第五节-线性方程组解的结构课件.ppt
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- 关 键 词:
- 五节 线性方程组 结构 课件
- 资源描述:
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1、第第五五节节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax 若记若记(1 1)111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa nxxxx21则上述方程组(则上述方程组(1 1)可写成向量方程)可写成向量方程.Ax0 12,s 基础解系,基础解系,则方程组的则方程组的通解通解可表示为:可表示为:0Ax 方程组方程组 解空间解空间V V的一组基称为齐次线性方程组的的一组基称为齐次线性方程组的一组一组基础解系基础解系,即解空间的某一个部分组即解空间的某一
2、个部分组0Ax 12,可由线性表出sV 线性无关;线性无关;12,s 为齐次线性方程组的一组为齐次线性方程组的一组基础解系基础解系.12,s 满足:满足:如果为齐次线性方程组的如果为齐次线性方程组的12,s 0Ax 1122,ssxkkk其中为任意实数其中为任意实数.12,sk kk线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法 00001001,1,111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ,并不妨并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA00000100121,1,111 nrnrrrnxxxbbbb
3、nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx11111110 Ax现对现对 取下列取下列 组数:组数:nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入.,100,010,001依次得依次得 rxx1,bbr 0011111,0102122 rbb.bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解:个解:rn.bb,rn,rrn,1,bbr 212,bbr 111,()()1122n rn rkkk则方程组的则方程组的通解通解0Ax 如果如果12,n r 为齐次线性方程组的为齐次线性方程组的一个一个基
4、础解系基础解系.、证明、证明12,n r 线性无关线性无关.由于由于-个个-维列向量维列向量100010,001 线性无关,线性无关,所以所以-个维向量个维向量12,n r 、证明解空间的任一解都可由、证明解空间的任一解都可由12,n r 线性表示线性表示.设设 11Trrnx 为某一解向量,为某一解向量,1122rrnn r 再构造再构造12,n r 的一个线性组合:的一个线性组合:rn,210 Ax0 Ax由于由于 是是 的解,故的解,故也是的解也是的解.亦线性无关亦线性无关.下证下证12,n r 是线性方程组的一组基础解系是线性方程组的一组基础解系.1122rrnn r 122rrrnc
5、cc 易知:方程组的前个未知量可由后个未知量易知:方程组的前个未知量可由后个未知量唯一确定唯一确定.112111100rrbbb 122222010rrbbb 1,2,001n rn rr n rnbbb 112.rrrncc .c,crr 11112rrrn 而而;.故故1122.rrnn r 即即所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.12,n r 说明说明、解空间的基不是唯一的、解空间的基不是唯一的、解空间的基又称为方程组的基础解系、解空间的基又称为方程组的基础解系、任、任-个线性无关的个线性无关的解向量构成基础解系解向量构成基础解系元齐次线性方程组的全体
6、解所构成的元齐次线性方程组的全体解所构成的0m nAx 集合是一个向量空间,当系数矩阵的秩为时,解空集合是一个向量空间,当系数矩阵的秩为时,解空间间的维数为的维数为-.当当 时,线性方程组必有含时,线性方程组必有含-个向量的个向量的基基()rank An 解系(此时解空间只含有零向量,称为维向量空间)解系(此时解空间只含有零向量,称为维向量空间)当当 时,线性方程组只有零解,故时,线性方程组只有零解,故没有基础没有基础()rank An 础础解系,此时线性方程组的解可以表示为解系,此时线性方程组的解可以表示为12,n r 1122n rn rkkk其中其中为任意实数,解空间可以表示为为任意实数
7、,解空间可以表示为12,n rk kk 112212,n rn rn rVkkkxk kkR2(1)r 132220150213 例求下列齐次线性方程组例求下列齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.12341342343220250230 xxxxxxxxxx 解解方程组的系数矩阵方程组的系数矩阵212rr 0639 0213 0639 00000213122rr 23rr1104313rr 1242232444423xxxxxxxxxx 所以所以121410,;2301 从而基础解系为从而基础解系为通解为通解为1122.xkk132220150213A 解解124123451345
8、1234532503236025306440 xxxxxxxxxxxxxxxxx 把系数矩阵把系数矩阵用初等行变换变成为用初等行变换变成为171002231010440001200000 例求下列齐次线性方程组例求下列齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.32050323612015316414A 135235334555172231442xxxxxxxxxxxx 所以所以1217223144,;100201 基础解系为基础解系为所以线性方程组的通解为所以线性方程组的通解为 112212,.xkkk kR例齐次线性方程组例齐次线性方程组123123123000 xxxxxxxxx 只
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