2 赋范线性空间与凸集 .docx
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1、第2章 赋范线性空间与凸集2.1 赋范线性空间2.2 凸集2.3 一些重要例子2.4 保持凸性的运算2.5 分离超平面和支撑超平面2.1 赋范线性空间2.1.1 赋范线性空间2.1.2 开集和闭集2.1.3 上确界和下确界2.1.4 序列收敛和完备性2.1.5 紧性2.1.6 Banach 空间 2.1.1 赋范线性空间l 线性空间(linear space)/向量空间(vector space)n 指定义加法和标量乘法的非空集合 加法(addition), 标量乘法 ,n ,满足:1. (交换律)2. (结合律)3.4.5. (结合律)6,7对,8l 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(clo
2、sed)。l 线性空间的元素称为向量(vector)。例2.1 一些线性空间 维实向量空间或维欧氏空间:所有维实向量的集合 所有实数序列的集合, 所有多项式的集合。l 消费集(例1.1)和生产可能性集(例1.2)本身不是线性空间。l 但它们都是线性空间的子集,并且都从其母空间中继续了许多线性特征。例2.2 (总需求和总供给) l 个消费者,每个消费者购买消费组合l 总需求(aggregate demand)n 其中对每种商品,对它的总需求n 其中是消费者对商品的需求。l 个厂商,每个厂商的净产出向量为l 总供给(aggregate suppley)l 均衡要求总需求等于总供给,即n 意味着:或
3、者:l 范数(norm)n 实值函数称为范数,满足:1. 非负性(positivity):2. 严格非负性(strict positivity):3. 齐次性(homogeneity):4. 三角不等式(triangle inequality):n 范数用来衡量向量的大小,符号表明范数是实数集上绝对值的推广。l 度量(metric) n 符合距离函数的要求n 即对,满足:1. 非负性(positivity):2. 严格非负性(strict positivity):3. 对称性(symmetry):4. 三角不等式(triangle inequality):l 集合加上其度量称为度量空间(met
4、ric space),表示为。例2.3 范数的一些例子l 上的绝对值l 欧几里德(Euclidean)或范数 Cauchy-Schwarz不等式:,。l 绝对值之和或范数l Chebyshev范数或范数l 上述三个范数都属于范数的特例,其中。n 范数;欧几里德范数l例2.4生产计划的“大小 ” 的测量l 赋范线性空间(normed linear space)n 定义在范数之上的线性空间l 本书涉及的三类赋范线性空间n 维实向量空间n 阶实矩阵空间n 上的有界、连续的实值函数空间u , 处的函数值为u 在处的函数值为例2.5 (空间)一生的消费路径选择问题l 一种商品,表示期时对该商品的消费量l
5、 设消费者是长生不老的l 消费者计划l 消费集,它是一个线性空间l 每期消费受资源限制:。l 结合范数,它成为赋范线性空间。l 在这一范数中,任意消费计划的规模是任一时期最大的计划消费的绝对值l 子空间(subspace)n ,称为的子空间,n 每个赋范线性空间都有两个平凡子空间:和。例2.6 的子空间l 原点l 所有经过原点的直线l 所有经过原点的平面l 本身例2.7 次数小于的多项式 设表示所有次数小于的多项式,由于加法和标量乘法不会提高多项式的次数,因此,集合是所有多项式的集合的子空间。l 非空集合,跨度:l 设是子空间的子集,如果中没有真子集具有跨度这一性质,则称是子空间的基(base
6、)。n 基的元素是线性无关的n 除外,子空间通常有很多不同的基。n 若有一个由有限个元素组成的基,则所有基都有相同数目的非零元素,这一数目称为子空间的维(dimension)。n 若子空间没有有限基,则它是无限维的。例2.8 的标准基l 单位向量的集合称为的标准基。l 每一向量都有唯一表达式:l 是具有许多可能的基的维空间l 任意个线性无关的维向量的跨度形成的维子空间。2.1.2 开集、闭集和紧集l 开球(open ball)例2.9 中的单位球l 单位球(unit ball)n 欧几里德或范数:圆形n 范数:正方形n 范数,单位球是菱形的l 是的邻域包含的开球,称为的内点(interior
7、point)l 内部(interior) 中所有内点的集合l 是开的(open) l 是闭的(closed) 是开的。例2.10 开球是开集图2.4 开球是开集l 中的开集和闭集具有如下事实:n 任意个开集的并是开集,有限个开集的交是开集。n 任意个闭集的交是闭集,有限个闭集的并是闭集。l 边界点(boundary point)n 是的边界点的每个邻域既包含中的点也包含中的点n 边界(boundary)是所有边界点的集合图2.5 中的内点和边界点l 闭包(closure)n 开n 闭。例2.10 (闭球)闭球是闭集。例 2.11 (单位球面)单位球的边界是,称为单位球面(unit sphere
8、)。中单位球面是,它是集合的边界。例2.13 效率生产l 生产计划是有效率的(efficient)不存在可行计划,l -有效率的生产计划的集合Effl 的每个内点都是非效率的ln 通常是的真子集2.1.5 上确界和下确界l ,是的上界(upper bound),l 的上界的集合n (此时称无上界)n 整个(仅当时)n 闭的无界区间l 上确界(supremumin)n 集合的最小上界;n 向上无界,则取,而n 当时,称取得(或达到)上确界。l ,是的下界(upper bound),。l 下确界(infimum)n 集合的最大下界;n 向上无界,则取,而n 当,称取得(或达到)上确界。2.1.4
9、序列收敛和完备性l 中的序列(sequence) 或l 或,。n 称为的极限点(limit point)或极限(limit)l 序列收敛极限惟一图2.6 序列收敛l 柯西序列(Cauchy sequence)n 极限点的候选点不易得时,一般采用柯西准则。n 为柯西序列,。n 每个收敛的序列都是柯西序列。l 有界(bounded)直径有限,即。l 柯西序列有界,这意味着,每个收敛序列都有界。l 在一些度量空间中,柯西序列不会收敛于空间中的元素。为此,我们有:l 定义2.4 (完备度量空间) 如果集合中的每个柯西序列都收敛于中的一个元素,则称度量空间()是完备的(complete)。l 基本事实
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