aaanN ，下列说法正确的是( ) A若 1 1 2 a ，则 1nn aa B若 1n

4、n aa ，则 1 1a C 153 2aaa D 211 2 | 2 nnnn aaaa 二、填空题二、填空题:单空题每题单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分. 11 （6 分）已知复数z满足(4)zi i，其中i为虚数单位，则z的实部为 ，| z 12（6 分） 已知定义在R上的奇函数( )f x， 当0x，)时满足： 2, 0,1 ( ) (1),(1,) xx f x f xx ， 则f（2） ；方程( )0 2 x f x 的解的个数为 13 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 14 （4 分）在我国东汉的数学专著九章算术中记载了计算两个正数的

5、最大公约数的一 种方法，叫做“更相减损法” ，它类似于古希腊数学家欧几里得提出的“辗转相除法” 比如 求 273， 1313 的最大公约数： 可先用 1313 除以 273， 余数为 221 （商4)： 再用 273 除以 221， 余数为 52；再用 221 除以 52，余数为 13；这时发现 13 已是 52 的约数，所以 273，1313 的 最大公约数就是 13运用这种方法，可求得 5665，2163 的最大公约数为 15 （6 分）如图，点 0 4 3 ( , ) 5 5 P为锐角的终边与单位圆的交点， 0 OP逆时针旋转 3 得 1 OP， 第 4 页（共 22 页） 1 OP逆时

6、针旋转 3 得 2 OP， 1n OP逆时针旋转 3 得 n OP，则cos2 ， 2020 P的横坐标 为 16 （6 分）有 2 名老师和 3 名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学 生人数，则1对应的排法有 种；( )E ； 17（4 分） 如图， 正方形ABCD的边长为 2，E，F分别为BC，CD的动点， 且| 2|BECF， 设( ,)ACxAEyAF x yR，则xy的最大值是 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 18 （14 分）如图，在四边形ABCD中，已知3AB ，5BC ，7CD ，120ABC， ACBACD （）求sin

7、的值； （）求AD的长度 19 （15 分）如图，七面体ABCDEF的底面是凸四边形ABCD，其中2ABAD， 120BAD，AC，BD垂直相交于点O，2OCOA， 棱AE，CF均垂直于底面ABCD （）求证：直线DE与平面BCF不平行； 第 5 页（共 22 页） （）若1CF ，求直线BC与平面BFD所成的角的正弦值 20 （15 分） 设数列 n a的前n项和为 n S， 2 n Sn， 递增的等比数列 n b满足： 1 1b ， 且 1 b， 2 b， 3 4b 成等差数列 （）求数列 n a， n b的通项公式； （）求证： 312 231 3 111 n n aaa bbb 21

8、（15 分）如图，过点 1 (0, ) 2 P作直线l交抛物线 2 :C yx于A，B两点（点A在P，B之 间） ，设点A，B的纵坐标分别为 1 y， 2 y，过点A作x轴的垂线交直线OB于点D （）求证： 12 11 2 yy ； （）求OAD的面积S的最大值 22 （15 分）已知函数( )(2) (1)f xxlnxax （）当0a 时，求( )f x在0x 处的切线方程； （）如果当0x 时，( )0f x 恒成立，求实数a的取值范围； 第 6 页（共 22 页） （）求证：当2a 时，函数( )f x恰有 3 个零点 第 7 页（共 22 页） 2019-2020 学年浙江省台州市高

9、三（上）期末数学试卷学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）已知集合0A，1，2，0B ，1，3，若全集UAB，则()( U AB ) A2，3 B0，1 C0，1，2，3 D 【解答】解：集合0A，1，2，0B ，1，3，全集UAB， 0U，1，2，3，0AB ，1， ()2 U AB，3 故选：A 2 （4 分）已知 2 2 log 48,2 3 b a ，则(ab ) A4 B5 C6 D7 【解答】解： 2 2 log 48,2 3 b

10、 a ， 2 2 3 blog 则 2 2 log (48)5 3 ab 故选：B 3 （4 分）已知实数x，y满足 236 0 0 xy x y ，则zxy的最大值为( ) A4 B3 C14 5 D2 【解答】解：作出不等式组 236 0 0 xy x y 对应的平面区域如图： 设zxy得yxz ， 平移直线yxz ，由图象可知当直线yxz 经过点(3,0)B时， 直线yxz 的截距最大，此时z最大， 此时3z ， 故选：B 第 8 页（共 22 页） 4 （4 分）二项式 9 (12 ) x的展开式中 6 x的系数为( ) A 6 9 C B 6 9 C C 66 9 2C D 66 9

11、 2C 【解答】解：二项式 9 ? 9 (12 )(12 ) (12 )(12 )xxxx，其展开式中 6 x的系数可从 9 个括 号中选 6 个，使这 6 个括号中都提供2x，剩下的三个括号均提供 1， 于是，二项式 9 (12 ) x的展开式中 6 x的系数为： 6666 99 ( 2)2CC 故选：C 5 （4 分）函数( )sin()f xxx的图象是( ) A B 第 9 页（共 22 页） C D 【解答】解：()sin()sin()( )fxxxxxf x ，故函数( )f x为奇函数，其图象 关于原点对称，故排除A，C； 又f（1）1sin1 ，故排除B 故选：D 6 （4 分

12、）已知点F为椭圆 22 :1 95 xy C的右焦点，点P为椭圆C与圆 22 (2)16xy一 个交点，则| (PF ) A2 B4 C6 D2 5 【解答】解：点F为椭圆 22 :1 95 xy C的右焦点，则(2,0)F，左焦点( 2,0)， 圆 22 (2)16xy的圆心( 2,0)，半径为 4，圆的圆心是椭圆的左焦点， 一点P为椭圆C与圆 22 (2)16xy一个交点， 则| 24642PFa 故选：A 7 （4 分）已知a，bR， “| | | |1ab”是“ | 1 | 1 ab ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 10 页

13、（共 22 页） 【解答】解：a，bR，由| 1ab，得| 1abab且| 1abab，即 | 1 | 1 ab ab ； 反之，由| 1ab且| 1ab，得 11 11 ab ab ，即| 1ab “| 1ab”是“ | 1 | 1 ab ab ”的充要条件 故选：C 8（4 分） 如图， 三棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 2 的正三角形， 侧棱 1 AA 底面ABC， 且 1 2AA ，则异面直线 1 A B， 1 AC所成的角的大小为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解： 11111 2,2AAABAC， 1111 90AABAAC ， 111 60B AC， 1

14、1111111 () ()AB ACABA AACA A 2 11111111111 AB ACAB AAAA ACAA 1 222 2 0， 11 ABAC， 异面直线 1 A B， 1 AC所成的角的大小为 2 故选：D 第 11 页（共 22 页） 9 （4 分）已知双曲线C的离心率 2 3 3 e ，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂 足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则 | ( | MF NF ) A2 B 1 2 C 3 2 D 2 3 3 【解答】解：由题意双曲线的离心率为： 2 3 3 e ， 可得 2 3 3 c a ，可得 22 2 4 3 ab a ，所以 3 3

15、 b a ，渐近线方程为： 3 3 yx ，如图： 30MOF，( ,0)F c则 22 3 3( 3) c MFb ，OMa， 所以3MNa， 所以， 3 |1 3 |233 3 3 a MFb NFab aa 故选：B 10 （4 分）已知数列 n a满足：0 n a ，且 22 11 2(*) nnn aaanN ，下列说法正确的是( ) A若 1 1 2 a ，则 1nn aa B若 1nn aa ，则 1 1a C 153 2aaa D 211 2 | 2 nnnn aaaa 【解答】解： 22 11 2 nnn aaa ， 第 12 页（共 22 页） 22 11 121 nnn

16、aaa ， 11 (1)(1)(1)(21) nnnn aaaa ， 又0 n a ， 1 (1)(1)0 nn aa ； 对于A，若 1 1 2 a ，则 1 1 10 2 a ，则10 n a ， 222 11111 (1)0 nnnnnn aaaaaa ，则 1nn aa ，故选项A错误； 对于B，若 1nn aa ，则 222 11111 (1)0 nnnnnn aaaaaa ，则1 n a ，故选项B错误； 对于C，考虑函数 2 2yxx，如图所示， 当 1 1a ， n a单调递减，且 1 nn aa 越来越小， 1335 aaaa，即 153 2aaa，故选项C错误； 对于D，设

17、 1n ax ，则 2 2 n axx， 2 2 11 8 4 n x a ， 第 13 页（共 22 页） 由上图可知， 211 2 | 2 nnnn aaaa ，即 2 2 11 82 |2| 42 x xxxx ， 等价于 22 18218(41)xxxxx，等价于 2 2 231xxx，等价于 2 21 0xx ， 而 2 21 0xx 显然成立，故选项D正确 故选：D 二、填空题二、填空题:单空题每题单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分. 11 （6 分） 已知复数z满足(4)zi i， 其中i为虚数单位， 则z的实部为 1 ，| z 【解答】解：(4)14zi i

18、i ， z的实部为 1； 22 |1417z 故答案为：1；17 12（6 分） 已知定义在R上的奇函数( )f x， 当0x，)时满足： 2, 0,1 ( ) (1),(1,) xx f x f xx ， 则f（2） 1 ；方程( )0 2 x f x 的解的个数为 【解答】解：易知f（2）(2 1)ff（1）1， 方程( )0 2 x f x 解得个数即函数( )yf x与函数 2 x y 图象的交点个数， 在同一坐标系中作出函数( )yf x与函数 2 x y 的图象如图所示， 由图象可知，函数( )yf x与函数 2 x y 的图象共有 5 个交点，即方程( )0 2 x f x 的解

19、的个 数为 5 故答案为：1，5 13 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 第 14 页（共 22 页） 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 下底面为直角梯形，高为 3 的四棱锥体， 如图所示： 所以： 11 (24)3 39 32 V ， 故答案为：9 14 （4 分）在我国东汉的数学专著九章算术中记载了计算两个正数的最大公约数的一 种方法，叫做“更相减损法” ，它类似于古希腊数学家欧几里得提出的“辗转相除法” 比如 求 273， 1313 的最大公约数： 可先用 1313 除以 273， 余数为 221 （商4)： 再用 273 除以 221， 余数为

20、 52；再用 221 除以 52，余数为 13；这时发现 13 已是 52 的约数，所以 273，1313 的 最大公约数就是 13运用这种方法，可求得 5665，2163 的最大公约数为 103 【解答】 解：56652163 21339，21631339824，1339824515，824515309， 515309206.309206103.2061032 5665，2163 的最大公约数为 103 故答案为：103 第 15 页（共 22 页） 15 （6 分）如图，点 0 4 3 ( , ) 5 5 P为锐角的终边与单位圆的交点， 0 OP逆时针旋转 3 得 1 OP， 1 OP逆时

21、针旋转 3 得 2 OP， 1n OP逆时针旋转 3 得 n OP，则cos2 7 25 ， 2020 P的横 坐标为 【解答】解：点 0 4 3 ( , ) 5 5 P为锐角的终边与单位圆的交点， 0 OP逆时针旋转 3 得 1 OP， 1 OP逆时针旋转 3 得 2 OP， 1n OP逆时针旋转 3 得 n OP， 4 cos 5 ， 3 sin 5 ，故 2 7 cos22cos1 25 2020 P的横坐标为 4 cos(2020)cos(673)cos() 333 4441333 34 coscossinsin()() 33525210 ， 故答案为： 7 25 ； 3 34 10

22、16 （6 分）有 2 名老师和 3 名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学 生人数，则1对应的排法有 36 种；( )E ； 【解答】解：有 2 名老师和 3 名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学 生人数， 则的可能取值为 0，1，2，3， 1对应的排法有： 123 323 36C A A 1对应的排法有 36 种； 24 24 5 5 48 (0) 120 A A P A ， 123 323 5 5 36 (1) 120 C A A P A ， 第 16 页（共 22 页） 222 322 5 5 24 (2) 120 A A A P A ， 32 32 5

23、5 12 (3) 120 A A P A ， 48362412 ( )01231 120120120120 E 故答案为：36，1 17（4 分） 如图， 正方形ABCD的边长为 2，E，F分别为BC，CD的动点， 且| 2|BECF， 设( ,)ACxAEyAF x yR，则xy的最大值是 21 2 【解答】 解： 建立如图所示的直角坐标系， 并设边长为 1，|CFa， 则( 0 , 0 )A，(1,1)C，(1,2 )Ea， (1,1)Fa， 故(1,1),(1,2 ),(1,1)ACAEa AFa， 又( ,)ACxAEyAF x yR， (1)1 21 xa y axy ，则 2 2

24、1 221 (0) 122 221 a x aa a a y aa 剟， 2 1 221 a xy aa ， 令 1 1 ,1 2 ta ， 则 2 1121 1 2212222 22 t xy tt t t ， 当 且 仅 当 “ 22 ,1 22 ta ”时取等号 故答案为： 21 2 第 17 页（共 22 页） 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 18 （14 分）如图，在四边形ABCD中，已知3AB ，5BC ，7CD ，120ABC， ACBACD （）求sin的值； （）求AD的长度 【解答】解：( ) I在ABC中， 222 352 3 5c

25、os12049AC ，解得7AC 由正弦定理可得： 37 sinsin120 ，解得 3 3 sin 14 ()II为锐角， 2 13 cos1 14 sin 在ACD中，由余弦定理可得： 222 13 72277 14 AD ， 解得7AD 19 （15 分）如图，七面体ABCDEF的底面是凸四边形ABCD，其中2ABAD， 120BAD，AC，BD垂直相交于点O，2OCOA， 棱AE，CF均垂直于底面ABCD （）求证：直线DE与平面BCF不平行； （）若1CF ，求直线BC与平面BFD所成的角的正弦值 第 18 页（共 22 页） 【解答】解： （）证明：以O为原点，OC为x轴，OD为y

26、轴， 过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设CFa，AEb，则(0D，3，0)，( 1E ，0，)b，(0B，3，0)，(2C，0，0)， (2F，0，)a， ( 1DE ，3，0)，(2BC ，3，0)，(2BF ，3，)a， 设平面BCF的法向量(nx，y，) z， 则 230 230 n BCxy n BFxyaz ，取3x ，得( 3n ，2，0)， 32 330DE n ， 直线DE与平面BCF不平行 （）解：1CF ，(2F，0，1)， (2BC ，3，0)，(2BF ，3，1)，(0BD ，2 3，0)， 设平面BFD的法向量(mx，y，) z， 则 23

27、0 2 30 m BFxyz m BDy ，取1x ，得(1m ，0，2)， 设直线BC与平面BFD所成的角为， 则直线BC与平面BFD所成的角的正弦值为： |22 35 sin 35| |75 BC m BCm 第 19 页（共 22 页） 20 （15 分） 设数列 n a的前n项和为 n S， 2 n Sn， 递增的等比数列 n b满足： 1 1b ， 且 1 b， 2 b， 3 4b 成等差数列 （）求数列 n a， n b的通项公式； （）求证： 312 231 3 111 n n aaa bbb 【解答】解： （）数列 n a的前n项和为 2* , n Sn nN，可得 11 1a

28、S， 2n时， 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ，对1n 也成立， 则21 n an，*nN； 递增的等比数列 n b的公比设为q，1q ，由 1 1b ，且 1 b， 2 b， 3 4b 成等差数列， 可得 213 24bbb，即 2 23qq， 解得3( 1q 舍去） ， 则 1 3n n b ，*nN； （）证法一： 1 1 21 131 n n n an b ， 当2n时， 12 31(1 2)11 1 2421 nn nn CCn ，由0ab，0m ，b bm aam ， 可得 212(1) (2) 313 nn nn n ， 312 23 231 323242(1) 1

29、112333 n n n aaan bbb ，设 23 23242(1) 333 n n n T ， 341 123242(1) 3333 n n n T ，相减可得 第 20 页（共 22 页） 2 34111 11 (1) 221112(1)22(1)712(1) 273 2()2 1 33333333933 1 3 n n nnnnn nnn T ， 可得 7 6 n T ， 所以 312 231 378 3 111263 n n aaa bbb 证法二、令 21 31 n n n c ，下一步运用分析法证明“ 1 1 2 n n c c ” ， 要证 1 (23)(31)1 (21)(

30、31)2 n n n n ，即证 1 (46)(31)(21)(31) nn nn ， 即证25(23)(31) n nn ，对*nN时，显然成立，则 1 1 2 n n c c ， 则 1 12 1 1 35213313131 2 ( )3(1)3 1 28312222222 1 2 n n n nn n ccc 21 （15 分）如图，过点 1 (0, ) 2 P作直线l交抛物线 2 :C yx于A，B两点（点A在P，B之 间） ，设点A，B的纵坐标分别为 1 y， 2 y，过点A作x轴的垂线交直线OB于点D （）求证： 12 11 2 yy ； （）求OAD的面积S的最大值 【解答】解：

31、 （）证明：可设直线l的方程为 1 2 ykx，联立抛物线 2 yx， 可得 2 1 0 2 kyy，则 12 1 yy k ， 12 1 2 y y k ， 即有 12 1212 11 2 yy yyy y ； 第 21 页（共 22 页） （）由120k ，即 1 2 k ，由 2 1 (A y， 1) y在P，B之间， 所以 1 1121 2112 k y kk ， 1 (0,1)y ，可设 2 1 (D y，) D y，D在直线 2 : x OB y y 上可 得 2 1 2 D y y y ， 所以OAD的面积为 2 21 11 2 1 () 2 y Syy y ，由 21 11 2

32、 yy ，可得 34 111 (01)Syyy， 2 11 (34 )Syy， 可得 1 3 0 4 y时，0S ，函数S递增； 1 3 1 4 y时，0S，函数S递减，可 得 1 3 4 y ，即 4 9 k 时，OAD的面积S的最大值为 27 256 22 （15 分）已知函数( )(2) (1)f xxlnxax （）当0a 时，求( )f x在0x 处的切线方程； （）如果当0x 时，( )0f x 恒成立，求实数a的取值范围； （）求证：当2a 时，函数( )f x恰有 3 个零点 【解答】解： （）当0a 时，( )(2) (1)f xxlnx，则 2 ( )(1) 1 x fxl

33、nx x ， 切线斜率(0)2kf， 又(0)0f， 所求切线方程为2yx； （）依题意，(1)0 2 ax lnx x 在(0,)上恒成立，设( )(1)(0) 2 ax h xlnxx x ， 则 2 22 12(42 )42 ( ) 1(2)(1)(2) axa xa h x xxxx ， 当2a时， 2 (42 )420xa xa，则( )0h x，( )h x在(0,)上单调递增，故 ( )(0)0h xh满足题意； 当2a 时，设 2 ( )(42 )42g xxa xa， 因为二次函数( )g x的开口向上，(0)420ga， 所以存在 0 (0,)x ，使得 0 ()0g x，

34、且当 0 (0,)xx时，( )0g x ，( )0h x，( )h x单调递 减， 第 22 页（共 22 页） 故此时( )(0)0h xh，不满足题意； 综上，实数a的取值范围为(，2； （）证明：函数的定义域为( 1,) ，当2a 时，函数( )f x的零点个数等价于 ( )(1) 2 ax h xlnx x 的零点个数， 由（）可知 2 22 12(42 )42 ( ) 1(2)(1)(2) axa xa h x xxxx ， 设 2 ( )(42 )42g xxa xa，由二次函数在xR时，( 1)10g ，(0)420ga， 可知存在 1 ( 1,0)x ， 2 (0,)x ，使得 12 ()()0g xg x， ( )(1) 2 ax h xlnx x 在 1 ( 1,)x， 2 (x，)单调递增，在 1 (x，0)， 2 (0,)x单调递减， 又(0)0h，故 1 ()0h x， 2 ()0h x， 又当1 a xe时， (1) (1)0 1 a a a a e h ea e ，故( )h x在(1 a e， 1) x存在一个零点； 当1 a xe时， (1) (1)0 1 a a a a e h ea e ， 故( )h x在 2 (,1) a x e 存在一个零点； 又(0)0h，故当2a 时，函数( )f x恰有 3 个零点