2019-2020学年湖南省高三（上）期末数学试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年湖南省高三（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 |3Ax yx， |19Bxx ，则()( RA B ) A(1,3) B(3,9) C3，9 D 2 （5 分）已知复数 5 5 2 i zi i ，则| | (z ) A5 B5 2 C3 2 D2 5 3 （5 分）设 1 3 3

2、a ， 1 3 log 2b ， 1 2 1 ( ) 3 c ，则( ) Abac Bcba Cbca Dcab 4 （5 分）函数 2 ( )cos () 3 f xx 的最小正周期为( ) A 2 B2 C D 4 5 （5 分）某公司的老年、中年、青年员工分别有 200 人，300 人，500 人，现用分层抽样 的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年员工人数为 90，则(n ) A800 B400 C600 D300 6 （5 分）在四面体ABCD中，ABBD，ACCD，ADa，则四面体ABCD的外接球 的表面积为( ) A 2 a B 2 1 8 a C 2 3 3 a D

3、2 2 a 7 （5 分）已知 2 ( )1f xx lnx，则曲线( )yf x在1x 处的切线方程为( ) Ayx Byx C2yx D2yx 8 （5 分）设m，n，l为三条不同的直线，a，为两个不同的平面，则下面结论正确的 是( ) A若m，n，/ /，则/ /mn B若/ /m，/ /n，mn，则 C若m，n，则mn D/ /m，/ /n，lm，ln， 则l 9 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出的(S ) 第 2 页（共 17 页） A10ln B2 3ln C7ln D3 2ln 10 （5 分）已知函数 | ( )32 x a f x ，且满足(5)(3)fxfx，则f

4、（6）( ) A29 B11 C3 D5 11 （5 分） 已知抛物线 2 :12C yx的焦点为F，A为C上一点且在第一象限， 以F为圆心， FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则| (AF ) A16 B10 C12 D8 12 （5 分）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的 垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项 差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积 术” 现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第 19 项 为(

5、 )（注 2222 (1)(21) :123) 6 n nn n A1624 B1198 C1024 D1560 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知数列 n a是等比数列， 1 1a ， 3 36a ，则 2 a 14 （5 分）已知向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b的夹角为，则sin 15（5 分） 一组数据 1 21x ， 2 21x ， 3 21x ，21 n x 的平均值为 7， 则 1 32x ， 2 32x ， 第 3 页（共

6、 17 页） 3 32x ，32 n x 的平均值是 16 （5 分）双曲线 22 22 22 22 1(0,0) xy ab ab 与椭圆 22 11 22 11 1(0) xy ab ab 有相同的焦点，且 左、右焦点分别为 1 F， 2 F，它们在第一象限的交点为P，若 1212 sin2sinFPFPFF，且 椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22、23 题

7、为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17（12 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且(3)coscos0acBbC （1）求sin B； （2）若1,2 2ab，求ABC的面积 18 （12 分） 如图，ABCD是正方形， 点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合） ， E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD 平面BCP （1）证明：BP 平面DCP （2）若2BC ，当三棱锥DBPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离 19 （12 分）生男生女都一样，女儿也是传后人由

8、于某些地区仍然存在封建传统思想，头 胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地 200 户家庭进行调查统计这 200 户家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生二孩的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家 庭数为 60 （1） 完成下列22列联表， 并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有 关； 生二孩 不生二孩 合计 第 4 页（共 17 页） 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计 200 （2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 5 户， 进一步了解情况，在抽取的 5 户中再随机抽取 3 户，求这 3 户中恰好有 2 户生

9、二孩的概率 附： 2 ()P Kk 0.15 0.05 0.01 0.001 k 2.072 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中)nabcd 20 （12 分）已知函数( )12 a f xlnxax x 有两个不同的极值点 1 x， 2 x （1）求a的取值范围； （2）求( )f x的极大值与极小值之和的取值范围 21 （12 分）已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 :1 43 xy C的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂 直于x轴的动弦，直线:4m x 与x轴交于点A，直线 2 MF与直线AN的交点为B

10、 （1）证明：点B恒在椭圆C上 （2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存 在定点T，使得 2 PTQ 恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 11 cos , 42 ( 31 sin 42 x y 是参数） ，以原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系

11、（1）求曲线C的极坐标方程； （2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转 3 ，交曲线C于点N，求 | |OMON的最大值 第 5 页（共 17 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |2|3|f xxx （1）解不等式( ) 32f xx； （2）若函数( )f x最小值为M，且23(0,0)abM ab，求 13 211ab 的最小值 第 6 页（共 17 页） 2019-2020 学年湖南省高三（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本

12、大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 |3Ax yx， |19Bxx ，则()( RA B ) A(1,3) B(3,9) C3，9 D 【解答】解： |3Ax x， |3 RA x x， |19Bxx ， () |13 RA Bxx， 故选：A 2 （5 分）已知复数 5 5 2 i zi i ，则| | (z ) A5 B5 2 C3 2 D2 5 【解答】解： 55 (2) 5517 25 iii ziii i ， 22 | |(

13、 1)75 2z 故选：B 3 （5 分）设 1 3 3a ， 1 3 log 2b ， 1 2 1 ( ) 3 c ，则( ) Abac Bcba Cbca Dcab 【解答】解：因为 1 3 31a ， 1 3 log 20b ， 1 2 1 0( )1 3 c， 所以bca， 故选：C 4 （5 分）函数 2 ( )cos () 3 f xx 的最小正周期为( ) A 2 B2 C D 4 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：因为 2 2 cos(2)1 121 3 ( )cos ()cos(2) 32232 x f xxx ， 所以它的最小正周期为 2 2 ， 故选：C 5 （5

14、分）某公司的老年、中年、青年员工分别有 200 人，300 人，500 人，现用分层抽样 的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年员工人数为 90，则(n ) A800 B400 C600 D300 【解答】解：由分层抽样概率性质，得 90300 200300500n ， 解得300n ， 故选：D 6 （5 分）在四面体ABCD中，ABBD，ACCD，ADa，则四面体ABCD的外接球 的表面积为( ) A 2 a B 2 1 8 a C 2 3 3 a D 2 2 a 【解答】解：在四面体ABCD中， ABBD，ACCD，AD的中点为四面体ABCD的外接球的球心， 四面体ABCD的外

15、接球的半径为 2 a ， 外接球的表面积 22 4 ( ) 2 a Sa 故选：A 7 （5 分）已知 2 ( )1f xx lnx，则曲线( )yf x在1x 处的切线方程为( ) Ayx Byx C2yx D2yx 【解答】解：因为( )2fxxlnxx， f （1）1，f（1）1， 所以曲线( )yf x在1x 处的切线方程为11yx 即yx 第 8 页（共 17 页） 故选：B 8 （5 分）设m，n，l为三条不同的直线，a，为两个不同的平面，则下面结论正确的 是( ) A若m，n，/ /，则/ /mn B若/ /m，/ /n，mn，则 C若m，n，则mn D/ /m，/ /n，lm，

16、ln， 则l 【解答】解：对于选项A选项中，m，n可能异面；故错误 对于选项B选项中，也可能平行或相交；故错误 对于选项D选项中，只有m，n相交才可推出l故错误 对于选项C，由于m，n，则，直线m和n可以看做是平面和的法向量，由于 ，所以mn，故正确 故选：C 9 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出的(S ) A10ln B2 3ln C7ln D3 2ln 【解答】解：运行程序框图中的程序， 可得 2348 1237 Slnlnlnln 2348 1237 ln 第 9 页（共 17 页） 8ln 3 2ln 故选：D 10 （5 分）已知函数 | ( )32 x a f x ，且满

17、足(5)(3)fxfx，则f（6）( ) A29 B11 C3 D5 【解答】解：因为(5)(3)fxfx，所以( )f x的图象关于4x 对称， 所以4x 时， |4| 31 a ，4a ， f（6） |6 4| 329211 ， 故选：B 11 （5 分） 已知抛物线 2 :12C yx的焦点为F，A为C上一点且在第一象限， 以F为圆心， FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则| (AF ) A16 B10 C12 D8 【解答】解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，ADBD 由抛物线定义知 1 | | 2 ADAFAB，所以30ABD因为F到准线的距离

18、为 6， 所以| | 2 612AFBF 故选：C 12 （5 分）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的 垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项 差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积 术” 现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第 19 项 第 10 页（共 17 页） 为( )（注 2222 (1)(21) :123) 6 n nn n A1624 B1198 C1024 D1560 【解答】解：设该数列为 n a，令 1nnn baa ，

19、 设 n b的前n项和为 n B， 又令 1nnn cbb ，设 n c的前n项和为 n C 易 n cn， 2 2 n nn C ，进而得 2 1 33 2 nn nn bC ， 所以 2 (1)1 33 222 n n nn bn ，则 (1)(1) 3 6 n n nn Bn ， 所以 1 1 nn aB ，所以 19 1024a 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知数列 n a是等比数列， 1 1a ， 3 36a ，则 2 a 6 【

20、解答】解：设 n a的公比为q，由 1 1a ， 3 36a ，得 2 36q ， 所以6q ， 故 2 6a 故答案为：6 14 （5 分）已知向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b的夹角为，则sin 5 5 【解答】解：向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b的夹角为， 则 4 ( 1)( 3) 22 5 cos 5| |5 5 a b ab ， 2 5 sin1cos 5 ， 故答案为： 5 5 15（5 分） 一组数据 1 21x ， 2 21x ， 3 21x ，21 n x 的平均值为 7， 则 1 32x ， 2 32x ， 3 32x ，32 n x 的平均值

21、是 11 【解答】解：设 1 x， 2 x， 3 x， n x的平均值为x， 第 11 页（共 17 页） 则 1 21x ， 2 21x ， 3 21x ，21 n x 的平均值为217x ，解得3x ； 所以 1 32x ， 2 32x ， 3 32x ，32 n x 的平均值为3211Xx 故答案为：11 16 （5 分）双曲线 22 22 22 22 1(0,0) xy ab ab 与椭圆 22 11 22 11 1(0) xy ab ab 有相同的焦点，且 左、右焦点分别为 1 F， 2 F，它们在第一象限的交点为P，若 1212 sin2sinFPFPFF，且 椭圆与双曲线的离心率

22、互为倒数，则该双曲线的离心率为 15 2 【解答】解：设椭圆的离心率为 1 e，双曲线的离心率为 2 e， 12 | 2FFc， 由正弦定理，得 212 1212 | sinsin PFFF PFFFPF 1212 sin2sinFPFPFF， 122 | 2|FFPF， 2 |PFc 121 | 2PFPFa， 122 | 2PFPFa， 112 | 22PFacac， 12 aac 又 12 1222 1 cccc e e a aac a ， 2 22 10ee ， 2 15 2 e 故答案为：1 5 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答

23、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17（12 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 且(3)coscos0acBbC （1）求sin B； （2）若1,2 2ab，求ABC的面积 【解答】解： （1）因为(3)coscos0acBbC， 所以3sincossincossincos0ABCBBC， 所以3sincos(sincossincos )sinABBCCBA

24、第 12 页（共 17 页） 因为sin0A，所以 1 cos 3 B ， 所以 2 2 sin 3 B ； （2）由余弦定理得 22222 2 2cos 3 bacacBacac， 因为1,2 2ab，所以 2 2 70 3 cc， 即 2 3221(3)(37)0cccc， 所以 7 3 c 所以ABC的面积为 1172 27 2 sin1 22339 acB 18 （12 分） 如图，ABCD是正方形， 点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合） ， E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD 平面BCP （1）证明：BP 平面DCP （2）若2BC ，当三

25、棱锥DBPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离 【解答】 （1）证明：因为平面ABCD 平面BPC，ABCD是正方形， 所以DC 平面BPC 因为BP 平面BPC，所以BPDC 因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BPPC 又DCPCC，所以BP 平面DCP （2）解：显然，当点P位于BC的中点时，BCP的面积最大，三棱锥DBPC的体积也 最大 因为2BC ，所以1PE ，所以BEP的面积为 11 1 1 22 ， 所以三棱锥DBEP的体积为 111 2 323 第 13 页（共 17 页） 因为BP 平面DCP，所以BPDP， 22 (2 2)( 2)6DP ，BDP的面积为 1 263

26、 2 设E到平面BDP的距离为d，由 11 3 33 d，得 3 3 d ， 即E到平面BDP的距离为 3 3 19 （12 分）生男生女都一样，女儿也是传后人由于某些地区仍然存在封建传统思想，头 胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地 200 户家庭进行调查统计这 200 户家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生二孩的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家 庭数为 60 （1） 完成下列22列联表， 并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有 关； 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计 200 （2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按

27、照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 5 户， 进一步了解情况，在抽取的 5 户中再随机抽取 3 户，求这 3 户中恰好有 2 户生二孩的概率 附： 2 ()P Kk 0.15 0.05 0.01 0.001 k 2.072 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中)nabcd 第 14 页（共 17 页） 【解答】 解：（1） 因为头胎为女孩的频率为 0.5， 所以头胎为女孩的总户数为2000.5100； 因为生二孩的概率为 0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105； 由此填写22列联表如下： 生二

28、孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 40 100 头胎为男孩 45 55 10 合计 105 95 200 计算 2 2 200(60 5545 40)600 4.5113.841 105 95 100 100133 K ， 所以有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关 （2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 5 户， 则这 5 户家庭中，头胎生女孩的户数为 3，分别记为A，B，C，不生二孩的户数为 2，分 别记为a，b； 从这 5 户家庭中随机抽取 3 户有(A，B，)C，(A，B，)a，(A，B，)b，(B，C，)a， (B，C，)b，(

29、A，C，)a，(A，C，)b，A，a，)b，(B，a，)b，(C，a，)b，共 10 种情况， 其中恰好有 2 户生二孩的有(A，B，)a，(A，B，)b，(B，C，)a， (B，C，)b，(A，C，)a，(A，C，)b，共 6 种情况， 故所求的概率为 63 105 20 （12 分）已知函数( )12 a f xlnxax x 有两个不同的极值点 1 x， 2 x （1）求a的取值范围； （2）求( )f x的极大值与极小值之和的取值范围 【解答】解： （1） 2 22 1 ( )1 axxa fx xxx 因为( )f x有两个不同的极值点 1 x， 2 x，且0x ， 2 0x ， 所

30、以 2 0xxa有两个不同的正根，故 1 0 4 a （2）因为 12 x xa， 12 1xx，不妨设 12 xx， 所以 1 ( )f xf x 极小值 ， 2 ( )f xf x 极大值 ， 第 15 页（共 17 页） 所以 12 121212 12 ( )( )2 1224 a xx f xf xf xf xlnxxaxxlnaa x x 极小值极大值 令（a）42lnaa，则 1 ( )40a a ， 所以（a）在 1 (0, ) 4 上单调递增，所以 1 ( )( )2 21 4 aln ， 即( )f x的极大值与极小值之和的取值范围是(, 2 2 1)ln 21 （12 分）

31、已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 :1 43 xy C的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂 直于x轴的动弦，直线:4m x 与x轴交于点A，直线 2 MF与直线AN的交点为B （1）证明：点B恒在椭圆C上 （2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存 在定点T，使得 2 PTQ 恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）证明：由题意知 2(1,0) F，(4,0)A，设( , )M s t，( ,)N st，则 22 1 43 st ， 2 2 3(1) 4 s t 直线 2 MF 的方程为(1) 1 t yx s ，直线AN

32、 的方程为(4) 4 t yx s ， 联立可得 58 25 B s x s ， 3 25 B t y s ，即B 的坐标为 58 (2 5 s s ， 3 ) 25 t s 因为 2222222 222 (58)12(58)3691680100 1 434(25)4(25)1680100 BB xystssss ssss ， 所以B 点恒在椭圆C上 （2）解： 当直线n 的斜率不存在时，不符合题意 不妨设直线n 的方程为ykxb， 由对称性可知， 若平面内存在定点T， 使得 2 PTQ 恒 成立，则T 一定在x 轴上，故设 0 (T x，0)， 由 22 1 43 ykxb xy 可得 22

33、2 (34)84120kxkbxb 因为直线n与椭圆C 只有一个公共点， 所以 222222 644(34)(412)48(43)0k bkbkb，可得 22 34bk， 第 16 页（共 17 页） 所以 4 P k x b ， 3 PP ykxb b 又因为(4,4)Qkb， 2 PTQ ，所以 0 4 ( k TP TQx b ， 0 3) (4 x b ，4)0kb， 即 00 43(4) ()(4)0 kkb xx bb ， 所以 2 000 43(44)0 k xxx b ， 对于任意的满足 22 430kb 的k，b 恒成立， 所以 0 2 00 440 430 x xx 解得

34、0 1x 故在平面内存在定点(1,0)T，使得 2 PTQ 恒成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 11 cos , 42 ( 31 sin 42 x y 是参数） ，以原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转 3 ，交曲线C于点N，求 | |OMON

35、的最大值 【解答】解： （1）由曲线C的参数方程是 11 cos , 42 ( 31 sin 42 x y 是参数） ，消去得曲线C的 普通方程为 22 13 0 22 xyxy 所以C的极坐标方程为 31 sincos 22 ， 即sin() 6 （2）不妨设 1 (M，)， 2 (,) 3 N ，0，2 ， 则 11 | | sin()sin()sin(2) 663264 OMON 当 6 时，取得最大值，最大值为 3 4 第 17 页（共 17 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |2|3|f xxx （1）解不等式( ) 32f xx；

36、（2）若函数( )f x最小值为M，且23(0,0)abM ab，求 13 211ab 的最小值 【解答】解： （1）( ) |2|3|f xxx，( ) 32f xx， 当2x 时，23 32xxx ，即 3 5 x，无解； 当23x 剟时，23 32xxx，即 7 3 x，得 7 3 3 x剟； 当3x 时，23 32xxx，即1x，得3x 故所求不等式的解集为 7 ,) 3 （2）( ) |2|3|(2)(3)| 5f xxxxx， 235(0,0)abab，则21 3(1)9ab ， 13113 ()213(1) 2119 211 ab abab 13(1)3(21)16 10 92119 ba ab 当且仅当 211 235 0,0 ab ab ab ，即 5 8 5 4 a b 时取等号 故 13 211ab 的最小值为 16 9