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类型经济应用数学-23函数的微分课件.ppt

  • 上传人(卖家):晟晟文业
  • 文档编号:5034168
  • 上传时间:2023-02-04
  • 格式:PPT
  • 页数:17
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    关 键  词:
    经济 应用 数学 23 函数 微分 课件
    资源描述:

    1、上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 1第第2 2章章 导数与微分导数与微分 2.3.1 函数的微分函数的微分引例引例微分的概念微分的概念可微的条件可微的条件微分的几何意义微分的几何意义微分的求法微分的求法微分形式的不变性微分形式的不变性上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 2正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xA 正正方方形形面面积积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(:)1(:)2(xx 0 xx 02.3.1 引例引例x 2)(x x 0 x0 x;,的的主主

    2、要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 33030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有函是否所有函.y 求求函函数数的的改改变变量量再例如再例如,处处的的改改变变量量在在点点设设函函数数03xxy ,时时为为x,很很小小时时当当x),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是.320 xxy 数的改变量都有数的改变量都有?

    3、它是什么它是什么?如何求如何求?上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 4(微分的实质微分的实质)2.3.2 微分的定义微分的定义1.定义定义,)(在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数xfy xxx 00及及)()()(,00 xoxAxfxxfy 如如果果在在这这区区间间内内0)(),(xxfyxA在在点点则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立 相相应应于于自自变变量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微0)(,xxfyxA .),(,000 xAdyxdfdyxxxxx 即即或或记记作作的的微微分分增增量量.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增

    4、量量微微分分ydy 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 5由定义知由定义知:;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 6定理定理证证(1)(1)必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),(xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxy

    5、xx )(limlim00则则.A).(,)(00 xfAxxf 且且可可导导在在点点即即函函数数2.3.3 可微的条件可微的条件可可微微的的充充要要条条件件是是函函在在点点函函数数0)(xxf).(,)(00 xfAxxf 且且处处可可导导在在点点数数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 7(2)(2)充分性充分性,)(0可可导导在在点点函函数数xxf,)(0 xfxy即即),(lim00 xfxyx ),()(0 xxxfy 从而从而),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可可微微可可导导称称为为函函数

    6、数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数,)(xxfy .)(),(,xxfdyxdfdy 即即或或记记作作微微分分上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 8例例3.10 0.0 01 1时时的的改改变变量量x x1 1,x x当当x xy y求求函函数数3 3 解解xxdy )(3.32xx 02.02202.023 xxxxxxdy.24.0 和和微微分分.,称称为为自自变变量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自变变量量xx.,xdxdx 即即记记作作.)(dxxfdy ).(xfdxdy 之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy.微微商

    7、商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 90 xMNTdy)(xo )xyo x 几何意义几何意义:(如图如图)xx0 P 2.3.4微分的几何意义微分的几何意义y 是是曲曲线线的的纵纵当当y dy,坐坐标标增增量量时时就就是是切切线线.纵纵坐坐标标对对应应的的增增量量)(xfy 的的在在点点很很小小时时当当Mx,附附近近可可切切线线段段 MP近近似似代代替替.MN曲曲线线段段上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 10求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的

    8、微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 2.3.5 微分的求法微分的求法dxxfdy)(上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 112.2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11

    9、)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 12解解例例2 2.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 13;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若),()(x

    10、fxfy 有有导导数数设设函函数数,)(dxdtt .)(dxxfdy 微分形式的不变性微分形式的不变性2.3.6 微分形式的不变性微分形式的不变性),(,)2(txtx 的的可可微微函函数数即即另另一一变变量量是是中中间间变变量量时时若若dttxfdy)()(则则结论:结论:函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论,x的的)(xfy dxxfdy)(微微分分形形式式总总是是上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 14例例5 5解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sinco

    11、s .)sincos(dxbxabxbeax 解解例例4 4.),12sin(dyxy求求设设 .12,sin xuuyududycos)12()12cos(xdxdxx2)12cos(.)12cos(2dxx 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 15解解例例5 5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()

    12、(sin)2(22,cos42xxx).()cos4()(sin22xdxxxxd 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 16函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:2.3.7 小结小结研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 17.,它它是是无无穷穷小小实实际际上上的的定定义义域域是是 R)(limlim0000 xxxfdyxxxx .0.0的的纵纵坐坐标标增增量量线线方方程程在在点点x导数与微分的区别导数与微分的区别:),()(.100 xfxxf 处处的的导导数数是是一一个个定定数数在在点点函函数数它它的的线线性性函函数数是是而而微微分分,)(000 xxxxxfdy 在在是是曲曲线线从从几几何何意意义义上上来来看看)()(,.20 xfyxf )(,)(,(000 xfdyxfx 而而微微分分处处切切线线的的斜斜率率点点处处的的切切在在点点是是曲曲线线)(,()()(000 xfxxfyxx

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