2019-2020学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（理科）学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 2 |0 1 x Ax x ， | 12Bxx ，则(AB ) A 2，2) B( 1，1 C( 1,1) D( 1,2) 2 （5 分）已知复数z满足1(zi i 为虚数单位） ，则| | z等于( ) A 1 2 B1 C2

2、 D2 3 （5 分）等差数列 n a前n项和为 n S，已知 4 6a ， 3 6S ，则( ) A410 n an B36 n an C 2 n Snn D 2 24 n Snn 4 （5 分） 周髀算经中记录了一种“盖天天地模型”如图所示， “天之中央亦高四旁六万 里 四旁犹四极也， 地穹隆而高， 如盖笠 故日光外所照径八十一万里， 周二百四十三万里 ” 意思为“天的中央亦高出四周六万里四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠所以 日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里 ”将地球看成球体，以此 数据可估算地球半径大约为( ) A164 万里 B140 万里 C104 万

3、里 D78 万里 5 （5 分）已知抛物线方程为 2 2xy，则其准线方程为( ) A1y B1x C 1 2 x D 1 2 y 6 （5 分）若(24)nx展开式中第 3 项二项式系数和第 5 项二项式系数相等，则展开式中所 有项的系数和为( ) A 6 2 B 7 2 C 8 2 D 9 2 第 2 页（共 19 页） 7 （5 分）若 1 9 1 log 25 a ， 3 log 4b ， 1 5 1 ( ) 3 c ，则a，b，c的大小关系为( ) Acba Bcab Cbac Dabc 8 （5 分）已知函数 2 ( )2cosf xxx，( )fx是( )f x的导函数，则函数(

4、 )yfx的图象大 致为( ) A B C D 9 （5 分）某校高三年级有男生 410 人，学号为 001，002，410；女生 290 人，学号为 411，412，700 对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这 700 名学 生中抽取 10 人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030)；再从这 10 名学生中随机抽取 3 人进行数据分析，则这 3 人中既有男生又有女生的概率是( ) A 1 5 B 3 10 C 7 10 D 4 5 10 （5 分）已知函数( ) |cos2 |cos|f xxx，x ，则下列说法错误的为( ) A( )f x有 2 个零点

5、 B( )f x最小值为 2 2 C( )f x在区间(0,) 4 单调递减 D( )f x的图象关于y轴对称 11 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的一个截面经过顶点A，C及棱 11 AD上一点K， 且将正方体分成体积之比为13:41的两部分，则 1 1 D K KA 的值为( ) 第 3 页（共 19 页） A1 B 2 2 C 1 2 D 1 3 12 （5 分）若点(0, )At与曲线ylnx上点B距离最小值为2 3，则实数t为( ) A23ln B32ln C 1 33 2 ln D 1 22 2 ln 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，

6、每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知 1,3, 2 ,am babbm若则 14（5分） 已知数列 n a满足 1 1a ， * 1 3 () n nn a anN ， 那么数列 n a的前9项和 n S 15 （5 分）已知正四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD边长为 2， E为PB中点，90AEC，则球O表面积为 16 （5 分） 设 1 F， 2 F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 左， 右焦点， 过 2 F的直线交双曲线左， 右两支于点M，N，连接 1 MF， 1 NF，若 11 0MF NF ，且 11 | |MFNF，

7、则双曲线的离心 率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD为矩形， 平面PCD 平面ABCD， E为PC中点，2PDCDDE （1）求证：EDBP； （2）若BD与平面PBC所成的角为30，求二面角CPBD的大小 第 4 页（共 19 页

8、） 18 （12 分）已知函数 1 ( )sin cos() 64 f xxx （1）求函数( )f x的周期； （2）若(0,) 4 ， 2 ( ) 5 f，求sin2 19 （12 分）已知定点( 1,0)M ，圆 22 :(1)16Nxy，点Q为圆N上动点，线段MQ的 垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2） 过点M与N作平行直线 1 l和 2 l， 分别交曲线C于点A，B和点D，E， 求四边形ABDE 面积的最大值 20 （12 分）小明和父母都喜爱中国好声音这栏节目，2019 年 10 月 7 日晚在鸟巢进行 中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩

9、战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏 战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为 1，2，3，4，某网站 为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测现用 1 a， 2 a， 3 a， 4 a表示某 网友对实际名次为 1，2，3，4 的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列， 1234 |1|2|3|4|Xaaaa是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种 描述 （1）求X的分布列及数学期望； （2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是4X ，计算出 现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立） 21 （12 分）已知函数( )2

10、(1) x f xax a （1）当ae时，求证：( )22f xlnxx； 第 5 页（共 19 页） （2）讨论函数( )f x的零点个数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分，题计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 cos3sin ( sin3cos2 x y 为参数） ， 以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若直线 1

11、l， 2 l的极坐标方程分别为() 6 R ， 2 () 3 R ，设直线 1 l， 2 l与曲 线C的交点分别为M，N（除极点外） ，求OMN的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4| 2|1|f xxx的最大值为m （1）解不等式( )1f x ； （2）若a，b，c均为正数，且满足abcm，求证： 222 3 bca abc 第 6 页（共 19 页） 2019-2020 学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（理科）学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每

12、小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 2 |0 1 x Ax x ， | 12Bxx ，则(AB ) A 2，2) B( 1，1 C( 1,1) D( 1,2) 【解答】解：集合 2 |0 | 21 1 x Axxx x ， | 12Bxx ， | 11( 1,1)ABxx 故选：C 2 （5 分）已知复数z满足1(zi i 为虚数单位） ，则| | z等于( ) A 1 2 B1 C2 D2 【解答】解：1zi ， 22 |112z 故选：D 3 （5 分

13、）等差数列 n a前n项和为 n S，已知 4 6a ， 3 6S ，则( ) A410 n an B36 n an C 2 n Snn D 2 24 n Snn 【解答】解：因为 4 6a ， 3 6S ， 所以 1 1 36 336 ad ad ， 解可得， 1 0a ，2d ， 故22 n an， 2 22 2 n n snnn 故选：C 4 （5 分） 周髀算经中记录了一种“盖天天地模型”如图所示， “天之中央亦高四旁六万 里 四旁犹四极也， 地穹隆而高， 如盖笠 故日光外所照径八十一万里， 周二百四十三万里 ” 意思为“天的中央亦高出四周六万里四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠

14、所以 第 7 页（共 19 页） 日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里 ”将地球看成球体，以此 数据可估算地球半径大约为( ) A164 万里 B140 万里 C104 万里 D78 万里 【解答】解：设地球的半径为R万里，如图所示： 由题意可得，日光照射到地球所形成的截面圆的半径为 81 2 万里， 则 222 81 (6)() 2 RR，解得 81 27 3140 16 R （万里） ， 故选：B 5 （5 分）已知抛物线方程为 2 2xy，则其准线方程为( ) A1y B1x C 1 2 x D 1 2 y 【解答】解：抛物线 2 2xy的准线方程为： 1 2 y ，

15、 故选：D 6 （5 分）若(24)nx展开式中第 3 项二项式系数和第 5 项二项式系数相等，则展开式中所 有项的系数和为( ) A 6 2 B 7 2 C 8 2 D 9 2 【解答】解：(24)nx展开式中第 3 项二项式系数和第 5 项二项式系数相等， 所以 24 nn CC， 第 8 页（共 19 页） 所以6n ， 令1x ，则 66 (24)2， 故选：A 7 （5 分）若 1 9 1 log 25 a ， 3 log 4b ， 1 5 1 ( ) 3 c ，则a，b，c的大小关系为( ) Acba Bcab Cbac Dabc 【解答】解： 133 9 1 loglog 5lo

16、g 41 25 ab， 1 5 1 ( )1 3 c ， 则abc 故选：D 8 （5 分）已知函数 2 ( )2cosf xxx，( )fx是( )f x的导函数，则函数( )yfx的图象大 致为( ) A B C D 【解答】解：函数的导数( )22sinfxxx， 则( )fx为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B， 设( )( )22sing xfxxx，则( )22cos0g xx，即( )g x为增函数，排除D 故选：C 9 （5 分）某校高三年级有男生 410 人，学号为 001，002，410；女生 290 人，学号为 411，412，700 对高三学生进行问卷调查，按学号采用

17、系统抽样的方法，从这 700 名学 生中抽取 10 人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030)；再从这 10 第 9 页（共 19 页） 名学生中随机抽取 3 人进行数据分析，则这 3 人中既有男生又有女生的概率是( ) A 1 5 B 3 10 C 7 10 D 4 5 【解答】解：由题意得，抽样间隔为 700 70 10 ， 且第 1 组抽到的号码为 030，第 2 组抽到号码为 100，第 3 组抽到号码为 170，第 4 组抽到 号码为 240， 第 5 组抽到号码为 310，第 6 组抽到号码为 380，都为男生， 从第 7 组开始抽到的都为女生，有 4 人 所以在

18、抽取的 10 人中，男生 6 人，女生 4 人 从这 10 名学生中随机抽取 3 人进行数据分析，则这 3 人中既有男生又有女生的概率 33 64 33 1010 4 1 5 P 痧 故选：D 10 （5 分）已知函数( ) |cos2 |cos|f xxx，x ，则下列说法错误的为( ) A( )f x有 2 个零点 B( )f x最小值为 2 2 C( )f x在区间(0,) 4 单调递减 D( )f x的图象关于y轴对称 【解答】解：由x ，关于原点对称，且 () |cos2()|cos| |cos2 |cos|( )fxxxxxf x， 即有( )f x为偶函数，即( )f x的图象关

19、于y轴对称，故D正确； 由对称性可知只需考虑0x， 当0x， 4 时，20x， 2 ，cos20x， 22 19 ( )cos2cos2coscos12(cos) 48 f xxxxxx ， 令 2 cos (1) 2 txt剟，则 2 19 2() 48 yt在0，1递增， 则( )f x在0x， 4 递减，故C正 确； 当 4 x ， 2 时，2 2 x ，cos20x， 22 19 ( )cos2cos2coscos12(cos) 48 f xxxxxx ， 令 2 cos (0) 2 txt剟， 则 2 19 2() 48 yt 在0， 1 4 递增，1 4 ， 2 2 递减， 则(

20、)f x在 4 x ， 第 10 页（共 19 页） 1 arccos 4 递增， 在 1 arccos 4 x， 2 递减； 2 x ， 3 4 时，2x， 3 2 ，cos20x， 22 19 ( )cos2cos2coscos12(cos) 48 f xxxxxx ， 令 2 cos (0) 2 txt剟，则 2 19 2() 48 yt 在 2 2 ，0递增，则( )f x在 2 x ， 3 4 递 减， 3 4 x ，时， 3 2 2 x ，2 ，cos20x， 22 19 ( )cos2cos2coscos12(cos) 48 f xxxxxx ， 令 2 cos ( 1) 2 t

21、xt剟，则 2 19 2() 48 yt在 1， 2 2 递减，则( )f x在 3 4 x ，递 增， 综上可得，( )f x在 3 4 x 处取得最小值，且为 2 2 ，故B正确； 又( )f x在0， 2 时( )0f x ，( )f x在( 2 ， 3 ) 4 递减， 在 3 4 ，递增， 3 ()0 4 f ，( )0f， 可得( )f x在0，有两个零点，则( )f x在，有 4 个零点，故A错误， 故选：A 11 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的一个截面经过顶点A，C及棱 11 AD上一点K， 且将正方体分成体积之比为13:41的两部分，则 1 1 D K

22、KA 的值为( ) A1 B 2 2 C 1 2 D 1 3 【解答】解：过K作/ /KEAC，交 11 C D于点E，连结CE， 第 11 页（共 19 页） 设正方体棱长为a，设 1 1 1D K KA ，则 11 1 a D KD E ， 正方体 1111 ABCDABC D的一个截面经过顶点A，C及棱 11 AD上一点K， 且将正方体分成体积之比为13:41的两部分， 1 22223 1111113 ()() 32122 121341 KEDACD aa Vaaaa ， 解得2 1 1 1 2 D K KA 故选：C 12 （5 分）若点(0, )At与曲线ylnx上点B距离最小值为2

23、 3，则实数t为( ) A23ln B32ln C 1 33 2 ln D 1 22 2 ln 【解答】解：设点B坐标为 0 (x， 0) lnx，其中 0 0x ， 1 y x ，过点B的切线斜率为 0 1 x ， 当直线AB与过点B的切线垂直时，点A与点B间的距离最小，此时 0 0 0 lnxt x x ， 2 00 lnxtx ， 点A与点B间的距离最小值 2224 0000 ()2 3xlnxtxx， 即 42 00 120xx，解得： 2 0 3x，又 0 0x ， 0 3x ， 2 00 1 3333 2 tlnxxlnln， 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小

24、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 12 页（共 19 页） 13 （5 分）已知 1,3, 2 ,am babbm若则 8 【解答】解：(4,2)abm； ()abb； ()122(2)0ab bm； 8m 故答案为：8 14 （5 分）已知数列 n a满足 1 1a ， * 1 3 () n nn a anN ，那么数列 n a的前 9 项和 n S 241 【解答】解： 1 1a ， * 1 3 () n nn a anN ， 可得 12 3a a ，即 2 3a ， 又 1 12 3n nn aa ， 相除可得 2 3 n n a a ， 则数列的奇数项和偶数项

25、，均为公比为 3 的等比数列， 可得数列 n a的前 9 项和为 4 (1 33 )(392781) 5 1 3 120241 1 3 故答案为：241 15 （5 分）已知正四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD边长为 2， E为PB中点，90AEC，则球O表面积为 32 3 【解答】解：如图， 第 13 页（共 19 页） 设ABCD的中心为G，连接PG，则PG 底面ABCD， 底面ABCD边长为 2，2 2AC， 又90AEC，AEC为等腰直角三角形，得2EG ， 则2 2PB ， 22 (2 2)( 2)6PG 设正四棱锥PABCD的外接球的外接球的球心为O，半径为R

26、， 则 222 ( 6)( 2)RR，解得 4 6 R 球O表面积为 2 432 4() 36 故答案为： 32 3 16 （5 分） 设 1 F， 2 F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 左， 右焦点， 过 2 F的直线交双曲线左， 右两支于点M，N，连接 1 MF， 1 NF，若 11 0MF NF ，且 11 | |MFNF，则双曲线的离心 率为 3 【解答】解：若 11 0MF NF ，且 11 | |MFNF，可得 1 MNF为等腰直角三角形， 设 11 | |MFNFm，则|2MNm， 由 12 | 2MFMFa， 21 | 2NFNFa， 两式相加可得 22

27、| | 4NFMFMNa， 即有2 2ma， 在直角三角形 12 HF F中可得 222 44(22 22 )caaaa， 化为 22 3ca， 即3 c e a 故答案为：3 第 14 页（共 19 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形A

28、BCD为矩形， 平面PCD 平面ABCD， E为PC中点，2PDCDDE （1）求证：EDBP； （2）若BD与平面PBC所成的角为30，求二面角CPBD的大小 【解答】解： （1）证明：面PCD 面ABCD，BCCD，面PCD面ABCDCD， 所以BC 面PCD，BCDE， 又PDCD，E为PC中点，EDPC，BCPCC， ED面PBC，故EDBP （2）解：以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系， 第 15 页（共 19 页） 由（1）可知，BD在平面PBC的射影为EB，即30DBE， 不妨设2CD ，由2PDCDDE得2ED ， 2 2BD ，故2BC

29、， (0D，0，0)，(0P，0，2)，(0C，2，0)，(2B，2，0) (2,2, 2)PB ，(0,2, 2)PC ，(2,2,0)DB ， 设平面PBC与平面PBD的法向量分别为 1111 ( ,)nx y z和 2222 (,)nxy z， 则 1 (0,1,1)n 由 2222222 222222 (,) (2,2, 2)2220 (,) (2,2,0)220 n PBxyzxyz n DBxyzxy ， 令 2 1y ，则 2 1x ， 2 0z ， 1 ( 1,1,0)n 12 1 cos, 2 n n ， 二面角CPBD的大小60 18 （12 分）已知函数 1 ( )sin

30、 cos() 64 f xxx （1）求函数( )f x的周期； （2）若(0,) 4 ， 2 ( ) 5 f，求sin2 【解答】解：（1） 2 1311311 ( )sin (cos cossin sin)sin cossinsin2cos2sin(2) 6642244426 f xxxxxxxxxx ， 第 16 页（共 19 页） 所以函数( )f x周期为T （2） 12 ( )sin(2) 265 f ， 所以 4 sin(2) 65 因为(0,) 4 ， 得2(,) 66 3 ， 所以 3 cos(2) 65 ， 可得 4331433 sin2sin(2)sin(2)coscos

31、(2)sin 666666525210 19 （12 分）已知定点( 1,0)M ，圆 22 :(1)16Nxy，点Q为圆N上动点，线段MQ的 垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2） 过点M与N作平行直线 1 l和 2 l， 分别交曲线C于点A，B和点D，E， 求四边形ABDE 面积的最大值 【解答】解： （1）由题意可得| | 4 | 2MPNPPQNPMN， 所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 即曲线C的方程为： 22 1 43 xy ； （2）由题意可设 2 l的方程为1xty， 联立方程得 22 22 1 (34)690 43

32、1 xy tyty xty ， 设 1 (D x， 1) y， 2 (E x， 2) y，则由根与系数关系有 12 2 12 2 6 34 9 34 t yy t y y t ， 所以 2 2222 1212 222 6912(1) |1()41()4 343434 t DEtyyy yt ttt ， 同理 2 1 2 12(1) | 34 t ABl t 与 2 l的距离为 2 2 1 d t ， 第 17 页（共 19 页） 所以四边形ABDE面积为 2 2 1 24 34 t S t ， 令 2 1(1)tu u得 2 2424 1 31 3 u S u u u ， 当且仅当1u ，即0

33、t 时， ABDE S面积取最大值为 6 20 （12 分）小明和父母都喜爱中国好声音这栏节目，2019 年 10 月 7 日晚在鸟巢进行 中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏 战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为 1，2，3，4，某网站 为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测现用 1 a， 2 a， 3 a， 4 a表示某 网友对实际名次为 1，2，3，4 的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列， 1234 |1|2|3|4|Xaaaa是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种 描述 （1）求X的分布列及数

34、学期望； （2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是4X ，计算出 现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立） 【解答】解： （1）X的可能取值集合为0，2，4，6，8 分可用列表或树状图列出 1，2，3，4 的一共 24 种排列，计算每种排列下的X的值，在等 可能的假定下，得 X 0 2 4 6 8 P 1 24 1 8 7 24 3 8 1 6 故 13794 024685 2424242424 EX ； （2）首先 131 (4)(0)(2) 24246 P XP XP X，将三人评分后都有4X 的概率记 作p， 由上述结果的独立性得 3 11 6216

35、p 21 （12 分）已知函数( )2 (1) x f xax a （1）当ae时，求证：( )22f xlnxx； （2）讨论函数( )f x的零点个数 第 18 页（共 19 页） 【解答】 （1）解法 1：令( )( )222 x g xf xlnxxelnx，则 1 ( )(0) x g xex x ， g （1）10e ， 1 1 ( )0 e gee e ， 1 (1)( )0gg e 存在 0 1 ( ,1)x e ，使 0 ()0g x 因为( )g x在(0,)为增函数，所有函数( )g x在 0 (0,)x上为单减函数， 在 0 (x，)上为单增函数，所以 0 0000 0

36、 1 ( )()220(1) x g xg xelnxxx x 即得证 解法2:（放缩法）由重要不等式可得，1 x ex，1xlnx， 易得2 x elnx，故得证 （2）解：当2 x ax，两边取对数得22xlnaln xlnlnx， 令( )2h xxlnalnxln， 1 ( )h xlna x ，令 1 ()0hxlna x 得 1 x lna ， 1111 ()()2( )() 2 e hlnalnlnlnln lnalnalnalna ， 当 1 ()0h lna 时，即 1 2 e lna 得 2 e ae时， 1 ( )()0h xh lna ，函数( )f x无零点； 当 1

37、 ()0h lna 时，即 1 2 e lna 得 2 e ae时， 1 ()0h lna ，函数( )f x有 1 个零点； 当 1 ()0h lna 时， 即 1 2 e lna 得 2 1 e ae时， 1 ()0h lna ， 1 ()0 2 h lna ， 函数( )f x有 1 个零点， 1 ()0h lna ， 2 ()0h lna ，函数( )f x有 1 个零点 故函数有 2 个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分，题计分，选修选修 4-

38、4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 cos3sin ( sin3cos2 x y 为参数） ， 以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若直线 1 l， 2 l的极坐标方程分别为() 6 R ， 2 () 3 R ，设直线 1 l， 2 l与曲 线C的交点分别为M，N（除极点外） ，求OMN的面积 第 19 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由参数方程 cos3sin sin3cos2 x y ，得普通方程 22 (2)4xy， 所以极坐标方程： 2222 cossin4 s

39、in0，则4sin （2）直线 1: () 6 lR 与曲线C的交点为O，M，得 1 | 4sin2 6 OM 又直线 2 2 :() 3 lR 与曲线C的交点为O，N，得 2 2 | 4sin2 3 3 ON 且 2 MON ，所以 11 | |22 32 3 22 OMN SOMON 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4| 2|1|f xxx的最大值为m （1）解不等式( )1f x ； （2）若a，b，c均为正数，且满足abcm，求证： 222 3 bca abc 【解答】解： （1） 2,(1) ( ) |4| 2|1|36,(14) 2,(4) xx f xxxxx xx ， ( )1f x ， 21 1 x x 或 361 14 x x 或 21 4 x x ， 5 1 3 x ， 不等式的解集为 5 ( 1, ) 3 （2）由（1）知( )f x的最大值3m a，b，c均为正数， 2 2 a ca c ， 2 2 b ab a ， 2 2 c bc b ， 又3abcm， 222 222 abc abcabc cab 222 3 bca abc ，当且仅当1abc时取等号 222 3 bca abc