2019-2020学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 1 （5 分）已知集合 2 |23 0AxZ xx ， |10Bx x ，则集合(AB ) A2，3 B 1，1 C1，2，3 D 2 （5 分）已知 2 ( ,) mi n

2、i m nR i ，其中i为虚数单位，则(mn ) A1 B1 C3 D3 3 （5 分）已知向量, a b满足| 1,|2|7aab，且a与b的夹角为60，则| (b ) A1 B3 C3 D5 4 （5 分）已知数列 n a为等差数列， n S为其前n项和， 635 3aaa，则 7 (S ) A42 B21 C7 D3 5 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图和 90 后从事互联网行业者岗位分布图(90后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生） ，则下列结论中不一定正确的

3、是( ) A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 C互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的10% 6 （5 分）函数 3 1 ( ) (1) x x e f x x e （其中e为自然对数的底数）的图象大致为( ) A B 第 2 页（共 21 页） C D 7 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0x 时，( )2xf x ，那么 2 (log 3)f的 值为( ) A 1 3 B3 C3 D 1 3 8 （5 分）如图，我国古代珠算算具算盘

4、每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用梁隔开，梁 上面两颗叫上珠，下面 5 颗叫下珠若从某一档的 7 颗算珠中任取 3 颗，至少含有一颗上珠 的概率为( ) A 5 7 B 4 7 C 2 7 D 1 7 9 （5 分）已知函数( )2sin(2) 6 f xx ，将( )f x的图象上所有点向右平移(0) 个单位 长度，得到的图象关于直线 6 x 对称，则的最小值为( ) A 6 B 3 C 2 D 10 （5 分）设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点有下列四个命题： 在内存在直线与直线AB异面； 在内存在直线与直线AB相交； 存在过直线AB的平面与垂直； 存在过直线AB的平面与平行 其

5、中，一定正确的是( ) A B C D 11 （5 分）已知圆O的半径是2 2，点P是圆O内部一点（不包括边界） ，点A是圆O圆 周上一点，且2OA OP ，则 2 ()OAOP的最小值为( ) A 23 2 B12 C 25 2 D13 第 3 页（共 21 页） 12（5 分） 已知球O是正四面体ABCD的外接球，2BC ， 点E在线段BD上， 且3BDBE， 过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是( ) A 8 9 B11 18 C 5 12 D 4 9 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应

6、位置上请把答案填在答题卡的相应位置上 13 （5 分） “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1； 如果它是偶数，则对它除以 2；如此循环，最终都能够得到 1如图为研究角谷定理的一个 程序框图若输入n的值为 6，则输出i的值为 14 （5 分）已知 2 cos(2) 65 ，则sin(2) 3 15 （5 分）若 4 (3)(1)axx展开式中x的系数为 13，则展开式中各项系数和为 （用数 字作答） 16 （5 分）已知函数 11 ,1 ( ) |2| 1,1 xx eex f x xx （其中e为自然对数的底数） ，则不等式 ( )(1)0f xf x的解

7、集为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 至至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：本大题共（一）必考题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17 （12 分）已知数列 n a中， 1 1a 且 * 1 2621() nn aannN （1）求证：数列 2 n n a 为等比数列； 第 4 页（共

8、 21 页） （2）求数列 n a的前n项和 n S 18（12 分） 如图， 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且2c o s2aC cb （1）求角A的大小； （2）若 6 ABC ，AC边上的中线BD的长为7，求ABC的面积 19 （12 分）如图，在四棱锥SABCD中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，点S 在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且SAC的面积为 1 （1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD 平面PAC； （2） 在棱SD上是否存在一点P使得二面角PACD的余弦值为 5 5 ？若存在， 求出点P 的位置；若不存在，说

9、明理由 20（12 分） 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便， 越来越多的市民选择乘坐轻轨出行， 很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站， 将车停放在轻轨站停车场， 然后进站乘轻轨出行， 这给轻轨站停车场带来很大的压力 某轻轨站停车场为了解决这个问题， 决定对机动车停车 施行收费制度，收费标准如下：4 小时内（含 4 小时）每辆每次收费 5 元；超过 4 小时不超 过 6 小时，每增加一小时收费增加 3 元；超过 6 小时不超过 8 小时，每增加一小时收费增加 4 元，超过 8 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 30 元；超过 24 小时，按前述标准重新计 费 上述标准不足一小时的按

10、一小时计费 为了调查该停车场一天的收费情况， 现统计 1000 辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次） ，得到下面的频数分布表： T（小时） (0，4 (4，5 (5，6 (6，7 (7，8 (8，24 频数 （车次） 100 100 200 200 350 50 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率 第 5 页（共 21 页） （1） 现在用分层抽样的方法从上面 1000 辆车中抽取了 100 辆车进行进一步深入调研， 记录 并统计了停车时长与司机性别的22列联表： 男 女 合计 不超过 6 小时 30 6 小时以上 20 合计 10

11、0 完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关？ （2）( ) i X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布 列及期望()E X； ( )ii现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车，表示 3 辆车中停车费用大于()E X的车辆数， 求(2)P的概率 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 21 （12

12、分）已知函数 2 ( ) x f xemx，(0,)x（其中e为自然对数的底数） （1）求( )f x的单调性； （2）若2m ， 2 ( ) 2 x a g xx e，对于任意(0,1)a，是否存在与a有关的正常数 0 x，使得 0 0 ()1() 2 x fg x 成立？如果存在，求出一个符合条件 0 x；否则说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分，作答时请写清题号第一题计分，作答时请写清题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 2

13、2 （10 分）在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为 22 4650xyxy在以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中， 直线l的极坐标方程为 3 2 sin() 42 （1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程； （2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ的最小值及此时点P的直角坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|2|f xxx 第 6 页（共 21 页） （1）解不等式( ) 1f x ； （2） 记函数( )f x的最大值为s， 若(abc sa，b，0)c ， 证明：3 bca abc 第 7 页（共 21 页） 2019-2020 学

14、年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 1 （5 分）已知集合 2 |23 0AxZ xx ， |10Bx x ，则集合(AB ) A2，3 B 1，1 C1，2，3 D 【解答】解：| 13 1AxZx 剟，0，1，2，3，

15、|1Bx x， 2AB，3 故选：A 2 （5 分）已知 2 ( ,) mi ni m nR i ，其中i为虚数单位，则(mn ) A1 B1 C3 D3 【解答】解：由 2mi ni i ，得2()1mii nini ， 1m ，2n 则3mn 故选：D 3 （5 分）已知向量, a b满足| 1,|2|7aab，且a与b的夹角为60，则| (b ) A1 B3 C3 D5 【解答】解：向量, a b满足| 1,|2|7aab， 22 447aa bb 又a与b的夹角为60， 2 441| cos60|7bb ， 则| 1b ，或|3b （舍去） ， 故选：A 4 （5 分）已知数列 n a

16、为等差数列， n S为其前n项和， 635 3aaa，则 7 (S ) A42 B21 C7 D3 【解答】解：数列 n a为等差数列， n S为其前n项和， 635 3aaa， 1111 52433adadadad， 7171 7 ()7(3 )21 2 Saaad 第 8 页（共 21 页） 故选：B 5 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图和 90 后从事互联网行业者岗位分布图(90后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生） ，则下列结论中不一定正确的是( ) A互联网行

17、业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 C互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的10% 【解答】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和 90 后从事互联网行业者岗位分布 图，知： 在A中，互联网行业从业人员中 90 后占56%，故A正确； 在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定比 80 后多，故B错误； 在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多，故C正确； 在D中，互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的10%，故D正

18、确 故选：B 6 （5 分）函数 3 1 ( ) (1) x x e f x x e （其中e为自然对数的底数）的图象大致为( ) A B C D 【解答】解： 333 111 ()( ) () (1)(1)(1) xxx xxx eee fxf x xexex e ，故函数( )f x为偶函数， 第 9 页（共 21 页） 其图象关于y轴对称，故排除A，C； 当x时， 3( 1)1 xx x ee，( )0f x ，故排除B 故选：D 7 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0x 时，( )2xf x ，那么 2 (log 3)f的 值为( ) A 1 3 B3 C3 D

19、1 3 【解答】解：( )f x是定义在R上的奇函数，且当0x 时，( )2xf x ， 2 1 3 222 11 (log 3)( log 3)(log)2 33 log fff ， 故选：D 8 （5 分）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用梁隔开，梁 上面两颗叫上珠，下面 5 颗叫下珠若从某一档的 7 颗算珠中任取 3 颗，至少含有一颗上珠 的概率为( ) A 5 7 B 4 7 C 2 7 D 1 7 【解答】解：我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用梁隔开， 梁上面两颗叫上珠，下面 5 颗叫下珠 从某一档的 7 颗算珠中任取 3 颗，基

20、本事件总数 3 7 35nC， 至少含有一颗上珠包含的基本事件个数 2112 2525 25mC CC C， 至少含有一颗上珠的概率为 255 357 m P n 故选：A 9 （5 分）已知函数( )2sin(2) 6 f xx ，将( )f x的图象上所有点向右平移(0) 个单位 第 10 页（共 21 页） 长度，得到的图象关于直线 6 x 对称，则的最小值为( ) A 6 B 3 C 2 D 【解答】解：函数( )2sin(2) 6 f xx ， 将( )f x的图象上所有点向右平移(0) 个单位长度， 得()2sin2()2sin(22) 66 yf xxx ； 又函数y的图象关于直

21、线 6 x 对称， 即22 662 k ，kZ； 解得 1 2 k ，kZ； 又0，所以的最小值为 2 故选：C 10 （5 分）设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点有下列四个命题： 在内存在直线与直线AB异面； 在内存在直线与直线AB相交； 存在过直线AB的平面与垂直； 存在过直线AB的平面与平行 其中，一定正确的是( ) A B C D 【解答】解：对于，无论直线AB与平行，还是直线AB与相交， 都在内存在直线与直线AB异面，所以正确； 对于，当直线AB与平行时， 平面内不存在直线与直线AB相交，所以错误； 对于，无论直线AB与平行，还是直线AB与相交， 都存在过直线AB的平面与垂直，

22、所以正确； 对于，若直线AB与相交， 则不存在过直线AB的平面与平行，所以错误； 综上知，正确的命题序号是 故选：B 11 （5 分）已知圆O的半径是2 2，点P是圆O内部一点（不包括边界） ，点A是圆O圆 第 11 页（共 21 页） 周上一点，且2OA OP ，则 2 ()OAOP的最小值为( ) A 23 2 B12 C 25 2 D13 【解答】解：如图， 2 2OA ， 2 2 |cos2OA OPOPO， 1 | 2cos OP O ，0cos1O ， 22 2 2 125 ()284 22 OAOPOAOA OPOP cosO ，当cos1O时取等号， 2 ()OAOP的最小值为

23、 25 2 故选：C 12（5 分） 已知球O是正四面体ABCD的外接球，2BC ， 点E在线段BD上， 且3BDBE， 过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是( ) A 8 9 B11 18 C 5 12 D 4 9 【解答】解：作AO 面BCD，垂足为 O 连接 BO 并延长交CD于F， 由题意得F时CD的中点，且 O 为三角形BCD的外接圆的圆心，设三角形BCD的外接圆半 径为r，则 22332 3 2 33233 rBOBFBC， 高 2222 2 32 6 2() 33 hAOABBO， 设外接球的球心为O，设外接球的半径为R，则由题意知O在 AO 上， 连接OB，ROB，

24、在三角形BOO中： 222 ()RrhR， 所以 22 2Rhrh，将r，h值代入可得： 6 2 R ， 所以 2 666 326 OOAOR， 第 12 页（共 21 页） 因为点E在线段BD上，且3BDBE，2BD ，所以 2 3 BE ，在三角形BEO中，由余弦 定理： 2222 2 322 3 232 2cos30()( )2 333323 O EBOBEBO BE ， 正三角形OEO中， 22222 2611 ( )() 3618 OEO EOO 当 过E的 截 面 与OE垂 直 时 ， 截 面 的 面 积 最 小 ， 设 截 面 的 半 径 为 r 则 2222 611168 ()

25、 218189 rROE ， 所以截面的面积 2 8 9 Sr， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上 13 （5 分） “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1； 如果它是偶数，则对它除以 2；如此循环，最终都能够得到 1如图为研究角谷定理的一个 程序框图若输入n的值为 6，则输出i的值为 8 【解答】解：0i ，6n ； n为偶数，3n ，1i ； 第 13 页（共 21 页） n为奇数，10n ，2i ； n为偶数，5n

26、 ，3i ； n为奇数，16n ，4i ； n为偶数，8n ，5i ； n为偶数，4n ，6i ； n为偶数，2n ，7i ； n为偶数，1n ，8i ； 跳出循环，输出结果 8， 故答案为：8 14 （5 分）已知 2 cos(2) 65 ，则sin(2) 3 2 5 【解答】解：因为 552 sin(2)cos(2)cos(2)cos(2)cos(2) 3236665 故答案为： 2 5 15 （5 分）若 4 (3)(1)axx展开式中x的系数为 13，则展开式中各项系数和为 64 （用 数字作答） 【解答】解： 4 (3)(1)axx展开式中x的系数为： 14 44 31213CaCa

27、， 1a， 令1x ，得： 4 (3)(1)xx展开式中各项系数和为： 4 (3 1 1)(1 1)64 ， 故答案为：64 16 （5 分）已知函数 11 ,1 ( ) |2| 1,1 xx eex f x xx （其中e为自然对数的底数） ，则不等式 ( )(1)0f xf x的解集为 7 (,) 2 【解答】解：因为 11 ,1 ( ) |2| 1,1 xx eex f x xx ， 当1x时，1 0x ，由( )(1)0f xf x， 得 1122 0 xxxx eeee ， 3 2 x，又1x， 3 2 x； 第 14 页（共 21 页） 当12x 时，01 1x ，由( )(1)0

28、f xf x， 得 22 |2| 10 xx xee ， 22 |2| 1 xx xee ， 当12x 时，|2| 0x，1)， 22 11 xx ee ， 1 1)e e ， 当12x 时，( )(1)0f xf x成立，12x ， 当2x 时，由( )(1)0f xf x， 得|2| 1 |3| 10xx ，|2|3| 2xx， 37 22 x，又2x ， 7 2 2 x， 综上，不等式的解集为 7 (,) 2 故答案为： 7 (,) 2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

29、.第第 17 至至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：本大题共（一）必考题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17 （12 分）已知数列 n a中， 1 1a 且 * 1 2621() nn aannN （1）求证：数列 2 n n a 为等比数列； （2）求数列 n a的前n项和 n S 【解答】 （1）证明： * 1 2621() nn aannN 1 1 3 2 nn aan ； 1 1113 33 2222 3

30、222 nnn nnn nn aanan nnn aaa ； 2 n n a 为等比数列，首项为 3 2 ，公比为 3 （2）解：由（1）得： 11 1 131 ()333 2222 nnn n n aa ； 1 3 22 n n n a ； 第 15 页（共 21 页） 123 123 2 11 (3333 )(123) 22 1 3(13 )1(1)3(31) 2132244 nn n nn Saaaa n n nnn 12 33 4 n nn 18（12 分） 如图， 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且2c o s2aC cb （1）求角A的大小； （2）若 6

31、ABC ，AC边上的中线BD的长为7，求ABC的面积 【解答】解： （1）由2 cos2aCcb，及正弦定理，得2sincossin2sinACCB， 即2sincossin2sin()ACCAC， 整理得sin2sincosCCA， 因为sin0C ， 所以 1 cos 2 A ， 又因为(0, )A， 则 2 3 A ， （2）由（1）知 2 3 A ， 又因为 6 ABC ， 所以 6 C ， 所以ACAB， 设ADx，则2ABx， 在ABD中应用余弦定理，得： 222 2cosBDABADAB ADA， 即 2 77x ，解得1x ， 故ABC的面积 2 12 4sin3 23 Sx

32、19 （12 分）如图，在四棱锥SABCD中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，点S 第 16 页（共 21 页） 在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且SAC的面积为 1 （1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD 平面PAC； （2） 在棱SD上是否存在一点P使得二面角PACD的余弦值为 5 5 ？若存在， 求出点P 的位置；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）点S在底面ABCD上的射影为点O，SO平面ABCD， 四边形ABCD是边长为2的正方形，2AC； 三角形SAC的面积为 1， 1 21 2 SO ，即1SO ， 2SC，2CD ，点P是SD的中点

33、， CPSD，同理可得APSD； 又因为APCPP，AP，CP 平面PAC； SD平面PAC， SD 平面SCD，平面SCD 平面PAC （2）如图，连接OB，易得OB，OC，OS两两互相垂直， 分别以OB，OC，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz， 则(0A，1，0)，(0C，1，0)，(0S，0，1)，( 1D ，0，0)； 假设存在点P使得二面角PACD的余弦值为 5 5 ， 不妨设SPSD，又点P在棱SD上，01 剟， 又( 1SD ，0，1)， (SP ，0，)，(P，0，1)， 设平面PAC的法向量为(nx，y，) z，则 0 0 n AP n AC ， 第 17 页

34、（共 21 页） (AP ，1，1)，(0AC ，2，0)， (1)0 20 xyz y ， 令z，可得1x ，平面PAC的一个法向量为(1n，0，)， 又平面ACD的一个法向量为(0OS ，0，1)，二面角PACD的余弦值为 5 5 ； |cosOS， 22 |5 | 5| | (1) OS n n OSn ， 即 2 3210 ， 解得 1 3 或1 （不合题意，舍去） ； 所以存在点P符合题意，点P为棱SD靠近端点S的三等分点 20（12 分） 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便， 越来越多的市民选择乘坐轻轨出行， 很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站， 将车停放在轻轨站停车场， 然后

35、进站乘轻轨出行， 这给轻轨站停车场带来很大的压力 某轻轨站停车场为了解决这个问题， 决定对机动车停车 施行收费制度，收费标准如下：4 小时内（含 4 小时）每辆每次收费 5 元；超过 4 小时不超 过 6 小时，每增加一小时收费增加 3 元；超过 6 小时不超过 8 小时，每增加一小时收费增加 4 元，超过 8 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 30 元；超过 24 小时，按前述标准重新计 费 上述标准不足一小时的按一小时计费 为了调查该停车场一天的收费情况， 现统计 1000 辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次） ，得到下面的频数分布表： T（小时） (0，4 (

36、4，5 (5，6 (6，7 (7，8 (8，24 频数 （车次） 100 100 200 200 350 50 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率 （1） 现在用分层抽样的方法从上面 1000 辆车中抽取了 100 辆车进行进一步深入调研， 记录 第 18 页（共 21 页） 并统计了停车时长与司机性别的22列联表： 男 女 合计 不超过 6 小时 30 6 小时以上 20 合计 100 完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关？ （2）( ) i X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X

37、的概率分布 列及期望()E X； ( )ii现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车，表示 3 辆车中停车费用大于()E X的车辆数， 求(2)P的概率 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【解答】解： （1）22列联表如下： 男 女 合计 不超过 6 小时 10 30 40 6 小时以上 20 40 60 合计 30 70 100 根据上表数据代入公式可得 2 2 1

38、00 (20 30 10 40)50 0.7942.706 30 70 60 4063 K ， 所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关 （2）( ) i由题意知：X的可取值为 5，8，11，15，19，30， 1 (5) 10 P X ， 1 (8) 10 P X ， 1 (11) 5 P X ， 1 (15) 5 P X ， 7 (19) 20 P X ， 1 (30) 20 P X 所以X的分布列为： X 5 8 11 15 19 30 ()P X 1 10 1 10 1 5 1 5 7 20 7 20 第 19 页（共 21 页） 111171 ()581115

39、193014.65 1010552020 E X ( )ii由题意得 1713 (14.65) 520205 P X ， 3 (3, ) 5 B， 223 3 323922781 (2)(2)(3)( ) ( )( )3 555255125125 PPPC 21 （12 分）已知函数 2 ( ) x f xemx，(0,)x（其中e为自然对数的底数） （1）求( )f x的单调性； （2）若2m ， 2 ( ) 2 x a g xx e，对于任意(0,1)a，是否存在与a有关的正常数 0 x，使得 0 0 ()1() 2 x fg x 成立？如果存在，求出一个符合条件 0 x；否则说明理由 【

40、解答】解： （1） 2 ( )2 x f xem， 当0m时，( )0fx恒成立，所以( )f x在(0,)上的单调递增； 当20m时，(0,)x，( )0fx，所以( )f x在(0,)上的单调递增； 当2m 时，由( )0fx得 1 ()0 22 m xln， 1 (0,() 22 m xln时，( )0fx，( )f x单调递减， 1 (),) 22 m xln时，( )0fx，( )f x单调递增； 综上所述：当2m 时，( )f x在(0,)上的单调递增； 当2m 时，( )f x在 1 (0,() 22 m ln 上单调递减，( )f x在 1 (),) 22 m ln 上单调递增

41、； （2） 00 00 222000 00000 11 ()1()1110(*) 2222 xx xx xxxaaa fg xexx exx ee ， 需求一个 0 x，使(*)成立，只要求出 2 1 ( )1 2 x ax t xx e 的最小值，满足( )0 min t x， 1 ( )()( ) x t xx at x e 在(0,)lna上单调递减，在(,)lna上单调递增， 2 ( )()(1)1 2 min a t xtlnaln aalna， 只需证明 2 (1)10 2 a ln aalna 在(0,1)a内成立即可， 令 22 1 ( )(1)1( )0 22 a aln a

42、alnaaln a ， （a）在(0,1)a单调递增， 第 20 页（共 21 页） 2 1 ( )(1)1 1 (1 1)10 2 alnln ， 所以( )0 min t x，故存在与a有关的正常数 0 (01)xlnaa 使(*)成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分，作答时请写清题号第一题计分，作答时请写清题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为 22 4650xyxy在以坐

43、标 原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中， 直线l的极坐标方程为 3 2 sin() 42 （1）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程； （2）设点P在C上，点Q在l上，求|PQ的最小值及此时点P的直角坐标 【解答】解： （1）圆C的方程可化为 22 (2)(3)8xy，圆心为(2,3)C，半径为2 2， 圆C的参数方程为 22 2cos ( 32 2sin x y 为参数） 直线l的极坐标方程可化为sincos3 ， cos sin x y ， 直线l的直角坐标方程为30xy （2） ：曲线C是以(2,3)C为圆心，半径为2 2的圆， 圆心(2,3)C到直线:30l xy的距离 22 |233| 4 2 11 d ， 所以|4 22 22 2 min PQ， 此时直线PQ经过圆心(2,3)C，且与直线:30l xy垂直，1 PQl kk ， 所以1 PQ k，PQ所在直线方程为32yx，即1yx 联立直线和圆的方程 22 1 4650 yx xyxy ， 解得 0 1 x y 或 4 5 x y 当|PQ取得最小值时，点P的坐标为(0,1) 所以|2 2 min PQ，此时点P的坐标为(0,1) 第 21 页（共 21 页） 选修选修 4-5：不等式选讲