2019-2020学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 15 页） 2019-2020 学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 1 |28 2 x Mx ， 2 |760Nx xx，则(MN ) A | 13xx B |36xx C |16xx D |13xx 2 （5 分）若实数a，b满足01a，11b ，则2ab的取值范围是( ) A(

2、 2,3) B( 3,2) C(2,3) D( 2,2) 3 （5 分）若0ab，则下列不等式中恒成立的是( ) A 11 ab B 11 ab C 22 ab D 22 ab 4 （5 分）关于“4ab，则a，b至少有一个等于 2”及其逆命题的说法正确的是( ) A原命题为真，逆命题为假 B原命题为假，逆命题为真 C原命题与逆命题均为真命题 D原命题与逆命题均为假命题 5 （5 分）若数列1，2，5，8，11，x，中的项按一定规律变化，则实数x最有可能的 值是( ) A12 B13 C14 D15 6 （5 分）已知平面向量(sin ,2019)a，(cos ,2020)b，若/ /ab，则

3、tan( ) A 2019 2020 B 2020 2019 C 2019 2020 D 2020 2019 7 （5 分）若实数x，y满足8xy，则 22 xy的最小值是( ) A8 B32 C16 D4 8 （5 分）若实数x，y满足不等式组 20 20 3 0 xy xy xy ，则 2 4 x y 的最大值为( ) A3 B2 C1 D0 9 （5 分） 已知二次函数( )f x满足(3)(3)fxfx， 若( )f x在区间3，)上单调递减， 且( )(0)f mf恒成立，则实数m的取值范围是( ) 第 2 页（共 15 页） A(，0 B0，6 C6，) D(，06， ) 10 （

4、5 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Sn，( 1)n nn ba ，则数列 n b的前n项和 n T满足( ) A( 1)n n Tn B n Tn C n Tn D , 2 ,. n n n T n n 为偶数 为奇数 11 （5 分）函数 2 ( ) x e f x x 的图象大致为( ) A B C D 12 （5 分）下列表述正确的是( ) 4 ()4(1,20) min lgxx lgx ； 若0ab，则0 b ln a ； 若x，y，z均是正数，且3412 xyz ，( ,1)() xy n nnN z ，则n的值是 4； 若正实数x，y满足 19 15xy xy ，且1x

5、y ，则x，y均为定值 A B C D 第 3 页（共 15 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若数列 n a满足 1 1 1 1 n n a a ， 2 3a ，则 2020 a 14 （5 分）若函数 2 1,0 ( ) 1,0 xx f x xx ，则不等式f（a）2的解集是 15 （5 分）已知函数( )f x满足(10)( )f xf x，若f（1）1，则不等式 2 (31)logfx的 解集为 16 （5 分）已知以区间(0,2)上的整数分子，以 2 为分母的数组集合 1 A，其所有元素的和为 1

6、 a；以区间(0， 2 2 )上的整数分子，以 2 2为分母组成不属于集合 1 A的数组集合 2 A，其所有 元素的和为 2 a；依此类推以区间(0，2 ) n 上的整数为分子， 以2n为分母组成不属于 1 A， 21n AA 的数组成集合 n A，其所有元素的和为 n a，若数列 n a前n项和为 n S，则 2 0 2 02 0 1 9 SS 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知函数( )(sin2)( 6 f xaxab a ，bR，且0)a （1）若当0, 2 x 时，函数( )f

7、x的值域为 5，1，求实数a，b的值； （2）在（1）条件下，求函数( )f x图象的对称中心 18 （12 分）已知函数 2 ( )2()f xxxa xR （1）若函数( )f x的值域为0，)，求实数a的值； （2）若( )0f x 对任意的1x，)成立，求实数a的取值范围 19 （12 分）已知各项均为正数的等比数列 n a的首项为 1 2 ，且 312 2(1)23aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2） 若8 n bn， 数列 n b的前n项和为 n T， 数列 n a的前n项和为 n S， 试比较 12 111 n TTT 与 1 2 n S的大小 20 （12 分）在A

8、BC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2 cos2aCcb （1）求角A的大小； 第 4 页（共 15 页） （2）若1a ，求ABC面积的最大值 21 （12 分）已知等差数列 n a的所有项和为 150，且该数列前 10 项和为 10，最后 10 项的 和为 50 （1）求数列 n a的项数； （2）求 212230 aaa的值 22 （12 分）已知函数( )212f xxln x （1）求函数( )f x在区间 1 ,4 4 上的最值； （2）求证： 2222 2222 12313 (*,2) 12312 lnlnlnlnn nnNn nn 第 5 页（共 15 页） 201

9、9-2020 学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷学年吉林省长春市五校联考高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 1 |28 2 x Mx ， 2 |760Nx xx，则(MN ) A | 13xx B |36xx C |16xx D |13xx 【解答】解： 1 |28| 13 2 x Mxxx ， 2 |760 |16N

10、x xxxx， |13MNxx 故选：D 2 （5 分）若实数a，b满足01a，11b ，则2ab的取值范围是( ) A( 2,3) B( 3,2) C(2,3) D( 2,2) 【解答】解：11b ， 222b ， 222b 又01a， 223ab 故选：A 3 （5 分）若0ab，则下列不等式中恒成立的是( ) A 11 ab B 11 ab C 22 ab D 22 ab 【解答】解：因为0ab，所以 11 ab ；令1a ，2b ，则 22 ab；令2a ，1b ， 则 22 ab 故选：B 4 （5 分）关于“4ab，则a，b至少有一个等于 2”及其逆命题的说法正确的是( ) A原命

11、题为真，逆命题为假 B原命题为假，逆命题为真 第 6 页（共 15 页） C原命题与逆命题均为真命题 D原命题与逆命题均为假命题 【解答】解：原命题：关于“4ab，则a，b至少有一个等于 2” 若1.9a ，2.1b ，则4ab故原命题为假； 若2a ，2.1b ，则4ab，故其逆命题为假 故选：D 5 （5 分）若数列1，2，5，8，11，x，中的项按一定规律变化，则实数x最有可能的 值是( ) A12 B13 C14 D15 【解答】解：根据题意，数列1，2，5，8，11，x， 分析可知，从第二项起，每一项与前一项的差等于 3， 所以11314x 故选：C 6 （5 分）已知平面向量(si

12、n ,2019)a，(cos ,2020)b，若/ /ab，则tan( ) A 2019 2020 B 2020 2019 C 2019 2020 D 2020 2019 【解答】解：平面向量(sin ,2019)a，(cos ,2020)b，/ /ab， 2020sin2019cos0， sin2019 cos2020 ， 2019 tan 2020 故选：A 7 （5 分）若实数x，y满足8xy，则 22 xy的最小值是( ) A8 B32 C16 D4 【解答】解：因为 222 () 2 xy xy ，当且仅当xy时等号成立， 因为8xy，所以 222 8 () 2 xy， 所以 22

13、32xy， 故 22 xy的最小值是 32， 故选：B 第 7 页（共 15 页） 8 （5 分）若实数x，y满足不等式组 20 20 3 0 xy xy xy ，则 2 4 x y 的最大值为( ) A3 B2 C1 D0 【解答】解：因为： 2 2 22 2 42 xx xy yy ，画出不等式组 20, 20, 3 0, xy xy xy 表示的平面区域如下图阴 影区域： 令2xyz，则 11 22 yxz，据图分析知，当0x ，0y 时，z取得最大值， 且0200 max z，即(2 )0 max xy， 所以 2 4 x y 的最大值为 0 21， 故选：C 9 （5 分） 已知二次

14、函数( )f x满足(3)(3)fxfx， 若( )f x在区间3，)上单调递减， 且( )(0)f mf恒成立，则实数m的取值范围是( ) A(，0 B0，6 C6，) D(，06， ) 【解答】解：据题意设 2 ( )(f xaxbxc a，b，cR，且0)a ，又(3)(3)fxfx， 22 (3)(3)(3)(3)axbxcaxbxc， (6)0xab， 60ab， 22 ( )6(3)9f xaxaxca xac， 又( )f x在区间3，)上单调递减， 第 8 页（共 15 页） 0a，又( )(0)f mf， 06m 剟， 故选：B 10 （5 分）已知数列 n a的前n项和 2

15、 n Sn，( 1)n nn ba ，则数列 n b的前n项和 n T满足( ) A( 1)n n Tn B n Tn C n Tn D , 2 ,. n n n T n n 为偶数 为奇数 【解答】解：当1n 时， 11 1aS；当2n时， 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ， 验证知，当1n 时，成立，综上21 n an，所以( 1)( 1) (21) nn nn ban ， 所以 123 1 ( 1)3 ( 1)5 ( 1)( 1) (21) n n Tn ， 所以 2341 1 ( 1)3 ( 1)5 ( 1)( 1)(21) n n Tn ， 所以 2341 212 ( 1

16、)( 1)( 1)( 1) (21) ( 1) nn n Tn ， 所以 21 1 ( 1) 1( 1) 212(21)( 1) 1( 1) n n n Tn ， 所以( 1)n n Tn ，即数列 n b的前n项和( 1)n n Tn 故选：A 11 （5 分）函数 2 ( ) x e f x x 的图象大致为( ) A B 第 9 页（共 15 页） C D 【解答】解： 2 ( ) x e f x x ， 22222 222 ()2(21) ( ) xxxxx exexxeeex fx xxx ， 令( )0fx，则 1 2 x ，分析知，函数( )f x在区间(,0)上单调递减，在区间

17、 1 (0, ) 2 上单调 递减，在区间 1 ( ,) 2 上单调递增， 又当0x 时，( )0f x ；当0x 时，( )0f x ，且 1 ( )2 2 fe， 故选：C 12 （5 分）下列表述正确的是( ) 4 ()4(1,20) min lgxx lgx ； 若0ab，则0 b ln a ； 若x，y，z均是正数，且3412 xyz ，( ,1)() xy n nnN z ，则n的值是 4； 若正实数x，y满足 19 15xy xy ，且1xy ，则x，y均为定值 A B C D 【解答】解：当1x 时，0lgx ，则 44 ()24 min lgxlgx lgxlgx ， 当且仅

18、当 4 lgx lgx ，即100x 时， 4 ()4 min lgx lgx ，又(1,20)x，所以当(1,20)x时， 4 4lgx lgx ，所以不正确； 若0ab，则01 b a ，则0 b ln a ；所以正确； 令3412 xyz k， 得 3 l o gxk， 4 logyk， 12 logzk， 所以 111 xyz ， 所以 1xy xyz ， 所以 2 () 2 xyxyxy zxyyx ， 因为43 yx ，0x ，0y ，所以20yx，且0yx，所以 1 1 2 y x 设 y t x ，则 第 10 页（共 15 页） 1 2 xy t zt ， 又因为( ,1)(

19、) xy n nnN z ，所以4n ；所以正确； 据题意得 199 ()()10 yx xy xyxy ，又0x ，0y ，所以 19 ()() 16xy xy 又因为01xy ，所以 19 16 xy ，又 19 15xy xy ，所以 19 1516xy xy ，解 方程组 1 19 16 xy xy ，得 1 4 3 4 x y ，所以正确； 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若数列 n a满足 1 1 1 1 n n a a ， 2 3a ，则 2020 a 3 【解答】解：因为 1 1 1 1

20、 n n a a ，所以 1 11 1 nn aa ， 所以 1 11 1 nn aa ，所以 12 11 1 nn aa ， 又因为 2nn aa ， 所以 2 3a ， 20202 3aa 故答案为：3 14 （5 分）若函数 2 1,0 ( ) 1,0 xx f x xx ，则不等式f（a）2的解集是 ( 1,3) 【解答】解：讨论：当0a时，不等式即12a ，求得03a； 当0a 时， 2 12a ，求得10a ， 综上，所求不等式的解集是( 1,3)， 故答案为：( 1,3) 15 （5 分）已知函数( )f x满足(10)( )f xf x，若f（1）1，则不等式 2 (31)lo

21、gfx的 解集为 (0,2) 【解答】解：根据题意，因为(10)( )f xf x，f（1）1， 则(31)(21 10)(21)(11 10)(11)(1 10)fffffff（1）1， 第 11 页（共 15 页） 不等式 2 (31)logfx即 2 log1x ， 解可得02x， 即x的取值范围为(0,2)； 故答案为：(0,2) 16 （5 分）已知以区间(0,2)上的整数分子，以 2 为分母的数组集合 1 A，其所有元素的和为 1 a；以区间(0， 2 2 )上的整数分子，以 2 2为分母组成不属于集合 1 A的数组集合 2 A，其所有 元素的和为 2 a；依此类推以区间(0，2

22、) n 上的整数为分子， 以2n为分母组成不属于 1 A， 21n AA 的数组成集合 n A， 其所有元素的和为 n a， 若数列 n a前n项和为 n S， 则 20202019 SS 2018 2 【解答】解：据题意，得 1 1 2 a ， 21 22222 13123 () 22222 aa， 3 321 333 1221 ()() 222 aaa ， 121 1221 ()()(2) 222 n nn nnn aaaan ， 123 122121 2222 nn n nnn aaaa ， 123 21 2 n nn Saaaa ， 20202019 2018 20002019 212

23、1 2 22 SS 故答案为： 2018 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知函数( )(sin2)( 6 f xaxab a ，bR，且0)a （1）若当0, 2 x 时，函数( )f x的值域为 5，1，求实数a，b的值； （2）在（1）条件下，求函数( )f x图象的对称中心 【解答】解： （1）0 2 x 剟， 0 2x 剟， 5 2 666 x 剟， 1 sin(2),1 62 x ， 第 12 页（共 15 页） 又0a ， sin(2) , 62 a axa ， 3 sin

24、(2) 62 b axabab 剟， 据题意知，5b ， 3 1 2 a b ， 4a ，5b （2）据（1）求解知，( )4sin(2)1 6 f xx ， 令2() 6 xkkZ ， 整理得() 212 k xkZ ， 在（1）条件下，函数图象的对称中心为( 212 k ，1)， 18 （12 分）已知函数 2 ( )2()f xxxa xR （1）若函数( )f x的值域为0，)，求实数a的值； （2）若( )0f x 对任意的1x，)成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数 2 ( )2()f xxxa xR的值域为0，)， 2 24 10a ， 1a （2）( )0f x

25、对任意的1x，)成立， 2 20xxa对任意的1x，)成立， 2 2axx 对任意的1x，)成立， 又当1x，)时， 22 (2 )12 13 max xx ， 3a 即所求实数的取值范围是( 3,) 19 （12 分）已知各项均为正数的等比数列 n a的首项为 1 2 ，且 312 2(1)23aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2） 若8 n bn， 数列 n b的前n项和为 n T， 数列 n a的前n项和为 n S， 试比较 12 111 n TTT 第 13 页（共 15 页） 与 1 2 n S的大小 【解答】解： （1）据题意，设 1 1 n n aa q ， 则 1 2

26、 111 1 2 2(1)23 a a qaa q ， 解得 1 2 q 或2q ， 又据题设知，0q ， 所以 1 2 q ， 所以 1 111 ( )( ) 222 nn n a ，即 1 2 n n a （2）据（1）求解知 1 2 n n a ， 所以 123 11 1( ) 1 22 1( ) 1 2 1 2 n n nn Saaaa ， 因为8 n bn， 所以 2 12 (1)8 844 2 nn nn Tbbbnnn ， 所以 2 111 11 () 4441 n Tnnnn ， 所以 12 11111111111 (1)(1) 4223141 n TTTnnn ， 又因为 1

27、1 1111111 (1)(2)(1 1) 2224242 n nn n S ， 1 1 10 2n ， 所以 12 1111 2 n n S TTT 20 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2 cos2aCcb （1）求角A的大小； （2）若1a ，求ABC面积的最大值 【解答】 （本题满分为 10 分） 解： （1）在ABC中，2 cos2aCcb， 由正弦定理可得：2sincossin2sinACCB （1 分） 又sinsin()BAC，2sincossin2sincos2cossinACCACAC， sin2cossinCAC （3 分） 第 14 页（

28、共 15 页） sin0C ， 1 cos 2 A， A是三角形的内角， 3 A （5 分） （2） 22222 2cos2abcbcAbcbcbcbcbc， 1bc （8 分） 1133 sin1 2224 SbcA ，即ABC面积的最大值为 3 4 （10 分） 21 （12 分）已知等差数列 n a的所有项和为 150，且该数列前 10 项和为 10，最后 10 项的 和为 50 （1）求数列 n a的项数； （2）求 212230 aaa的值 【解答】解： （1）据题意，得 12310 10aaaa， 129 50 nnnn aaaa ， 12132109 ()()()()60 nnn

29、n aaaaaaaa ， 又据等差数列性质知， 12132109nnnn aaaaaaaa ， 1 10()60 n aa， 1 6 n aa， 又 1 () 150 2 n n aa ， 50n，即数列 n a的项数为 50 （2）据（1）求解知， 150 1 6 109 1010 2 aa ad ，即 1 1 2496 292 ad ad ， 1 11 20 1 10 a d ， 2122233021301 10111 ()5(249 )5(249)30 22010 aaaaaaad 22 （12 分）已知函数( )212f xxln x 第 15 页（共 15 页） （1）求函数( )f

30、 x在区间 1 ,4 4 上的最值； （2）求证： 2222 2222 12313 (*,2) 12312 lnlnlnlnn nnNn nn 【解答】解： （1）因为( )212f xxln x ， 所以 121 ( )2 x fx xx ， 令( )0fx，得 1 2 x ，令( )0fx，得 1 0 2 x， 所以函数( )f x在区间 1 (0, ) 2 上单调递减，在区间 1 ( ,) 2 上单调递增， 所以函数( )f x在区间 1 1 , 4 2 上单调递减，在区间 1 ,4 2 上单调递增， 所以当 1 ,4 4 x时， 1 ( )( )2 2 min f xf， 又 1113

31、13 ( )21(2)2 444222 flnlnln ，f（4）2 4 1(2 4)9893 2lnlnln ， 131515 (4)( )93 2(2)4 24 10 4222 fflnlnln ， 所以 1 (4)( ) 4 ff， 所以当 1 ,4 4 x时，( )maxf xf（4）93 2ln， （2）证明：据（1）求解知，2122xln x ， 所以221ln xx，当且仅当 1 2 x 时等号成立， 所以1lnx x，当且仅当1x 时等号成立， 即 1 1 lnx xx ， 令 2* ()xn nN，得 2 * 22 1 1() lnn nN nn ， 所以 2 22 11 1 11 ln ， 2 22 21 1 22 ln ， 2 22 31 1 33 ln ， 2 22 1 1 lnn nn ， 所以 2222 22222222222 12311111111111111111113 11111()11()1() 123123232334(1)233412112 lnlnlnlnn nnnnn nnnnnnnnn 即 2222 * 2222 12313 ,2 12312 lnlnlnlnn nnN nn 且