人教版八年级数学上册教学课件《课题学习-最短路径问题》.pptx

1、第十三章 轴对称第8节课题学习 最短路径问题人民教育出版社 八年级|上册 学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）复习引入1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB最短，因为两点之间，线段最短2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边.4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？AlA 牧人饮马问题一 “两点的所有连

2、线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.ABPlABCD如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？AlBC根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求

3、.连接AB,与直线l相交于一点C.问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B.方法揭晓作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求 ABlB C问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质可知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC在ABC中

4、，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC 最短ABlB CC 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM造桥选址问题二BA?NMNMNM折移 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BABAAB1.把A平移到岸边.AM+MN+

5、BN长度改变了2.把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢？BA问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N，连接AM，BN，AN.由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AM+MN+BN转化为，而转化为.在ANB中，因为A1N1+BN1A1B.因此 AM+MN+BN.ABMNECD证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.方法归纳解决最短路径问题的方法在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马问题解题方法造 桥 选 址问题关键是将固定线段“桥”平移最 短 路径 问 题轴对称知识+线段公理解题方法