2019-2020学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 23 页） 2019-2020 学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（理科）学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡上请把答案填涂在答题卡上.） 1 （5 分）已知集合 2 |60Ax xx，xZ， 1B ，1，2，3，则下列判断正确的 是( ) A2A BAB C 1AB ，1，2 D 1AB ， 1，2 2 （5 分）设02， 2 (1)

2、 cossin 2 i i ，则的值为( ) A0 B 4 C 2 D 3 （5 分）如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为 2，且有一个内角为60的菱形， 俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为( ) A 8 3 3 B 8 2 3 C8 3 D8 2 4（5 分） 已知首项为 1， 公比为q的等比数列 n a的前n项和为 n S， 则 “ 3 3S ” 是 “2q ” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知圆C被两直线10xy ，30xy分成面积相等的四部分，且截x轴所 得线段的长为 4则圆C的方程是( ) A 22 (2)(

3、1)25xy B 22 (2)(1)5xy C 22 (2)(1)25xy D 22 (2)(1)5xy 第 2 页（共 23 页） 6 （5 分）函数 cos 1 x yx x 的部分图象大致为( ) A B C D 7 （5 分）如图所示，已知在ABC中， 2 3 AEAC， 1 3 BDBC，BE交AD于点F，若 AFABAC，则2( ) A 6 7 B 8 7 C 16 21 D 26 21 8 （5 分）已知函数( )3sin3cos(0)f xxx，对任意的 1 x， 2 x，当 12 () ()12f xf x 时， 12 | 2 min xx ，则下列判断正确的是( ) A()

4、1 6 f B函数( )f x在(,) 6 2 上递增 C函数( )f x的一条对称轴是 7 6 x D函数( )f x的一个对称中心是(,0) 3 9 （5 分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共 12 关的 闯关游戏为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币） 该软件提 第 3 页（共 23 页） 供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励 80 慧币；第二种，闯过第一关奖励 8 慧币， 以后每一关比前一关多奖励 8 慧币；第三种，闯过第一关奖励 1 慧币，以后每一关比前一关 奖励翻一番（即增加 1 倍） 游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案

5、已知一名闯 关者冲关数一定超过 3 关但不会超过 9 关， 为了得到更多的慧币， 他应如何选择奖励方案？ ( ) A选择第一种奖励方案 B选择第二种奖励方案 C选择第三种奖励方案 D选择的奖励方案与其冲关数有关 10 （5 分）已知过抛物线 2 4yx的焦点F的直线交抛物线于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点， 则| 4|AFBF的最小值为( ) A4 B8 C9 D12 11 （5 分）已知函数 222 ( )4() xx f xxxa ee 有唯一零点，则(a ) A 1 2 B2 C 1 2 D2 12 （5 分）正四面体ABCD的棱长为 2，动点P在以BC为直径

6、的球面上，则AP AD的最 大值为( ) A2 B2 3 C4 D4 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）设xR，向量(2, 2)a ，(1, )bx，且ab，则|ab 14 （5 分）已知实数x，y满足 20 443 0 xy y x xy ，则2zxy的最小值为 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F，过原点的直线与双曲线相 交于A、B两点若|10AB ，|2AF ， 2 5 cos 5 ABF，则双曲线C的实轴长 2a 16 （5 分）已知数列 n

7、a的通项公式为 cos 2 n n n a ，其前n项和记为 n S，则下列命题正确的 是 第 4 页（共 23 页） 数列 n a为递减数列； 对任意正整数n，1 n S 都成立； 对任意正整数m，()n mn， 1 | 2 mn n SS都成立； 对任意正整数m，()n mn， 1 | 2 mn n SS都成立 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 5 小题， 共小题， 共 70 分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.）（一）（一） 必考题：共必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知函数 2 ( )3sin22co

8、s1()f xxxmxR的最小值为2 （1）求实数m的值； （2） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若f（A）2，5c ， 1 cos 7 B ， 求AC的长 18 （12 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D，点E，M，N分别是棱 1 CC， 11 BC， 1 BB的 中点，动点F在线段MN上运动 （1）证明： 1 / /A F平面 1 D AE； （2）求直线EF与平面 1 D AE所成角的正弦值的最大值 19 （12 分）党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全 国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精

9、准脱贫，确保到 2020 年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫 工作经摸底排查，该村现有贫困农户 100 户，他们均从事水果种植，2017 年底该村平均 每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另 一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数从 2018 年 初开始，若该村抽出4x户(,112)xZx剟从事水果包装、销售经测算，剩下从事水果种 第 5 页（共 23 页） 植农户的年纯收入每户平均比上一年提高 20 x ，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 1 (3) 5 x万元 （参考数据

10、： 3 1.121.404， 3 1.151.520， 3 1.181.643， 3 1.21.728) （1）至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.32 万元？若能，请求出从事包装、销 售的户数；若不能，请说明理由； （2）至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收 入不低于 1.6 万元） ，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？ 20 （12 分）已知圆 22 :(1)16Cxy，过(1,0)D且与圆C相切的动圆圆心为P （1）求点P的轨迹E的方程； （2）已知过点C的两直线 1 l和 2 l互相垂直，且直线 1 l交曲线E于Q，S两点

11、，直线 2 l交曲 线E于R，T两点(Q，R，S，T为不同的四个点） ，求四边形QRST的面积的最小值 21 （12 分）设函数 2 ( )f xaxaxlnx （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个极值点 1 x， 2 x，求证： 2112 3 ()()2 4 x f xx f xln （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一如果多做，则按所做第一 个题目计分个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的

12、参数方程为 11 () 2 ( 21 () 2 xt t t yt t 为参数） 以坐标 原 点O为 极 点 ，x轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 2 cossin0m （1）求C和l的直角坐标方程； （2）已知l与C相切，求m的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足1abc，证明： （1） 111 9 abc ； （2）3abc 第 6 页（共 23 页） 第 7 页（共 23 页） 2019-2020 学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（理科）学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（理科）

13、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡上请把答案填涂在答题卡上.） 1 （5 分）已知集合 2 |60Ax xx，xZ， 1B ，1，2，3，则下列判断正确的 是( ) A2A BAB C 1AB ，1，2 D 1AB ， 1，2 【解答】解： 集合 2 |60Ax xx， | 23xZxx ， 1xZ ，0，1，2， 1B ，1，2，3， 1AB ，1，2 故选：C

14、 2 （5 分）设02， 2 (1) cossin 2 i i ，则的值为( ) A0 B 4 C 2 D 【解答】解：由 2 (1) cossin 2 i i ， 得cossinii， cos0 sin1 ，又02， 2 故选：C 3 （5 分）如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为 2，且有一个内角为60的菱形， 俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为( ) 第 8 页（共 23 页） A 8 3 3 B 8 2 3 C8 3 D8 2 【解答】解根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体由两个倒扣的四棱锥体组成 上面的锥体的高为3h 所以 118 3 223223 333

15、 V 故选：A 4（5 分） 已知首项为 1， 公比为q的等比数列 n a的前n项和为 n S， 则 “ 3 3S ” 是 “2q ” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：首项为 1，公比为q的等比数列 n a的前n项和为 n S，若 3 3S ， 当1q 时，1 n a ， 3 3S ，符合题意； 当1q 时， 3 1 3 1 q q ，即： 3 320qq， 2 (2)(1)0qq，2q 或 1， 又1q ，2q ， 第 9 页（共 23 页） 综上所求，1q 或2q ， “ 3 3S ”是“2q ”的必要不充分条件， 故选：B 5

16、 （5 分）已知圆C被两直线10xy ，30xy分成面积相等的四部分，且截x轴所 得线段的长为 4则圆C的方程是( ) A 22 (2)(1)25xy B 22 (2)(1)5xy C 22 (2)(1)25xy D 22 (2)(1)5xy 【解答】解：设圆C的方程为 222 ()()xmynr， 圆C被直线10xy ，30xy分成面积相等的四部分， 圆心( , )C m n一定是两直线10xy ，30xy的交点， 联立：10xy 与30xy， 解得2x ，1y ， 2m，1n 又圆C截x轴所得线段的长为 4， 222 25rn 则圆C的方程为 22 (2)(1)5xy 故选：B 6 （5

17、分）函数 cos 1 x yx x 的部分图象大致为( ) A B C D 【解答】解： coscos() ( )()112 xx f xfxxx xx ， 函数( )f x关于(0,1)中心对称，故排除AC； 第 10 页（共 23 页） 当x时，y ，故排除B 故选：D 7 （5 分）如图所示，已知在ABC中， 2 3 AEAC， 1 3 BDBC，BE交AD于点F，若 AFABAC，则2( ) A 6 7 B 8 7 C 16 21 D 26 21 【解答】解：过点E作/ /EKAD交BC于点K； 2 3 AEAC， 1 2 CKDK； 1 3 BDBC， 3 4 BDDK； / /EK

18、AD； 33 47 BFFEBFBE； 3343242 () 7777377 AFABBFABBEABAEABABACABAC； 4 7 ， 2 7 ； 8 2 7 ， 故选：B 第 11 页（共 23 页） 8 （5 分）已知函数( )3sin3cos(0)f xxx，对任意的 1 x， 2 x，当 12 () ()12f xf x 时， 12 | 2 min xx ，则下列判断正确的是( ) A()1 6 f B函数( )f x在(,) 6 2 上递增 C函数( )f x的一条对称轴是 7 6 x D函数( )f x的一个对称中心是(,0) 3 【解答】解：由题意可知当 12 () ()1

19、2f xf x 时， 1 ( )2 3sin() 3 xx，即函数的最大值 与最小值分别为2 3，2 3， 当 12 () ()12f xf x 时，则函数( )f x在 1 x， 2 x分别取得函数的最大与最小值， 因为 12 | 2 min xx ， 则 11 22 T即T，2， 1 ( )2 3sin(2) 3 xx， 3 :()2 33 62 A f ，故A错误； B：结合正弦函数的性质及函数图象的平移可知( )f x在(,) 6 2 上单调递减，故B错误； C：当 7 6 x 时， 73 ()33 62 f 不是函数的最值，错误； D：令 1 2 3 xk可得 1 62 xk ，当1

20、k 时符合题意 故选：D 9 （5 分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共 12 关的 闯关游戏为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币） 该软件提 供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励 80 慧币；第二种，闯过第一关奖励 8 慧币， 以后每一关比前一关多奖励 8 慧币；第三种，闯过第一关奖励 1 慧币，以后每一关比前一关 第 12 页（共 23 页） 奖励翻一番（即增加 1 倍） 游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案已知一名闯 关者冲关数一定超过 3 关但不会超过 9 关， 为了得到更多的慧币， 他应如何选择奖励方案？ ( ) A选择第

21、一种奖励方案 B选择第二种奖励方案 C选择第三种奖励方案 D选择的奖励方案与其冲关数有关 【解答】解：设闯关者闯关次数为n，依题意，39n ，nN， 若按第一种，则可得到的慧币数为80n； 若按第二种，则可得到的慧币数为 2 (1) 8844 2 n n nnn ； 若按第三种，则可得到的慧币数为1 2 21 12 n n ； 令 2 8044nnn，则19n ，又39n ，nN，故选择第一种比第二种合理； 令8021 n n ，则10n ，又39n ，nN，故选择第一种比第三种合理； 综上，为了得到更多的慧币，他应选择第一种奖励方案； 故选：A 10 （5 分）已知过抛物线 2 4yx的焦点

22、F的直线交抛物线于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点， 则| 4|AFBF的最小值为( ) A4 B8 C9 D12 【解答】解：设AF，BF的长分别为m，n，由题意， 112 1 mnp ， 1144 4()(4 )5529 nmn m mnmn mnmnm n ， 当且仅当2mn时，4mn的最小值为 9， 故选：C 11 （5 分）已知函数 222 ( )4() xx f xxxa ee 有唯一零点，则(a ) A 1 2 B2 C 1 2 D2 【解答】解： 222222 ( )4()(2)()4 xxxx f xxxa eexa ee ， 令2tx，则 2 (

23、)()4 tt f tta ee为偶函数，图象关于0t 对称， 第 13 页（共 23 页） 若( )0f t 有唯一零点，则根据偶函数的性质可知(0)420fa ， 所以2a 故选：B 12 （5 分）正四面体ABCD的棱长为 2，动点P在以BC为直径的球面上，则AP AD的最 大值为( ) A2 B2 3 C4 D4 3 【解答】解：如图， 设BC的中点为O，则O为球心，APABBOOP，易知,60 ,AB ADADBC， ()22 cos6001 2 cos,22cos,AP ADABBOOP ADAB ADBO ADOP ADOP ADOP AD ， 当cos,1OP AD，即,OP

24、AD方向相同时，取得最大值 4 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）设xR，向量(2, 2)a ，(1, )bx，且ab，则|ab 10 【解答】解：ab，220a bx，解得1x (1, 3)ab 则 22 |1( 3)10ab 故答案为：10 第 14 页（共 23 页） 14 （5 分）已知实数x，y满足 20 443 0 xy y x xy ，则2zxy的最小值为 1 【解答】解：画出不等式组 20 443 0 xy y x xy 表示的平面区域， 得到如图所示阴影部分及其边界， 其中 1

25、( 4 A， 1 ) 2 ， 3 (8B， 3) 8 ； 设( , )2zF x yxy，将直线:2l zxy进行平移， 观察y轴上的截距变化，可得 当l经过点A时，目标函数z达到最小值， 且 1 (4zF 最小值 ， 111 )21 242 故答案为：1 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F，过原点的直线与双曲线相 交于A、B两点若|10AB ，|2AF ， 2 5 cos 5 ABF，则双曲线C的实轴长2a 2 【解答】解：如图所示， 设BFm双曲线的右焦点为F，连接AF，BF则四边形AFBF为平行四边形 2BFAF 在ABF中，由余弦定

26、理可得： 2 2 5 2102 10 5 mm， 化为： 2 4 280mm， 第 15 页（共 23 页） 解得2 2m 22 222a 故答案为：2 16 （5 分）已知数列 n a的通项公式为 cos 2 n n n a ，其前n项和记为 n S，则下列命题正确的 是 数列 n a为递减数列； 对任意正整数n，1 n S 都成立； 对任意正整数m，()n mn， 1 | 2 mn n SS都成立； 对任意正整数m，()n mn， 1 | 2 mn n SS都成立 【解答】 解： 对于， 1 cos cos1 2 0 22 a ， 2 cos cos2 2 0 44 a ， 5 3 cos

27、 cos5 2 0 3232 a ， 所以数列 n a不是递减，即错误； 对于，由 1 2 n n a 得 11 (1( ) ) 1 22 1( )1 1 2 1 2 n n n S ，所以正确， 对于， 1212 1212 111111 | | | | 222222 mnnnmnnm nnmnnm SSaaaaaa 1 11 (1) 11111 22 (1) 1 22222 1 2 nm n nm nnmn ，所以正确，错误 第 16 页（共 23 页） 故答案为： 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 5 小题， 共小题， 共 70 分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步

28、骤分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.）（一）（一） 必考题：共必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知函数 2 ( )3sin22cos1()f xxxmxR的最小值为2 （1）求实数m的值； （2） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若f（A）2，5c ， 1 cos 7 B ， 求AC的长 【解答】 解：（1） 2 ( )3sin22cos1cos23sin22sin(2) 6 f xxxmxxmxm ( )f x的最小值为2，22m ，解得0m （2）由f（A）2得sin(2)1 6 A ， 0A， 11 2 666 A ， 2 62 A ，解得

29、 3 A ， 1 cos 7 B ，0B， 4 3 sin 7 B 5 3 sinsin()sincoscossin 14 CABABAB 由正弦定理 sinsin bc BC ，得 5 4 35 3 714 b ，得8b ，即8AC 18 （12 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D，点E，M，N分别是棱 1 CC， 11 BC， 1 BB的 中点，动点F在线段MN上运动 （1）证明： 1 / /A F平面 1 D AE； （2）求直线EF与平面 1 D AE所成角的正弦值的最大值 第 17 页（共 23 页） 【解答】解： （1）证明：连接 1 BC， 1 A N，NE， 1 A

30、 M， M，N分别是 11 BC， 1 BB的中点， 1 / /MNBC 又 11 / /BCAD， 1 / /MNAD，MN 平面 1 AD E， 1 AD 平面 1 AD E， / /MN平面 1 AD E， N，E分别是 1 BB， 1 CC的中点， 11 / /NEBC， 四边形 11 NEC B为平行四边形， 11 NEBC， 又 1111 / /BCAD， 1111 BCAD， 11 / /NEAD， 11 NEAD， 四边形 11 A NED是平行四边形， 11 / /A ND E， 1 AN 平面 1 AD E， 1 D E 平面 1 AD E， 1 / /A N平面 1 AD

31、 E， 1 ANMNN，平面 1 / /AMN平面 1 AD E， 又 1 AF 平面 1 AMN， 1 / /AF平面 1 D AE （2）以D为坐标原点，分别以DA，DC， 1 DD所在直线为x轴，y轴，z轴， 如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2， 则(2A，0，0)，(0E，2，1)， 1(0 D，0，2)，(1M，2，2)，(2N，2，1)， 1 (0,2, 1)D E ， 1 ( 2,0,2)AD ，( 1,0,1)NM ， F在线段MN上，令(01)NFNM剟， 则(2F，2，1)，(2,0, )EF， 设( , , )nx y z是平面 1 D AE的法向量，则 1

32、1 0 0 n D E n AD ，即 20 220 yz xz ，取2x ，得1y ， 2z ， 第 18 页（共 23 页） (2,1,2)n 设直线EF与平面 1 D AE所成角为，则 22 |42 2 sin|cos,| | 3 2443 (1)1 n EF n EF n EF ， 0，1，1时， 2 2 () 3 sin 最大 直线EF与平面 1 D AE所成角的正弦值的最大值 2 2 3 19 （12 分）党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全 国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到 2020 年我国现行标准下

33、农村贫困人口实现脱贫现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫 工作经摸底排查，该村现有贫困农户 100 户，他们均从事水果种植，2017 年底该村平均 每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另 一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数从 2018 年 初开始，若该村抽出4x户(,112)xZx剟从事水果包装、销售经测算，剩下从事水果种 植农户的年纯收入每户平均比上一年提高 20 x ，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 1 (3) 5 x万元 （参考数据： 3 1.121.404， 3 1.151.520， 3 1.181

34、.643， 3 1.21.728) （1）至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.32 万元？若能，请求出从事包装、销 售的户数；若不能，请说明理由； （2）至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收 入不低于 1.6 万元） ，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？ 第 19 页（共 23 页） 【解答】解： （1）假设至 2018 年底每户年均纯收入能达到 1.32 万元，由已知可得： 每户的平均收入为： 1 4 (3)(1004 )(1) 520 ( ) 100 x xxx f x ， 令 1 4 (3)(1004 )(1) 520 (

35、)1.32 100 x xxx f x ， 化简，得 2 1332 0xx，解得：13 411341 22 x 剟， 因为xZ，112x剟，且6417，可得：4x，5，6，7，8，9， 所以，当从事包装、销售的户数为 16，20，24，28，32，36 户时能达到每户平均纯收入 1.32 万元 （2）由已知可得：至 2020 年底，种植户每户平均收入为 3 1 (1) 20 x ， 令 3 (1)1.6 20 x ，得： 3 20( 1.61)x， 由题所给数据，知： 3 1.151.61.18，所以， 3 320( 1.61)3.6， 所以，x的最小值为 4，416x， 即至少抽出 16 户

36、从事包装、销售工作 20 （12 分）已知圆 22 :(1)16Cxy，过(1,0)D且与圆C相切的动圆圆心为P （1）求点P的轨迹E的方程； （2）已知过点C的两直线 1 l和 2 l互相垂直，且直线 1 l交曲线E于Q，S两点，直线 2 l交曲 线E于R，T两点(Q，R，S，T为不同的四个点） ，求四边形QRST的面积的最小值 【解答】解： （1）设动圆半径为r，由于D在圆内，故圆P与圆C内切， 则| 4PCr，|PDr，所以| 4 | 2PCPDCD， 由椭圆定义可知，点P的轨迹E是以C、D为焦点，实轴长为 4 的椭圆，2a ，1c ， 413b ， 所以轨迹E的方程为 22 1 43

37、xy （2）若 1 l或 2 l的斜率不存在，四边形QRST的面积 2 2 1 2(2 )26 2 b Sab a ， 若两条直线的斜率都存在，设 1 l的斜率为 1 kk，则 2 l的斜率为 2 1 k k ， 则 1 l的方程为(1)yk x， 2 l的方程为 2( 1)ykx， 第 20 页（共 23 页） 联立方程组 22 (1) 1 43 yk x xy ，得 2222 (43)84(3)0kxk xk， 由韦达定理得 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 4(3) 43 k x x k ， 22222 (8)4(43)4(3)144144kkkk， 设 1 (Q

38、x， 1) y， 2 (S x， 2) y，则 2 22 12 22 12(1) |1|1 4343 k QSkxxk kk ， 同理可得 2 22 2 22 2 2 1 121() 12(1)12(1) | 1 4343 4()3 kk k RT kk k ， 所以 2222 2222 2 1(1)(1)288 | | 7272 34432(34)(43)49 () 2 QSRT kk SQSRT kkkk ， 当且仅当 22 3443kk，即1k 时等号成立 因为 288 6 49 ，因此当1k 时，四边形QRST的面积取得最小值为 288 49 另解一： 2242422 224242 2

39、 2 (1)72(21)6(122512)11288 726(1)6(1) 12 (34)(43)1225121225122 122549 1225 QSRT kkkkkk S kkkkkk k k 当 2 2 12 12k k 即1k 时等号成立 另解二：也可以令 2 1tk换元求解 21 （12 分）设函数 2 ( )f xaxaxlnx （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个极值点 1 x， 2 x，求证： 2112 3 ()()2 4 x f xx f xln 【解答】解： （1） 2 121 ( )2(0) axax fxaxax xx ， 令 2 ( )21h

40、 xaxax， 2 8aa， 当0a 时，( )f xlnx 在(0,)上单调递减， 当0a 时，0，由( )0fx得 2 1 8 0 4 aaa x a ， 2 2 8 0 4 aaa x a ， 第 21 页（共 23 页） 当 2 8 (0,) 4 aaa x a 时( )0fx，当 2 8 (,) 4 aaa x a 时，( )0fx， ( )f x在 2 8 (0,) 4 aaa a 上单调递减，在 2 8 (,) 4 aaa a 上单调递增， 当80a时，0，( ) 0fx，( )f x在(0,)上单调递减， 当8a 时，0，由( )0fx得 2 8 0 4 aaa x a ， 当

41、 2 8 (,) 4 aaa x a 或 2 8 (,) 4 aaa x a 时，( )0fx， 当 22 88 (,) 44 aaa aaa x aa 时，( )0fx， ( )f x在 2 8 (0,) 4 aaa a ， 2 8 (,) 4 aaa a 上单调递减， 在 22 88 (,) 44 aaa aaa aa 上单调递增， 综上所述， 当0a 时，( )f x在 2 8 (0,) 4 aaa a 上单调递减， 在 2 8 (,) 4 aaa a 上单调递增； 当80a时，( )f x在(0,)上单调递减； 当8a 时，( )f x在 2 8 (0,) 4 aaa a ， 2 8

42、(,) 4 aaa a 上单调递减， 在 22 88 (,) 44 aaa aaa aa 上单调递增 （2）由（1）得8a 时，( )f x有两个极值点 12 xx，设 12 xx， 则有 12 12 1 2 1 2 xx x x a 且 1 1 0 4 x， 22 211221111222 ( )()()()x f xx f xx axaxlnxx aaxlnx， 第 22 页（共 23 页） 121212211221121111 3311 ()2()() 4422 ax xxxax xx lnxxlnxx lnxxlnxxlnxxlnx， 1 1 (0, ) 4 x ， 令 311 ( )

43、()() 422 g xxlnxxlnx， 1 (0, ) 4 x， 1 1 4 ( )() 1 2 () 2 x g xlnxlnx xx ， 令( )( )h xg x，则 2 22 11 11 28 ( ) 11 () 22 xx h x x xxx ， 1 (0, ) 4 x， 1 0 x ， 1 0 1 2 x ， 2 22 11 28 0 1 () 2 xx xx ， 当 1 (0, ) 4 x时，( )0h x，( )g x在区间 1 (0, ) 4 单调递增， 1 ( )( )0 4 g xg，( )g x在区间 1 (0, ) 4 单调递减， 13 ( )( )2 44 g xgln， 综上， 2112 3 ()()2 4 x f xx f xln （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一如果多做，则按所做