2019-2020学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 | 11Mxx 剟， |124 x Nx，则(MN ) A | 10xx B |01xx C |12xx D | 12xx 2 （5 分）若 0.1 2a ，2bln， 2 1 log 5 c ，则( ) Abca Bbac Ccab Dab

2、c 3 （5 分）在ABC中，1AB ，3AC ，1AB AC ，则ABC的面积为( ) A 1 2 B1 C2 D 2 2 4 （5 分）已知A，B，C为不共线的三点，则“| |ABACABAC”是“ABC为直 角三角形”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）函数 2 2coscos1yxx， 2 x ， 2 的图象大致为( ) A B C D 6 （5 分）已知奇函数( )f x在R上单调，若正实数a，b满足(4 )(9)0faf b，则 11 ab 的最小值是( ) A1 B 9 2 C9 D18 7 （5 分）已知 1 F， 2

3、 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，若点 2 F关于双曲线 第 2 页（共 21 页） 渐近线的对称点A满足 11( F AOAOF O 为坐标原点） ，则双曲线的渐近线方程为( ) A2yx B3yx C2yx Dyx 8（5分） 已知函数( )(1)(0)f xlnxa xa a， 若有且只有两个整数 1 x，2x使得 1 ()0f x， 且 2 ()0f x，则a的取值范围是( ) A 33 (0,) 2 ln B(0,22)ln C 33 ,22) 2 ln ln D 224 33 ,) 32 lnln 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共

4、4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列命题中的真命题是( ) AxR ， 1 20 x B * xN ， 2 (1)0x CxR ，1lgx DxR ，tan2x 10 （5 分）将函数( )sin2f xx的图象向右平移 4 个单位后得到函数( )g x的图象，则函数 ( )g x具有性质( ) A在(0,) 4 上单调递增，为偶函数 B最大值为 1，图象关于直线 3

5、 2 x 对称 C在 3 (,) 88 上单调递增，为奇函数 D周期为，图象关于点 3 (,0) 4 对称 11 （5 分）已知m、n为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正 确的是( ) A若/ /m，/ /n且/ /，则/ /mn B若/ /mn，m，n，则/ / C若/ /mn，n，/ /，m，则/ /m D若/ /mn，n，则 / /m 12（5 分） 设等比数列 n a的公比为q， 其前n项和为 n S， 前n项积为 n T， 并满足条件 1 1a ， 20192020 1aa， 2019 2020 1 0 1 a a ，下列结论正确的是( ) 第 3 页（共 21 页

6、） A 20192020 SS B 20192021 10SS C 2019 T是数列 n T中的最大值 D数列 n T无最大值 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在 8 (2 )xy的展开式中，含 44 x y项的系数是 14 （5 分）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若3PFQF，则|QF 15 （5 分）2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文 明史得到国际社会认可 良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例， 实证

7、了中华五千年文明 史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已 知样本中碳 14 的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 5730 00 2( t NNN 表示碳 14 原有的质量） ，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址 文物样本中碳 14 的质量是原来的 1 2 至 3 5 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到 5730 年之间 （参考数据： 2 log 31.6， 2 log 52.3) 16 （5 分）如图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四 边形ABCD沿BD折成直二面

8、角ABDC，则三棱锥ABCD的外接球的体积为 3 cm 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知等差数列 n a满足 24 6aa，前 7 项和 7 28S （）求数列 n a的通项公式； （）设 1 2 (21)(21) nn n n aa b ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）已知 2 ( )3sin()sin()cos 2 f xxxx （）若 1 () 210 f ，求 2 cos(2) 3 的值； （）在ABC中，角A，B，C所对应的边

9、分别a，b，c，若有(2)coscosacBbC， 第 4 页（共 21 页） 求角B的大小以及f（A）的取值范围 19 （12 分） 如图， 在平行四边形ABCD中，1AB ，2BC ，120BAD， 四边形ACEF 为正方形，且平面ABCD 平面ACEF （）证明：ABCF； （）求平面BEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）如图，某市三地A，B，C有直道互通现甲交警沿路线AB、乙交警沿路线 ACB同时从A地出发，匀速前往B地进行巡逻，并在B地会合后再去执行其他任务已知 10ABkm，6ACkm，8BCkm，甲的巡逻速度为5/km h，乙的巡逻速度为10/km h （）求

10、乙到达C地这一时刻的甲、乙两交警之间的距离； （）已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km，从乙到达C地这一时刻算起，求经 过多长时间，甲、乙方可通过对讲机取得联系 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) yx Eab ab 的一个焦点为(0, 3)，长轴与短轴的比为 2:1直线: l ykxm与椭圆E交于P、Q两点，其中k为直线l的斜率 （）求椭圆E的方程； （）若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，问：是否存在一个以坐标原点O为圆心的定 圆O，不论直线l的斜率k取何值，定圆O恒与直线l相切？如果存在，求出圆O的方程及 实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由 22 （12 分）

11、已知函数( )sinf xxax，( )g xxmlnx （）求证：当| 1a 时，对任意(0,)x，( )0f x 恒成立； 第 5 页（共 21 页） （）求函数( )g x的极值； （）当 1 2 a 时，若存在 1 x， 2 (0,)x 且 12 xx，满足 1122 ()()()()f xg xf xg x，求 证： 12 2 4 9 x x m 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题

12、5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 | 11Mxx 剟， |124 x Nx，则(MN ) A | 10xx B |01xx C |12xx D | 12xx 【解答】解：集合 | 11Mxx 剟， |124 |02 x Nxxx， 则 |01MNxx 故选：B 2 （5 分）若 0.1 2a ，2bln， 2 1 log 5 c ，则( ) Abca Bbac Ccab Dabc 【解答】解： 0.1 21a ，2(0,1)bln， 2 1 log0 5 c ， 则abc 故

13、选：D 3 （5 分）在ABC中，1AB ，3AC ，1AB AC ，则ABC的面积为( ) A 1 2 B1 C2 D 2 2 【解答】解：1AB ，3AC ，1AB AC ， 1 cos 3| AB AC A ABAC ， 2 12 2 sin1() 33 A ， 则ABC的面积 112 2 sin1 32 223 SABACA 故选：C 4 （5 分）已知A，B，C为不共线的三点，则“| |ABACABAC”是“ABC为直 角三角形”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 7 页（共 21 页） 【解答】解：若| |ABACABAC，则平方得

14、 2222 22ABAB ACACABAB ACAC， 得40AB AC ，即0AB AC ，则A为直角，则“ABC为直角三角形成立， 反之当B为直角，满足ABC为直角三角形成立，但| |ABACABAC，不成立， 故“| |ABACABAC”是“ABC为直角三角形”的充分不必要条件， 故选：A 5 （5 分）函数 2 2coscos1yxx， 2 x ， 2 的图象大致为( ) A B C D 【解答】解：因为函数 2 2coscos1yxx， 2 x ， 2 ， 所以函数为偶函数，故排除A，D 22 19 2coscos12(cos) 48 yxxx ， 2 x ， 2 ， 因为cos1x

15、， 所以当 1 cos 4 x 时， 9 8 max y，当cos1x 时，0 min y， 故排除C， 故选：B 6 （5 分）已知奇函数( )f x在R上单调，若正实数a，b满足(4 )(9)0faf b，则 11 ab 的最小值是( ) A1 B 9 2 C9 D18 【解答】解：因为奇函数( )f x在R上单调，且正实数a，b满足(4 )(9)0faf b， 第 8 页（共 21 页） 所以(4 )(9)(9)faf bfb ， 所以49ab即49ab， 则 111 11141 ()(4)(5)(54)1 999 ba ab ababab ， 当且仅当 4ba ab 且49ab即 3

16、2 a ，3b 时取等号，此时取得最小值 1 故选：A 7 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，若点 2 F关于双曲线 渐近线的对称点A满足 11( F AOAOF O 为坐标原点） ，则双曲线的渐近线方程为( ) A2yx B3yx C2yx Dyx 【解答】解：设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 渐近线方程为 b yx a ， 2 F的对称点为( , )A m n， 即有 na mcb ， 且 11() 22 b mc n a ， 解得 22 ab m c ， 2ab n c ， A满足 11 F AOAOF ，可

17、得 11 | |AFOFc， 即有 2222 22 2 4 () aba b cc cc ， 结合 222 cab， 化为2ca，即3ba， 可得双曲线的渐近线方程为3yx 故选：B 第 9 页（共 21 页） 8（5分） 已知函数( )(1)(0)f xlnxa xa a， 若有且只有两个整数 1 x，2x使得 1 ()0f x， 且 2 ()0f x，则a的取值范围是( ) A 33 (0,) 2 ln B(0,22)ln C 33 ,22) 2 ln ln D 224 33 ,) 32 lnln 【解答】解：由( )(1)0f xlnxa xa，得(1)lnxaxa， 作出函数ylnx与

18、(1)yaxa的图象如图： 直线(1)yaxa过定点(1, 1)， 当2x 时，曲线ylnx上的点为(2,2)ln，当3x 时，曲线ylnx上的点为(3,3)ln 过点(1, 1)与(2,2)ln的直线的斜率 21 21 21 ln kln ， 过点(1, 1)与(3,3)ln的直线的斜率 3131 312 lnln k 由121aln ，得22aln，由 31 1 2 ln a ，得 33 2 ln a 若有且只有两个整数 1 x， 2 x使得 1 ()0f x，且 2 ()0f x，则a的取值范围是 33 ,22) 2 ln ln 故选：C 第 10 页（共 21 页） 二、多项选择题：本

19、题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列命题中的真命题是( ) AxR ， 1 20 x B * xN ， 2 (1)0x CxR ，1lgx DxR ，tan2x 【解答】解：指数函数2ty 的值域为(0,) 任意xR，均可得到 1 20 x 成立，故A项正确； 当 * xN时，1xN ，可得 2 (1)0x，当且仅当1x 时等号 存在 *

20、xN，使 2 (1)0x不成立，故B项不正确； 当1x 时，01lgx 存在xR，使得1lgx 成立，故C项正确； 正切函数tanyx的值域为R 存在锐角x，使得tan2x 成立，故D项正确 故选：ACD 10 （5 分）将函数( )sin2f xx的图象向右平移 4 个单位后得到函数( )g x的图象，则函数 ( )g x具有性质( ) A在(0,) 4 上单调递增，为偶函数 B最大值为 1，图象关于直线 3 2 x 对称 C在 3 (,) 88 上单调递增，为奇函数 D周期为，图象关于点 3 (,0) 4 对称 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：将函数( )sin2f xx的图象向

21、右平移 4 个单位后得到函数( )g x的图象， 则( )sin2()sin(2)cos2 42 g xxxx ， 则函数( )g x为偶函数，当0 4 x 时，02 2 x ，此时( )g x为增函数，故A正确， 函数的最大值为 1，当 3 2 x 时，( )cos( 3 )cos1g x ，为最大值，则函数图象 关于直线 3 2 x 对称，故B正确， 函数为偶函数，故C错误， 函数的周期 2 2 T ， 333 ()cos(2)cos0 442 g ，即图象关于点 3 (,0) 4 对称， 故D正确 故正确的是ABD， 故选：ABD 11 （5 分）已知m、n为两条不重合的直线，、为两个不

22、重合的平面，则下列说法正 确的是( ) A若/ /m，/ /n且/ /，则/ /mn B若/ /mn，m，n，则/ / C若/ /mn，n，/ /，m，则/ /m D若/ /mn，n，则 / /m 【解答】解：对A，若/ /m，/ /n且/ /，则/ /mn或者m与n相交，或者m与n异 面，所以A错误； 对B，若/ /mn，m，则n，又n，所以/ /，正确； 对C，若n，/ /，则/ /n，又/ /mn，m，所以/ /m，正确； 对D，若/ /mn，n，则m，又，所以/ /m或m，所以D错误 故选：BC 12（5 分） 设等比数列 n a的公比为q， 其前n项和为 n S， 前n项积为 n T

23、， 并满足条件 1 1a ， 20192020 1aa， 2019 2020 1 0 1 a a ，下列结论正确的是( ) A 20192020 SS B 20192021 10SS C 2019 T是数列 n T中的最大值 D数列 n T无最大值 第 12 页（共 21 页） 【解答】 解： 等比数列 n a的公比为q， 其前n项和为 n S， 前n项积为 n T， 并满足条件 1 1a ， 20192020 1aa， 2019 2020 1 0 1 a a ， 2019 1a， 2020 01a，01q 根据 1 1a ，01q，可知 等比数列 n a为正项的递减数列 即 12201920

24、20 10aaaa 202020192020 0SSa， 20192020 SS，故选项A正确； 2019122019 1Saaa， 201920212019201920202021 ()SSSSaa 2 2019201920202021 ()SSaa 2 2019 1S 即 20192021 10SS 故选项B错误； 根据 1220192020 10aaaa 可知 2019 T是数列 n T中的最大项，故选项C正确、选项D错误 故选：AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在 8 (2 )xy的展开式中，含 44

25、 x y项的系数是 280 【解答】解：由 88 188 (2 )(2) rrrrrrr r Txyxy 痧； 令80r，得4r 展开式中含 44 x y的系数为： 44 8 (2)280 故答案为：280 14 （5 分）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若3PFQF，则|QF 8 3 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QFd， 3PFQF， | 2PQd， 不妨设直线PF的斜率为3， (0,2)F， 直线PF的方程为3(2)yx， 与 2 8yx联立可得 2 3 x ， 8 | 3 QFd， 故答案

26、为： 8 3 15 （5 分）2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文 明史得到国际社会认可 良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例， 实证了中华五千年文明 史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已 知样本中碳 14 的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 5730 00 2( t NNN 表示碳 14 原有的质量） ，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 1 2 ；经过测定，良渚古城遗 址文物样本中碳 14 的质量是原来的 1 2 至 3 5 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年 到 5730 年之

27、间 （参考数据： 2 log 31.6， 2 log 52.3) 【解答】解：生物体内碳 14 的量N与死亡年数t之间的函数关系式为： 5730 0 2 t NN ； 5730t 时， 10 0 2 2 N NN ； 所以每经过 5730 年衰减为原来的 1 2 ； 由于良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 1 2 至 3 5 ， 5730 13 2 25 t 剟； 两边同时取以 2 为底的对数，得： 22 1(log 3log 5)0.7 5730 t 剟 40115730t剟； 第 14 页（共 21 页） 故推测良渚古城存在的时期距今约在 4011 年到 5730 年之间 故答

28、案为： 1 2 ，4011 16 （5 分）如图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四 边形ABCD沿BD折成直二面角ABDC， 则三棱锥ABCD的外接球的体积为 500 3 3 cm 【解答】解：四边形ABCD中，90ABDBDC ， ABBD，CDBD； 沿BD折成直二面角ABDC，如图所示； AB平面BCD，CD 平面ABD， ABBC，CDDA； 三棱锥ABCD的外接球的直径为AC， 且 2222222 |101010300ACABBDCD 外接球的半径为5 3R ，它的体积为 3 4 (5 3)500 3 3 故答案为：500 3 四、解答题：本题共四

29、、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知等差数列 n a满足 24 6aa，前 7 项和 7 28S （）求数列 n a的通项公式； （）设 1 2 (21)(21) nn n n aa b ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解：( ) I设等差数列 n a的公差为d，由 24 6aa可知 3 3a ，前 7 项和 第 15 页（共 21 页） 7 28S 4 4a，解得 1 1a ，1d ， 1 1(1) n ann ； ()II由( ) I知， 1 11 2211 (21

30、)(21)2121(21)(21) nn nn n aannnn b ， n b前n项和 12 122311 11111111 ()()() 212121212121321 nn nnn Tbbb 18 （12 分）已知 2 ( )3sin()sin()cos 2 f xxxx （）若 1 () 210 f ，求 2 cos(2) 3 的值； （）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别a，b，c，若有(2)coscosacBbC， 求角B的大小以及f（A）的取值范围 【解答】解： （） 2 3111 ( )3sin coscossin2cos2sin(2) 22262 f xxxxxxx ，

31、因为 11 ()sin() 26210 f ， 所以 3 sin() 65 ， 所以 22 237 cos(2)cos(2)2sin ()12( )1 336525 ()II因为(2)coscosacBbC， 由正弦定理得：(2sinsin)cossincosACBBC， 所以2sincossincossincosABCBBC， 即2sincossin()sinABBCA， 因为sin0A， 所以 1 , 23 cosBB 所以， 所以 22 ,(0,) 33 ACA ， 7 2(,) 666 A ， 所以 1 sin(2)(,1 62 A ， 所以f（A）的取值范围是 1 ( 1, 2 19

32、 （12 分） 如图， 在平行四边形ABCD中，1AB ，2BC ，120BAD， 四边形ACEF 为正方形，且平面ABCD 平面ACEF （）证明：ABCF； 第 16 页（共 21 页） （）求平面BEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值 【 解 答 】 解 ：( ) I证 明 ： 在 平 行 四 边 形A B C D中 ，1 8 01 2 06 0ABC ， 在ABC中，由余弦定理得： 222 2cos603ACABBCAB BC， 即3AC ， 由 222 BCACAB，得90BAC，ABAC， 又四边形ACEF为正方形，AFAC， 又平面ABCD 平面ACEF，平面ABCD平面ACEF

33、AC AF平面ABCD，AFAB， 又AFACA，AB平面ACEF， CF 平面ACEF，ABCF ()II解：由( ) I得AB，AC，AF两两垂直， 分别以AB，AC，AF所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0), (1,0,0), (0, 3,0),(0,0, 3), (0, 3, 3)ABCFE， 设平面BEF的一个法向量( , , )nx y z，( 1,0, 3),(0,3,0)BFEF ， 第 17 页（共 21 页） 则 30 30 n BFxz n EFy ，取 1,3,0,1zn得， 同理可得平面BCF的一个法向量为( 3,1,1)m ， 设

34、平面BEF与平面BCF所成锐二面角的平面角为， 则 |42 5 cos | |552 m n mn 平面BEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为 2 5 5 20 （12 分）如图，某市三地A，B，C有直道互通现甲交警沿路线AB、乙交警沿路线 ACB同时从A地出发，匀速前往B地进行巡逻，并在B地会合后再去执行其他任务已知 10ABkm，6ACkm，8BCkm，甲的巡逻速度为5/km h，乙的巡逻速度为10/km h （）求乙到达C地这一时刻的甲、乙两交警之间的距离； （）已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km，从乙到达C地这一时刻算起，求经 过多长时间，甲、乙方可通过对讲机取得联系 【解答

35、】解：( ) I由10ABkm，6ACkm，8BCkm，知90ACB， 3 cos 5 A 设当乙到达C地时，甲处在D点，则 6 53 10 ADkm； 所以在ACD中，由余弦定理得： 22222 3117 2cos63263 55 CDACADAC ADA ， 解得 3 65 5 CD ； 即此时甲、乙两交警之间的距离为 3 65 5 km ()II设乙到达C地后，经过t小时，甲、乙两交警之间的距离为( )f t km， 在 4 ,8,7, 5 BCDBCkm BDkm cos ABC中， 乙从C地到达B地，用时 4 5 t 小时，甲从D处到达B地，用时 7 5 t 小时， 第 18 页（共

36、 21 页） 所以当乙从C地到达B地，此时，甲从D处行进到E点处，且 4 54,3 5 DEkm BEkm， 所以当 22 2 4413 0,810752 810753 56 555 tf ttttttt时剟； 令( )3f t ，即 2 13 561 5 tt， 2 8 560 5 tt； 解得 2 0 5 t 或 4 5 t （舍去） ； 又当 47 55 t剟时，甲、乙两交警间的距离为( )753f ttkm， 因为甲、乙间的距离不大于3km时方可通过对讲机取得联系； 所以从乙到达C地这一时刻算起，经过 2 5 小时，甲、乙可通过对讲机取得联系 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :

37、1(0) yx Eab ab 的一个焦点为(0, 3)，长轴与短轴的比为 2:1直线: l ykxm与椭圆E交于P、Q两点，其中k为直线l的斜率 （）求椭圆E的方程； （）若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，问：是否存在一个以坐标原点O为圆心的定 圆O，不论直线l的斜率k取何值，定圆O恒与直线l相切？如果存在，求出圆O的方程及 实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由 【解答】解：( )3I c ，2 :22:1ab ， 222 abc 解得：2a ，1b ， 椭圆E的方程为 2 2 1 4 y x ()II解法一： 假设存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切 这时，只需

38、证明坐标原点O到直线l的距离为定值即可 第 19 页（共 21 页） 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，联立方程，消去y整理得： 222 (4)240kxkmxm， 222 (2)4(4)(4)0kmkm，得： 22 40km， 2 1212 22 24 , 44 kmm xxx x kk ， 以线段PQ为直径的圆过坐标原点O， 22 1 2121 2121 212 ()()(1)()0x xy yx xkxm kxmkx xkm xxm， 2 22 22 42 (1)()0 44 mkm kkmm kk 化简得： 22 454km， 此时，坐标原点O到直线l距离d为：

39、 22 22 2 |2 5 5415 1 1 4 mmm d mk k 由坐标原点O到直线l的距离 2 5 5 d 为定值知，所以存在定圆O，不论直线l的斜率k取 何值时，定圆O恒与直线l相切，定圆O的方程为： 22 4 5 xy 得m的取值范围是 2 52 5 (,),) 55 解法二： 假设存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切 这时，只需证明坐标原点O到直线l的距离为定值即可 设直线OP的方程为：ytx，P点的坐标为 0 (x， 0) y，则 00 ytx， 联立方程组 2 2 0 2 2 4 ,: 41 4 ytx x y tx 解得 2 22222 000 2

40、4(1) |(1) 4 t OPxytx t ， 以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，OPOQ，直线OQ的方程为： 1 yx t 在式中以 1 l 换t，得 2 2 2 2 2 1 41() 4(1) | 1 14 4() t t OQ t t 又由OPOQ知： 2222 222 2222 4(1)4(1)20(1) | 414(14 )(4) ttt PQOPOQ tttt 设坐标原点O到直线l的距离为d，则有|PQ dOP OQ， 第 20 页（共 21 页） 22 22 22 2 222 22 4(1) 4(1) | |42 5 414 , 20(1)|55 (14 )(4) tt OPO

41、Q ll dd tPQ tt 又当直线OP与y轴重合时，(0, 2)P，( 1,0)Q 此时 2 5 5 d 由坐标原点O到直线l的距离 2 5 5 d 为定值知，所以存在定圆O，不论直线l的斜率k取 何值时，定圆O恒与直线l相切，定圆O的方程为： 22 4 5 xy 直线l与y轴交点为(0,)m，且点(0,)m不可能在圆O内，又当0k 时，直线l与定圆O切于 点 2 5 (0,) 5 ，所以m的取值范围是 2 52 5 (,) 55 22 （12 分）已知函数( )sinf xxax，( )g xxmlnx （）求证：当| 1a 时，对任意(0,)x，( )0f x 恒成立； （）求函数(

42、)g x的极值； （）当 1 2 a 时，若存在 1 x， 2 (0,)x 且 12 xx，满足 1122 ()()()()f xg xf xg x，求 证： 12 2 4 9 x x m 【解答】解： （1）( )sinf xxax，( )1cosfxax 1 cos1x 剟，| 1a，( )1cos0fxax ， ( )sinf xxax在(0,)上为增函数， 当(0,)x时，恒有( )(0)0f xf成立 （2）由( )g xxmlnx，( )1(0) mxm g xx xx 当0m时，( )0g x，( )g x在(0,)上为增函数，无极值； 当0m ，0xm ，( )0g x；xm，

43、( )0g x， ( )g x在(0,)m上为减函数，在(,)m上为增函数， xm ，( )g x有极小值()mmlnm，无极大值， 综上，当0m时，( )g x无极值； 当0m 时，( )g x有极小值()mmlnm，无极大值 （3）当 1 2 a ， 1 ( )sin 2 f xxx在(0,)上为增函数， 由（2）知，当0m时，( )g x在(0,)上为增函数， 此时( )( )f xg x在(0,)上为增函数， 第 21 页（共 21 页） 不可能存在 1 x， 2 (0,)x ，满足 1122 ()()()()f xg xf xg x且 12 xx 有0m ，不防设 12 0xx，则由 1122 ()()()()f xg xf xg x， 得 111222 11 2sin2sin 22 xxmlnxxxmlnx， 2121