实验三求代数方程的近似根课件.ppt
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- 关 键 词:
- 实验 代数方程 近似 课件
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1、1实验三实验三求代数方程的近似根求代数方程的近似根感谢你的观看2019年8月282l 解方程(代数方程)是最常见的数学问题之一,也是解方程(代数方程)是最常见的数学问题之一,也是众多应用领域中不可避免的问题之一众多应用领域中不可避免的问题之一l 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程,但如目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程,但如果在任意给定的精度下,能够解出方程的近似解,则可果在任意给定的精度下,能够解出方程的近似解,则可以认为求解问题已基本解决,至少可以满足实际需要以认为求解问题已基本解决,至少可以满足实际需要l 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法:本实验主要介绍一些有效的求
2、解方程的数值方法:对对分法,不动点迭代法分法,不动点迭代法 和和 牛顿法牛顿法。同时要求大家学会如何。同时要求大家学会如何利用利用 Matlab 来求方程的近似解来求方程的近似解l 问题背景和实验目的问题背景和实验目的代数方程近似求解代数方程近似求解感谢你的观看2019年8月283相关概念相关概念()0f x l 若若 f(x)是一次多项式,称上面的方程为是一次多项式,称上面的方程为线性方程线性方程;否;否则称之为则称之为非线性方程非线性方程l 线性方程线性方程 与与 非线性方程非线性方程本实验主要讨论本实验主要讨论非线性方程非线性方程的数值求解的数值求解感谢你的观看2019年8月284内容提
3、要内容提要l 对分法对分法n 求解非线性方程的数值算法求解非线性方程的数值算法l 牛顿迭代法牛顿迭代法l 不动点迭代一般格式不动点迭代一般格式l 松弛加速迭代法松弛加速迭代法l Altken 加速迭代法加速迭代法l 不动点迭代法不动点迭代法感谢你的观看2019年8月285l 对分法对分法对分法对分法将将有根区间有根区间进行对分,判断出解在某个分段内,然后再对进行对分,判断出解在某个分段内,然后再对该段对分,依次类推,直到满足给定的精度为止该段对分,依次类推,直到满足给定的精度为止l 适用范围适用范围只能计算有根区间内的只能计算有根区间内的 单重实根单重实根 或或 奇数重实根奇数重实根l 数学原
4、理:数学原理:介值定理介值定理设设 f(x)在在 a,b 上连续,且上连续,且 f(a)f(b)0,则由介值定,则由介值定理可得,在理可得,在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 使得使得 f()=0l 基本思想基本思想感谢你的观看2019年8月286l 具体步骤具体步骤算法描述算法描述设设 f(x)在区间在区间 a,b 内连续,且内连续,且 f(a)f(b)0。对于给定的精度要求对于给定的精度要求 ,若有,若有|f(z)|,则则 z 就是我就是我们所需要的们所需要的 f(x)=0 在区间在区间 a,b 内的内的 近似根近似根例例:用对分法求用对分法求 x3-3x+1=0 在在 0,1 中的
5、解。中的解。(1)令令 x=(a+b)/2,计算计算 f(x)(2)若若|f(x)|,则停止计算,输出近似解,则停止计算,输出近似解 x(3)若若 f(a)f(x)0,则令,则令 b=x;否则令否则令 a=x(4)返回第一步返回第一步fuluA.m感谢你的观看2019年8月287l 收敛性分析收敛性分析对分法收敛性对分法收敛性=11111 11|*|()()()22 22kkkkkkxxbababa 设方程的根为设方程的根为 x*(ak,bk),又又 ,所以,所以2kkkabx 0(k )对分法总是收敛的对分法总是收敛的l 对分法的收敛速度通常对分法的收敛速度通常较慢较慢l 对分法通常用来试探
6、实根的对分法通常用来试探实根的分布区间分布区间,或给出根的一,或给出根的一个较为个较为粗糙的近似粗糙的近似根据上面的算法,我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列根据上面的算法,我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 ak,bk ,在在(ak,bk)中含有方程的根。中含有方程的根。感谢你的观看2019年8月288不动点迭代不动点迭代不动点迭代法不动点迭代法n 不动点迭代一般格式不动点迭代一般格式感谢你的观看2019年8月289不动点迭代法不动点迭代法l 构造构造 f(x)=0 的一个等价方程:的一个等价方程:()xx l 从某个近似根从某个近似根 x0 出发,计算出发,计算得到一个迭代序列得到一
7、个迭代序列 0kkx 1()kkxx k=0,1,2,.(x)的不动点的不动点f(x)=0 x=(x)等价变换等价变换f(x)的零点的零点l 不动点迭代基本思想不动点迭代基本思想感谢你的观看2019年8月2810若若 收敛,即收敛,即 ,假设,假设 (x)连续,则连续,则l 收敛性分析收敛性分析迭代法的收敛迭代法的收敛 1limlim()limkkkkkkxxx lim*kkxx*x(*)x kx*(*)xx (*)0f x 即即注:若得到的点列发散,则迭代法失效!注:若得到的点列发散,则迭代法失效!例例:用迭代法求用迭代法求 x3-3x+1=0 在在 0,1 中的解。中的解。fuluB.m感
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