2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的. 1 （5 分）设复数z满足 2 (1)4zii，则复数z的共轭复数(z ) A2 B2 C2i D2i 2 （5 分）已知命题:pxR ， 2 23 0xx ；命题q：若 22 ab，则ab，下列命题为 假命题的是( ) Apq B(

2、)pq Cpq D()pq 3 （5 分）已知 3 ()n a x x 的展开式中各项的二项式系数之和为 32，且各项系数和为 243，则 展开式中 7 x的系数为( ) A20 B30 C40 D50 4 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其 意思是“有一个人走 378 里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天 的一半，走了 6 天后到达目的地 ”请问第三天走了( ) A60 里 B48 里 C36 里 D24 里 5 （5 分）ABC的内角A、B、C的对边

3、分别为a、b、c，若sin A，sinB，sinC成等 比数列，且2ca，则sinB的值为( ) A 3 4 B 7 4 C1 D 3 3 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的6n ，则输入的整数p的最大值为( ) 第 2 页（共 20 页） A7 B15 C31 D63 7 （5 分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x 的线性回归方程为1.31yx，则m的值为( ) x 1 2 3 4 y 0.1 1.8 m 4 A2.9 B3.1 C3.5 D3.8 8 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F，直线3yx

4、与C相交于A，B 两点，且AFBF，则C的离心率为( ) A 21 2 B21 C 31 2 D31 9 （5 分）如图，在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD，则AC AD的值为( ) A3 B8 C12 D16 10（5 分） 通过大数据分析， 每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X， 且 ( 3 0 0 0XN， 2 50 )则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过 3100 的概率为( ) 第 3 页（共 20 页） （参考数据：若 2 ( ,)XN ，有()0.6826PX， (22 )0.9544PX，(33 )0.9974)PX A0.0456 B0.6826 C0.998

5、7 D0.9772 11 （5 分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面， 则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是( ) 直线圆椭圆抛物线 A B C D 12（5 分） 已知 |( )0Pf，| ( )0Qg， 若存在P，Q， 使得| n， 则称函数( )f x与( )g x互为“n距零点函数”若 2020 ( )log(1)f xx与 2 ( )( x g xxae e为自然 对数的底数）互为“1 距零点函数” ，则实数a的取值范围为( ) A 2 14 (, ee B 2 14 ( , e e C 2 42 , ) ee D 32 42 ,) e

6、e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 3 0 |1|xdx 14 （5 分） 已知函数cosyx与sin(2)(0) 2 yx ， 它们的图象有一个横坐标为 6 的 交点，则的值是 15 （5 分）一个圆上有 8 个点，每两点连一条线段若其中任意三条线段在圆内不共点， 则所有线段在圆内的交点个数为 （用数字回答） 16 （5 分）已知,(0,) 2 ，且 222 coscoscos2，则 coscoscos sinsinsin 的最 小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分分.解答应写出文

7、字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）已知圆柱 1 OO底面半径为 1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面动点M从 点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示将轴 截面ABCD绕着轴 1 OO逆时针旋转(0)后，边 11 BC与曲线相交于点P （1）求曲线长度； （2）当 2 时，求点 1 C到平面APB的距离； （3）是否存在，使得二面角DABP的大小为 4 ？若存在，求出线段BP的长度；若 第 4 页（共 20 页） 不存在，请说明理由 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，0 n a

8、， 22 11nnn SaS ，其中为常 数 （1）证明： 1 2 nn SS ； （2）是否存在实数，使得数列 n a为等比数列，若存在，求出；若不存在，说明理由 19（12 分） 如图， 过抛物线 2 2(0)ypx p上一点(1,2)P， 作两条直线分别交抛物线于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时： （1）求 12 yy的值； （2）若直线AB在y轴上的截距( 1b ，3时，求ABP面积 ABP S的最大值 20 （12 分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工 程为了解市民阅读需求，随机抽取市民

9、200 人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典 文学的有 64 人，不喜欢的有 56 人；女士喜欢阅读古典文学的有 36 人，不喜欢的有 44 人 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.25 的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这 200 人中筛选出 5 第 5 页（共 20 页） 名男代表和 4 名代表，其中有 3 名男代表和 2 名女代表喜欢古典文学现从这 9 名代表 中任选 3 名男代表和 2 名女代表参加交流会，记为参加交流会的 5 人中喜欢古典文学 的人数，求的分布列及数学期望E 附： 2 2 () ()()()()

10、n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P Kk 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 21 （12 分）已知函数( )1f xxlnxax，aR （1）当时0x ，若关于x的不等式( ) 0f x 恒成立，求a的取值范围； （2）当 * nN时，证明： 222 31 2 2421 nnn lnlnln nnn 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做

11、如果多做，则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分.（本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标：坐标系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）已知直线l的参数方程为 1 3 xt yt 曲线C的参数方程为 1 cos 2tan x y （1）求曲线C的右顶点到直线l的距离； （2）若点P的坐标为(1,1)，设直线l与曲线C交于A，B两点，求| |PAPB的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （1）已知a，b，c都是正实数，证明：2 bac abcb ； （2） 已知a，b，c，x，y，z都是正实数， 且满足不等式组： 222 222 4 9 6 abc

12、xyz axbycz ， 求 abc xyz 的值 第 6 页（共 20 页） 2019-2020 学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的. 1 （5 分）设复数z满足 2 (1)4zii，则复数z的共轭复数(z ) A2 B2 C2i D2i 【解答】解：由 2 (1)4zii，得 2

13、 44 2 (1)2 ii z ii ， 2z 故选：A 2 （5 分）已知命题:pxR ， 2 23 0xx ；命题q：若 22 ab，则ab，下列命题为 假命题的是( ) Apq B()pq Cpq D()pq 【解答】解： 22 23(1)20xxx， 命题:pxR ， 2 23 0xx 为真命题； 由 22 ab，不一定有ab，如1a ，2b ，则命题q：若 22 ab，则ab为假命题 pq为真命题；()pq 为真命题；pq 为假命题；()pq 为真命题 故选：C 3 （5 分）已知 3 ()n a x x 的展开式中各项的二项式系数之和为 32，且各项系数和为 243，则 展开式中

14、7 x的系数为( ) A20 B30 C40 D50 【解答】解：由题意可得：232 n ，(1)243 n a， 解得5n ，2a 展开式中通项公式 3 515 4 155 2 ()( )2 kkkkkk k Txx x 痧， 令1547k，解得2k 7 x的系数 22 5 240 故选：C 第 7 页（共 20 页） 4 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其 意思是“有一个人走 378 里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天 的一半，走了 6 天后到达目

15、的地 ”请问第三天走了( ) A60 里 B48 里 C36 里 D24 里 【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列 n a，且公比为 1 2 ， 6天后共走了 378 里， 1 6 6 1 (1) 2 378 1 1 2 a S ， 解得 1 192a ， 第三天走了 2 31 11 ( )19248 24 aa， 故选：B 5 （5 分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sinB，sinC成等 比数列，且2ca，则sinB的值为( ) A 3 4 B 7 4 C1 D 3 3 【解答】解：由题意可得， 2 sinsinsinBAC， 由正弦定理可得， 2

16、bac， 又2ca，则可得2ba， 由余弦定理可得 222222 2 423 cos 244 acbaaa B aca ， 所以 97 sin1 164 B 故选：B 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的6n ，则输入的整数p的最大值为( ) 第 8 页（共 20 页） A7 B15 C31 D63 【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环Sn 循环前/0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否 故15S 时，满足条件Sp 31S 时，不满足条件Sp 故S的最小值 31 故选：C 7

17、 （5 分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x 的线性回归方程为1.31yx，则m的值为( ) x 1 2 3 4 y 0.1 1.8 m 4 A2.9 B3.1 C3.5 D3.8 第 9 页（共 20 页） 【解答】解：由题意，2.5x ，代入线性回归方程为1.31yx，可得2.25y ， 0.1 1.8442.25m， 3.1m 故选：B 8 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F，直线3yx与C相交于A，B 两点，且AFBF，则C的离心率为( ) A 21 2 B21 C 31 2 D31 【解答】解：由 22

18、 22 1 3 xy ab yx ，消y可得得 22222 (3)ab xa b，解得 22 3 ab x ab ，分别 代入 22 3 3 ab y ab ， 22 ( 3 ab A ab ， 22 3 ) 3 ab ab ， 22 ( 3 ab B ab ， 22 3 ) 3 ab ab ， 22 ( 3 ab AFc ab ， 22 3 ) 3 ab ab ， 22 ( 3 ab BFc ab ， 22 3 ) 3 ab ab ， 2222 2 2222 3 0 33 a ba b AF BFc abab ， 22 2 22 4 3 a b c ab ，(*) 把 222 bac代入(*

19、)式并整理得 224222 44()a cca ac， 两边同除以 4 a并整理得 42 840ee，解得 2 42 3e 31e ， 故选：D 9 （5 分）如图，在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD，则AC AD的值为( ) 第 10 页（共 20 页） A3 B8 C12 D16 【解答】解：在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD， ()AC ADABBC AD (4)ABBD AD 4()ABADABAD ( 34)ABAD AD 2 34AB ADAD 2 04216； 故选：D 10（5 分） 通过大数据分析， 每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X， 且 (

20、 3 0 0 0XN， 2 50 )则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过 3100 的概率为( ) （参考数据：若 2 ( ,)XN ，有()0.6826PX， (22 )0.9544PX，(33 )0.9974)PX A0.0456 B0.6826 C0.9987 D0.9772 【解答】解： 1 (3100)(30002 50)11(22 )0.9772 2 P XP XPX 剟?， 故选：D 11 （5 分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面， 则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是( ) 直线圆椭圆抛物线 A B C D 【解答】解：设电线杆

21、的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线 为y轴建系， 由仰角的正切相等知|a PDb PB， 设(0D，) (t P x， 2222 )() )ya xytb xy 则当ab时，点P的轨迹为BD的垂直平分线， 当ab时，点P的轨迹为圆， 第 11 页（共 20 页） 故选：A 12（5 分） 已知 |( )0Pf，| ( )0Qg， 若存在P，Q， 使得| n， 则称函数( )f x与( )g x互为“n距零点函数”若 2020 ( )log(1)f xx与 2 ( )( x g xxae e为自然 对数的底数）互为“1 距零点函数” ，则实数a的取值范围为( ) A 2

22、 14 (, ee B 2 14 ( , e e C 2 42 , ) ee D 32 42 ,) ee 【解答】解：易知函数( )f x只有一个零点 2，故2P ， 由题意知|2| 1，即13由题意知，函数( )g x在(1,3)内存在零点， 由 2 ( )0 x g xxae，得 2x xae，所以 2 x x a e 记 2 ( )(1,3) x x h xx e ， 则 2 2 2(2) ( ),(1,3) () xx xx xee xxx h xx ee 所以当(1,2)x时，( )0h x，函数( )h x单调递增；当(2,3)x时，( )0h x，函数( )h x单 调递减； 所

23、以 2 4 ( )(2)h xh e ，而 32 191 14 (1), (3),( )(2)hhh xh eee ee ， 所以实数a的值范围为 2 14 ( , e e 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 3 0 |1|xdx 5 2 【解答】解： 313 21 0 001 1 |1|(1)(1)()|( 2 xdxx dxxdxxx 23 1 15 )| 22 xx 故答案为： 5 2 14 （5 分） 已知函数cosyx与sin(2)(0) 2 yx ， 它们的图象有一个横坐标为 6 的 交

24、点，则的值是 3 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：函数cosyx与sin(2)(0) 2 yx ，它们的图象有一个横坐标为 6 的交 点， 所以 3 cossin(2) 626 ， 所以：(0) 32 故答案为： 3 15 （5 分）一个圆上有 8 个点，每两点连一条线段若其中任意三条线段在圆内不共点， 则所有线段在圆内的交点个数为 70 （用数字回答） 【解答】解：在圆上任取 4 个点，组成一个凸四边形， 该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点， 故交点个数为 4 8 70C 故答案为：70 16 （5 分）已知,(0,) 2 ，且 222 coscoscos2，则 coscosc

25、os sinsinsin 的最 小值为 2 【解答】解：由题意，知 222 sinsinsin1， 由基本不等式可知 22 sinsin2(sinsin)2cos， 同理 22 sinsin2(sinsin)2cos， 22 sinsin2(sinsin)2cos， 上述式子相加可得 coscoscos 2 sinsinsin 所以 coscoscos sinsinsin 的最小值为2 故答案为：2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）已知圆柱 1 OO底面半径为 1，高为，AB

26、CD是圆柱的一个轴截面动点M从 点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示将轴 截面ABCD绕着轴 1 OO逆时针旋转(0)后，边 11 BC与曲线相交于点P 第 13 页（共 20 页） （1）求曲线长度； （2）当 2 时，求点 1 C到平面APB的距离； （3）是否存在，使得二面角DABP的大小为 4 ？若存在，求出线段BP的长度；若 不存在，请说明理由 【解答】解： （1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线就是对角 线BD 由于ABr，AD，所以这实际上是一个正方形 所以曲线的长度为2BD （2）当 2 时，点 1 B恰好为AB的中点，所以

27、P为 11 BC中点， 故点 1 C到平面APB的距离与点 1 B到平面APB的距离相等 连接AP、BP，OP 由 1 ABB P且 11 ABA B知：AB 平面APB，从而平面 11 A B P 平面APB 作 1 B HOP于H，则 1 B H 平面APB，所以 1 B H即为点 1 B到平面APB的距离 在Rt 1 OB P中， 111 1, 2 OBB PBB ， 所以 2 22 4 1() 22 OP 于是： 11 1 22 1 2 44 2 OBB P B H OP 所以，点 1 C到平面APB的距离为 2 4 第 14 页（共 20 页） （3）由于二面角 1 DABB为直二面

28、角，故只要考查二面角 1 PABB是否为 4 即可 过 1 B作 1 BQAB于Q，连接PQ 由于 1 BQAB， 1 B PAB，所以AB 平面 1 B PQ，所以ABPQ 于是 1 PQB即为二面角 1 PABB的平面角 在Rt 1 PBQ中， 111 sin ,BQB PBB 若 1 4 PQB ，则需 11 B PBQ，即sin 令( )sin(0)f xxxx，则( )cos10fxx ， 故( )f x在(0, )单调递减 所以( )(0)0f xf，即sin xx在(0, )上恒成立 故不存在(0, )，使sin 也就是说，不存在(0, )，使二面角 1 DABB为 4 18 （

29、12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，0 n a ， 22 11nnn SaS ，其中为常 数 第 15 页（共 20 页） （1）证明： 1 2 nn SS ； （2）是否存在实数，使得数列 n a为等比数列，若存在，求出；若不存在，说明理由 【解答】 （1）证明： 11nnn aSS ， 22 11nnn SaS ， 22 11 () nnnn SSSS ， 11 (2)0 nnn SSS ， 0 n a， 1 0 n S ， 1 20 nn SS ； 1 2 nn SS （2）解： 1 2 nn SS ， 1 2(2) nn SSn ， 相减得： 1 2(2) n

30、n aa n ， n a从第二项起成等比数列， 21 2SS即 211 2aaa， 2 10a 得1 ， 2 1,1 (1)2,2 nn n a n ， 若使 n a是等比数列 则 2 1 32 aaa， 2 2(1)(1)， 1经检验得符合题意 19（12 分） 如图， 过抛物线 2 2(0)ypx p上一点(1,2)P， 作两条直线分别交抛物线于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时： （1）求 12 yy的值； （2）若直线AB在y轴上的截距( 1b ，3时，求ABP面积 ABP S的最大值 第 16 页（共 20 页） 【解答】解：

31、 （1）点(1,2)P在抛物线上， 2 22p，解得2p 设直线PA的斜率为 PA k，直线PB的斜率为 PB k 则 1 1 1 2 (1) 1 PA y kx x ， 2 2 2 2 (1) 1 PB y kx x ， PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， PAPB kk 由 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y均在抛物线上，得 2 11 4yx， 2 22 4yx 12 2(2)yy ， 12 4yy （2）由得直线AB的斜率为1 AB k 因 此 设 直 线AB的 方 程 为yxb ， 由 直 线 与 抛 物 线 方 程 联 立 ， 消 去y得 22 (24)0xbxb，

32、 由0，得1b ，这时 12 24xxb， 2 1 2 x xb， | 4 21ABb，又点P到直线AB的距离为 |3| 2 b d ， 所以 2 2 (1)(3) ABP Sbb ， 令 2 ( )(1)(3) ( 1,3)f xxxx ， 则由( )(31)(3)0fxxx，得 1 3 x 或3x ， 当 1 ( 1, ) 3 x 时，( )0fx，所以( )f x单调递增， 当 1 (3x，3)时，( )0fx，所以( )f x单调递减， 故( )f x的最大值为 256 27 ，故ABP面积 ABP S的最大值为 32 3 9 第 17 页（共 20 页） 20 （12 分）响应“文化

33、强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工 程为了解市民阅读需求，随机抽取市民 200 人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典 文学的有 64 人，不喜欢的有 56 人；女士喜欢阅读古典文学的有 36 人，不喜欢的有 44 人 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.25 的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这 200 人中筛选出 5 名男代表和 4 名代表，其中有 3 名男代表和 2 名女代表喜欢古典文学现从这 9 名代表 中任选 3 名男代表和 2 名女代表参加交流会，记为参加交流会的 5 人中喜欢古典文学 的

34、人数，求的分布列及数学期望E 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P Kk 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 【解答】解： （1）根据所给条件，制作列联表如下： 男 女 总计 喜欢阅读古典文学 64 36 100 不喜欢阅读古典文学 56 44 100 总计 120 80 200 所以 2 K的观测值 22 ()200(64445636)4 ()()()()120 80 100 1003 n adbc k

35、 ab cd ac bd ， 因为 2 K的观测值 4 1.323 3 k ， 由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过 0.25 的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别 有关； （2）设参加的交流会的 5 人中喜欢古典文学的男代表m人，女代表n人，则mn， 根据已知条件可得1，2，3，4，5， 122 322 32 54 1 (1)(1,0) 20 C CC PP mn CC ， 第 18 页（共 20 页） 1212112 3223222 3232 5454 3 (2)(1,1)(2,0) 10 C CC CC CC PP mnP mn CCCC ， (3)(1PP m，1)(2nP m，1)

36、(3nP m，0)n 1221022 3232232 3332 5554 7 15 C CC CC CC CCCC ， 2103211 3223222 3232 5454 1 (4)(2,2)(3,1) 6 C CC CCC C PP mnP mn CCCC ； 032 232 32 54 1 (5)(3,2) 60 C CC PP mn CC ， 所以的分布列是： 1 2 3 4 5 p 1 20 3 10 7 15 1 6 1 60 所以 1371114 12345 2010156605 E 21 （12 分）已知函数( )1f xxlnxax，aR （1）当时0x ，若关于x的不等式(

37、) 0f x 恒成立，求a的取值范围； （2）当 * nN时，证明： 222 31 2 2421 nnn lnlnln nnn 【解答】解： （1）由( ) 0f x ，得1 0(0)xlnxaxx 整理，得 1 a lnx x 恒成立，即 1 ()minalnx x 令 1 ( )F xlnx x 则 22 111 ( ) x F x xxx 函数( )F x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 函数 1 ( )F xlnx x 的最小值为F（1）1 1a ，即1a a的取值范围是 1，) （2） 24 n n 为数列 1 (1)(2)nn 的前n项和， 1 n n 为数列 1 (1

38、)n n 的前n项和 只需证明 2 111 (1)(2)(1) n ln nnnn n 即可 第 19 页（共 20 页） 由（1） ，当1a 时，有1 0xlnxx ，即 1 lnx x x 令 1 1 n x n ，即得 11 1 11 nn ln nnn 22 11111 () 1(1)(2)12 n ln nnnnnn 现证明 2 11 (1) n ln nn n ， 即 1111 2 111 nnnnn ln nnnn nn n (*) 现证明 1 2(1)lnxxx x 构造函数 1 ( )2(1)G xxlnx x x ， 则 2 22 1221 ( )10 xx G x xxx

39、 函数( )G x在 1，)上是增函数，即( )G xG（1）0 当1x 时，有( )0G x ，即 1 2lnxx x 成立 令 1n x n ，则(*)式成立 综上，得 2 111 (1)(2)(1) n ln nnnn n 对数列 1 (1)(2)nn ， 2 1n ln n ， 1 (1)n n 分别求前n项和， 得 222 31 2 2421 nnn lnlnln nnn 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做如果多做，则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分.（本小题满分（本小题

40、满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知直线l的参数方程为 1 3 xt yt 曲线C的参数方程为 1 cos 2tan x y （1）求曲线C的右顶点到直线l的距离； （2）若点P的坐标为(1,1)，设直线l与曲线C交于A，B两点，求| |PAPB的值 【解答】解： （1）直线l的普通方程为20xy， 曲线C的普通方程为 2 2 1 4 y x ， 第 20 页（共 20 页） 故曲线C的右顶点(0,1)到直线l的距离 2 2 d （2）将直线l的参数方程改为 2 1 2 2 1 2 t x t y ， 并代入 2 2 1 4 y x

41、，得 2 310 220tt， 设其两根为 1 t， 2 t，则 12 10 2 3 tt， 1 2 2 3 t t ， 1 2 2 | | | 3 PAPBt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （1）已知a，b，c都是正实数，证明：2 bac abcb ； （2） 已知a，b，c，x，y，z都是正实数， 且满足不等式组： 222 222 4 9 6 abc xyz axbycz ， 求 abc xyz 的值 【解答】解： （1）由三元基本不等式知，1 bacbabc abcbabcb 312 babc a bcb ，当且仅当 babc abcb 时取等号， 2 bac abcb （2）由柯西不等式可得 2222222 ()() ()abcxyzaxbycz， 222 222 4 9 6 abc xyz axbycz ，结合上述不等式取等号， 可设(0) abc k k xyz ，即akx，bky，ckz， 2222222 ()abckxyz， 2 49k ， 2 3 k ， 2 3 abc k xyz