人大线性代数课件(第六版)第五章-二次型.ppt

1、1第五章第五章2 本章讨论把一个本章讨论把一个n元二次齐次多项式元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。研究有关的性质。3第一节第一节 二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵(一一)二次型及其矩阵二次型及其矩阵定义定义称为一个称为一个(n元元)二次型二次型.的的二二次次齐齐次次多多项项式式个个变变量量含含有有nxxxn,21),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 本书本书只讨论只讨论实二次型实二次型，即系数全是实数的二次型。，即系数全是实数

2、的二次型。4),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 由由于于ijjixxxx，具具有有对对称称性性，若若令令ijjiaa ，ji ，则则 ijjijiijjiijxxaxxaxxa 2，ji ，于是于是上述二次型上述二次型可以写成可以写成如下求和如下求和形式形式 5nnxxaxxaxxaxa11311321122111 nnxxaxxaxaxxa22322322221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa ,11 ninjjiijxxa),(21nxxxfnnxxaxxaxa2232

3、23222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 ),(21nxxxf 6 ninjjiijnxxaxxxf1121),(记记,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA,21 nxxxX则则上述上述二次型可以用矩阵形式表示为二次型可以用矩阵形式表示为 ,),(21AXXxxxfTn A称为二次型称为二次型 的矩阵。的矩阵。),(21nxxxf7A 的秩称的秩称为为该二次型的秩该二次型的秩。,),(21AXXxxxfTn A称为二次型称为二次型 的矩阵。的矩阵。),(21nxxxfA 是一个是一个实实对称矩阵。对称矩阵。事实上，由一个

4、实对称矩阵也可构造唯一的实二事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是一一对一一对应应的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它它的矩阵的矩阵 A 所具有的性质。所具有的性质。8例例1 1 设二次型设二次型 3231212322213216422),(xxxxxxxxxxxxf 求二次型的矩阵求二次型的矩阵 A 和二次型的秩。和二次型的秩。解解,A211 1 223 3 1 132311212A 710410311,100410311 所以所以 r(A)=3，即二次型的秩等于即二

5、次型的秩等于 3。9例例2 2 设二次型设二次型 2332211321)(),(xaxaxaxxxf 的矩阵的矩阵A和二次型的秩，和二次型的秩，解解其其中中321,aaa不不全全为为零零。2332211321)(),(xaxaxaxxxf 2321321),(aaaxxx,),(),(321321321321 xxxaaaaaaxxx所以二次型所以二次型 f 的矩阵为的矩阵为),(321321aaaaaaA ,232313322212312121 aaaaaaaaaaaaaaa.1)(Ar10(二二)线性变换线性变换dcybxyax 222 cossinsincosyxyyxx选选择择适适当当

6、的的，消消去去交交叉叉项项,可可使使上上面面的的方方程程化化为为,22dybxa 上上述述yx ,由由yx ,的的线线性性表表达达式式给给出出，通通常常称称为为线线性性变变换换。一一般般有有下下面面的的定定义义。在平面解析几何中，为了确定二次方程在平面解析几何中，为了确定二次方程 所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：11定义定义 关系式关系式 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111称称为为由由变变量量nxxx,21到到nyyy,21的的一一个个线线性性变变换换。记记,21 nxxxX,212

7、222111211 nnnnnncccccccccC,21 nyyyY则上述线性则上述线性变变换可以写成矩阵形式：换可以写成矩阵形式：.CYX 12,22112222121212121111 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx.CYX C 称为称为该该线性线性变变换的换的矩阵矩阵。若若0|C，则则此此线线性性变变换换称称为为非非退退化化的的线线性性变变换换或或可可逆逆的的线线性性变变换换。如果如果C 为正交矩阵，为正交矩阵，则则此线性此线性变变换换称为称为正交变换正交变换。cossinsincosyxyyxx容易验证，转轴公式容易验证，转轴公式是一个正交是一个正交变

8、变换。换。13(三三)矩阵的合同关系矩阵的合同关系将将可可逆逆线线性性变变换换CYX ，代代入入二二次次型型AXXxxxfTn),(21，得得 AXXT)()(CYACYT YACCYTT)(,ACCBT 其中其中,BYYT 由由于于A是是实实对对称称阵阵，则则ACCBT 也也是是实实对对称称阵阵，于于是是BYYT是是一一个个以以nyyy,21为为变变量量的的实实二二次次型型。由于由于 C 是可逆矩阵，所以是可逆矩阵，所以 A 和和 B 秩相等秩相等，从而两从而两个二次型的秩相等。个二次型的秩相等。14设设BA,是是两两个个n阶阶矩矩阵阵，如如果果存存在在n阶阶可可逆逆矩矩阵阵C，使使得得 A

9、CCBT，则则称称A与与B合合同同,记记为为 A B.定义定义 与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也具也具有以下性质：有以下性质：(1)反身性：反身性：(2)对称性：对称性：(3)传递性：传递性：对对任任何何方方阵阵A，总总有有 ；A A若若 ，则则有有 ；A BB A若若 ,且且 ,则则有有 .A BB CA C证明证明 只证只证(3)，其余留作练习。，其余留作练习。,1T1ACCB ,2T2BCCC 21T1T2)(CACCCC ,)()(21T21CCACC 由由于于21,CC均均可可逆逆，所所以以21CC也也可可逆逆.15第二节第二节 二次

10、型与对称矩阵的标准型二次型与对称矩阵的标准型本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换CYX ，把二次型，把二次型AXXxxxfTn),(21化为化为nyyy,21的平方和的平方和2222211nnydydyd ，称，称之为二次型的标准形。从前面分析可以看出，要把一之为二次型的标准形。从前面分析可以看出，要把一个二次型化为标准形，只要找一个可逆阵个二次型化为标准形，只要找一个可逆阵C，使，使ACCT成为对角阵，即成为对角阵，即A与一个对角阵合同。与一个对角阵合同。16(一一)二次型的标准形二次型的标准形如果二次型如果二次型 AXXxxxfTn),(21

11、 通过可逆线性通过可逆线性变变换换CYX ，化为二次型，化为二次型 2222211nnTydydydBYY ，则称之为原二次型的则称之为原二次型的标准形标准形。定义定义实实际际上上，二二次次型型AXXxxxfTn),(21化化为为标标准准形形的的问问题题，等等价价于于该该二二次次型型的的矩矩阵阵A合合同同于于一一个个对对角角矩矩阵阵的的问问题题。下面介绍二次型化为标准形的方法。下面介绍二次型化为标准形的方法。171、用拉格朗日配方法化二次型为标准形、用拉格朗日配方法化二次型为标准形 kkjijjiiyxyyxyyx),2,1(jiknk 且且拉格朗日配方法的基本步骤：拉格朗日配方法的基本步骤：

12、2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性则先作可逆线性变变换换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法中方法配方。配方。1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性性变变换，就得到标准形换，就得到标准形;ixix18例例1 1 用配方法化用配方法化二次型二次型 解解32312123222162252xx

13、xxxxxxxf 为标准形，并写出对应的可逆线性为标准形，并写出对应的可逆线性变变换。换。32312123222162252xxxxxxxxxf 31212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方的项配方含有含有1x含有平方项含有平方项2321)(xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项322322232144)(xxxxxxx ,)2()(2322321xxxxx 19,)2()(2322321xxxxxf 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 32132110021011

14、1 yyyxxx标准形为标准形为.2221yyf 所用所用变变换矩阵为换矩阵为,100210111 C)01|(C20例例2 2 用配方法化用配方法化二次型二次型解解为标准形，并写出对应的可逆线性为标准形，并写出对应的可逆线性变变换。换。323121622xxxxxxf 所给二次型中无平方项，所以先作线性所给二次型中无平方项，所以先作线性替替换换,33212211 yxyyxyyx 321221100011011 yyyxxx即即原二次型化为原二次型化为323122218422yyyyyyf 21323122218422yyyyyyf 再配方，得再配方，得,6)2(2)(223232231yy

15、yyyf 333223112 yzyyzyyz令令,2 33322311 zyzzyzzy.622232221zzzf 321321100210101 zzzyyy即即标准形为标准形为22 100210101100011011C,100111311 )02|(C所用所用变变换矩阵为换矩阵为,100011011 321221 yyyxxx 321321100210101 zzzyyy对应的线性对应的线性变变换为换为.33321232113 zzzxzzxzzxYCX1)(21ZCC ZCC)(21 23练习练习 用配方法化用配方法化二次型二次型 解解2332223121214222xxxxxxx

16、xxf 为标准形，并写出对应的可逆线性为标准形，并写出对应的可逆线性变变换。换。2332223121214222xxxxxxxxxf 31212122xxxxx 232)(xx 2321)(xxx 32222xxx ,)()(232322321xxxxxx 23322242xxxx 232)(xx 24,)()(232322321xxxxxx 333223211 xyxxyxxxy令令 33322211 yxyyxyyx 321321100110011 yyyxxx标准形为标准形为.232221yyyf 所用所用变变换矩阵为换矩阵为,100110011 C)01|(C25为标准形，并写出对应的

17、可逆线性为标准形，并写出对应的可逆线性变变换。换。323121xxxxxxf 解解 所给二次型中无平方项，所以先作线性所给二次型中无平方项，所以先作线性变变换换 ,33212211 yxyyxyyx,)(2322231yyyyf 有有练习练习 用配方法化用配方法化二次型二次型 26 3322311 yzyzyyz再令再令 ,33212211 yxyyxyyx,)(2322231yyyyf 有有 3322311 zyzyzzy或或,232221zzzf 得标准形得标准形.3332123211 zxzzzxzzzx所用可逆线性所用可逆线性替替换为换为27(二二)用正交变换法化二次型为标准形用正交变

18、换法化二次型为标准形由由上上节节定定理理可可知知，对对实实对对称称阵阵A，总总可可找找到到正正交交阵阵P，使使APP1 为为对对角角阵阵，定理定理 任何二次型都可以通过正交任何二次型都可以通过正交替替换化为标准形。换化为标准形。TPP 1，故故APPAPPT 1。而由正交阵性质可知，而由正交阵性质可知，阵阵P正正好好用用来来作作为为变变换换CYX 中中的的矩矩阵阵C。当当C是正交阵时，我们称是正交阵时，我们称CYX 是一个是一个正交变换正交变换。因此这样的正交因此这样的正交 28;,.1AAXXfT写写出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式;,.221nA 的所有特征值的所有特征值求出求

19、出;,.321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特;),(,.4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换fCYX,.5 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：2211nnyyf 29例例3 3 用正交用正交变变换将换将二次型二次型 解解化为标准形，并求所作的正交化为标准形，并求所作的正交变变换。换。323121232221844141417 xxxxxxxxxf 二次型的矩阵二次型的矩阵 144241422217A,)9()18(2 144241422217|

20、AE23rr 30144241422217|AE,)9()18(2 ,91 5424522289AE,2211 ,000110452 ,183,2 44244222118AE,000000221 ,0122 ,1023 31,2211 ,0122 ,1023 012 1023 45,54251 45503245451324525231Q再单位化，合在一起，即得所求正交再单位化，合在一起，即得所求正交替替换的矩阵换的矩阵正交化，正交化，32于是所求正交于是所求正交替替换为换为,QYX .18189232221yyyf 标准形为标准形为 45503245451324525231Q,91 ,183,

21、2 33例例4 4 用正交用正交变变换将换将二次型二次型 解解化为标准形，并求所作的正交变换。化为标准形，并求所作的正交变换。434232413121222222 xxxxxxxxxxxxf 二次型的矩阵二次型的矩阵 0111101111011110A 111111111111|AE 1111111111111)1(全加法全加法34 1111111111111)1(1221)1(2 .)1)(3(3 ,31 1000212022101111)1(31111311113111133AE 111111111111|AE35 31111311113111133AE,0000110001101131

22、,11111 ,12 1111111111111111AE,0000000000001111 ,1001,0101,0011432 111111111111|AE36正交化，正交化，,1001,0101,0011432 00112101013,021121 ,02113 37,02113 02116100112110014,622261 ,31114 ,1001,0101,0011432 38,11111 ,00112 ,02113 ,31114 123002112162021121612121121612121Q再单位化，合在一起，即得所求正交再单位化，合在一起，即得所求正交替替换的矩阵换的

23、矩阵所作正交所作正交替替换为换为,QYX .324232221yyyyf 标准形为标准形为39已已知知二二次次曲曲面面方方程程4222222 yzxzbxyzayx可可以以经经过过正正交交变变换换 Pzyx.化化为为椭椭圆圆柱柱面面方方程程4422 ,求求ba,的的值值.例例5 5解解二次型二次型224 f的矩阵为的矩阵为 410,原二次型的矩阵为原二次型的矩阵为 111111abb,40由由)(tr)(trBA ,得得52 a,二次型二次型224 f的矩阵为的矩阵为 410,原二次型的矩阵为原二次型的矩阵为 111111abb,由题意由题意,这两个矩阵相似这两个矩阵相似,由由|BA ,得得,

24、0)1(2 b.1 b;3 a41化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次1),(321 xxxf曲面曲面.323121232221321662355),(xxxxxxxxxxxxf 练习练习 求一正交求一正交变变换，将二次型换，将二次型解解,333351315 A,)9)(4(|AE,9,4,0321 的特征值为的特征值为于是于是A.111,011,211 321 对应特征向量为对应特征向量为42.111,011,211 321 再单位化，合在一起，即得所求正交再单位化，合在一起，即得所求正交变变换的矩阵换的矩阵,31062312161312161 P,PYX 2322

25、94yyf 二次型的标准形二次型的标准形.1),(321表表示示椭椭圆圆柱柱面面可可知知 xxxf43例例6 6 已知二次型已知二次型 解解)0(2332),(32232221321 axaxxxxxxxf二次型的矩阵二次型的矩阵 3030002aaA,)96)(2(22a 3030002|aaAE经正交变换化成标准形经正交变换化成标准形23222152yyyf ，求常数求常数 a及所用的正交变换矩阵及所用的正交变换矩阵。由于二次型经正交变换化为标准形由于二次型经正交变换化为标准形23222152yyyf ，所以所以 A 的特征值为的特征值为11 ，22 ，53 ，44将将11 代入特征多项式

26、得，代入特征多项式得，042 a，因此，因此2 a，又又0 a，故取，故取2 a，对对于于11 ，求求得得对对应应的的特特征征向向量量为为T)1,1,0(1 ；对对于于22 ，求求得得对对应应的的特特征征向向量量为为T)0,0,1(2 ；对对于于53 ，求求得得对对应应的的特特征征向向量量为为T)1,1,0(3 .单位化后拼起来，即得所求正交变换单位化后拼起来，即得所求正交变换 x=Q y 的矩阵为的矩阵为 2102121021010Q45(四四)二次型与对称矩阵的规范形二次型与对称矩阵的规范形 一个实二次型，既可以通过正交替换化为标准形，一个实二次型，既可以通过正交替换化为标准形，也可以通过

27、拉格朗日配方法化为标准形，显然，其也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。标准形一般来说是不唯一的。但是，标准形中系数不为零的项数是确定的，项但是，标准形中系数不为零的项数是确定的，项数等于二次型的秩。数等于二次型的秩。,2222211rrykykykf )0(ik 实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的型所确定，这就是下面的“惯性定理惯性定理”。46定理定理(惯性定理惯性定理)对任意二次型对任意二次型AXXx

28、xxfTn),(21,2211ppydydf ,2211rrppydyd p为正惯性指数为正惯性指数,正负惯性指数的差正负惯性指数的差 称为二次型的称为二次型的符号差符号差.rpqp 2为负惯性指数为负惯性指数,prq 设设二二次次型型AXXxxxfTn),(21通通过过可可逆逆线线性性变变换换CYX 化化为为下下列列标标准准形形 无论用何种可逆线性无论用何种可逆线性变变换把它化为标准形换把它化为标准形,其中正的系其中正的系数个数数个数(称称正惯性指数正惯性指数)和负的系数个数和负的系数个数(称称负惯性指数负惯性指数)唯一确定唯一确定。证略证略47,22112211rrppppydydydyd

29、f ,CYX 继续作可逆线性变换继续作可逆线性变换 nnrrrrrzyzyzdyzdy1111111矩阵形式为矩阵形式为,1ZCY ,10110111 rddC48二次型化为二次型化为,221221rppzzzzf 称之为二次型的称之为二次型的规范形规范形。定理定理 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是唯一的。范形，且规范形是唯一的。化二次型时，所作的线性变换不一定是正交变换。化二次型时，所作的线性变换不一定是正交变换。49定理定理 任一实对称矩阵任一实对称矩阵 A 与对角阵与对角阵合合同同，其其中中1 和和1 的的个个数数合合计计为为)

30、(Ar个个，1 的的个个数数由由 A 唯唯一一确确定定，称称为为 A 的的正正惯惯性性指指数数。001111上式称为矩阵上式称为矩阵 A 的规范形。的规范形。50推论推论 两个两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等。它们的秩和正惯性指数分别相等。51第三节第三节 二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的有定性相相应应实实二二次次型型AXXXfT)(,定义定义（1）若恒）若恒有有0)(Xf，则称，则称)(Xf是是正定二次型正定二次型，A称为称为正定矩阵正定矩阵；（2）若恒有）若恒有0)(Xf，则称，则称)(Xf是是负定二次型负定二

31、次型，A称为称为负定矩阵负定矩阵；（4）若若恒恒有有0)(Xf，则则称称)(Xf是是半半负负定定二二次次型型，A称称为为半半负负定定矩矩阵阵。如果二次型如果二次型的取值有正有负的取值有正有负，就称为，就称为不定二次型不定二次型。设设 A 为实对称矩阵，为实对称矩阵，对任意非零向量对任意非零向量 X，（3）若若恒恒有有0)(Xf，则则称称)(Xf是是半半正正定定二二次次型型，A称称为为半半正正定定矩矩阵阵；52正定矩阵、正定二次型的判别：正定矩阵、正定二次型的判别：由定义，可得以下结论：由定义，可得以下结论：（1）二二次次型型222221121),(nnnydydydyyyf 正正定定的的充充分

32、分必必要要条条件件是是0 id。充分性是显然的；下面用反证法证必要性：充分性是显然的；下面用反证法证必要性：假设某个假设某个0 kd，取取1 ky，其其余余)(0kjyj ，代入二次型，得代入二次型，得 0)0,1,0(kdf，与与二二次次型型),(21nyyyf正正定定矛矛盾盾。53(2)二二次次型型AXXT若若正正定定，经经过过可可逆逆线线性性变变换换CYX ，化化为为YACCYTT)(，其其正正定定性性保保持持不不变变。这这是是因因为为C是是可可逆逆矩矩阵阵，只只要要 Y，就就有有 X，于于是是0 AXXT，即即0)(YACCYTT。由变换的可逆性，若由变换的可逆性，若YACCYTT)(

33、正定，也可推出正定，也可推出AXXT正定。正定。由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性过非退化线性变变换，将其化为标准形，就容易由以下换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。定理判别其正定性。(1)二次型二次型222221121),(nnnydydydyyyf 正正定的充分必要条件是定的充分必要条件是0 id。54n元实二次型元实二次型AXXfT 正定的充分必要条件正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于是它的正惯性指数等于n。定理定理准则准则1实对称矩阵实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是 A 的特

34、征的特征值全为正。值全为正。55解解例例1 判别二次型判别二次型是否正定。是否正定。32212322213212232),(xxxxxxxxxxf 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为 ,310121011 A310121011|AE56全为正，全为正，因此二次型正定。因此二次型正定。求求得得 A 的的特特征征值值为为 32,2，310121011|AE312122012321 ccc,)14)(2(2 57n阶阶实实对对称称矩矩阵阵A正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是A的的顺顺序序主主子子式式全全大大于于零零。（证证略略）准则准则2其其中中nnijaA)(的的k阶阶顺顺序序主主子子式式

35、是是指指行行列列式式,|212222111211kkkkkkkaaaaaaaaaA nk,2,1 58解解例例2 判别二次型判别二次型是否正定。是否正定。32312322214683xxxxxxxf 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为 ,823210303 A它的顺序主子式为：它的顺序主子式为：,03|1 A,031003|2 A,03823210303|3 A因此因此 A是正定的，是正定的，即二次型即二次型 f 正定。正定。59解解例例3 设有实二次型设有实二次型 问问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？取何值时，该二次型为正定二次型？3231212322214225xxxxxxtxxx

36、f f 的矩阵为的矩阵为 ,5212111 ttA顺序主子式为：顺序主子式为：,01|1 A,0111|22 tttA,045|23 ttAA解得解得.054 t60正定矩阵的性质：正定矩阵的性质：准则准则1 实对称矩阵实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是 A 的特征的特征值全为正。值全为正。1、若、若 A 为为正定正定矩阵矩阵，则，则 A 的行列式的行列式为正，因而可逆。为正，因而可逆。610|21 nA kAAAA,1T 都是正定阵，都是正定阵，2、若、若 A 为为正定正定矩阵，矩阵，则则其中其中 k 为正整数。为正整数。矩矩阵阵A与与它它的的转转置置TA有有相相同同的

37、的特特征征值值；这是因为：这是因为：;)(1)(1AA ;)(|)(AAA .)()(kkAA 正定矩阵的性质：正定矩阵的性质：1、若、若 A 为为正定正定矩阵矩阵，则，则 A 的行列式的行列式为正，因而可逆。为正，因而可逆。623、若、若 A 为为正定正定矩阵矩阵，则，则 A 的主对角元全为正的主对角元全为正。证证因为因为 ninjjiijxxaAXXXf11T)(正定，正定，取取TiX)0,1,0(，则则有有).,1,0(,0)(niaXfiii 。4、若、若 A 和和 B 为为正定正定矩阵矩阵，则，则 A+B 也为也为正定正定矩阵。矩阵。证证 对任意非零向量对任意非零向量 X，XBAX)

38、(T BXXAXXTT .0 635、实对称矩阵、实对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是存在为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵可逆矩阵 P，使得使得.TPPA 实际上，正定二次型的规范形为实际上，正定二次型的规范形为,22221nzzz 即即 A 正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是 A 合同于单位矩阵合同于单位矩阵E，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 P，使，使.TTPPEPPA 64TT)(AA6、设设 A 为为nm 矩矩阵阵，且且 A 的的秩秩nAr)(，则则AAT为为正正定定矩矩阵阵。证证因为因为,TAA 故故AAT是是 n 阶阶对对称称矩矩阵阵。又又nAr)(，可知齐次线性方

39、程组，可知齐次线性方程组oAX 仅有零解，仅有零解，所所以以对对任任意意oX ，必必有有oAX ，于是于是XAAX)(TT)()(TAXAX,0 即即二二次次型型XAAX)(TT为为正正定定二二次次型型，即即矩矩阵阵AAT为为正正定定矩矩阵阵。65类似结论有：类似结论有：设设 A 为为 n 阶阶可可逆逆矩矩阵阵,则则TT,AAAA为为正正定定矩矩阵阵。设设 A为为 n 阶阶正正定定矩矩阵阵,P 为为mn 矩矩阵阵,且且nmPr )(，则则APPT为为正正定定矩矩阵阵。6、设设 A 为为nm 矩矩阵阵，且且 A 的的秩秩nAr)(，则则AAT为为正正定定矩矩阵阵。66显然，显然，A 是负定（半负

40、定是负定（半负定）的当且仅当）的当且仅当 A 是正定是正定(半半正定正定)的。由此，容易得出以下结论：的。由此，容易得出以下结论：(2)A 负定的充分必要条件是负定的充分必要条件是 A 的特征值全负；的特征值全负；(3)A 半负定的充分必要条件是半负定的充分必要条件是 A 的特征值非正；的特征值非正；(4)A 负定的充分必要条件是负定的充分必要条件是 A 的奇数阶顺序主子式的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；全为负而偶数阶顺序主子式全为正；(1)A 半正定半正定的充分必要条件是的充分必要条件是 A 的特征值的特征值非非负；负；(5)若若 A 负定，则负定，则 A 的对角元全为负。

41、的对角元全为负。注意注意：1.最后一条只是必要条件；最后一条只是必要条件；2.A的顺序主子式的顺序主子式全非全非负负，A 也未必是半正定也未必是半正定的的。67例例4 4 设矩阵设矩阵 显然显然 A 的的顺序主子式顺序主子式,100011011 A,01|1 A,01111|2 A,0100011011|3 A但对角元有正有负，显然但对角元有正有负，显然 A 是不定的。是不定的。68例例5 5 判定下列二次型是否判定下列二次型是否为为有定二次型。有定二次型。解解312123222122462 )1(xxxxxxxf 32212322214432 )2(xxxxxxxf (1)f 的矩阵为的矩阵

42、为 ,401061112 A顺序主子式顺序主子式 ,02 ,0116112 ,038|A所以所以 f 是负定的。是负定的。69(2)f 的矩阵为的矩阵为 ,320222021 A顺序主子式顺序主子式 ,01 所以所以 f 是是不不定的。定的。,022221 例例5 5 判定下列二次型是否判定下列二次型是否为为有定二次型。有定二次型。解解312123222122462 )1(xxxxxxxf 32212322214432 )2(xxxxxxxf 70END71习题选解习题选解72.,也也是是正正定定矩矩阵阵试试证证明明分分块块矩矩阵阵阶阶正正定定矩矩阵阵分分别别为为设设 BOOACnmBA于是于是不同时为零向量不同时为零向量则则若若维列向量维列向量维和维和是是分别分别其中其中维向量维向量为为设设,0,),(yxznmyxnmyxzTTT yxBOOAyxCzzTTT),(,0 ByyAxxTT解解且且 C 是实对称阵，故是实对称阵，故 C 是正定矩阵。是正定矩阵。12.yxByAxTT),(