经济应用数学-23函数的微分课件.ppt
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- 经济 应用 数学 23 函数 微分 课件
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1、上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 1第第2 2章章 导数与微分导数与微分 2.3.1 函数的微分函数的微分引例引例微分的概念微分的概念可微的条件可微的条件微分的几何意义微分的几何意义微分的求法微分的求法微分形式的不变性微分形式的不变性上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 2正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xA 正正方方形形面面积积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(:)1(:)2(xx 0 xx 02.3.1 引例引例x 2)(x x 0 x0 x;,的的主主
2、要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 33030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有函是否所有函.y 求求函函数数的的改改变变量量再例如再例如,处处的的改改变变量量在在点点设设函函数数03xxy ,时时为为x,很很小小时时当当x),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是.320 xxy 数的改变量都有数的改变量都有?
3、它是什么它是什么?如何求如何求?上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 4(微分的实质微分的实质)2.3.2 微分的定义微分的定义1.定义定义,)(在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数xfy xxx 00及及)()()(,00 xoxAxfxxfy 如如果果在在这这区区间间内内0)(),(xxfyxA在在点点则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立 相相应应于于自自变变量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微0)(,xxfyxA .),(,000 xAdyxdfdyxxxxx 即即或或记记作作的的微微分分增增量量.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增
4、量量微微分分ydy 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 5由定义知由定义知:;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx 上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 6定理定理证证(1)(1)必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),(xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxy
5、xx )(limlim00则则.A).(,)(00 xfAxxf 且且可可导导在在点点即即函函数数2.3.3 可微的条件可微的条件可可微微的的充充要要条条件件是是函函在在点点函函数数0)(xxf).(,)(00 xfAxxf 且且处处可可导导在在点点数数上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 7(2)(2)充分性充分性,)(0可可导导在在点点函函数数xxf,)(0 xfxy即即),(lim00 xfxyx ),()(0 xxxfy 从而从而),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可可微微可可导导称称为为函函数
6、数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数,)(xxfy .)(),(,xxfdyxdfdy 即即或或记记作作微微分分上页下页铃结束返回首页经济应用数学经济应用数学 8例例3.10 0.0 01 1时时的的改改变变量量x x1 1,x x当当x xy y求求函函数数3 3 解解xxdy )(3.32xx 02.02202.023 xxxxxxdy.24.0 和和微微分分.,称称为为自自变变量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自变变量量xx.,xdxdx 即即记记作作.)(dxxfdy ).(xfdxdy 之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy.微微商
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