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类型2 赋范线性空间与凸集 .docx

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    关 键  词:
    赋范线性空间与凸集 线性 空间
    资源描述:

    1、第2章 赋范线性空间与凸集2.1 赋范线性空间2.2 凸集2.3 一些重要例子2.4 保持凸性的运算2.5 分离超平面和支撑超平面2.1 赋范线性空间2.1.1 赋范线性空间2.1.2 开集和闭集2.1.3 上确界和下确界2.1.4 序列收敛和完备性2.1.5 紧性2.1.6 Banach 空间 2.1.1 赋范线性空间l 线性空间(linear space)/向量空间(vector space)n 指定义加法和标量乘法的非空集合 加法(addition), 标量乘法 ,n ,满足:1. (交换律)2. (结合律)3.4.5. (结合律)6,7对,8l 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(clo

    2、sed)。l 线性空间的元素称为向量(vector)。例2.1 一些线性空间 维实向量空间或维欧氏空间:所有维实向量的集合 所有实数序列的集合, 所有多项式的集合。l 消费集(例1.1)和生产可能性集(例1.2)本身不是线性空间。l 但它们都是线性空间的子集,并且都从其母空间中继续了许多线性特征。例2.2 (总需求和总供给) l 个消费者,每个消费者购买消费组合l 总需求(aggregate demand)n 其中对每种商品,对它的总需求n 其中是消费者对商品的需求。l 个厂商,每个厂商的净产出向量为l 总供给(aggregate suppley)l 均衡要求总需求等于总供给,即n 意味着:或

    3、者:l 范数(norm)n 实值函数称为范数,满足:1. 非负性(positivity):2. 严格非负性(strict positivity):3. 齐次性(homogeneity):4. 三角不等式(triangle inequality):n 范数用来衡量向量的大小,符号表明范数是实数集上绝对值的推广。l 度量(metric) n 符合距离函数的要求n 即对,满足:1. 非负性(positivity):2. 严格非负性(strict positivity):3. 对称性(symmetry):4. 三角不等式(triangle inequality):l 集合加上其度量称为度量空间(met

    4、ric space),表示为。例2.3 范数的一些例子l 上的绝对值l 欧几里德(Euclidean)或范数 Cauchy-Schwarz不等式:,。l 绝对值之和或范数l Chebyshev范数或范数l 上述三个范数都属于范数的特例,其中。n 范数;欧几里德范数l例2.4生产计划的“大小 ” 的测量l 赋范线性空间(normed linear space)n 定义在范数之上的线性空间l 本书涉及的三类赋范线性空间n 维实向量空间n 阶实矩阵空间n 上的有界、连续的实值函数空间u , 处的函数值为u 在处的函数值为例2.5 (空间)一生的消费路径选择问题l 一种商品,表示期时对该商品的消费量l

    5、 设消费者是长生不老的l 消费者计划l 消费集,它是一个线性空间l 每期消费受资源限制:。l 结合范数,它成为赋范线性空间。l 在这一范数中,任意消费计划的规模是任一时期最大的计划消费的绝对值l 子空间(subspace)n ,称为的子空间,n 每个赋范线性空间都有两个平凡子空间:和。例2.6 的子空间l 原点l 所有经过原点的直线l 所有经过原点的平面l 本身例2.7 次数小于的多项式 设表示所有次数小于的多项式,由于加法和标量乘法不会提高多项式的次数,因此,集合是所有多项式的集合的子空间。l 非空集合,跨度:l 设是子空间的子集,如果中没有真子集具有跨度这一性质,则称是子空间的基(base

    6、)。n 基的元素是线性无关的n 除外,子空间通常有很多不同的基。n 若有一个由有限个元素组成的基,则所有基都有相同数目的非零元素,这一数目称为子空间的维(dimension)。n 若子空间没有有限基,则它是无限维的。例2.8 的标准基l 单位向量的集合称为的标准基。l 每一向量都有唯一表达式:l 是具有许多可能的基的维空间l 任意个线性无关的维向量的跨度形成的维子空间。2.1.2 开集、闭集和紧集l 开球(open ball)例2.9 中的单位球l 单位球(unit ball)n 欧几里德或范数:圆形n 范数:正方形n 范数,单位球是菱形的l 是的邻域包含的开球,称为的内点(interior

    7、point)l 内部(interior) 中所有内点的集合l 是开的(open) l 是闭的(closed) 是开的。例2.10 开球是开集图2.4 开球是开集l 中的开集和闭集具有如下事实:n 任意个开集的并是开集,有限个开集的交是开集。n 任意个闭集的交是闭集,有限个闭集的并是闭集。l 边界点(boundary point)n 是的边界点的每个邻域既包含中的点也包含中的点n 边界(boundary)是所有边界点的集合图2.5 中的内点和边界点l 闭包(closure)n 开n 闭。例2.10 (闭球)闭球是闭集。例 2.11 (单位球面)单位球的边界是,称为单位球面(unit sphere

    8、)。中单位球面是,它是集合的边界。例2.13 效率生产l 生产计划是有效率的(efficient)不存在可行计划,l -有效率的生产计划的集合Effl 的每个内点都是非效率的ln 通常是的真子集2.1.5 上确界和下确界l ,是的上界(upper bound),l 的上界的集合n (此时称无上界)n 整个(仅当时)n 闭的无界区间l 上确界(supremumin)n 集合的最小上界;n 向上无界,则取,而n 当时,称取得(或达到)上确界。l ,是的下界(upper bound),。l 下确界(infimum)n 集合的最大下界;n 向上无界,则取,而n 当,称取得(或达到)上确界。2.1.4

    9、序列收敛和完备性l 中的序列(sequence) 或l 或,。n 称为的极限点(limit point)或极限(limit)l 序列收敛极限惟一图2.6 序列收敛l 柯西序列(Cauchy sequence)n 极限点的候选点不易得时,一般采用柯西准则。n 为柯西序列,。n 每个收敛的序列都是柯西序列。l 有界(bounded)直径有限,即。l 柯西序列有界,这意味着,每个收敛序列都有界。l 在一些度量空间中,柯西序列不会收敛于空间中的元素。为此,我们有:l 定义2.4 (完备度量空间) 如果集合中的每个柯西序列都收敛于中的一个元素,则称度量空间()是完备的(complete)。l 基本事实

    10、具有度量的实数集是一个完备的度量空间。l 子序列(subsequence) n 给定序列,设有一个严格递增函数,它将每个正整数分配给一个正整数,则序列称为的子序列(subsequence)。l 紧度量空间n 度量空间是紧的(compact)中的每个序列都有收敛子序列n 紧集闭而有界2.1.4 Banach 空间l Banach空间完备的赋范线性空间l 是典型的有限维赋范线性空间l 定理2.2 有限维赋范线性空间的性质:(1) 它是完备的;(2) 定义于其上的所有范数都是等价的;(3) 子集是紧集,当且仅当它是闭而有界的。2.2 凸集2.2.1 仿射集2.2.2 凸集2.2.3 凸锥2.2.1

    11、仿射集l ,形为的点形成经过和的直线。n 对应于n 对应于n 对应于和之间的线段。ln 是基点(对应于)和用缩放的方向(由指向)之和。n 给出了点所在的从到的部分路径。图2.7 直线和线段l 是仿射的(affine),l 形为的点称为点的仿射组合(affine combination),其中。l 仿射集包含它的点的每一种仿射组合,即如果是仿射集,则也在中l 仿射集可表示为子空间加上偏移量(offset) :,l 是仿射集是的子空间。例2.13 线性方程组的解集l 线性方程组的解集是仿射集,其中矩阵,向量。证明:设,即,则对,有这意味着仿射组合也在中。l 与仿射集相联系的子空间是的零空间,即。l

    12、 反命题也成立:每个仿射集都可表示为线性方程组的解集。l 仿射包(affine hull)n 中的点的所有仿射组合的集合n 仿射包是包含的最小仿射集:如果为任意满足的仿射集,则。2.2.2 凸集l 集合是凸的(convex),l 每个仿射集都是凸的凸集 非凸集 非凸集图2.8 中的凸集与非凸集l 形为的点称为点的凸组合(convex combination),其中,n 注意,仿射组合没有这一非负性要求n 集合是凸的它包含其元素的所有凸组合。n 凸组合可以视为点的混合或加权平均(mixture or weighted average),其中是的权重。例2.14 (消费集) 消费集指所有可行消费组

    13、合的集合(例1.1)。如果和是两种消费组合,它们加权平均是另一消费组合。消费集是的凸子集。例2.15 ( 投入要求集) l 投入要求集为,和是生产的两种不同方式。l 问题:能否将两种生产过程联合起来,并且仍生产,?l 为凸集,则答案为是。l 生产者理论一般假设是凸集,此时,称技术是凸的。l 的凸包(convex hull )l 凸包是包含的最小凸集(a)(b)图2.9 中的凸包2.2.3 凸锥l 集合为锥(cone),有。l 是凸锥(convex cone)既是锥又是凸集,即,图2.10 凸锥l 形为的点称为点的锥组合(conic combination),其中l 集合是凸锥包含其元素的所有锥

    14、组合。例2.16 (凸技术)技术的典型假设是:(1)加法:; (2)规模报酬不变:对加法要求生产过程是独立的。同时,通常的假定意味着生产可能性集是一个凸锥。对技术来说,凸性的要求比较严格。l 集合的锥包(conic hull)l 锥包是包含的最小凸锥图2-8 锥包 2.3 一些重要例子2.3.1 超平面与半空间2.3.2 欧几里德球、赋范球和赋范锥2.3.3 多面体l 凸集的一些简单的例子n 空集、任意单点集以及整个空间是的仿射子集,从而是的凸子集。n 任意直线都是仿射集,如果它经过,那么它是子空间,因而凸锥。n 线段是凸集,但不是仿射集,除非它缩减为一点。n 形为的射线是凸集,但不是仿射集。

    15、如果基点,则它是凸锥。n 任意子空间都是仿射集和凸锥(因而是凸集)。2.3.1 超平面与半空间l 超平面(hyperplane)n ,。n 线性方程组的解集,从而是仿射集。n 法向量(normal vector)为的超平面,常数决定着超平面和原点之间的偏移:其中是超平面上的任意点:lnn 超平面由偏移加上与法向量正交的所有向量组成图2.12 中的超平面例2.18 竞争性厂商的净收入函数是包含常数利润为的生产计划的超平面,有时称为等利润线(isoprofit lines)l (闭)半空间(halfspace) 其中n 半空间是凸集,但不是仿射集。图2.14 中的半空间l 半空间的另一表示: ,

    16、n 解释:半空间由加上与(外向法)向量的夹角成钝角或直角的任意向量组成图2.15 由决定的半空间l 半空间的边界为超平面l 开半空间(open halfspace)为半空间的内部2.3.2 欧几里德球、赋范球和赋范锥l 欧几里德球(Euclidean ball),简称球:其中,是中心,标量为半径。l 欧几里德球的另一表达式l 欧几里德球是凸集l 赋范球(norm ball)是凸集2.3.3 多面体l 多面体(polyhedron) n 多面体是有限个半空间和超平面的交集n 仿射集(如子空间、超平面、直线等)、射线、线段和半空间都是多面体。n 多面体是凸集图2.13 多面体l 多面体的简单表达

    17、其中,2.4 保持凸性的运算2.4.1 交2.4.2 仿射函数2.4.1 交l 两个凸集之交是凸集l 任意凸集之交是凸集l 子空间、仿射集和凸锥在任意个交下也是闭的。 n 如:多面体是半空间和超平面(它们都是凸集)之交,因而是凸集。2.4.2 仿射函数l 函数是仿射的(affine),其中l 集合是凸的,是仿射的是凸的。l 是仿射的是凸的。l 例子n 缩放(scaling)和移动(translation)u 集合是凸的,集合和是凸的其中, l 两个集合的和l 和是凸的是凸的l 和是凸的笛卡尔乘积(Cartesian product)是凸的l 集合在函数下的像是例2.20 (多面体) 多面体P

    18、可表示为和原点的笛卡尔乘积在仿射函数下的逆像2.5 分离超平面和支撑超平面2.5.1 分离超平面定理2.5.2 支撑超平面2.5.1 分离超平面定理l 分离超平面定理(separating hyperplane theorem)凸集,;,l 超平面称为和的分离超平面(separating hyperplane)。图2.17 分离超平面l 一种特殊情形时的证明设集合和的(欧几里德)距离为正数,且达到最小距离:定义:我们将证明仿射函数在在非正,而在上非负,即超平面分离和。这一超平面与和之间的线段垂直,并且经过其中心,如图2.18。图2.18 分离超平面的构造先证明在上非负,关于在上非正的证明相似。

    19、假设存在点,满足: (2.4)则可表示为:式(2.4)意味着。于是,因此对一些很小的,我们有也即,点比更靠近。由于是凸集并且包含和,因此,。但这是不可能的,因为被假设为中最靠近的点。2.5.2 支撑超平面l 设,。,则超平面称为在点的支撑超平面(supporting hyperplane)。l 几何解释:超平面与相切于点,并且半空间包含。如图2.20。图2.20 超平面在点处支撑l 支撑超平面定理(supporting hyperplane theorem)对任意非空凸集和任意边界点,在点处存在的支撑超平面。n 如果的内部非空,通过对集合和应用分离超平面定理,结果立即可得n 如果的内部为空,则必然位于维数小于的仿射集上,并且任意包含仿射集的超平面包含和,从而为(平凡)支撑超平面。l 正规化(normalization)n 超平面n 正规化u 选择,或者u 对某些79

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