2019-2020学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷.docx
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1、 第 1 页(共 17 页) 2019-2020 学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题列出的四个选项中,选出符在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项合题目要求的一项 1 (5 分)设集合 |Ax xa, 3B ,0,1,5,若集合AB有且仅有 2 个元素,则 实数a的取值范围为( ) A( 3,) B(0,1 C1,) D1,5) 2 (5 分)已知复数 3 1 i z i ,则复数z在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二
2、象限 C第三象限 D第四象限 3 (5 分)在ABC中,若6a ,60A ,75B ,则(c ) A4 B2 2 C2 3 D2 6 4 (5 分)设xy,且0xy ,则下列不等式中一定成立的是( ) A 11 xy B|ln xln y C22 xy D 22 xy 5 (5 分)已知直线20xy与圆 22 220xyxya有公共点,则实数a的取值范 围为( ) A(,0 B0,) C0,2) D(,2) 6 (5 分)设三个向量, ,a b c互不共线,则“0abc”是“以|,|,|abc为边长的三角 形存在”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要
3、条件 7 (5 分)紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间紫砂壶的 壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等其中,石瓢壶的壶体可以近似看成 一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的) 如图给出了一个石瓢壶的相 关数据(单位:)cm,那么该壶的容量约为( ) 第 2 页(共 17 页) A 3 100cm B 3 200cm C 3 300cm D 3 400cm 8 (5 分)已知函数( )1f xxk ,若存在区间a, 1b ,),使得函数( )f x在区 间a,b上的值域为1a ,1b,则实数k的取值范围为( ) A( 1,) B( 1,0 C 1
4、 (,) 4 D 1 (,0 4 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分. 9 (5 分)在在二项式 5 (1) x的展开式中, 2 x的系数是 10 (5 分)已知向量( 4,6),(2, )abx 满足/ /ab,其中xR,那么|b 11 (5 分)在公差为(0)d d 的等差数列 n a中, 1 1a ,且 2 a, 4 a, 12 a成等比数列,则 d 12 (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有 个 13 (5 分)对于双曲线,给出下列三个条件: 离心率为 2; 一条渐近线的倾斜角为30;
5、 实轴长为 8,且焦点在x轴上 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 14 (5 分)某商贸公司售卖某种水果经市场调研可知:在未来 20 天内,这种水果每箱的 第 3 页(共 17 页) 销售利润r(单位: 元) 与时间(120tt剟,tN, 单位: 天) 之间的函数关系式为 1 10 4 rt, 且日销售量y(单位:箱)与时间t之间的函数关系式为1202yt 第 4 天的销售利润为 元; 在未来的这 20 天中,公司决定每销售 1 箱该水果就捐赠(*)m mN元给“精准扶贫”对 象为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值 是 三、解答题:本大题共三、解
6、答题:本大题共 6 小题,共小题,共 80 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15已知函数( )2cossin() 6 f xxx (1)求函数( )f x的最小正周期; (2)求函数( )f x在区间,0 2 上的最小值和最大值 16 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行, 更带动了我国经济的巨大发展 据统计, 在 2018 年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人次为了解乘 客出行的满意度,现从中随机抽取 100 人次作为样本,得到如表(单位:人次): 满意度 老年人 中年人 青年 人 乘坐高铁 乘
7、坐飞机 乘坐高铁 乘 坐 飞 机 乘 坐 高 铁 乘 坐 飞 机 10 分 (满意) 12 1 20 2 20 1 5 分(一般) 2 3 6 2 4 9 0 分(不满 意) 1 0 6 3 4 4 (1)在样本中任取 1 个,求这个出行人恰好不是青年人的概率; (2)在 2018 年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取 2 人次,记其中老年人 出行的人次为X以频率作为概率,求X的分布列和数学期望; (3)如果甲将要从A市出发到B市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞 机?并说明理由 第 4 页(共 17 页) 17如图,在三棱柱 111 ABCABC中, 1 BB 平面A
8、BC,ABC为正三角形,侧面 11 ABB A是 边长为 2 的正方形,D为BC的中点 (1)求证: 1 / /AB平面 1 AC D; (2)求二面角 1 CACD的余弦值; (3)试判断直线 11 A B与平面 1 AC D的位置关系,并加以证明 18 已知椭圆 2 2 :1 4 x Wy的右焦点为F, 过点F且斜率为(0)k k 的直线l与椭圆W交于 A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点 (1)证明:点M在y轴的右侧; (2)设线段AB的垂直平分线与x轴、y轴分别相交于点C,D若ODC与CMF的面 积相等,求直线l的斜率k 19已知函数 2 1 ( ) 2 x f xeaxx,其
9、中1a (1)当0a 时,求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程; (2)当1a 时,求函数( )f x的单调区间; (3)若 2 1 ( ) 2 f xxxb对于xR恒成立,求ba的最大值 20设整数集合 1 Aa, 2 a, 100 a,其中 12100 1205aaa剟,且对于任意i, (1100)ji j剟?,若ijA,则 ij aaA (1)请写出一个满足条件的集合A; (2)证明:任意101x,102,200,xA; (3)若 100 205a,求满足条件的集合A的个数 第 5 页(共 17 页) 2019-2020 学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷学年北京市西城
10、区高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题列出的四个选项中,选出符在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项合题目要求的一项 1 (5 分)设集合 |Ax xa, 3B ,0,1,5,若集合AB有且仅有 2 个元素,则 实数a的取值范围为( ) A( 3,) B(0,1 C1,) D1,5) 【解答】解:因为集合AB有且仅有 2 个元素, 所以 3AB ,0,即有01a 故选:B 2 (5 分)已知复数 3 1 i z i ,则复数z在复平面内对应的点位于
11、( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解:由题意,复数 3(3)(1)24 12 1(1)(1)2 iiii zi iii , 复数z对应的点(1, 2)位于第四象限 故选:D 3 (5 分)在ABC中,若6a ,60A ,75B ,则(c ) A4 B2 2 C2 3 D2 6 【解答】解:因为180756045C , 所以根据正弦定理知, sinsin ac AC ,即 6 sin60sin45 c , 解得2 6c 故选:D 4 (5 分)设xy,且0xy ,则下列不等式中一定成立的是( ) A 11 xy B|ln xln y C22 xy D 22 xy 【
12、解答】解:对A,若0xy,则 11 xy ,错误; 对B,当xy时,取1x ,2y ,根据对数函数的单调性可知,|ln xln y,错误; 对C,因为xy,所以xy ,根据指数函数的单调性可知,22 xy ,正确; 第 6 页(共 17 页) 对D,当xy时,取1x ,2y , 22 xy,错误 故选:C 5 (5 分)已知直线20xy与圆 22 220xyxya有公共点,则实数a的取值范 围为( ) A(,0 B0,) C0,2) D(,2) 【解答】解:依题意可知,直线与圆相交或相切 圆 22 220xyxya即为 22 (1)(1)2xya 由 | 1 12| 2 2 a ,解得0a 实
13、数a的取值范围为(,0 故选:A 6 (5 分)设三个向量, ,a b c互不共线,则“0abc”是“以|,|,|abc为边长的三角 形存在”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】 解: 因为三个向量, ,a b c互不共线, 所以三个向量皆不为零向量, 设,aAB bBC, 而, ,a b c互不共线,所以A,B,C三点不共线 当0abc时,cCA,因为A,B,C三点不共线,| |,| |,| |aABbBCcCA, 所以以|,|,|abc为边长的三角形存在; 若以|,|,|abc为边长的三角形存在,但是| |,| |aABbBC,cA
14、C,0abc 故“0abc”是“以|,|,|abc为边长的三角形存在”的充分不必要条件 故选:A 7 (5 分)紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间紫砂壶的 壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等其中,石瓢壶的壶体可以近似看成 一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的) 如图给出了一个石瓢壶的相 关数据(单位:)cm,那么该壶的容量约为( ) 第 7 页(共 17 页) A 3 100cm B 3 200cm C 3 300cm D 3 400cm 【解答】解:设大圆锥的高为h,所以 46 10 h h ,解得10h 故 223 11196 510
15、36200 333 Vcm 故选:B 8 (5 分)已知函数( )1f xxk ,若存在区间a, 1b ,),使得函数( )f x在区 间a,b上的值域为1a ,1b,则实数k的取值范围为( ) A( 1,) B( 1,0 C 1 (,) 4 D 1 (,0 4 【解答】解:根据函数的单调性可知, ( )1 ( )1 f aa f bb ,即可得到 110 110 aak bbk , 即可知1,1ab是方程 2 0xxk的两个不同非负实根, 所以 12 140 0 k x xk ,解得 1 0 4 k 故选:D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共
16、分,共 30 分分. 9 (5 分)在在二项式 5 (1) x的展开式中, 2 x的系数是 10 【解答】解: 5 (1) x的展开式的通项为 155 ()( 1) rrrrr r TCxC x , 令2r ,得到 2 x的系数为 22 5 ( 1)10C; 故答案为:10 10 (5 分)已知向量( 4,6),(2, )abx 满足/ /ab,其中xR,那么|b 13 【解答】解:因为/ /ab,所以4260x,解得3x 因此 22 |2( 3)13b 第 8 页(共 17 页) 故答案为:13 11 (5 分)在公差为(0)d d 的等差数列 n a中, 1 1a ,且 2 a, 4 a,
17、 12 a成等比数列,则 d 3 【 解 答 】 解 : 因 为 1 (1)1(1) n aandnd , 所 以 2 1ad , 4 13ad , 12 1 11ad , 而 2 a, 4 a, 12 a成等比数列,所以 131 11 113 dd dd ,解得3d 或0d (舍去) 故答案为:3 12 (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有 3 个 【解答】解:如图所示,该四棱锥是一个底面为直角梯形,一条侧棱PA垂直于底面的四棱 锥 由三视图可知,2PAADAB,1BC ,ADAB,BCAB 因为PA面ABCD,所以PAB,PAD都是直角三角形 在PBC中
18、, 2222 2 2,1,44 19PBBCPCPAABBC , 所以 222 PBBCPC, PBC也是直角三角形 第 9 页(共 17 页) 在PDC中, 2 448PD , 222 125CD , 而 2 9PC , 所以PDC不是直角三角形 因 此,该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有 3 个 故答案为:3 13 (5 分)对于双曲线,给出下列三个条件: 离心率为 2; 一条渐近线的倾斜角为30; 实轴长为 8,且焦点在x轴上 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 22 1 1648 xy 【 解 答 】 解 : 若 选 择 , 所 以2 , 28 c ea a , 解 得4a ,
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