2019-2020学年河北省保定市、廊坊市高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年河北省保定市、廊坊市高三（上）期末数学试卷学年河北省保定市、廊坊市高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知 |1Ax yx， 1 |42 xx Bx ，则(AB ) A(0,1) B(0，1 CR D 2 （5 分）已知i为虚数单位，则复数(23 )ii对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分

2、）函数2 x yxex的图象在点(0,0)处的切线方程为( ) A21yx B21yx C3yx D3yx 4 （5 分）已知ABC外接圆半径为 1，圆心为O，若20OAABAC，则ABC面积的 最大值为( ) A2 B 3 2 C2 D1 5（5 分） 设点Q为 1 0 22 0 323 xy xy xy ， 所表示的平面区域内的动点， 若在上述区域内满足 22 xy 最小时所对应的点为P，则OP与(OQ O为坐标原点）的夹角的取值范围为( ) A0, 4 B0, 3 C0, 2 D 3 , 24 6 （5 分）已知递增等差数列 n a中， 12 2a a ，则 3 a的( ) A最大值为4

3、 B最小值为 4 C最小值为4 D最大值为 4 7 （5 分）如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m，则 此时欲经过桥洞的一艘宽12m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过( ) 第 2 页（共 19 页） A6m B6.5m C7.5m D8m 8 （5 分）用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的 图形，则这个几何体的最小体积是( ) A9 B8 C7 D5 9 （5 分）函数 1 3 1 ( ) 2x f xx的零点所在的区间是( ) A 1 (0, ) 4 B 1 ( 4 ， 1) 3 C 1 (3， 1 )

4、2 D 1 ( 2 ，1) 10 （5 分）下列说法正确的个数为( ) “pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件； 若数据 1 x， 2 x， 3 x， n x的平均数为 1，则 1 2x， 2 2x， 3 2x，2 n x的平均数为 2； 在区间0，上随机取一个数x，则事件“ 6 sincos 2 xx”发生的概率为 1 2 已知随机变量X服从正态分布 2 (2,)N，且(4)0.84P X，则(0)0.16P X A4 B3 C2 D1 11 （5 分）若直线l与函数( ) x f xe和( )2g xlnx都相切，则其斜率(k ) A2 或e B1 或e C0 或 1 De 12 （5

5、 分）正方形 1111 ABCDABC D中，若 1 2CMMC，P在底面ABCD内运动，且满足 1 DPCP D PMP ，则点P的轨迹为( ) A圆弧 B线段 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 第 3 页（共 19 页） 13 （5 分）二项式 6 1 ()x x 的展开式中 4 x的系数是 14 （ 5分 ） 如 图 ， 某 地 一 天 从614时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 s i n ()(0yAxb A，0，0)，则该函数的表达式为 15 （5 分

6、）若一个三位数的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，我们就称这 个三位数为“递增三位数” 现从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成 等差数列的概率为 16（5 分） 已知数列 n a中，11a ， 其前n项和为 n S， 且满足 2 1 3(2) nn SSn n ， 则 n a 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（10 分） 已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 设( s i n , 1 c o s )mBB， (2,0)n

7、 （1）若 2 3 B，求m与n的夹角； （2）若| 1,3mb，求ABC周长的最大值 18 （12 分） 已知数列 n a， n b满足 1nnn aab ，2 n b 为等比数列， 且 1 2a ， 2 4a ， 3 10a （1）试判断列 n b是否为等比数列，并说明理由； （2）求 n a 19 （12 分）如图，几何体ABCDFE中，ABC，DFE均为边长为 2 的正三角形，且平面 / /ABC平面DFE，四边形BCED为正方形 （1）若平面BCED 平面ABC，求证：平面/ /ADE平面BCF； （2）若二面角DBCA为150，求直线BD与平面ADE所成角的正弦值 第 4 页（共

8、19 页） 20 （12 分） 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点为( 2,0)， 四条直线xa ，yb 所围成的区域面积为4 3 （1）求C的方程； （2）设过(0,3)D的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且 1 | ( 2 OMABO为原点） ，求直线l的方程 21 （12 分）已知函数( )f x满足：定义为R； 2 ( )2 ()9 x x f xfxe e （1）求( )f x的解析式； （2）若 1 x， 2 1x ，1；均有 2 1122 (2)6 (1) ()xaxxf x成立，求a的取值范围； （3）设 2 ( ),(0) (

9、) 21,(0) f xx g x xxx ，试求方程 ( ) 10g g x 的解 22 （12 分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求， 决定在全公司范围内举行一次乙肝普查 为此需要抽验 960 人的血样进行化验， 由于人数较 多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案：将每个人的血分别化验，这时需要验 960 次 方案：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果 每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个 人的血化验 1 k 次） ；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化

10、验这样， 该组k个人的血总共需要化验1k 次 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立 （1）设方案中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列； （2）设0.1p 试比较方案中，k分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指出 在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五 入保留整数） 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年河北省保定市、廊坊市高三（上）期末数学试卷学年河北省保定市、廊坊市高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选

11、择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知 |1Ax yx， 1 |42 xx Bx ，则(AB ) A(0,1) B(0，1 CR D 【解答】解： |1Ax x， |21 |1Bxxxx x， AB 故选：D 2 （5 分）已知i为虚数单位，则复数(23 )ii对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： 2 (23 )232332iiiiii ，其对应的点为(3,2)，位于第一象限 故选：A 3 （5 分）函数2

12、 x yxex的图象在点(0,0)处的切线方程为( ) A21yx B21yx C3yx D3yx 【解答】解：(1)2 x yxe， 因为(0)3kf，(0)0f即(0,0)在曲线上， 故2 x yxex的图象在点(0,0)处的切线方程为3yx 故选：C 4 （5 分）已知ABC外接圆半径为 1，圆心为O，若20OAABAC，则ABC面积的 最大值为( ) A2 B 3 2 C2 D1 【解答】解：20OAABAC，2ABACAO， 第 6 页（共 19 页） O为边BC的中点，且O为ABC的外接圆圆心， BC为圆O的直径， ABAC，BC边上的高为半径AO时，ABC的面积最大且ABC外接圆

13、半径为 1， 2BC，1OA， ABC的面积最大为 1 2 11 2 故选：D 5（5 分） 设点Q为 1 0 22 0 323 xy xy xy ， 所表示的平面区域内的动点， 若在上述区域内满足 22 xy 最小时所对应的点为P，则OP与(OQ O为坐标原点）的夹角的取值范围为( ) A0, 4 B0, 3 C0, 2 D 3 , 24 【解答】解：作出不等式组所对应的可行域， （如图阴影） ， 过原点作直线20xy的垂线，垂足即为点 1 ( 2 P， 1 ) 2 ； 由图可得：OP与(OQ O为坐标原点）的夹角的最大值为 4 AOP 或者 4 BOP ； 最小值为 0， OP与(OQ O

14、为坐标原点）的夹角的取值范围为：0， 4 ； 第 7 页（共 19 页） 故选：A 6 （5 分）已知递增等差数列 n a中， 12 2a a ，则 3 a的( ) A最大值为4 B最小值为 4 C最小值为4 D最大值为 4 【解答】解：递增等差数列 n a中， 12 2a a ， 11 ()2a ad ，且0d ， 1 1 2 da a ， 1 0a， 3111 11 44 22 () ()4aadaa aa ， 当且仅当 1 2a 时，等号成立， 3 a有最小值 4 故选：B 7 （5 分）如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m，则 此时欲经过桥洞的一艘宽12

15、m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过( ) A6m B6.5m C7.5m D8m 【解答】解：由题意如图所示，设抛物线的方程为： 2 2xpy ，0p 设直线CD过焦点(0,) 2 p F，由题意可得36CD ，则(18,) 2 p C， 代入抛物线的方程可得： 2 182() 2 p p ，解得18p ，可得(18, 9)C 所以抛物线的方程为： 2 36xy ， 当船宽12m时，设AB为船宽，A为船两端与桥的交点，则(6,)Am， 代入抛物线可得1m ， 所以船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过1( 9)8 ， 故选：D 第 8 页（共 19 页） 8 （5 分）用若

16、干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的 图形，则这个几何体的最小体积是( ) A9 B8 C7 D5 【解答】解：由正视图、侧视图可知，体积最小时，底层有 3 个小正方体，底面 3 个正方体 摆在对角线上，上面有 2 个，共 5 个； 故这个几何体的最小体积是 5 故选：D 9 （5 分）函数 1 3 1 ( ) 2x f xx的零点所在的区间是( ) A 1 (0, ) 4 B 1 ( 4 ， 1) 3 C 1 (3， 1 ) 2 D 1 ( 2 ，1) 【解答】解：若 1 3 1 ( )0 2x f xx， 则 1 3 1 2x x ，得 1 ( ) 8 x

17、 x ， 令 1 ( )( ) 8 x g xx， 可得 111 ( )0 332 g， 112 ( )0 224 g， 因此( )f x零点所在的区间是 1 (3， 1 ) 2 故选：C 10 （5 分）下列说法正确的个数为( ) “pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件； 若数据 1 x， 2 x， 3 x， n x的平均数为 1，则 1 2x， 2 2x， 3 2x，2 n x的平均数为 2； 第 9 页（共 19 页） 在区间0，上随机取一个数x，则事件“ 6 sincos 2 xx”发生的概率为 1 2 已知随机变量X服从正态分布 2 (2,)N，且(4)0.84P X，则(0)0

18、.16P X A4 B3 C2 D1 【解答】解：“pq为真” ，则p与q至少有一个为真，当p真q假或p假q真时，pq 为假，所以不是充分条件，即错误； 由题可知， 12 1 n xxx n ，所以 1212 2222() 2 nn xxxxxx nn ，即正 确； 因为 6 sincos2sin() 42 xxx ，所以 3 sin() 42 x ，所以 5 22, 1212 kxkkZ 剟， 当0k 时，有 5 1212 x 剟，所以 5 1 1212 03 p ，即错误； 由正态分布的性质可知，(0)(4)1(4)10.840.16P XP XP X 剟，即正确 所以正确的为， 故选：C

19、 11 （5 分）若直线l与函数( ) x f xe和( )2g xlnx都相切，则其斜率(k ) A2 或e B1 或e C0 或 1 De 【解答】解：( ) x f xe， 1 ( )g x x ， 设直线l与( )f x的切点( ,) a P a e，与( )g x的切点( ,2)Q b lnb， 则由题意可得， 过P的切线方程() aa yee xa， 过Q的切线方程 1 (2)()ylnbxb b ， 故 1 a e b 即alnb ， 又(1)1 a ealnb， 联立可得， 1 1a be ke 或 1 0 1 b a k ， 故1k 或e 故选：B 第 10 页（共 19 页

20、） 12 （5 分）正方形 1111 ABCDABC D中，若 1 2CMMC，P在底面ABCD内运动，且满足 1 DPCP D PMP ，则点P的轨迹为( ) A圆弧 B线段 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 【解答】解：设正方体的棱长为 6，距离如图所示的空间直角坐标系， 可得：设(P x，y，) z， 1(0,36) C，则(0M，3，4)， 1(0 D，3，6)，(0D，3，0)，(0C， 3，0)， P在底面ABCD内运动，且满足 1 DPCP D PMP ， 可得： 2222 222222 (3)(3) (3)6(3)4 xyxy xyxy ， 化简可得： 22 5578570xy

21、y，0x 故选：A 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）二项式 6 1 ()x x 的展开式中 4 x的系数是 6 【解答】解：展开式的通项为 66 166 1 ()( 1) rrrrrr r r TC xC x x ， 令64rr，解得1r ， 第 11 页（共 19 页） 此时 144 26 6TC xx， 则展开式中 4 x的系数是 6， 故答案为：6 14 （ 5分 ） 如 图 ， 某 地 一 天 从614时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 s i n ()(0yAxb A，

22、0，0)， 则 该 函 数 的 表 达 式 为 3 10sin()20 84 yx ，6x，14 【解答】 解： 由题意以及函数的图象可知，10A，20b ，2(146)16T ， 所以 2 8T ， 函数经过(10,20)所以2010sin(10)20 8 ，又0，所以 3 4 ， 所以函数的解析式： 3 10sin()20 84 yx ，6x，14 故答案为： 3 10sin()20 84 yx ，6x，14 15 （5 分）若一个三位数的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，我们就称这 个三位数为“递增三位数” 现从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成 等差数列的概率

23、为 4 21 【解答】解：一个三位数的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，我们就称这 个三位数为“递增三位数” 当个位数为 3 时，三位数为 123，共 1 个，三个数字依次成等差数列的为 123，有 1 个； 当个位数为 4 时，三位数为 124，134，234，共 3 个，三个数字依次为 234有 1 个； 当个位数为 5 时，三位数为 125，135，145，235，245，345，共 6 个，三个数依次成等差 数列的为 135，345，有 2 个， 当个位数为 6 时，三位数为 126，136，146，156，236，246，256，346，356，456，共 10 个，三个数

24、依次为等差数列的为 246，456，有 2 个， 当个位数为 7 时，三位数为 127，137，147，157，167，237，247，257，267，347，357， 第 12 页（共 19 页） 367，457，467，567，共 15 个， 三个数依次成等差数列的为 147，357，567，有 3 个； 当个位数为 8 时，三位数有 128，138，148，158，168，178，238，248，258，268，278， 348，358，368，378，458，468，478，568，578，678，共 21 个， 三个数依次成等差数列的有 258，468，678，有 3 个； 当个位数

25、为 9 时，三位数为 129，139，149，159，169，179，189，239，249，259，269， 279，289，349，359，369，379，389，459，469，479，489，569，579，589，679，689， 789，共 28 个， 三个数成等差数列的有 159，369，579，789，有 4 个， 综上， “递增三位数”共有：1361015212884个，三个数字成等差数列的有： 1 12233416 个， 从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成等差数列的概率为 164 8421 P 故答案为： 4 21 16 （5 分）已知数列 n a中， 1

26、 1a ，其前n项和为 n S，且满足 2 1 3(2) nn SSn n ，则 n a 64n 【解答】解： ：数列 n a中， 1 1a ，其前n项和为 n S，且满足 2 1 3(2) nn SSn n ， 所以： 2 1 3(1) nn SSn ， 两式相减得： 1 63 nn aan ， 所以 21 69 nn aan ， 得： 2 6 nn aa （常数） 当2n 时， 121 12aaa， 所以 2 10a ， 则： 2 106(1)64 n ann 故答案为：64n 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

27、骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（10 分） 已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 设( s i n , 1 c o s )mBB， (2,0)n 第 13 页（共 19 页） （1）若 2 3 B，求m与n的夹角； （2）若| 1,3mb，求ABC周长的最大值 【解答】解： （1） 2 3 B时， 3 3 (, ) 22 m ，且(2,0)n ， 31 cos |223 m n m n ， 又0 剟， 3 ； （2）| 1m ， 222 (1 cos )22cos1msin BBB， 1 cos 2 B ，且0B， 3 B ，且3b ， 根据正弦定理，

28、3 2 sinsin3 2 ac AC ， 2sinaA，2sincC，且 2 3 AC ， 2 3 AC ， ABC的周长为 233 2sin()sin32(cossin)32 3sin()3 3226 CCCCC ， 2 0 3 C ， 5 666 C ， sin() 6 C 的最大值为 1， ABC周长的最大值为3 3 18 （12 分） 已知数列 n a， n b满足 1nnn aab ，2 n b 为等比数列， 且 1 2a ， 2 4a ， 3 10a （1）试判断列 n b是否为等比数列，并说明理由； （2）求 n a 第 14 页（共 19 页） 【解答】解： （1）数列 n

29、b不是等比数列 理由是： 数列 n a， n b满足 1nnn aab ，2 n b 为等比数列， 且 1 2a ， 2 4a ， 3 10a 所以： 121 2baa， 232 1046baa， 由于2 n b 为等比数列， 所以： 2 1 2 2 2 b b （常数） ， 所以 1 1 2(2) 2n n bb ， 整理得： 1 22 n n b ， （2）由（1）得： 1 1 22 n nnn aab ， 所以 1 22 n nn aa ， 则： 1 12 22 n nn aa ， ， 2 21 22aa， 所以： 23 1 (222 )(222) n n aa， 整理得 11 2(21

30、) 2(1)222222 2 1 n nn n annn 故： 1 22 n n an 19 （12 分）如图，几何体ABCDFE中，ABC，DFE均为边长为 2 的正三角形，且平面 / /ABC平面DFE，四边形BCED为正方形 （1）若平面BCED 平面ABC，求证：平面/ /ADE平面BCF； （2）若二面角DBCA为150，求直线BD与平面ADE所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：取BC的中点O，DE的中点G，连接AO，OF，FG，AG， AOBC，平面BCED 平面ABC， AO 平面BCED，FG 平面BCED， 第 15 页（共 19 页） / /OAFG，又因为3AOFG

31、， AOFG为平行四边形，所以/ /AGOF，/ /AG平面BCF， 又/ /DEBC，/ /DE平面BCF， 又因为AG和DE交于点G， 所以平面/ /ADE平面BCF； （2）连结GO，则GOBC，又AOBC， 所以GOA为二面角DBCA的平面角， 所以150GOA 因为BCGO，BCAO， 所以BC 平面AOG， 所以平面ADE 平面AOG，且交线为AG， 又因为/ /OGBD，所以OG与平面ADE所成的角即为所求， 过O在平面AOG中做OMAG于M，则OM 平面ADE， 所以OGM即为所求的角 因为 22 232 2 3 cos15013,13AGAG ， 所以 11 132 3 si

32、n150 22 OM ， 所以 39 13 OM ， 所以 39 sin 26 OM OGM OG 20 （12 分） 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点为( 2,0)， 四条直线xa ，yb 所围成的区域面积为4 3 （1）求C的方程； （2）设过(0,3)D的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且 1 | ( 2 OMABO为原点） ，求直线l的方程 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由题意，可知2c ，44 3ab ，则 22 22 2 3 ab a b ，解得 2 2 3 1 a b 椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y （

33、2）由题意，当斜率不存在时，点M即为O点，不满足 1 | 2 OMAB， 故斜率存在，设斜率为k，则直线:3l ykx设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 2 3 1 3 ykx x y ， 整理，得 22 (31)18240kxkx 则 12 2 18 31 k xx k ， 12 2 24 31 x x k 22 121 2 |1()4ABkxxx x 22 22 1824 1()4 3131 k k kk 22 2 2 3138 31 kk k 设点( M M x，) M y，则 12 2 9 231 M xxk x k ， 22 93 3 3131 M

34、k yk kk 22 | MM OMxy 22 22 93 ()() 3131 k kk 2 2 3 91 31 k k 1 | 2 OMAB， 222 22 3 911 2 3138 31231 kkk kk 即 222 3 913138kkk 第 17 页（共 19 页） 化简，整理得 42 332110kk， 解得 2 11k ，或 2 1 3 k （舍去） 11k 直线l的方程为113yx 21 （12 分）已知函数( )f x满足：定义为R； 2 ( )2 ()9 x x f xfxe e （1）求( )f x的解析式； （2）若 1 x， 2 1x ，1；均有 2 1122 (2)

35、6 (1) ()xaxxf x成立，求a的取值范围； （3）设 2 ( ),(0) ( ) 21,(0) f xx g x xxx ，试求方程 ( ) 10g g x 的解 【解答】解： （1） 2 ( )2 ()9 x x f xfxe e 2 ()2 ( )9 x x fxf xe e ，即 1 ()2 ( )29 x x fxf xe e 由联立，解得( )3 x f xe （2）设 2 ( )(2)6xxax，( )(1)(3)33 xxx F xx eexex， 依题意，知当11x 剟时，( )( ) minmax xF x， ( )()33 xxxx F xeexexe ， 又(

36、)(1)0 x Fxx e 在( 1,1)上恒成立，( )F x 在 1，1上单调递减， ( )minF xF（1）30e，( )F x在 1，1上单调递增， ( )maxF xF（1）0， ( 1)70 (1)3 0 a a ，37a 剟 实数a的取值范围为 3，7 （3）( )g x的图象如图所示： 第 18 页（共 19 页） 令( )Tg x，则( )1g T ， 1 2T ， 2 0T ， 3 4Tln， 当( )2g x 时有 1 个解3； 当( )0g x 时有 2 个解(12)、3ln； 当( )4g xln时有 3 个解(34)lnln、12(12)ln ； 方程 ( ) 1

37、0g g x 的解分别为3，(12)、3ln，(34)lnln、12(12)ln 22 （12 分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求， 决定在全公司范围内举行一次乙肝普查 为此需要抽验 960 人的血样进行化验， 由于人数较 多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案：将每个人的血分别化验，这时需要验 960 次 方案：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果 每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个 人的血化验 1 k 次） ；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验这

38、样， 该组k个人的血总共需要化验1k 次 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立 （1）设方案中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列； （2）设0.1p 试比较方案中，k分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指出 在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五 入保留整数） 【解答】解： （1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则1qp 所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为 k q，呈阳性反应的概率为1 k q 依题意可知 1 X k ， 1 1 k 所以X的分布列为： 第 19 页（共 19 页

39、） X 1 k 1 1 k P k q 1 k q （2）方案中 结合（1）知每个人的平均化验次数为： 111 ()(1)(1)1 kkk E Xqqq kkk 所以当2k 时， 2 1 ()0.910.69 2 E X ，此时 960 人需要化验的总次数为 662 次， 3k 时， 3 1 ()0.910.6043 3 E X ，此时 960 人需要化验的总次数为 580 次， 4k 时， 4 1 ()0.910.5939 4 E X ，此时 960 人需要化验的次数总为 570 次， 即2k 时化验次数最多，3k 时次数居中，4k 时化验次数最少 而采用方案则需化验 960 次， 故在这三种分组情况下， 相比方案， 当4k 时化验次数最多可以平均减少960570390 次