2019-2020学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 23 页） 2019-2020 学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知全集UR，集合 | 13Axx，0B ，2，4，6，则AB等于( ) A0，2 B 1，0，2 C |02xx剟 D | 12xx 剟 2 （5 分）已知复数z满足(1)34zii，则| (z ) A 5 2 B 5 4 C 5 2 D 5 2

2、2 3 （5 分）设 1 :( )1 2 x p，: 21qx ，则p是q成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分） 8 (2)x的展开式中 4 x的系数为( ) A16 B8 C2 D1 5 （5 分）已知向量( ,2)ax，(2, )by，(2, 4)c ，且/ /ac，bc，则| (ab ) A3 B10 C11 D2 3 6 （5 分）设抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PAl，A为 垂足若直线AF的斜率为3，则PAF的面积为( ) A2 3 B4 3 C8 D8 3 7 （5 分）已知 3 1 (

3、 )log 3 a a， 1 3 3log b b， 1 3 1 ( )log 3 c c，则a，b，c的大小关系是( ) Acba Babc Cbca Dbac 8 （5 分）已知函数( )2sin(2)f xx的图象过点(,2) 6 A ，则( ) A把( )yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数2sin2yx的图象 B函数( )f x在区间(,0) 2 上单调递减 C函数( )f x在区间0，2 内有五个零点 第 2 页（共 23 页） D函数( )f x在区间0, 3 上的最小值为 1 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2

4、0 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F， 则能使双曲线C的方程为 22 1 169 xy 的是( ) A离心率为 5 4 B双曲线过点 9 (5,) 4 C渐近线方程为340xy D实轴长为 4 10 （5 分） 已知菱形ABCD中，60BAD，AC与BD相交于点O 将ABD沿BD折起， 使顶点A至点M，

5、在折起的过程中，下列结论正确的是( ) ABDCM B存在一个位置，使CDM为等边三角形 CDM与BC不可能垂直 D直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60 11 （ 5 分 ） 已 知 定 义 在0,) 2 上 的 函 数( )f x的 导 函 数 为( )fx， 且( 0 )0f， ( )cos( )sin0fxxf xx，则下列判断中正确的是( ) A 6 ( )( ) 624 ff B()0 3 f ln C()2 () 63 ff D()2 () 43 ff 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为 2 的正方形ABCD沿x轴滚动（无 滑动滚动） ，点D恰好经过坐

6、标原点，设顶点( , )B x y的轨迹方程是( )yf x，则对函数 ( )yf x的判断正确的是( ) A函数( )yf x是奇函数 B对任意的xR，都有(4)(4)f xf x C函数( )yf x的值域为0,2 2 第 3 页（共 23 页） D函数( )yf x在区间6，8上单调递增 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线(1) x yxe在点(0,1)处的切线方程为 14 （5 分）若 sincos 1 1cos2 ， 1 tan() 3 ，则tan 15 （5 分）在四面体SABC中，2SASB，且S

7、ASB，5BC ，3AC ，则该 四面体体积的最大值为 ，该四面体外接球的表面积为 16 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线:3l yx上在第三象限内的点，( 10,0)B ， 以线段AB为直径的圆(C C为圆心）与直线l相交于另一个点D，ABCD，则圆C的标准 方程为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足 ()(sinsin )( 3sinsin)baBAcBC （1）求A的大小； （2）再在2

8、a ， 4 B ，3cb这三个条件中，选出两个使ABC唯一确定的条 件补充在下面的问题中，并解答问题若 ， ，求ABC的面积注：如果选择多种 方案分别解答，那么按第一种方案解答记分 18 （12 分）已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列，且 2 3a ， 1 a， 2 a， 5 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n S为数列2 n a 的前n项和， 1 n n b S ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD，/ /ADBC，90ABC， 45BCD，2BCAD （1）求证：BDPC； （2）若PCBC，

9、求平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦值 第 4 页（共 23 页） 20 （12 分）近年，国家逐步推行全新的高考制度新高考不再分文理科，某省采用33模 式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为 150 分另外考生还要依据 想考取的高校及专业的要求， 结合自己的兴趣爱好等因素， 在思想政治、 历史、 地理、 物理、 化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试(6选3)，每门科目满分均为 100 分为了应对新 高考，某高中从高一年级 1000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，采用分层抽样 的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取 45 人 （

10、1）求n的值； （2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对 这两个科目的选课情况， 对抽取到的n名学生进行问卷调查 （假定每名学生在 “物理” 和 “地 理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） ，下表是根据调查结果得到的一 个不完整的22列联表，请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为 选择科目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 10 女生 25 总计 （3）在抽取到的 45 名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9 名女生， 再从这 9 名女生中抽取 4 人， 设这 4 人中

11、选择 “物理” 的人数为X， 求X的分布列及期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab ac cd bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，直线 3 2 yx与 第 5 页（共 23 页） 椭圆E在第一象限内的交点是M，且 2 MFx轴， 12 9 4 MF MF （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在斜率为1的直线l与以线段 12 F F为直径的圆相交于A，

12、B两点，与椭圆E相 交于C，D两点，且 12 13 | | 7 CDAB ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理 由 22（12分） 已知函数( )(1) x f xemlnx， 其中0m ，( )fx为( )f x的导函数 设 ( ) ( ) x fx h x e ， 且 5 ( ) 2 h x 恒成立 （1）求m的取值范围； （2）设函数( )f x的零点为 0 x，函数( )fx的极小值点为 1 x，求证： 01 xx 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析

13、一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知全集UR，集合 | 13Axx，0B ，2，4，6，则AB等于( ) A0，2 B 1，0，2 C |02xx剟 D | 12xx 剟 【解答】解： | 13Axx，0B ，2，4，6， 0AB，2 故选：A 2 （5 分）已知复数z满足(1)34zii，则| (z ) A 5 2 B 5 4 C 5 2 D 5 2 2 【解答】解：由(1)34zii，得 34(34 )

14、(1)771 1(1)(1)222 iiii zi iii ， 则 22 71505 2 |( )( ) 2242 z ， 故选：D 3 （5 分）设 1 :( )1 2 x p，: 21qx ，则p是q成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 1 :( )1 2 x p，解得0x : 21qx ， 可得qp，反之不成立 p是q成立的必要不充分条件， 故选：B 4 （5 分） 8 (2)x的展开式中 4 x的系数为( ) A16 B8 C2 D1 【解答】解： 8 (2)x的展开式的通项为 88 2 188 2()( 1) 2 r

15、 rrrrrr r TCxCx 第 7 页（共 23 页） 令4 2 r ，得8r 8 (2)x的展开式中 4 x的系数为 808 8 ( 1) 21C 故选：D 5 （5 分）已知向量( ,2)ax，(2, )by，(2, 4)c ，且/ /ac，bc，则| (ab ) A3 B10 C11 D2 3 【解答】解：/ /ac， 440x，解得1x ； bc， 440b cy，解得1y ， ( 1,2)a ，(2,1)b ， ( 3,1)ab ， |10ab 故选：B 6 （5 分）设抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PAl，A为 垂足若直线AF的斜率为3，则PAF的

16、面积为( ) A2 3 B4 3 C8 D8 3 【解答】解：解法一：设准线与x轴交于点Q，因为直线AF的斜率为3，| 2FQ ，所 以60AFQ，| 4FA ， 又因为| |PAPF，所以PAF是边长为 4 的等边三角形， 所以PAF的面积为 22 33 |44 3 44 FA 解法二：设准线与x轴交于点Q，( , )P m n，因为直线AF的斜率为3，| 2FQ ， 所以60AFQ，所以| 2 3AQ ，所以2 3n ，又因为 2 4nm，所以3m ， 又因为| | 4PAPF，所以PAF的面积为 11 |42 34 3 22 PAn 第 8 页（共 23 页） 故选：B 7 （5 分）已

17、知 3 1 ( )log 3 a a， 1 3 3log b b， 1 3 1 ( )log 3 c c，则a，b，c的大小关系是( ) Acba Babc Cbca Dbac 【解答】解：分别画出函数的图象： 1 ( ) 3 x y ， 3 logyx，3xy ， 1 3 ylog x 可得bca 故选：C 8 （5 分）已知函数( )2sin(2)f xx的图象过点(,2) 6 A ，则( ) A把( )yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数2sin2yx的图象 B函数( )f x在区间(,0) 2 上单调递减 C函数( )f x在区间0，2 内有五个零点 D函数( )f x在区间0,

18、 3 上的最小值为 1 【解答】解：函数( )2sin(2)f xx的图象过点(,2) 6 A ，故有2sin()2 3 ， 可得2 32 k ，即2 6 k ，kZ，取 6 ，则函数( )2sin(2) 6 f xx 第 9 页（共 23 页） 把( )yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数2sin(2) 6 yx 的图象，故A错误； 在区间(,0) 2 上， 5 2( 66 x ，) 6 ，函数( )f x没有单调性，故B错误； 在区间0，2 内，2( 66 x ， 25 4 ，函数( )f x有 4 个零点，故C错误； 在区间0, 3 上，2 66 x ，5 6 ，故当2 66 x

19、时，或当 5 2 66 x 时，函数( )f x取 得最小值为 1，故D成立， 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F， 则能使双曲线C的方程为 22 1 169 xy 的是( ) A离心率为 5 4

20、 B双曲线过点 9 (5,) 4 C渐近线方程为340xy D实轴长为 4 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F， 可得5c ， 如果离心率为：5 4 可得4a ， 则3b ， 所以， 双曲线C的方程为 22 1 169 xy ， 所以A正确； 5c ，双曲线过点 9 (5,) 4 ，可得 22 22 25 2581 1 16 ab ab 解得4a ，3b ，所以双曲线C的方程为 22 1 169 xy ，所以B正确； 5c ，渐近线方程为340xy，可得 3 4 b a ， 22 25ab，解得4a

21、，3b ，所以双曲 线C的方程为 22 1 169 xy ，所以C正确； 5c ，实轴长为 4，可得2a ，21b ，双曲线C的方程为 22 1 421 xy ，所以D不正确； 故选：ABC 10 （5 分） 已知菱形ABCD中，60BAD，AC与BD相交于点O 将ABD沿BD折起， 使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是( ) ABDCM 第 10 页（共 23 页） B存在一个位置，使CDM为等边三角形 CDM与BC不可能垂直 D直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60 【解答】解：菱形ABCD中，60BAD，AC与BD相交于点O将ABD沿BD折起， 使顶点A至点M，如图：取B

22、D的中点E，连接ME，EC，可知MEBD，ECBD， 所以BD 平面MCE，可知MCBD，所以A正确； 由题意可知ABBCCDDABD， 三棱锥是正四面体时，CDM为等边三角形， 所以B 正确； 三棱锥是正四面体时，DM与BC垂直，所以C不正确； 三棱锥是正四面体时，直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60，D正确 故选：ABD 11 （ 5 分 ） 已 知 定 义 在0,) 2 上 的 函 数( )f x的 导 函 数 为( )fx， 且( 0 )0f， ( )cos( )sin0fxxf xx，则下列判断中正确的是( ) A 6 ( )( ) 624 ff B()0 3 f ln C()

23、2 () 63 ff D()2 () 43 ff 【解答】解：令 ( ) ( ) cos f x g x x ， 1 0,) 2 x， 因为( )cos( )sin0fxxf xx， 则 2 ( )cos( )sin ( )0 fxxf xx g x cos x ， 故( )g x在0， 1 ) 2 上单调递减， 因为(0)0f，则( ) 0f x ， 结合选项可知，()() 64 gg ，从而有 ()() 64 32 22 ff ，即 6 ( )( ) 624 ff ，故A错误， 第 11 页（共 23 页） 因为 1 0 3 ln， 结合( )g x在在0， 1 ) 2 上单调递减可知 1

24、 ()0 3 g ln， 从而有 1 () 3 0 1 cos 3 f ln ln ， 由 1 cos0 3 ln可得 1 ()0 3 f ln，故B错误； 1 ()() 63 gg ，从而有 1 ()() 63 1 3 2 2 ff ，且 1 ()0 3 f，即 11 ()3 ()2 () 633 fff 故C 正确； 1 ()() 43 gg ，从而有 1 ()() 34 1 2 2 2 ff 即 1 ()2 () 43 ff 故D正确 故选：CD 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为 2 的正方形ABCD沿x轴滚动（无 滑动滚动） ，点D恰好经过坐标原点，设顶点(

25、, )B x y的轨迹方程是( )yf x，则对函数 ( )yf x的判断正确的是( ) A函数( )yf x是奇函数 B对任意的xR，都有(4)(4)f xf x C函数( )yf x的值域为0,2 2 D函数( )yf x在区间6，8上单调递增 【 解 答 】 解 ： 当42x剟，B的 轨 迹 是 以A为 圆 心 ， 半 径 为 2 的 1 4 圆 ， 第 12 页（共 23 页） 当22x 剟时，B的轨迹是以D为圆心，半径为2 2的 1 4 圆， 当24x剟时，B的轨迹是以C为圆心，半径为 2 的 1 4 圆， 当46x剟时，B的轨迹是以A为圆心，半径为 2 的 1 4 圆， 作出函数的

26、图象如图， 函数为偶函数，故A错误；函数的周期是 8，故B正确；函数值域为0，2 2，故C正确； 由图可知，函数在6，8上单调递增； 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线(1) x yxe在点(0,1)处的切线方程为 21yx 【解答】解：(1)( x yxe e为自然对数的底数） ， (2) x yxe ， 根据导数的几何意义，则切线的斜率为 0 |2 x y ， 又切点坐标为(0,1)， 由点斜式方程可得21yx， 曲线(1)( x yxe e为自然对数的底数）在点(0,1)处的切线方程为21y

27、x 故答案为：21yx 14 （5 分）若 sincos 1 1cos2 ， 1 tan() 3 ，则tan 1 7 【解答】解： 2 sincossincoscos1 1cos22sin2sin2tan ， 1 tan 2 ， 又 1 tan() 3 ，则 11 tantan()1 23 tantan() 1 1 1tantan()7 1 2 3 ， 故答案为： 1 7 15 （5 分）在四面体SABC中，2SASB，且SASB，5BC ，3AC ，则该 四面体体积的最大值为 30 6 ，该四面体外接球的表面积为 【解答】解：四面体的体积最大时即面SAB 面ABC， 第 13 页（共 23

28、页） 2SASB，且SASB，5BC ，3AC ，所以90ACB， 取AB的中点H，连接CH，SH， SHAB，面SAB面ABCAB，SH在面SAB内，而 1 22 2 SHSA 所以SH 面ABC，所以 11 130 532 33 26 SABCABC VSSH ； 则外接球的球心在SH上，设球心为O，连接OC， 11 22 22 CHABSA，因为 1 22 2 SHSA，所以O与H重合， 所以2RCHSH， 所以四面体的外接球的表面积 2 48SR， 故答案分别为： 30 6 ，8 16 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线:3l yx上在第三象限内的点，( 10,0)B ， 以

29、线段AB为直径的圆(C C为圆心）与直线l相交于另一个点D，ABCD，则圆C的标准 方程为 22 (7)(6)45xy 【解答】解：根据题意，设A的坐标为(2 ,6 )aa，(0)a ， 又由( 10,0)B ，则AB的中点C的坐标为(5,3 )aa， 则以AB为直径为圆的方程为(2 )(10)(6 )0xa xy ya， 联立直线与圆的方程可得： 3 (2 )(10)(6 )0 yx xa xy ya ， 解可得： 2 6 xa ya 或 1 3 x y ， 故( 1, 3)D ， 第 14 页（共 23 页） 又由ABCD，则有(210)(4)6 (33)0AB CDaaaa，解可得：2a

30、 或1a ， 又由0a ，故2a ， 即C的坐标为( 7, 6)，圆C的半径|93645rBC， 故圆C的标准方程为 22 (7)(6)45xy； 故答案为： 22 (7)(6)45xy 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足 ()(sinsin )( 3sinsin)baBAcBC （1）求A的大小； （2）再在2a ， 4 B ，3cb这三个条件中，选出两个使ABC唯一确定的条 件补充在下面的问题中，并解

31、答问题若 ， ，求ABC的面积注：如果选择 多种方案分别解答，那么按第一种方案解答记分 【解答】解： （1）因为()(sinsin )( 3sinsin)baBAcBC， 又由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，得()()( 3)ba bacbc， 即 222 3bcabc， 所以 222 33 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为0A， 所以 6 A （2）方案一：选条件和 由正弦定理 sinsin ab AB ，得sin2 2 sin a bB A 方法一：由余弦定理 222 2cosbacacB，得 222 (2 2)222 cos 4 cc ， 解得26c 所

32、以ABC的面积 112 sin2 ( 26)31 222 SacB 方案二：选条件和 第 15 页（共 23 页） 由余弦定理 222 2cosabcbcA，得 222 433bbb， 则 2 4b ，所以2b 所以2 3c ， 所以ABC的面积 111 sin22 33 222 SbcA 故答案为：或 18 （12 分）已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列，且 2 3a ， 1 a， 2 a， 5 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n S为数列2 n a 的前n项和， 1 n n b S ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）由题意，设等差数列

33、 n a的公差为(0)d d ，则 1 2 111 3 ()(4 ) ad ada ad ，解得 1 1 2 a d 数列 n a的通项公式为12(1)21 n ann ，*nN （2）由（1） ，可得221 n an，*nN 1231 (2)(2)(2)(2)(2) nnn Saaaaa 357(21)(21)nn 2 (213) 2 2 nn nn 2 1111 11 () 2(2)22 n n b Snnn nnn ， 1231nnn Tbbbbb 1111111111 (1)()()()() 232435112nnnn 1111 (1) 2212nn 323 42(1)(2) n nn

34、 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD，/ /ADBC，90ABC， 45BCD，2BCAD （1）求证：BDPC； （2）若PCBC，求平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦值 第 16 页（共 23 页） 【解答】解： （1）证明：取BC的中点E，连接DE 因为2BCAD，所以ADBE 又因为/ /ADBC，所以四边形ABED是平行四边形 因为90ABC所以四边形ABED是矩形所以DEBC 又45BCD所以 1 2 DECEBC 所以ABCD是直角三角形，即BDCD 又PD 底面ABCD，BD底面ABCD，所以BDPD 又PD，CD 平面PCD，且PDCD

35、D所以BD 平面PCD 又PC 平面PCD，所以BDPC （2）解法一：因为/ /ADBC，AD 平面PAD，BC 平面PAD， 所以/ /BC平面PAD 设平面PAD和平面PBC的交线为l，则/ /BCl， 连接PE，因为DEBC，且BCPD 所以BC 平面PDE，所以l 平面PDE所以lPD，lPE 所以EPD是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角 设1AD ，则2BC ，由（1）知1DE ，2DC 又PCBC，所以2PD 在PED中，90PDE，3PE ，所以 6 cos 3 PD EPD PE 所以平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦值为 6 3 解法二：如图，以D为坐标原

36、点，分别以DB，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系Dxyz， 设1AD ， 则2BC ， 由 （1） 知1DE ，2DC ，2DB 又P C B C， 所以2PD 第 17 页（共 23 页） 所以 22 ( 2,0,0),(0, 2,0), (0,0, 2),(,0) 22 BCPE 所以(2, 2,0)BC ，(0, 2,2)PC 设平面PBC的法向量为(nx，y，) z， 则 0 0 n BC n PC ，即 220 220 xy yz ，取1x ，则1y ，1z ， 所以平面PBC的一个法向量为(1n ，1，1) 又平面PAD的一个法向量为 22 (, 22 mD

37、E，0)， 所以 26 cos, | |33 1 m n m n mn 所以平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦值为 6 3 20 （12 分）近年，国家逐步推行全新的高考制度新高考不再分文理科，某省采用33模 式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为 150 分另外考生还要依据 想考取的高校及专业的要求， 结合自己的兴趣爱好等因素， 在思想政治、 历史、 地理、 物理、 化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试(6选3)，每门科目满分均为 100 分为了应对新 高考，某高中从高一年级 1000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，采用分层抽样 的方

38、法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取 45 人 （1）求n的值； （2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对 第 18 页（共 23 页） 这两个科目的选课情况， 对抽取到的n名学生进行问卷调查 （假定每名学生在 “物理” 和 “地 理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） ，下表是根据调查结果得到的一 个不完整的22列联表，请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为 选择科目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 10 女生 25 总计 （3）在抽取到的 45 名女生中，按（2）中的选课情况进

39、行分层抽样，从中抽出 9 名女生， 再从这 9 名女生中抽取 4 人， 设这 4 人中选择 “物理” 的人数为X， 求X的分布列及期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab ac cd bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由题意得 45 1000450 n ， 解得100n （2）22列联表为： 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 45 10 55 女生 25 20 45 总计 70 30 100 2 100 (45 2025 10) 8.

40、12896.635 55 45 70 30 k 故有99%的把握认为选择科目与性别有关 （3）从 45 名女生中分层抽样抽 9 名女生，所以这 9 女生中有 5 人选择“物理” ，4 人选择 “地理” 9 名女生中再选择 4 名女生，则这 4 名女生中选择“物理”的人数X可为 0，1， 2，3，4 设事件X发生的概率为()P X，则 4 4 4 9 1 (0) 126 C P X C ， 第 19 页（共 23 页） 13 54 4 9 2010 (1) 12663 C C P X C ， 22 54 4 9 6010 (2) 12621 C C P X C ， 31 54 4 9 4020

41、(3) 12663 C C P X C ， 4 5 4 9 5 (4) 126 C P X C 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 126 10 63 10 21 20 63 5 126 数学期望 1206040520 ()01234 1261261261261269 E X 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，直线 3 2 yx与 椭圆E在第一象限内的交点是M，且 2 MFx轴， 12 9 4 MF MF （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在斜率为1的直线l与以线段 12 F F为直径的圆相交于A，B两

42、点，与椭圆E相 交于C，D两点，且 12 13 | | 7 CDAB ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理 由 【解答】解： （1）设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c由题意，得 3 ( ,) 2 M cc 因为 12 339 ( 2 ,) (0,) 224 MF MFccc 解得1c ，则 3 (1, ) 2 M，又点M在椭圆上， 方法一： 2222 33 21( 1)(0)(1 1)(0)4 22 a 所以2a 所以 222 3bac 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy ； 第 20 页（共 23 页） 方法二：所以 22 22 19 1 4 1 ab ab ，解得

43、2 2 4 3 a b 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy （2）存在斜率为1的直线 2 : 2 l yx ，或 2 2 yx 使得满足题意 假设存在斜率为1的直线l，设为yxm 由（1）知， 1( 1,0) F ， 2(1,0) F， 所以以线段 12 F F为直径的圆为 22 1xy 由题意，圆心(0,0)到直线l的距离 | 1 2 m d ，得|2m ， 2 22 | 2 12 122 2 m ABdm 联立方程组 22 1 43 xy yxm ，消去y，整理得 22 784120xmxm 由题意， 2222 ( 8 )4 7 (412)3364848(7)0mmmm ， 解得 2 7m ，又|2m ，所以 2 2m 则 2 1212 8412 , 77 mm xxx x ，所以 2 2 21 4 6 7 |1|2 77 m CDkxx ， 若 12 13 | | 7 CDAB ， 则 22 4 612 13 227 77 mm 整理得 42 436170mm， 解得 2 1 2 m ，或 2 17 2 m 又 2 2m ，所以 2 1 2 m ，即 2 2 m