经济应用数学课件4-2-.ppt

1、 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 4.3 积分的基本公式积分的基本公式 第四章第四章 积分及其应用积分及其应用 4.4 换元积分法换元积分法 4.2 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 4.5 分部积分法分部积分法 4.6 无限区间上的反常积分无限区间上的反常积分 4.7 积分学的应用积分学的应用 学习目标学习目标 教学建议教学建议 一一.不定积分的概念不定积分的概念 二二.不定积分的性质不定积分的性质 4.2 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 乘法乘法 一一.不定积分的概念不定积分的概念 1.原函数定义原函数定义 微分法微分法 逆运算逆运算 积分法积分法 在微分学

2、中在微分学中,我们所研究的我们所研究的问题是寻求已知函数的导数问题是寻求已知函数的导数.但在许多实际问题中但在许多实际问题中,常常常常需要研究相反问题需要研究相反问题,就是已知就是已知函数的导数函数的导数,求原来的函数求原来的函数.除法除法 逆运算逆运算案案 例例已知曲线已知曲线 在横坐标为在横坐标为 处的切线处的切线)(xFyx斜率为斜率为 且曲线过点且曲线过点 ,求该曲线求该曲线)(xFy,2x)2,1(的方程的方程.分析分析 这是已知曲线这是已知曲线 的切线斜率的切线斜率,求曲线方求曲线方程的问题程的问题.)(xFy又由导数的几何意义又由导数的几何意义,切线斜率切线斜率.2)(xxFk我

3、们已经知道我们已经知道,2)(2xx也有等式也有等式 若若 是任意常数是任意常数,C.2)(2xCx于是我们所求的曲线方程为于是我们所求的曲线方程为.)(2CxxFy依题设依题设,切线斜率切线斜率.2xk 案案 例例已知曲线已知曲线 在横坐标为在横坐标为 处的切线处的切线)(xFyx斜率为斜率为 且曲线过点且曲线过点 ,求该曲线求该曲线)(xFy,2x)2,1(的方程的方程.我们所求的曲线方程为我们所求的曲线方程为.)(2CxxFy 这是一族抛物线这是一族抛物线 y2xy 12 xy)2,1(而我们要求的是在这一族抛物线中而我们要求的是在这一族抛物线中,过点过点 的那一条的那一条,即当即当 时

4、时,我们可以用这个条件来确定我们可以用这个条件来确定任意常数任意常数 ,即即)2,1(1x.2yC,122C.1C从而从而,所求的曲线方程为所求的曲线方程为.1)(2xxFy1)1,1(ox 积分法积分法 逆运算逆运算 微分法微分法.2)()(2xxxF微分法是研究如何从已微分法是研究如何从已知函数求出其导函数知函数求出其导函数.如已知函数如已知函数要求它的导函数要求它的导函数:,)(2xxF而案例中的问题则是而案例中的问题则是:已已知函数知函数 ,要求一要求一个函数个函数 ,使其导函数使其导函数恰是恰是:xxf2)()(xF已知函数已知函数 ,要求要求它的导函数它的导函数)(xF).(xF已

5、知导函数已知导函数 ,要要还原函数还原函数).(xF)(xF逆问题逆问题.2)()(xxfxF.2)(2xx称称 是函数是函数 的一个原函数的一个原函数 2xx2.2)(2xCx 是任意常数是任意常数 C 是函数是函数 的无穷多个原函数的无穷多个原函数 Cx 2x2 由此可知由此可知,一个函数若有原函数一个函数若有原函数,则它必有无穷多个原函数则它必有无穷多个原函数.1.原函数定义原函数定义定义定义4.2(原函数定义原函数定义)在某区间在某区间 上上,若有若有 I)()(xfxF或或 ,d)()(dxxfxF则称函数则称函数 是函数是函数 在该区间上的一个原函数在该区间上的一个原函数.)(xF

6、)(xf例如例如,在区间在区间 上上,有有 ),(,cos)(sinxx 所以所以 是是 在该区间上的一个原函数在该区间上的一个原函数.xsinxcos 原函数原函数 的特性的特性 若函数若函数 是函数是函数 的一个原函数的一个原函数,即即 ,)(xF)(xf)()(xfxF 则对任意的常数则对任意的常数 ,函数族函数族 也是函数也是函数 的原函数的原函数,且且包括了函数包括了函数 的所有原函数的所有原函数.CxF)()(xfCCxF)()(xf2.不定积分定义不定积分定义定义定义4.3(不定积分定义不定积分定义)函数函数 的所有原函数的所有原函数,称为称为 的不定积分的不定积分,记作记作)(

7、xf)(xfxxfd)(被积表达式被积表达式 被积函数被积函数 积分变量积分变量 积分号积分号 .)(CxF由不定积分的定义知由不定积分的定义知 求被积函数求被积函数 的不定积分的不定积分,关键关键是求出被积函数是求出被积函数 的一个原函数的一个原函数 然后再加上任意常数然后再加上任意常数),(xF)(xf)(xf.C其中其中 )()(xfxF练习练习1前述前述 解解,2)(2xx因因 有有;d22Cxxx因因,cos)(sinxx 有有.sindcosCxxx求下列不定积分求下列不定积分:(1);dxax(2)xx d().1(1)被积函数被积函数,)(xaxf因为因为,ln)(aaaxx故

8、故,lnln1)(ln1)ln(xxxxaaaaaaaa于是于是.ln1dCaaxaxx特别地特别地.edeCxxx练习练习1解解 求下列不定积分求下列不定积分:(2)xx d().1(2)被积函数被积函数).1(,)(xxf由于由于 故故 如如,)1(11)11(1xxx,21111d211CxCxxx.11d1Cxxx如如.11d1Cxxx,21211dd112121CxCxxxxx.dd0Cxxxx,321211dd2312121CxCxxxxx练习练习2解解 求不定积分求不定积分.d1xx被积函数被积函数,1)(xxf当当 时无意义时无意义.0 x当当 时时,因为因为 0 x,1)(l

9、nxx 所以所以;lnd1Cxxx当当 时时,因为因为 0 x,1)1(1)(1)ln(xxxxx所以所以.)ln(d1Cxxx将上面两式合并在一起写将上面两式合并在一起写,当当 时时,就有就有 0 x.lnd1Cxxx 二二.不定积分的性质不定积分的性质 性质性质1求不定积分与求导数或求微分互为逆运算求不定积分与求导数或求微分互为逆运算 性质性质2不定积分运算性质不定积分运算性质)(d)(dd)1(xfxxfx或或;d)()d)(dxxfxxfCxFxxF)(d)()2(或或.)()(dCxFxF.d)(d)(d)()()2(xxgxxfxxgxf 这些性质均可这些性质均可 由不定积分的由不定积分的 定义得到定义得到.);0(d)(d)()1(kxxfkxxfk练习练习3求下列不定积分求下列不定积分:解解(1)(1);d)2(xxxxx(2).d)e3cos2(xxxxxxxxxd12dd23xxxxxd)2(由不定积分的运算性质由不定积分的运算性质 .ln25221252Cxxx解解(2)由不定积分的运算性质由不定积分的运算性质 xxxxde3dcos2xxxd)e3cos2(.e3sin2Cxx