2019-2020学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷.docx
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1、 第 1 页(共 18 页) 2019-2020 学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项要求的一项 1 (5 分)已知集合 Ax|x1,Bx|(x2) (x+1)0,那么 AB( ) Ax|1x2 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|1x1 2 (5 分)复数 zi(i1)在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (5 分)下列函数中,是偶函数,且
2、在区间(0,+)上单调递增的为( ) Ay= 1 Byln|x| Cy2 x Dy1|x| 4 (5 分)设 a,b 为实数,则“ab0”是“ab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5(5 分) 设 , 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线, 则下列结论中正确的是 ( ) A若 m,mn,则 n B若 ,m,n,则 mn C若 n,mn,则 m D若 ,m,n,则 mn 6 (5 分)从数字 1,2,3,4,5 中,取出 3 个数字(允许重复) ,组成三位数,各位数字 之和等于 6,这样的三位数的个数为( ) A7 B9 C10
3、 D13 7 (5 分)设 , 是三角形的两个内角,下列结论中正确的是( ) A若 + 2,则 sin+sin2 B若 + 2,则 cos+cos2 C若 + 2,则 sin+sin1 D若 + 2,则 cos+cos1 8 (5 分) 用平面截圆柱面, 当圆柱的轴与 所成角为锐角时, 圆柱面的截线是一个椭圆 著 名数学家 Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论如图所示,将两个大小相同的球嵌 入圆柱内,使它们分别位于 的上方和下方,并且与圆柱面和 均相切给出下列三个 结论: 两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点; 第 2 页(共 18 页) 若球心距 O1O24,球的半径为3,则所得椭
4、圆的焦距为 2; 当圆柱的轴与 所成的角由小变大时,所得椭圆的离心率也由小变大 其中,所有正确结论的序号是( ) A B C D 二、填空题共二、填空题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分 9 (5 分)若双曲线 2 2= 1与 2 3 2 2 = 1有相同的焦点,则实数 m 10 (5 分)已知an是各项均为正的等比数列,Sn为其前 n 项和,若 a16,a2+2a36, 则公比 q ,S4 11 (5 分)能说明“直线 xy+m0 与圆 x2+y2+4x2y0 有两个不同的交点”是真命题的 一个 m 的值为 12 (5 分)在平行四边形 ABCD 中,已知 = ,
5、| | = 4,| | = 2,则四边 形 ABCD 的面积是 13 (5 分)已知函数 f(x)2sin(x+) (0) ,曲线 yf(x)与直线 y= 3相交,若 存在相邻两个交点间的距离为 6,则 的所有可能值为 14 (5 分)将初始温度为 0的物体放在室温恒定为 30的实验室里,现等时间间隔测量 物体温度,将第 n 次测量得到的物体温度记为 tn,已知 t10已知物体温度的变化与 实验室和物体温度差成正比(比例系数为 k) 给出以下几个模型,那么能够描述这些测 量数据的一个合理模型为 ; (填写模型对应的序号) tn+1tn= 30; tn+1tnk(30tn) ; 第 3 页(共
6、18 页) tn+1k(30tn) 在上述模型下, 设物体温度从 5上升到 10所需时间为 amin, 从 10上升到 15所需 时间为 bmin, 从 15上升到 20所需时间为 Cmin, 那么 与 的大小关系是 (用 “” , “”或“”号填空) 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 15 (13 分)在ABC 中,已知 csinA+3acosC0 ()求C 的大小; ()若 b2,c23,求ABC 的面积 16 (13 分)2019 年 6 月,国内的 5G 运营牌照开始发放从 2G 到
7、5G,我们国家的移动通 信业务用了不到 20 年的时间,完成了技术上的飞跃,跻身世界先进水平为了解高校学 生对 5G 的消费意愿,2019 年 8 月,从某地在校大学生中随机抽取了 1000 人进行调查, 样本中各类用户分布情况如下: 用户分类 预计升级到 5G 的时段 人数 早期体验用户 2019 年 8 月至 2019 年 12 月 270 人 中期跟随用户 2020 年 1 月至 2021 年 12 月 530 人 后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人 我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较, 可得 出如图的关系 (例如早期体验用户中
8、愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用 户的 40%) ()从该地高校大学生中随机抽取 1 人,估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升 第 4 页(共 18 页) 级到 5G 的概率; ()从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人,以 X 表示这 2 人中愿 意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人数,求 X 的分布列和数学期望; ()2019 年底,从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人,这三位学生都已签约 5G 套餐, 能否认为样本中早期体验用户的人数有变化?说明理由 17 (14 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,BB1
9、平面 ABC,ABBC,AA1ABBC 2 ()求证:BC1平面 A1B1C; ()求异面直线 B1C 与 A1B 所成角的大小; ()点 M 在线段 B1C 上,且1 1 = (0,1) ,点 N 在线段 A1B 上, 若 MN平面 A1ACC1,求1 1的值(用含 的代数式表示) 18 (13 分)已知函数 f(x)= 1 3x 3x23ax(aR) ()若 f(x)在 x1 时,有极值,求 a 的值; ()在直线 x1 上是否存在点 P,使得过点 P 至少有两条直线与曲线 yf(x)相切? 若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由 19 (14 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2=
10、1(a1)的离心率是 2 2 ()求椭圆 C 的方程; ()已知 F1,F2分别是椭圆 C 的左、右焦点,过 F2作斜率为 k 的直线 l,交椭圆 C 于 A,B 两点,直线 F1A,F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M,N如果MF1N 为锐角,求 k 的取值范围 20 (13 分) 已知数列an, 记集合 TS (i, j) |S (i, j) ai+ai+1+aj, 1ij i, jN* ()对于数列an:1,2,3,4,写出集合 T; 第 5 页(共 18 页) ()若 an2n,是否存在 i,jN ,使得 S(i,j)1024?若存在,求出一组符合条 件的 i,j;若不存在,说 明理
11、由; ()若 an2n2,把集合 T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为 B:b1,b2, bm,若 bm2020,求 m 的最大值 第 6 页(共 18 页) 2019-2020 学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项要求的一项 1 (5 分)已知集合 Ax|x1,Bx|(x2) (x+1)0,那么 AB( ) Ax|1x2 Bx|1x1 Cx
12、|1x2 Dx|1x1 【解答】解:Ax|x1,Bx|1x2, ABx|1x1 故选:D 2 (5 分)复数 zi(i1)在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】 解: 复数 zi (i1) 1i 在复平面内对应的点 (1, 1) 位于第三象限 故选:C 3 (5 分)下列函数中,是偶函数,且在区间(0,+)上单调递增的为( ) Ay= 1 Byln|x| Cy2 x Dy1|x| 【解答】解:y= 1 为奇函数,不符合题意, y2 x 为非奇非偶函数,不符合题意, y1|x|为偶函数,在(0,+)上单调递减,不符合题意, yln|x|为偶函数,且
13、 x0 时,ylnx 单调递增,符合题意 故选:B 4 (5 分)设 a,b 为实数,则“ab0”是“ab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解:a,b 为实数, “ab0”“ab” , 12,且210, “ab”“ab” , “ab0”是“ab”的充分而不必要条件 故选:A 第 7 页(共 18 页) 5(5 分) 设 , 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线, 则下列结论中正确的是 ( ) A若 m,mn,则 n B若 ,m,n,则 mn C若 n,mn,则 m D若 ,m,n,则 mn 【解答】解:对于 A,垂直于
14、同一直线的直线和平面可能平行,也有可能是 n,所以 A 错误; 对于 B,若 ,m,n,则 mn,故 B 正确 对于 C,若 n,mn,则 m 或 mn,故 C 错误; 对于 D,若 ,m,n,则 mn 或异面,故 D 错误 故选:B 6 (5 分)从数字 1,2,3,4,5 中,取出 3 个数字(允许重复) ,组成三位数,各位数字 之和等于 6,这样的三位数的个数为( ) A7 B9 C10 D13 【解答】解:从 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复) , 其中各位数字之和等于 6 的三位数可分为以下情形: 由 1,1,4 三个数字组成的三位数:114,141,411 共
15、 3 个; 由 1,2,3 三个数字组成的三位数:123,132,213,231,312,321 共 6 个; 由 2,2,2 三个数字可以组成 1 个三位数,即 222 共有 3+6+110 个, 故选:C 7 (5 分)设 , 是三角形的两个内角,下列结论中正确的是( ) A若 + 2,则 sin+sin2 B若 + 2,则 cos+cos2 C若 + 2,则 sin+sin1 D若 + 2,则 cos+cos1 【解答】解:因为 (0, 2) ,所以 2 (0, 2) , 又因为 sin 在(0, 2)上单调递增,cos 在(0, 2)单调递减, 若 + 2,则 2 , 第 8 页(共
16、18 页) 则 sin+sinsin+sin( 2 )sin+cos= 2sin(+ 4)(0,2,则 A 正确; cos+coscos+cos( 2 )cos+sin= 2sin(+ 4)(0,2,故 B 错; 若 + 2,则 2 , 则 sin+sinsin+sin( 2 )sin+cos= 2sin(+ 4)(0,2,故 C 错; cos+coscos+cos( 2 )cos+sin= 2sin(+ 4)(0,2,故 D 错; 故选:A 8 (5 分) 用平面截圆柱面, 当圆柱的轴与 所成角为锐角时, 圆柱面的截线是一个椭圆 著 名数学家 Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论如
17、图所示,将两个大小相同的球嵌 入圆柱内,使它们分别位于 的上方和下方,并且与圆柱面和 均相切给出下列三个 结论: 两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点; 若球心距 O1O24,球的半径为3,则所得椭圆的焦距为 2; 当圆柱的轴与 所成的角由小变大时,所得椭圆的离心率也由小变大 其中,所有正确结论的序号是( ) A B C D 【解答】对于,设点 P 为曲线上任一点,连接 PF1,PF2,则 PF1,PF2分别是两个球 面的切线,切点分别为 F1,F2, 过点 P 作母线,与两球面分别相交于点 K1,K2,则 PK1,PK2分别是两球面的切点,切 点为 K1,K2, 第 9 页(共 18 页)
18、根据切线长定理的空间推广,可知 PF1PK1,PF2PK2,所以 PF1+PF2PK1+PK2 K1K2是定值, 故点 P 的轨迹是以 F1,F2为焦点的椭圆,故对; 对于,OF2=(12 2 )2 2= 4 3 =1,所以 F1F22OF22,故正确; 对于,因为平面与母线的夹角相同,故离心率相同,故错 故选:C 二、填空题共二、填空题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分 9 (5 分)若双曲线 2 2= 1与 2 3 2 2 = 1有相同的焦点,则实数 m 4 【解答】解:由双曲线 2 3 2 2 = 1,得1= 3 + 2 = 5, 则双曲线 2 3 2 2 =
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