数列极限概念数学分析课件.ppt
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- 数列 极限 概念 数学分析 课件
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1、|数列极限概念|收敛数列的性质|数列极限存在的条件 1使学生初步掌握数列极限这一重要概念使学生初步掌握数列极限这一重要概念 的内涵与外延;的内涵与外延;2使学生学会用定义证明极限的基本方法使学生学会用定义证明极限的基本方法3通过知识学习,加深对数学的抽象性特通过知识学习,加深对数学的抽象性特 点的认识;体验数学概念形成的抽象化思点的认识;体验数学概念形成的抽象化思 维方法;体验数学维方法;体验数学“符号化符号化”的意义及的意义及“数数 形结合形结合”方法;方法;4了解我国古代数学家关于极限思想的论了解我国古代数学家关于极限思想的论 述,增强爱国主义观念。述,增强爱国主义观念。第二章数列极限第二
2、章数列极限教学目标教学目标:我我们已经有了函数的概念,但如果我们只停留在函数概念本身去们已经有了函数的概念,但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动,即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方,那我研究运动,即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方,那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的,我们就们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的,我们就事实上还没事实上还没有脱离初等数学的领域,只有我们用动态的观点揭示出函数有脱离初等数学的领域,只有我们用动态的观点揭示出函数 yf(x)所确定的两个变量之间的变化关系时,我们才算真正开始进入高等数所确定的两个变量之间的变化关系时,我们才算真
3、正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。也是最基本的数列极限开始研究。1.1.数列极限的概念数列极限的概念 课题引入课题引入 1预备知识:数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。预备知识:数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。v数列 如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.数列举例:2,4,8,2n,;21,41,81,n21,;1,-1,1,(-1)n
4、1,.21,32,43,1nn;x1 x5 x4 x3 x2 xn 数列xn可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,xn,.数列的几何意义v数列 如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.数列xn可以看作自变量为正整数n的函数 xn=f(n),nN.数列与函数v数列 如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.2数列极限来自实践,它有丰富的实际背景。
5、我们的祖先很早就对数数列极限来自实践,它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究,早在战国时期就有了极限的概念列进行了研究,早在战国时期就有了极限的概念 例例 1 战国时代哲学家庄周所著的战国时代哲学家庄周所著的庄子。庄子。天下篇天下篇引用过一句话:引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,一尺之棰,日取其半,万世不竭万世不竭。”也就是说一根一尺也就是说一根一尺 长的木棒,每长的木棒,每天截去一半,这样的过程可以一直无限制的进行天截去一半,这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一下去。将每天截后的木棒排成一 列列,如图所示如图所示,其长度组成的数列为其长度组成的数列为 n
6、21,截丈问题:截丈问题:“一尺之棰,日截其半,万世不竭一尺之棰,日截其半,万世不竭”;211=X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122=X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn =天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211-=1024681000.20.40.60.81分析分析:1、n21随随 n增大而增大而减减 小,且无限接近于常数小,且无限接近于常数0;2数数轴轴上描点,将其上描点,将其 形象形象 表示表示:1 0 1/2 1/4 -1 1 81 8EBanan+1AD例例 2 2 三国时期,我国科学家三国时期,我国科学家刘徽刘徽 就提
7、出了就提出了“割圆求周割圆求周”的思想的思想:用用直径为直径为1 的圆周分成六等份,量得圆内接正六边形的周长的圆周分成六等份,量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧再平分各弧量出内接正十二边形的周长,这样无限制的分割下去,量出内接正十二边形的周长,这样无限制的分割下去,就得到一个就得到一个(内内接多边形接多边形的周长组成的)的周长组成的)数列数列.R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126-nnA,321nAAAAS那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢?那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢?刘徽说刘徽说:“:“割之弥细割之弥
8、细,所失弥少所失弥少,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与则与圆合体而无所失矣圆合体而无所失矣.”.”很明显很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周.从内接正多从内接正多边形的面积来说边形的面积来说,当边数当边数n无限增大时无限增大时,这一串圆的内接正多边形的这一串圆的内接正多边形的面积数列将渐趋稳定于某个数面积数列将渐趋稳定于某个数a.换句话说换句话说,“,“割之弥细割之弥细”,用圆的内用圆的内接正多边形的面积近似代替圆的面积接正多边形的面积近似代替圆的面
9、积,而圆的面积而圆的面积“所失弥少所失弥少”,当当“割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,”,”这一串圆的内接正多边形的极限位置这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体则与圆合体”.此时此时,这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于某个数某个数a,a就应该是该圆的面积就应该是该圆的面积.只有在无限的过程中只有在无限的过程中,才能真正做到才能真正做到“无所失矣无所失矣”.圆是曲边形圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝对的但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下在一定条件下,
10、圆的内接正多边形圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是这个条件就是“当圆的内接正多边当圆的内接正多边形的边数形的边数无限无限增加时增加时”,注意其中注意其中“无限无限”二字。因此在无限过二字。因此在无限过程中程中,直边形才能转化为曲边形直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中即在无限的过程中,由直边形的由直边形的面积数列面积数列 Pn 得到了曲边形的面积得到了曲边形的面积,如果仅停留在有限过程或如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃但是飞跃式的思维方法式的思维方法,不仅使
11、人们看到数列不仅使人们看到数列 Pn 的变化是没完没了的变化是没完没了,永永无终结的无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终终结结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。在计算圆的面积上的应用。根据以上的分析,圆的面积可以这样定义:若圆根据以上的分析,圆的面积可以这样定义:若圆的内接正多边形的面积数列的内接正多边形的面积数列 Pn 稳定于某个数稳定于某个数a(当(当n无限增大时),则称无限增大时),则称a是该圆的面积。是该圆的面积。一般地一般地,若数
12、列若数列xn,当当n无限增大时无限增大时,稳定于某个常稳定于某个常数数a,称数列称数列xn收敛收敛,a为数列为数列xn的极限的极限.当当n无限增大时无限增大时,如果数列如果数列xn的一般项的一般项xn无限接近无限接近于常数于常数a,则常数则常数a称为数列称为数列xn的极限的极限,或称数列或称数列xn收敛收敛a,记为记为axnn=lim.v数列极限的通俗定义 下面我们对数列极限定义作几点说明:下面我们对数列极限定义作几点说明:(1)(1)将上述将上述实例实例一般化可得一般化可得:我们在以前的学习生活中我们在以前的学习生活中,很少遇到无限的数学模型很少遇到无限的数学模型,也也很少无限变化过程的实践
13、很少无限变化过程的实践.可是在数列极限的定义中可是在数列极限的定义中,恰巧有恰巧有两个两个“无限无限”:一个是一个是“自然数自然数n无限无限增大增大”;另一个是另一个是“xn无无限限趋近于趋近于a”.而这两个而这两个“无限无限”又是数列极限定义的核心又是数列极限定义的核心.从字面来说从字面来说,这两个这两个“无限无限”似乎并不难理解似乎并不难理解,但要追究其实但要追究其实质又觉得茫然质又觉得茫然.我们通过一些实例我们通过一些实例,逐步对无限有个全面正确逐步对无限有个全面正确的认识的认识,这是深刻理解数列极限定义的前提这是深刻理解数列极限定义的前提.,.nnxanxaa对于数列若存在某常数 当
14、无限增大时能无限接近常数则称该数列为收敛数列 为它的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 -nnn思考 1 1、第几项后面的所有项与、第几项后面的所有项与1 1的差的绝对值小于的差的绝对值小于0.01?0.01?2 2、第几项后面的所有项与、第几项后面的所有项与1 1的差的绝对值小于的差的绝对值小于0.0010.001?3 3、第几项后面的所有项与、第几项后面的所有项与1 1的差的绝对值小于的差的绝对值小于0.00010.0001?4 4、第几项后面的所有项与、第几项后面的所有项与1 1的差的绝对值小于任意小的正的差的绝对值小于任意小的正数数?,1001给定给定,100
15、11 n由由,100时时只要只要 n,10011 -nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,100011 -nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,1000011 -nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要=Nn.1成立成立有有 -nx 这就是这就是“当当n无限增大时,无限增大时,xn无限地接近于无限地接近于1”的实的实质和精确的数学描述。质和精确的数学描述。=-1nxnnn11)1(1=-当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a
16、|能小于事先给定的任意小的正数.分析 因此,如果 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则数列xn收敛a.a为它的极限.(2)(2)将将“n无限增大无限增大 时时”,数学,数学“符号化符号化”为为“存在存在 N,当,当nN时时”将将“xn 无限接近无限接近 a”,数学,数学“符号化符号化”为为”“任给任给 0 0,|axn-|(3 3)“抽象化抽象化”得得“数列数列极限极限”的的 定义定义 定义定义:设设nx 是一个数列是一个数列,a 是一个确定的常数是一个确定的常数,
17、若若对对任给的正数任给的正数,总存在某一正整数总存在某一正整数 N,使得当使得当nN时时,都有都有 a|xn-|则称数列则称数列 nx 收敛收敛于于a,a为它的为它的极限极限。记作记作axnn=lim(或 xna,n)若数列若数列 nx没有没有极限极限,则则称该数列称该数列为为发散数列发散数列。数列极限定义的数列极限定义的“符号化符号化”记法记法:axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.注注(i)此定义习惯上称为极限的此定义习惯上称为极限的N定义,它用两个动定义,它用两个动态指标态指标和和N刻画了极限的实质,用刻画了极限的实质,用|xna|定定量地刻画了量地刻画了xn与与a之间的
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